Apostila - Elementos de Engenharia Cartográfica

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS 
CENTRO DE DESENVOLVIMENTO TECNOLÓGICO 
ENGENHARIA HÍDRICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ELEMENTOS DE 
ENGENHARIA CARTOGRÁFICA 
 
APOSTILA 
 
Pedro Antônio Roehe Reginato 
Siclério Ahlert 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pelotas, RS 
 
Fevereiro de 2014 
 
 
 
 
 
 
2 
FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA E GEODÉSIA 
 
1. – AGRIMENSURA ........................................................................................................................ 4 
1.1. – TOPOGRAFIA ................................................................................................................................................... 4 
1.1.1. - Topometria .................................................................................................................................................... 4 
1.1.2 - Topologia ........................................................................................................................................................ 6 
1.1.3 - Fotogrametria ................................................................................................................................................ 6 
1.2. - GEODÉSIA .......................................................................................................................................................... 6 
1.2.1. - Distinção entre Geodésia e Topografia ....................................................................................................... 7 
1.2.2 - Forma da Terra ............................................................................................................................................. 7 
1.3 - UNIDADES DE MEDIDAS ................................................................................................................................. 7 
1.3.1 - Unidades de medidas angulares ................................................................................................................... 7 
1.3.2 Unidades de medidas lineares ......................................................................................................................... 8 
1.3.3 - Unidades de medidas de superfície ............................................................................................................... 8 
1.4 - ESCALS ................................................................................................................................................................ 9 
1.4.1 - Escala Natural, Reduzida e Ampliada ....................................................................................................... 10 
1.4.2 - Ampliações e Reduções da Escala .............................................................................................................. 10 
1.4.3 - Cálculo de áreas com escala ........................................................................................................................ 10 
1.5 – ORIENTAÇÃO .................................................................................................................................................. 10 
1.5.1 - Azimutes ....................................................................................................................................................... 10 
1.5.2 - Rumos ........................................................................................................................................................... 11 
1.5.3 - Transformação de Azimute em Rumo ....................................................................................................... 11 
1.5.4 - Transformação de Rumo em Azimute ....................................................................................................... 12 
1.6. - COORDENADAS GEOGRÁFICAS ............................................................................................................... 12 
1.7. - DECLINAÇÃO MAGNÉTICA ........................................................................................................................ 13 
1.8 - COORDENADAS RETANGULARES ............................................................................................................. 14 
1.9 - MARCOS TOPOGRÁFICOS ........................................................................................................................... 14 
1.10. - CONVENÇÕES TOPOGRÁFICAS .............................................................................................................. 17 
2 - INSTRUMENTOS TOPOGRÁFICOS .................................................................................... 18 
2.1 - INSTRUMENTOS PARA MEDIDAS DE ÂNGULOS ................................................................................... 18 
2.1.1- Bússolas ......................................................................................................................................................... 18 
2.1.2 - Trânsito ........................................................................................................................................................ 19 
2.1.3 - Teodolito ....................................................................................................................................................... 19 
2.2 - INSTRUMENTOS PARA MEDIDAS DE DISTÂNCIAS .............................................................................. 21 
2.2.1 - Instrumentos Convencionais....................................................................................................................... 21 
2.2.2 - Instrumentos Eletrônicos ............................................................................................................................ 23 
3 - REPRESENTAÇÃO CARTOGRÁFICA................................................................................. 24 
3.1 – Planimetria ......................................................................................................................................................... 24 
3.1.1 – Hidrografia .................................................................................................................................................. 24 
3.1.2 – Solos ............................................................................................................................................................. 24 
3.1.3 – Vegetação ..................................................................................................................................................... 24 
3.1.4 – Unidades Políticas ....................................................................................................................................... 24 
3.1.5 – Localidades .................................................................................................................................................. 24 
3.1.6 – Sistemas Viários e de Comunicação .......................................................................................................... 25 
3.2 – Altimetria............................................................................................................................................................ 25 
3.2.1 – Curvas de Nível ........................................................................................................................................... 25 
3.3 – Pontos de Controle ............................................................................................................................................. 26 
4. PLANIMETRIA ........................................................................................................................... 27 
4.1. – Introdução ......................................................................................................................................................... 27 
4.2. - POLIGONAIS ...................................................................................................................................................27 
4.1.1 - Poligonal Fechada ou Principal .................................................................................................................. 27 
4.1.2 - Poligonal Secundária ................................................................................................................................... 27 
4.1.3 - Poligonal Aberta .......................................................................................................................................... 28 
4.3. - MEDIÇÃO DE DISTÂNCIAS ......................................................................................................................... 28 
4.3.1 - Instrumentos Utilizados na Medição Direta de Distâncias ...................................................................... 28 
4.3.2 - Medição com Trenas ................................................................................................................................... 28 
4.4. - MEDIDAS DE ÂNGULOS ............................................................................................................................... 33 
4.4.1 - Levantamento por Bússola ........................................................................................................................ 33 
4.5. - LEVANTAMENTO DE POLIGONAIS .......................................................................................................... 33 
 
