Aula 03 - Integral definida - Calculo 2

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2. Integral Definida
¾ O problema de área
¾ Somas de Riemann
¾ Definição de integral definida
¾ Classes de funções integráveis por Riemann
¾ Propriedades principais de integrais definidas
¾ Teorema fundamental do Cálculo Integral
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Integral definida
I - Coisas que você precisa saber:
1. Pode-se expressar a soma como: nxxxx ++++ K321 ∑=
n
1i
ix
2. Considere um intervalo [a,b] e sejam bxxxxxa n == ,,,,, 3210 K
a = x0 x1 x2 xn-1 xn = b
x
x3
O conjunto P dos subintervalos 
[ ]10 , xx [ ]21,, xx [ ]32 ,, xx [ ]nn xx ,,, 1−K
é chamado uma partição do intervalo [ ]ba,
pontos desse intervalo.
2
Integral definida
a = x0 x1 x2 xn-1 xn = b
x
x3
Δx2Δx1 ΔxnΔx3
Observe que o comprimento de cada um desses subintervalos é dado 
por:
101 xxx Δ=−
212 xxx Δ=−
323 xxx Δ=−
n1nn x∆xx =− −
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Integral definida
I - Área sob o gráfico de uma função f de a até b 
b
f
a
x
A área de todos esses retângulos é dada pela soma:
)( 22 cfx ⋅Δ+ )( 33 cfx ⋅Δ+ )( nn cfx ⋅Δ++K ∑
=
⋅=
n
1i
ii )c(fx∆
que é chamada “soma de Riemann”.
Seja f uma função contínua não negativa no intervalo [a,b]
)( 11 cfx ⋅Δ
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Definição 1. Seja f uma função contínua não negativa em [a,b] .
Chama-se área sob o gráfico de f de a até b o limite:
Ax∆)c(flim
n
1i
ii
0x∆max i
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⋅∑
=→
onde ci ∈ [xi-1 , xi ].
Observe que quando se faz o máximo dos Δxi tender a zero, a soma de
Riemann se aproxima da área sob o gráfico de f de a até b.
∑
=
⋅Δ
n
1i
ii )c(fx A
Integral definida
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Definição 2. Seja f uma função definida no intervalo [a,b] e P uma
partição de [a,b]. Chama-se de integral definida de f de a até b o limite:
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⋅∑
=→
n
1i
ii
0x∆max
x∆)c(flim
i
, se esse limite existe e é finito.
Notação:
∫b
a
dxxf )(
Limite superior
Limite inferior
Sinal de integração
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⋅= ∑
=→
n
1i
ii
0x∆max
x∆)c(flim
i
Observe que a integral definida é um número, enquanto a
integral indefinida é um conjunto infinito de funções.
Adx)x(f
b
a
=∫
Observe também que, quando a função f é contínua e não
negativa em [a,b], a integral definida representa a área sob o gráfico de
f de a até b, ou seja,
Integral definida
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Integral definida
Definição 3. 
(i) Se a > b então: ∫∫ −= a
b
b
a
dxxfdxxf )()(
(ii) Se existe f(a) então: 0)( =∫a
a
dxxf
Teorema 1: Toda função f contínua em [a,b] é integrável em [a,b].
Propriedades: Sejam f e g funções integráveis em [a,b] e k um número 
real, então: ∫∫ ⋅=⋅ b
a
b
a
dxxfkdxxfki )()()(
∫∫∫ ±=± b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxfii )()()]()([)(
Teorema Fundamental do Cálculo (detalhes em breve) :
Seja f uma função contínua em [a,b] e P(x) uma primitiva de f em [a,b]. 
Então, =∫
b
a
dx)x(f )b(P )a(P−
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Integral definida
Exemplos:
Calcule as integrais:
=∫
3
0
2dxx)a =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ 3
0
3
3
x =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
3
0
3
3 33 9
=∫
2
0
x dx3)b
[ ] =ππ 2/3 2/)x(sen
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
)3ln(
3
)3ln(
3 02
)3ln(
8
)3ln(
19 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
=∫
π
π
2/3
2/
dx)xcos()c =π−π )2/(sen)2/3(sen
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ 2
0
x
)3ln(
3
211 −=−−=
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Integral definida
Exercícios:
1) Calcule as integrais:
audxxa .
4
15)
2
1
3 =∫
audxb x .
)5ln(
3005)
2
1
2 =∫
audxxc .10)cos(5)
2/
2/
=∫
−
π
π
audxxd .
2
7)sin(7)
2/5
3/
=∫π
π
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Teorema: 
Integral definida
Observações: 
1) 
2) 
10
Propriedades: 
Integral definida
11
Propriedades: 
Integral definida
12
Áreas entre curvas: 
Integral definida
13
Áreas entre curvas: 
Integral definida
14
Áreas entre curvas: 
Integral definida
15
Integral definida
16
Integral definida
17
Integral definida
18
Integral definida
Exemplo: Escreva como soma ou diferença de integrais definidas a área da
região definida pelo gráfico abaixo.
19
Integral definida
Solução:
20
Integral definida
Solução:
21
Exercícios
1)
2)
3)
4)
22
Exercícios
5)
6)
23
Exercícios
7)
8)
24