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Topografia Revisao

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REVISÃO 
 
 
 
 
 
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Escala 
E = d / D, 
onde d = é a dimensão gráfica e 
D = dimensão real 
 
Escala Numérica 
 
 
1:50.000 ou 1/50.000 
► lê-se 1 cm no mapa equivale 
50.000cm na realidade. 
A realidade foi reduzida em 50.000 
vezes. 
 
Os valores são em “cm” 
Escala Gráfica 
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 É a representação em forma de 
gráfico de uma escala numérica. É de 
grande utilidade para acompanhar a 
representação em ampliações ou 
reduções. 
 
Ao contrário do que se pensa uma escala grande não é aquela que possui um número 
enorme. 
A escala 1:50.000 é grande pois a representação da realidade foi diminuída apenas 
50.000 vezes, enquanto na escala 1:30.000.000 a representação da realidade foi 
diminuída 30 milhões de vezes, portanto a E=1:50.000 é maior que a 1:30.000.000. 
Você pode usar o seguinte raciocínio, um dividido por 50 mil é maior que 1 dividido por 
30 milhões. 
Quanto maior a escala, maior o número de detalhes representados. 
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Exercícios - ESCALAS 
1. Para representar, no papel, uma linha reta que no terreno mede 45m, utilizando-
se a escala 1:450, pergunta-se: qual será o valor desta linha em cm? 
 
 D = 45m ► 45m equivale 4500cm 
E = 1:450 ► 1cm equivale 450cm 
d = ? 
E = d / D 
450 = d / 4500 
d = 10cm 
 
2. A distância entre dois pontos, medida sobre uma planta topográfica, é de 
520mm. Sabendo-se que, no terreno, estes pontos estão distantes 215,5m, determine 
qual seria a escala da planta. 
D = 215,5m ► 215,5m equivale 21550cm 
d = 520mm ► 520mm equivale 52cm 
E = ? 
 
E = d / D 
E = 52 / 21550 
E = 0,0024129 onde E = (0,0024129) ^ -1 
E = 1 / 414,42 
Escala quebrada normalmente não são utilizadas, neste caso só queremos saber a 
escala que foi utilizada neste exemplo. 
Em um trabalho normalmente fazemos uma adequação da escala, arredondando o 
fator da escala. (p.e. para 1:400 ou 1:450). 
 
3. A distância entre dois pontos, medida sobre uma planta topográfica, é de 55cm. 
Para uma escala igual a 1:250, qual será o valor real desta distância? 
E = 1:250 ► 1cm equivale 250cm 
d = 55cm 
D = ? 
E = d / D 
1 / 250 = 55 / D 
D = 250 * 55 
D = 13.750cm = 137,5m = 0,1375km 
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Coordenadas Geográficas 
 
Os paralelos e os meridianos são indicados por graus de circunferências. 
 
Os paralelos são linhas paralelas ao Equador, sendo que a própria linha 
imaginária do Equador é um paralelo. O 0º corresponde ao equador, o 90º ao pólo 
norte e o -90º ao pólo sul. 
 
Os meridianos são linhas perpendiculares ao Equador que vão do Pólo Norte ao 
Pólo Sul e cruzam com os paralelos. Todos os meridianos possuem o mesmo tamanho 
e o ponto de partida para a numeração dos meridianos é o meridiano que passa pelo 
observatório de Greenwich, na Inglaterra. Logo, o meridiano de Greenwich é o 
meridiano principal (0°). A leste de Greenwich os meridianos são medidos por valores 
crescentes até 180º e, a oeste, suas medidas são decrescentes até o limite de -180º. 
 
 
A partir dos meridianos e paralelos, foram estabelecidas as coordenadas 
geográficas que são medidas em graus e, a partir das coordenadas geográficas é 
possível localizar qualquer ponto da superfície da Terra. 
 
Latitude de um ponto é o ângulo formado entre o plano do Equador e o paralelo 
deste ponto. Sua contagem é feita a partir do plano do Equador (0 graus) e varia até 90 
graus, sendo positivo para Norte e negativo para Sul. 
Longitude de um ponto é o ângulo formado entre Meridiano de Greenwich (0 
graus) e o meridiano do ponto. Sua contagem varia entre 0 grau e 180 graus, positivo 
para Leste e negativo para Oeste. 
 