 
 
3 
4.5.1 - Levantamento pelo método do caminhamento perimétrico ..................................................................... 34 
4.5.2 - Levantamento pelo método da deflexão..................................................................................................... 35 
4.5.3 - Levantamento pelo método das Irradiações .............................................................................................. 36 
4.5.4 - Levantamento pelo método da Intersecção ............................................................................................... 36 
4.6. - CÁLCULO DE POLIGONAIS ........................................................................................................................ 37 
4.6.1 - Poligonal Aberta .......................................................................................................................................... 37 
4.6.2 - Poligonal Fechada ....................................................................................................................................... 37 
4.7. – CÁLCULO DE ÁREAS ................................................................................................................................... 42 
4.8. – NOÇOES DE DESENHO TÉCNICO TOPOGRÁFICO .............................................................................. 43 
4.8.2 – Planta Topográfica ..................................................................................................................................... 44 
5. ALTIMETRIA ............................................................................................................................. 46 
5.1.1 - Altitude ......................................................................................................................................................... 46 
5.1.2 - Cota............................................................................................................................................................... 46 
5.2. - NÍVEL VERDADEIRO E APARENTE .......................................................................................................... 46 
5.4 - INSTRUMENTOS (NÍVEIS E MIRAS)........................................................................................................... 47 
5.4.1 - Níveis ............................................................................................................................................................ 47 
5.4.2 - Miras............................................................................................................................................................. 48 
5.5. - NIVELAMENTOS ............................................................................................................................................ 50 
5.5.1 - Nivelamento Geométrico ou de Alturas ..................................................................................................... 50 
5.5.2 - Nivelamento Trigonométrico ...................................................................................................................... 52 
5.5.3 - Nivelamento Barométrico ........................................................................................................................... 52 
5.6. - NIVELAMENTO GEOMÉTRICO SIMPLES E COMPOSTO ................................................................... 53 
5.6.1 - Nivelamento Geométrico Simples ............................................................................................................... 53 
5.6.2 - Nivelamento Geométrico Composto ........................................................................................................... 54 
5.7 - VERIFICAÇÃO DO NIVELAMENTO ........................................................................................................... 56 
5.8 - COMPENSAÇÃO DO NIVELAMENTO ........................................................................................................ 56 
5.9. - PERFIL LONGITUDINAL .............................................................................................................................. 57 
5.9.1 - Gradiente ...................................................................................................................................................... 58 
5.9.2 - Rampas ......................................................................................................................................................... 59 
5.9.3 - Greide ........................................................................................................................................................... 59 
6. TAQUEOMETRIA ...................................................................................................................... 62 
6.1. - Princípios Gerais da Estadimetria ................................................................................................................... 62 
6.2. - Distâncias Horizontais ...................................................................................................................................... 62 
6.3. - Distâncias Inclinadas ......................................................................................................................................... 62 
6.4. - Diferença de Nível ............................................................................................................................................. 63 
7. CURVAS DE NÍVEL ................................................................................................................... 67 
7.1. - Intervalos entre as Curvas de Nível ................................................................................................................. 69 
7.2. - Erros de Interpretação Gráfica nas Curvas de Nível ..................................................................................... 69 
7.3.1. - Inclinação do Terreno ................................................................................................................................... 69 
7.3.2. - Construção de Perfil ..................................................................................................................................... 70 
7.3.3. - Interpolação de Curvas de Nível .................................................................................................................. 70 
7.3.4. - Traçado de Drenagem (rios, córregos e arroios) ..........................................................................................70 
7.3.5. - Identificação de Formas do Terreno ............................................................................................................. 71 
8 . CARTOGRAFIA ........................................................................................................................ 74 
9. TOPOGRAFIA POR SATÉLITE .............................................................................................. 76 
9.1. ESTRUTURA DO SINAL ................................................................................................................................... 76 
9.2. CÓDIGOS DE MODULAÇÃO .......................................................................................................................... 76 
9.3. SEGMENTOS ...................................................................................................................................................... 77 
9.4. MÉTODOS DE POSICIONAMENTO .............................................................................................................. 77 
9.5. ERROS INERENTES .......................................................................................................................................... 78 
 