 
 
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Coordenadas UTM 
 
Um sistema de coordenadas planas. É um sistema de coordenadas baseado no 
plano cartesiano (eixo x,y) e usa o metro (m) como unidade para medir distâncias e 
determinar a posição de um objeto. O sistema UTM, não acompanha a curvatura da 
Terra. 
No Brasil o sistema UTM foi adotado em 1995 pela Diretoria do Serviço 
Geográfico do Exército, possui 8 fusos UTM cuja numeração é 18, 19, 20, 21, 22, 23, 
24 e 25. 
 
 
 
A origem do fuso está 
no meridiano central do 
fuso e na Linha do 
Equador. Para o Hemisfério 
Norte as ordenadas variam 
entre 0 e 10.000.000m e no 
Sul, entre 10.000.000m e 0. 
As abcissas variam entre 
500.000m e 100.000m para 
oeste do meridiano central 
e 500.000m e 900.000m 
para leste do meridiano. 
 
 
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Uma planta cartográfica com as coordenadas Geográficas e UTM. 
 
1. Exercício – COORDENADAS GEOGRAFICAS. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Representação de uma mesma região com sistemas de coordenadas diferentes. 
 
 
 
(devemos sempre saber qual a origem da informação) 
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Exercícios – COORDENADAS 
1. Coordenadas Geográficas 
 
Se as cidades de “São João Batista” e “Imbuzinho” encontram-se representadas pelos 
pontos P e Q, respectivamente, determine as coordenadas geográficas (φ,λ) destes 
pontos, marcados na quadrícula a seguir, utilizando o método da interpolação 
numérica. 
 
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 P = 
63cm ►1° 
 38cm ► lat 
 
63 . x = 38 . 1 
X = 0,603° 
X = lat 
P = 
 63cm ►1° 
 45cm ► long 
 
63 . y = 45 . 1 
Y = 0,714° 
Y = long 
 
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Q = 
63cm ►1° 
 19cm ► lat 
 
63 . x = 19 . 1 
X = 0,302° 
X = lat 
 
Q = 
63cm ►1° 
 12cm ► long 
 
63 . y = 12 . 1 
Y = 0,190° 
Y = long 
 
 
P ► lat = 50 – 0,603° ► lat = 49,397° = 49° 23’ 49,2” ►X 
 long = 19 – 0,714° ► long = 18,286° = 18° 17’ 09,6” ►Y 
 
Q ► lat = 50 – 0,302° ► lat = 49,698° = 49° 41’ 52,8” ►X 
 long = 19 – 0,190° ► long = 18,810° = 18° 48’ 36” ►Y 
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2. Coordenadas UTM 
Calcule as coordenadas UTM dos pontos A e B e calcule a distância entre eles. 
 
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78cm ►1.500m e 52cm ►1.000m 
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A = 
78 ► 1.500 
16 E 
78 E = 24.000 
E = 307,7m 
 
52 ►1.000 
13 N 
52 N = 13.000 
N = 250m 
�
B = 
78 ► 1.500 
60 E 
78 E = 90.000 
E = 1.153,8m 
 
52 ►1.000 
36 N 
52 N = 36.000 
N = 692,3m 
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A ► 
E = 330.000 + 307,7 
E = 330.307,7m (►lat) 
 
N = 7.399.000 + 250 
N = 7.399.250m (►long) 
 
B ► 
E = 330.000 + 1.153,8 
E = 331.153,8m (►lat) 
 
N = 7.399.000 + 692,3 
N = 7.399.692,3m (►long) 
 
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 a² = b² + c² 
a² = 846² + 442² 
a² = 715.716 + 195.364 
a² = 911.080 
a = √911.080 
a = 954,50m 
 
 
Distancia entre os pontos A e B = 954,5m 
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ALTIMETRIA 
 
A altimetria ou nivelamento tem por finalidade determinar a distância vertical ou 
diferença denível entre diversos pontos. A diferença de altura entre dois pontos é a 
diferença de nível entre estes pontos. A determinação das diferenças de nível entre 
dois pontos é possível com os seguintes métodos: 
(a) nivelamento geométrico: É baseado na diferença de leituras em miras verticais 
graduadas, devendo ser evitados distâncias maiores que 35m, e 
(b) nivelamento trigonométrico: É baseado na resolução de um triângulo retângulo. 
O estudo do relevo de um terreno consiste na determinação das alturas de seus 
pontos, relacionados com uma superfície de nível que se toma como elemento de 
comparação. Cota é a altura de um ponto em relação a um plano horizontal de 
referência. 
 
Curvas de Nível. 
O relevo da superfície terrestre é uma feição contínua e tridimensional. Existem 
diversas maneiras para representar o mesmo, sendo o mais usual as curvas de nível. 
As curvas de nível podem ser classificadas em curvas mestras ou principais e 
secundárias. As mestras são representadas com traços diferentes das demais (mais 
espessos, por exemplo), sendo todas numeradas. As curvas secundárias 
complementam as informações. 
 
Perfil Topográfico 2D 
Perfil topográfico nada mais é uma espécie de gráfico que traça o perfil de uma 
região ou lugar, muito usada por geólogos e na construção civil. 
Para fazer um perfil topográfico, basta puxar linhas auxiliares de intersecção entre 
o plano vertical e as curvas de nível. 
 
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Exercício - ALTIMETRIA 
1. Tomando-se como exemplo os dados apresentados na figura abaixo, sabe-se 
que a distância entre os pontos A e B no desenho é de 7,5 cm e que o desnível entre 
eles é de 12,9m. Deseja-se interpolar a posição por onde passaria a curva com cota 
75m. 
 
É possível calcular o 
desnível entre o ponto A e a 
curva de nível com cota 75m 
(75m - 73,2 = 1,8m). 
Sabendo-se que em 7,5 cm o 
desnível entre os pontos é de 
12,9 m, em "x" metros este 
desnível será de 1,8 m. 
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Neste caso, a curva de nível com cota 75m estará passando a 1,05cm do ponto A. 
Da mesma forma, é possível calcular os valores para as curvas 80 e 85m 
(respectivamente 3,9 e 6,9cm). A figura abaixo apresenta estes resultados. 
 
 
 
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2. Dadas as curvas de nível e os pontos A e B, pede-se para traçar o perfil da 
estrada entre os pontos A e B. 
 
 
 
 
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RUMOS E AZIMUTES 
 
Rumos (0º-90º) – Rumo de um alinhamento é o ângulo horizontal entre a direção 
norte-sul e o alinhamento, medido a partir do norte ou do sul na direção do 
alinhamento, o mesmo não pode ultrapassar 90º. 
 
Azimutes (0º-360º) - Azimute de um alinhamento é o ângulo que este alinhamento faz 
com a direção norte-sul, medido a partir do NORTE e no sentido horário, variando de 
0º a 360º. 
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Rumo = S 22º 22’ W 
 
Azimute 3 (Az3) = Rumo 3 (R3) + 180º 
Az = S 22º 22’ W + 180º 
Az = 202º 22’ 
 
 
Azimute = 43º 53’ 
 
 
Rumo 1 (R1) = Azimute 1 (Az1) 
N 43º53’ E 
 
 
 
 
 
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PLANIMETRIA 
 
Planimetria é a representação em um plano de algum espaço. Um alinhamento 
topográfico é um segmento de reta materializado por dois pontos nos seus extremos. 
Tem extensão, sentido e orientação. 
 
 
Orientação: 45° 
Sentido: de A para B. 
Extensão: x metros. 
 
Poligonal 
A poligonal (base do levantamento topográfico) é utilizada para determinar as 
coordenadas dos pontos de interesse (x, y) dentro de uma área, pelo método da 
irradiação. O método consiste em medir ângulos e distâncias, a partir de uma linha de 
referência conhecida. 
 
 
 
 
A partir da poligonal 1-2-3-
4-5 é possível determinar as 
coordenadas do terreno, da 
casa, da edícula e das 
árvores. 
 
 
As Poligonais Topográficas apoiadas (ou amarradas) são figuras geométricas 
(polígonos abertos ou fechados) de apoio ao posicionamento topográfico, formadas por 
um número finito de lados, interligando dois ou mais pontos previamente coordenados 
(georeferenciados). 
 
 
 
 
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Existem 3 tipos de poligonais: 
- Poligonal fechada: parte de um ponto, que 
pode ser de coordenadas conhecidas, e retorna 
ao mesmo ponto. Sua principal vantagem é 
permitir a verificação de erro de fechamento 
angular e linear. 
 
- Poligonal aberta: parte de um ponto, que 
pode ser de coordenadas conhecidas, e chega 
a outro ponto, de coordenadas desconhecidas. 
Não é necessário determinar erros de 
fechamento, tendo que tomar muito cuidado no 
levantamento para evitar os erros. 
 