 
 
 
4 
1. – AGRIMENSURA 
 
1.1. – TOPOGRAFIA 
 A topografia consiste no conhecimento dos instrumentos e métodos que se destinam a 
efetuar a representação do terreno sobre uma superfície plana. 
 Esta superfície plana é denominada de Plano Topográfico, sendo caracterizada por um 
plano perpendicular a direção do fio de prumo em um determinado ponto da superfície terrestre. O 
plano topográfico não deverá exceder a 25 km. 
 A topografia divide-se em: 
 Topometria 
 Topologia 
 Fotogrametria 
 
 
Figura 1 – Plano Topográfico (Fonte: Brandalize, 1998). 
 
 1.1.1. - Topometria 
 A topometria tem por objetivo o estudo e aplicação dos processos de medidas, baseado na 
geometria aplicada, onde os elementos geométricos (ângulos e distâncias) são obtidos por 
instrumentos topográficos tais como teodolitos, trenas, miras e etc.. 
 A topometria divide-se em: 
 Planimetria 
 Altimetria 
Tendo como ciências auxiliares: 
 Goniologia 
 Taqueometria 
 1.1.1.1 - Planimetria 
 É a determinação das projeções horizontais dos pontos do terreno. Consiste em obter 
ângulos azimutais e distâncias horizontais. 
 A planimetria atua no plano horizontal e não leva em consideração o relevo. Os trabalhos 
provenientes da planimetria dão origem às plantas planimétricas (Figura 2). 
 1.1.1.2 - Altimetria 
 As medidas são efetuadas num plano vertical, onde se obtém os ângulos azimutais e verticais 
e as distâncias horizontais e verticais (diferença de nível). 
 Os trabalhos da altimetria juntado a planimetria dão origem as plantas planialtimétricas. A 
altimetria isoladamente origina o perfil (Figura 3). 
 
 
 
5 
 
Figura 2 – Representação planimétrica de uma superfície (Fonte: Domingues, 1979). 
 
 
Figura 3 – Representação de um perfil longitudinal (Fonte: Comastri & Tuler, 1999). 
 
 1.1.1.3 - Goniologia 
 É a parte da topografia que trata dos ângulos. Divide-se em: goniometria e goniografia. 
 A goniometria tem como objetivo a medição do ângulo azimutal (no plano do horizonte) e 
do ângulo vertical. Entende-se por ângulo azimutal os ângulos tomados no plano horizontal (plano 
topográfico) e por ângulo vertical os ângulos medidos no plano vertical (plano perpendicular ao 
plano topográfico). 
 A goniografia trata do transporte do ângulo para o desenho (planta). 
 