- Poligonal amarrada: parte de um ou mais 
pontos de coordenadas conhecidas, e acaba 
também em pontos de coordenadas 
conhecidas. Permite a verificação do erro de 
fechamento angular e linear. 
 
Os pontos com coordenadas conhecidas, não necessariamente precisam estar no 
inicio da poligonal. 
 
 
 
Em casos onde não existam pontos de coordenadas conhecidas próximos a área de 
levantamento, é necessário que seja feito um transporte de coordenadas através de uma 
poligonal de apoio. 
 
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Para determinar a orientação de um alinhamento, podem ser utilizados Rumos 
ou Azimutes que são medidas angulares. 
Após a determinação da orientação da poligonal, medem-se todos os ângulos e 
lados entre os alinhamentos e a extensão dos alinhamentos. 
 Podem-se medir os ângulos externos, internos ou as deflexões. Adota-se o 
sentido horário de caminhamento. 
Para cada ponto onde o aparelho está estacionado, é efetuado, além da medida 
do ângulo entre os alinhamentos, a medida da extensão do alinhamento e as distâncias 
entre o ponto e outros elementos de interesse. 
 
Cálculo da poligonal 
A partir dos dados medidos em campo: ângulos, distâncias, orientação e 
coordenadas do ponto inicial, é possível calcular os azimutes de todos os alinhamentos 
e tendo os azimutes e as distâncias, podem ser calculadas as COORDENADAS de 
todos os pontos, seja da poligonal ou dos elementos de interesse. 
 
Calculamos os azimutes dos alinhamentos a partir do azimute inicial e dos 
ângulos medidos em campo, podemos proceder da seguinte forma: 
 
 
Quando usamos os ângulos externos, se o valor do Azimute for maior que 360° deve-
se subtrair 360° do azimute, e se ele for negativo deverá ser somado 360° ao 
resultado. 
Quando estivermos usando os ângulos internos, devemos somar 180° e subtrair 180° 
no ângulo do Azimute. 
 
Cálculo de coordenadas utilizando azimutes 
Depois de todos os azimutes calculados, pode-se calcular as coordenadas dos 
todos os pontos do levantamento daseguinte forma: 
 
 
As coordenadas do ponto P1 
são dadas por: 
Os valores de ∆X e ∆Y 
são dados por: 
X1 = X0 + ∆X 
Y1 = Y0 + ∆Y 
∆X = d . sen (Az) = ∆E 
∆Y = d . cos (Az) = ∆N 
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Assim podemos calcular os valores das coordenadas de todos os pontos. Sabendo que 
X = E e Y = N. 
Exercício – PLANIMETRIA 
 
1. Calcule os azimutes dos alinhamentos abaixo e suas coordenadas. 
 
Az (i,i+1) = Az (i-1, i) + α i - 180° 
Az (2,3) = Az (1,2) + α 2 - 180° 
Az (2,3) = 64° 56’ 55” + 216° 18’ 19” - 180° Az (2,3) = 101° 15’ 14” 
 
Az (3,4) = Az (2,3) + α 3 - 180° 
Az (3,4) = 101° 15’ 14” + 313° 15’ 35” - 180° Az (3,4) = 234° 30’ 49” 
 
Az (4,1) = Az (3,4) + α 4 - 180° 
Az (4,1) = 234° 30’ 49” + 244° 01’ 02” - 180° Az (4,1) = 298° 31’ 51” 
 
Az (1,2) = Az (4,1) + α 1 - 180° {{Resposta > 360° , então subtrai 360°}} 
Az (1,2) = 298° 31’ 51” + 306° 25’ 04” - 180° Az (4,1) = 64° 56’ 55” 
 
 
Ponto Alinhamento Distância Ângulo (α) Azimute 
1 
2 1-2 101,04 216° 18’ 19” 64° 56’ 55” 
3 2-3 113,33 313° 15’ 35” 101° 15’ 14” 
4 3-4 127,89 244° 01’ 02” 234° 30’ 49” 
1 4-1 112,17 306° 25’ 04” 298° 31’ 51” 
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Calcule as coordenadas dos pontos 
Ponto Alinhamento Distância Ângulo (α) Azimute 
1 
2 1-2 101,04 216° 18’ 19” 64° 56’ 55” 
3 2-3 113,33 313° 15’ 35” 101° 15’ 14” 
4 3-4 127,89 244° 01’ 02” 234° 30’ 49” 
1 4-1 112,17 306° 25’ 04” 298° 31’ 51” 
 