 
 
6 
 1.1.1.4 - Taqueometria 
 É a parte da topografia que trata das medidas indiretas das distâncias horizontais e verticais. 
Os aparelhos usados na taqueometria chamam-se “taqueômetros” (atualmente todo teodolito é um 
taqueômetro) que são teodolitos providos de fios estadimétricos e ângulo vertical. O produto a ser 
obtido com o levantamento taqueométrico denomina-se de mapa planialtimétrico (Figura 4). 
 
Figura 4 – Representação planialtimétrica de uma superfície (Fonte: Domingues, 1979) 
 
 1.1.2 - Topologia 
 Estuda as formas exteriores da superfície terrestre e as leis que devem obedecer ao seu 
modelado. Por exemplo: segundo o princípio de Bolanger, “quanto mais próximo for o rio da 
montanha esta é mais escarpada, e quanto mais longe, menos escarpada”. 
 O estudo da topologia é de fundamental importância para o projeto de estradas, canais de 
drenagem e irrigação e a implantação de tubulações. 
 
1.1.3 - Fotogrametria 
 É a parte da topografia que tem por objetivo fotografar pequenos trechos da superfície 
terrestre. Pode ser dividida em fotogrametria aérea e terrestre. 
 A fotogrametria aérea ou aerofotogrametria utiliza-se de câmaras especiais e vôos de avião 
para o seu levantamento. É utilizada no estudo de projetos de barragens, estradas, portos, 
reflorestamento, cadastro técnico municipal, projetos fundiários e etc.. 
 Já a fotogrametria terrestre utiliza-se de câmaras acopladas a teodolitos, que recebem a 
denominação de fototeodolitos. 
 
1.2. - GEODÉSIA 
 É a parte da agrimensura que tem por objetivo o estudo da forma e dimensão da Terra 
(Figura 5). Divide-se em Geodésia superior e elementar. 
 A Geodésia superior, de cunho meramente científico, estuda a forma e dimensão da terra, 
usando atualmente satélites para efetuar as medidas geodésicas. 
 A Geodésia elementar procura determinar com precisão a posição de pontos sobre a 
superfície terrestre, levando em consideração a sua forma, desta forma proporcionando a topografia 
uma rede de pontos nos quais irá apoiar os seus levantamentos topográficos. 
 
 
 
7 
 Os pontos da rede geodésica podem ser de 1
a
, 2
a
 e 3
a
 ordem (em função da precisão) e estão 
amarrados num ponto chamado de Datum, que corresponde a um ponto de partida de uma rede 
geodésica (no Brasil, o Datum está localizado em Chuá no Estado de Minas Gerais). 
 
Figura 5 – Modelos Terrestres (Fonte: Brandalize, 1998) 
 
 1.2.1. - Distinção entre Geodésia e Topografia 
 A Geodésia, em seus trabalhos, leva em consideração a forma da terra, enquanto a topografia 
tem a sua atuação restrita a pequenos trechos da superfície terrestre, sendo que para seus cálculos, 
este trecho é considerado plano. A este plano dá-se o nome de Plano Topográfico. 
 
1.2.2 - Forma da Terra 
 A terra tem a forma aproximada de um esferóide com achatamento nos pólos. Para esta 
figura os geólogos denominaram “Geóide” que etimologicamente significa “forma da terra”. 
 O geóide é a forma da terra correspondendo à superfície definida pelo nível médio dos 
mares, prolongado através dos continentes. Como o geóide é uma figura que não é conhecida da 
matemática, foi adotado como forma da terra o Elipsóide, que é o sólido imaginário que mais se 
aproxima do geóide, sendo este sólido uma figura conhecida da matemática onde seus elementos 
são perfeitamente deduzíeis. 
 