∆X ► ∆E = d.sen(Az) 
∆Y ► ∆N = d.cos(Az) 
X1 ► E1 = E0 + ∆E 
Y1 ► N1 = N0 + ∆N 
Ponto 1 
Valores arbitrados E1 = 100,0 e N1 = 100,0 
 
Ponto 2 
∆E2 = d . sen (Az) = ∆E2 = 101,04 . sen (64° 56’ 55”) = 101,04 x 0,905928 = 91,535 
∆N2 = d . cos (Az) = ∆N2 = 101,04 . cos (64° 56’ 55”) = 101,04 x 0,423430 = 42,783 
 
E2 = E1 + ∆E2 = E2 = 100,0 + 91535 = 191,535 
N2 = N1 + ∆N2 = N2 = 100,0 + 42,783 = 142,783 
 
Ponto 3 
∆E3 = d . sen (Az) = ∆E3 = 113,33 . sen (101° 15’ 14”) = 113,33 x 0,98077 = 111,1508 
∆N3 = d . cos (Az) = ∆N3 = 113,33 . cos (101° 15’ 14”) = 113,33 x -0,19515 = -22,117 
 
E3 = E2 + ∆E = E3 = 191,535+ 111,151 = 302,686 
N3 = N2 + ∆N = N3 = 142,783 + (-22,117) = 120,666 
 
Ponto 4 
∆E4 = d . sen (Az) = ∆E4 = 127,89 . sen (234° 30’ 49”) = 127,89 x -0,814253 = -104,1348 
∆N4 = d . cos (Az) = ∆N4 = 127,89 . cos (234° 30’ 49”) = 127,89 x -0,580509 = -74,241 
 
E4 = E3 + ∆E = E4 = 302,686 + (-104,135) = 198,551 
N4 = N3 + ∆N = N4 = 120,666 + (-74,241) = 46,425 
 
Ponto 1 
∆E1 = d . sen (Az) = ∆E1 = 112,17 . sen (298° 31’ 51”) = 112,17 x -0,87856 = -98,548 
∆N1 = d . cos (Az) = ∆N1 = 112,17 . cos (298° 31’ 51”) = 112,17 x 0,477631 = 53,5759 
 
E1 = E4 + ∆E = E1 = 198,551 + (-98,548) = 100,003 
N1 = N4 + ∆N = N1 = 46,425 + 53,576 = 100,001 
 
Ponto Alinh Dist Ângulo (α) Azimute ∆E ∆N E N 
1 100,00 100,00 
2 1-2 101,04 216° 18’ 19” 64° 56’ 55” 91,535 42,783 191,535 142,783 
3 2-3 113,33 313° 15’ 35” 101° 15’ 14” 111,151 -22,117 302,686 120,666 
4 3-4 127,89 244° 01’ 02” 234° 30’ 49” -104,135 -74,241 198,551 46,425 
1 4-1 112,17 306° 25’ 04” 298° 31’ 51” -98,548 53,576 100,003 100,001 
 Diferença 0,003 0,001 
Esta diferença é corrigida posteriormente. 
 
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PLANIMETRIA - ERROS 
 
Levantamento Planimétrico – estuda e estabelece os procedimentos e métodos 
de medida de distância e ângulos, no plano horizontal. 
 
Todo levantamento topográfico está sujeito a três tipos de erros: 
 
NATURAIS: são aqueles ocasionados por fatores ambientais, ou seja, temperatura, 
vento, refração e pressão atmosféricas, ação da gravidade, etc.. Alguns destes erros 
são classificados como erros sistemáticos e dificilmente podem ser evitados. São 
passíveis de correção desde que sejam tomadas as devidas precauções durante a 
medição. 
INSTRUMENTAIS: são aqueles ocasionados por defeitos ou imperfeições dos 
instrumentos ou aparelhos utilizados nas medições. Alguns destes erros são 
classificados como erros acidentais e ocorrem ocasionalmente, podendo ser evitados 
e/ou corrigidos com a aferição e calibragem constante dos aparelhos. 
PESSOAIS: são aqueles ocasionados pela falta de cuidado do operador. Os mais 
comuns são: erro na leitura dos ângulos, erro na leitura da régua graduada, na 
contagem do número de trenadas, ponto visado errado, aparelho fora de prumo, 
aparelho fora de nível, etc.. São classificados como erros grosseiros e não devem 
ocorrer jamais, pois não são passíveis de correção. 
Extraído de Brandalize, M.C.B – Topografia 
 
Erros de Fechamento Angular 
 
Para a poligonal fechada, antes de calcular o azimute das direções, é necessário 
fazer a verificação dos ângulos medidos. Uma vez que a poligonal forma um polígono 
fechado é possível verificar se houve algum erro na medição dos ângulos. 
 
ea = Σ ang lidos - Σ ang 
Então: ea = Σ ang lidos – [(n±2) x 180°] 
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������ � ��������%�
�
para, 
Somatório dos ângulos internos de um polígono qualquer = (n - 2) x 180º , e 
Somatório dos ângulos externos de um polígono qualquer = (n + 2) x 180º 
 
Também temos que calcular a tolerância angular (Ɛa), que é o máximo de erro 
tolerado. 
 
 
onde: p= precisão nominal do equipamento; 
m= número de ângulos medidos na poligonal. 
 
O erro de fechamento angular (ea) deve ser menor que a tolerância angular (Ɛa). 
ea < Ɛa 
 
Caso o erro seja maior que a tolerância angular será necessária refazer o 
levantamento. Para o erro menor que a tolerância angular, é necessária distribuir o erro 
cometido. 
 
Correção do erro ANGULAR 
 
A correção se dará nos ângulos formados pelos menores lados da poligonal ou 
se necessário deverá ser feito uma distribuição por todos os vértices da poligonal. O 
sinal da correção deve ser contrário ao sinal do erro. 
 
• Distribuição do erro angular 
Normalmente o erro angular é distribuído por vértice em quantidades iguais, 
embora a prática tenha demonstrado que nas maiores distâncias os erros angulares 
são menores. 
Nos casos em que o erro seja pequeno e que devamos atribuí-lo a um único 
vértice, definimos o alinhamento com menor extensão para atribuir a correção do erro 
ANGULAR. 
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• Ângulo compensado 
O ângulo compensado é determinado pela adição ou subtração do erro no 
ângulo lido. O somatório do erro por vértice deverá ser igual ao erro total da poligonal. 
O sinal da correção deverá ser contrário ao do erro. 
 
Exemplo: 
Dado o levantamento abaixo, calcule os ÂNGULOS corrigidos. Considere que a 
precisão do equipamento seja igual a 2”. 
 
 
Verificação do erro ANGULAR 
ea = Σ ângulos – [(n+2) x 180°] 
n = 5 (cinco pontos) 
ea = 1260º 00’ 01” - 1260º = 0º 00’ 01” 
 
Tolerância 
ANGULAR: 
 Ɛa = p x √m 
 Ɛa = 2”. √� = 4,47” 
 
0º 00’ 01” < 0º 00’ 
04,47” 
 
logo: ea < Ɛa 
 
então OK! 
 
 
Pto Alinh Dist Ângulo Correção Corrigido 
1 
2 1-2 24,467 281°39’26” - 0°00’00,2” 281°39’25,8” 
3 2-3 13,745 163°43’05” - 0°00’00,2” 163°43’04,8” 
4 3-4 35,526 307°55’01” - 0°00’00,2” 307°55’00,8” 
5 4-5 24,916 230°40’06” - 0°00’00,2” 230°40’05,8” 
1 5-1 35,399 276°02’23” - 0°00’00,2” 276°02’22,8” 
 Σ - 0º 00’ 01” 1260º 00’ 00”���������������������������	
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Erro de fechamento LINEAR 
Após a correção do Erro Angular, a partir do ponto de partida (P1), calculam-se as 
coordenadas com, no mínimo, 3 casas decimais, dos demais pontos até retornar ao 
ponto de partida. A diferença entre as coordenadas calculadas e as fornecidas para 
este ponto resultará no chamado erro planimétrico. Como os ângulos foram ajustados, 
este erro será decorrente de imprecisões na medição das distâncias. 
 
 
O erro planimétrico deve ser decomposto em uma componente na direção X e 
outra na direção Y. 
 
Os valores de eX e eY podem ser calculados por: 
eX = X1Calculado – X1Fornecido 
eY = Y1Calculado – Y1Fornecido 
X1Calculado e Y1Calculado = São as coordenadas calculadas 
X1Fornecido e Y1Fornecido = São as coordenadas fornecidas ou adotadas 
 
Depois de calculado o erro planimétrico, é necessário transformar o erro 
planimétrico em erro linear (eL). Para isso, dividimos o erro planimétrico pelo perímetro 
da poligonal. 
 
 �� �
��
��
 
Onde: 
eL = Erro Linear; 
ep = Tolerância Linear (erro planimétrico); 
Σd = perímetro da poligonal. 
Também é necessário verificar 
se o erro linear está abaixo de uma 
determinada tolerância linear. 
 
eL < eP 
 
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��
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�
Correção do erro LINEAR 
Se o erro cometido for menor que o permitido, parte-se então para a distribuição do 
erro. As correções às coordenadas serão proporcionais às distâncias medidas. Quanto 
maior for a distância, maior será a correção. Será aplicada uma correção para as 
coordenadas X e outra para as coordenadas Y, conforme equações abaixo: 
 
Sendo: 
CXi = Correção para a coordenada Xi 
CYi = Correçao para a coordenada Yi 
ex = erro em X 
ey = erro em Y 
Σd = somatória das distâncias 
d (i-1 , i) = distâncias parcial i-j 
 
As coordenadas corrigidas serão dadas por: 
 
 
 
Resumo para cálculo de poligonal fechada: 
a. Determinação das coordenadas do ponto de partida 
b. Determinação da orientação da poligonal 
c. Cálculo do erro de fechamento angular 
d. Distribuição do erro de fechamento angular 
e. Cálculo dos ângulos corrigidos 
f. Cálculo dos azimutes 
g. Cálculo das coordenadas parciais (X, Y) com 3 casas decimais 
h. Cálculo do erro de fechamento linear 
i. Distribuição do erro de fechamento linear 
j. Cálculo das coordenadas corrigidas 
 
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���������������������������������������������
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������ � ����������
�
Exemplo: 
Para o exemplo anterior, faça as correções das coordenadas. 
Pto Alinh. Dist. ∆E ∆N E N CE CN EC NC 
1 1000,000 100,000 1000,000 100,000 
2 1-2 24,467 0,6056 24,4595 1.000,6056 124,4595 
3 2-3 13,745 13,3886 -3,1096 1.013,9942 121,3499 
4 3-4 35,526 35,4703 1,9870 1.049,4645 123,3369 
5 4-5 24,916 -14,1879 -20,4819 1.035,2766 102,8550 
1 5-1 35,399 -35,2839 -2,8521 999,9927 100,0029 1000,000 100,000 
134,053 -0,0073 0,0029 
 
a. Cálculo das coordenadas parciais (X, Y) com 3 casas decimais 
X1 = X0 + ∆X ► E1 = E0 + ∆E 
Y1 = Y0 + ∆Y ► N1 = N0 + ∆N 
∆X = d . sen (Az) ► ∆E = d.sen(Az) 
∆Y = d . cos (Az) ► ∆N = d.cos(Az) 
 
b. Cálculo do erro de fechamento linear (tolerância linear (εP )1:5000. 
eP = 	�
� 	
 	��� 
eP = 	��������� � �������� 	
 	��������� � ������� 
eP = √0,00005329+0,00000841 eP = 0,007855 = Tolerância Linear 
 
eL = erro linear = 
��
��
 	� 					 ��������
�������
 = ������� ��		 � 		 �
��!�""���
 
 
1:17.066,08 ≤ 1:5000 ► eL ≤ εP, então ok! 
 0,00005859 ≤ 0,0002 
 
c. Distribuição do erro de fechamento linear 
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'/��)�'0��)�1�&+&&�%�(�,� +�%%�-����+& �.�)�1&+&&&"! "%�)�1&+&&&$�
 
Pto Alinh. Dist. Azimute ∆E ∆N E N CE CN 
1 1000,000 100,000 
2 1-2 24,467 1º25'06" 0,6056 24,4595 1.000,6056 124,4595 0,0013 -0,0005 
3 2-3 13,745 103º04'32" 13,3886 -3,1096 1.013,9942 121,3499 0,0008 -0,0003 
4 3-4 35,526 86º47'37" 35,4703 1,9870 1.049,4645 123,3369 0,0019 -0,0008 
5 4-5 24,916 214º42'38" -14,1879 -20,4819 1.035,2766 102,8550 0,0014 -0,0005 
1 5-1 35,399 265º22'43" -35,2839 -2,8521 999,9927 100,0029 0,0019 -0,0008 
 134,053 -0,0073 0,0029 0,0073 -0,0029 
 
d. Cálculo das coordenadas corrigidas 
 
Ec2 = Ec1 + Dist1-2 x sen (Az1-2) + CE2 
Ec2 = 1.000 + 24,467 x sen (1º25'06") + (0,0013) 
Ec2 = 1.000 + (24,467 x 0,024752) + (0,0013) 
Ec2 = 1.000 + 0,6056 + (0,0013) = 1.000,607 
 
Nc2 = Nc1 + Dist1-2 x cos (Az1-2) + CN2 
Nc2 = 100 + 24,467 x cos (1º25'06") + (-0,0005) 
Nc2 = 100 + (24,467 x 0,9996936) + (-0,0005) 
Nc2 = 100 + 24,4595 + (-0,0005) = 124,459 
 
Ec3 = Ec2 + Dist2-3 x sen (Az2-3) + CE3 
Ec3 = 1.000,607 + 13,745 x sen (103º04'32") + (0,0008) 
Ec3 = 1.000,607 + (13,745 x 0,9740725) + (0,0008) 
Ec3 = 1.000,607 + 13,3886 + (0,0008) = 1.013,996 
 
Nc3 = Nc2 + Dist2-3 x cos (Az2-3) + CN3 
Nc3 = 124,459 + 13,745 x cos (103º04'32") + (-0,0003) 
Nc3 = 124,459 + (13,745 x -0,22623575) + (-0,0003) 
Nc3 = 124,459 + (-3,1096) + (-0,0003) = 121,349 
���������������������������	
�
��
���������������������������������������������
�
������ � �������� �
�
 
Ec4 = Ec3 + Dist3-4 x sen (Az3-4) + CE4 
Ec4 = 1.013,996 + 35,526 x sen (86º47'37") + (0,0019) 
Ec4 = 1.013,996 + (35,526 x 0,99843453) + (0,0019) 
Ec4 = 1.013,996 + (35,4703) + (0,0019) = 1.049,468 
 
Nc4 = Nc3 + Dist3-4 x cos (Az3-4) + CN4 
Nc4 = 121,349 + 35,526 x cos (86º47'37") + (-0,0008) 
Nc4 = 121,349 + (35,526 x 0,0559328) + (-0,0008) 
Nc4 = 121,349 + 1,9870 + (-0,0008) = 123,335 
 
Ec5 = Ec4 + Dist4-5 x sen (Az4-5) + CE5 
Ec5 = 1.049,468 + 24,916 x sen (214º42'38") + (0,0014) 
Ec5 = 1.049,468 + (24,916 x -0,5694309) + (0,0014) 
Ec5 = 1.049,468 + (-14,1879) + (0,0014) = 1.035,281 
 
Nc5 = Nc4 + Dist4-5 x cos (Az4-5) + CN5 
Nc5 = 123,335 + 24,916 x cos (214º42'38") + (-0,0005) 
Nc5 = 123,335 + (24,916 x -0,8220391) + (-0,0005) 
Nc5 = 123,335 + (-20,4819) + (-0,0005) = 102,853 
 
Ec1 = Ec5 + Dist5-1 x sen (Az5-1) + CE1 
Ec1 = 1.035,281 + 35,399 x sen (265º22'43") + (0,0019) 
Ec1 = 1.035,281 + (35,399 x -0,996748) + (0,0019) 
Ec1 = 1.035,281 + (-35,2839) + (0,0019) = 999,999 = 1000,00 
 
Nc1 = Nc5 + Dist5-1 x cos (Az5-1) + CN1 
Nc1 = 102,853 + 35,399 x cos (265º22'43") + (-0,0008) 
Nc1 = 102,853 + (35,399 x -0,08057102) + (-0,0008) 
Nc1 = 102,853 + (-2,8521) + (-0,0008) = 100,0001 = 100,00 
 
Pto Alinh. Dist. Azimute E N CE CN EC NC 
1 1000,000 100,000 1000,000 100,000 
2 1-2 24,467 1º25'06" 1.000,6056 124,4595 0,0013 -0,0005 1000,607 124,459 
3 2-3 13,745 103º04'32" 1.013,9942 121,3499 0,0008 -0,0003 1013,996 121,349 
4 3-4 35,526 86º47'37" 1.049,4645 123,3369 0,0019 -0,0008 1049,468 123,335 
5 4-5 24,916 214º42'38" 1.035,2766 102,8550 0,0014 -0,0005 1035,281 102,853 
1 5-1 35,399 265º22'43" 999,9927 100,0029 0,0019 -0,0008 1000,0 100,0 
 134,053 -0,0073 0,0029 0,0073 -0,0029

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