1.3 - UNIDADES DE MEDIDAS 
 As unidades de medidas usadas em topografia são: as angulares, as lineares e de superfície 
(áreas). 
 1.3.1 - Unidades de medidas angulares 
 O ângulo é o trecho de plano compreendido entre duas semirretas que têm uma origem 
comum (vértice). Estes ângulos podem ser planos, diedros, triedros ou esféricos. 
 O ângulo plano é aquele medido sobre uma superfície plana que pode ser horizontal ou 
vertical. No caso, quando horizontal os ângulos medidos neste plano são chamados de ângulos 
azimutais, enquanto que na vertical, os ângulos medidos, neste plano, são denominados de ângulos 
verticais. 
 Os ângulos planos podem ser: retos (tem os lados perpendiculares entre si; mede 90
o
 ou 100 
grados), agudos (medem menos que um ângulo reto) e obtusos (medemmais que um ângulo reto). 
 O ângulo diedro é formado pela intersecção de duas faces. 
 O ângulo triedro é o ângulo formado pela intersecção de três faces. Para intersecção de mais 
de três faces denomina-se ângulo sólido 
 O ângulo esférico é aquele medido sobre uma superfície esférica. 
 
 
 
8 
 O grau é a unidade de medida angular, no sistema sexagesimal, usado no Brasil para 
medidas de ângulos. O grau está dividido em 60 minutos e o minuto está dividido em 60 segundos. 
No caso temos: 1 grau = 60 minutos 
 1 minuto = 60 segundos 
 A notação é dada por: grau (
o), minuto (‘), segundo (“), como pode ser observada no 
exemplo: 12
o
 16’ 36” 
 O grado é outra unidade de medida angular, no sistema centesimal, utilizada por alguns 
países para medida de ângulos. A comparação entre graus e grados encontra-se na Tabela 1. 
 
Tabela 1 - Comparação entre Grau e Grado 
 GRAU GRADO 
Circunferência 360
o
 400
g
 
Ângulo Reto 90
o
 100
g
 
Linha reta 180
o
 200
g
 
 O radiano é uma unidade de medida de ângulo e arco e é definido como a medida do ângulo 
central que corresponde a um arco de circunferência que retificado é igual ao raio. Equivale no 
sistema sexagesimal a 57
o
 17’ 44,8” . 
 Os grados podem ser transformados em graus, levando-se em conta que 400
g
 = 360
o
. Já os 
graus podem ser modificados para radianos admitindo-se que 180
o
 =  rad. 
 
 1.3.2 Unidades de medidas lineares 
 A unidade padrão para medida linear é o metro que corresponde à décima-milionésima parte 
do quadrante do meridiano terrestre, segundo deliberação da Assembléia Nacional da França que 
adotou a partir de 1791. Atualmente o metro é definido como a quantidade de 1.650.763,73 
comprimentos de onda, no vácuo. 
 Além do metro são usados comumente os múltiplos: 
 Decâmetro = 10 metros 
 Hectômetro = 100 metros 
 Quilômetro = 1000 metros 
E os submúltiplos: 
 Decímetro = 0,10 metros 
 Centímetro = 0,01 metros 
 Milímetro = 0,001 metros 
 Apesar de o sistema métrico decimal ser o sistema oficial de medida no Brasil, várias 
medidas antigas ainda são usadas com freqüência nas zonas rurais, como: 
 Uma polegada = 0,00275m 
 Um palmo = 8 polegadas = 0,22m 
 Uma vara = 5 palmos = 1,1m 
 Uma braça = 2 varas = 2,20m 
 Uma corda = 15 braças = 33m 
 Uma quadra = 4 cordas = 132m 
 Na medida de itinerários eram utilizadas as seguintes medidas: 
Uma légua de sesmaria = 3.000 braças = 6.600m 
 Uma légua geométrica = 2.727,27 braças = 6000m 
 Uma milha brasileira = 1000 braças = 2200m 
 Uma milha marítima = 1” no equador = 1852m 
 
 1.3.3 - Unidades de medidas de superfície 
 As unidades de medida de superfície são: 
Metro quadrado = m
2
 
Are: corresponde à superfície de um quadrado de 10 metros de lado, ou seja, 100 m
2
. 
 
 
 
9 
 É muito usado o múltiplo destas unidades, o Hectare que equivale a 10.000 m
2
 e corresponde 
a superfície de um quadrado de 100 m de lado. A conversão de um número qualquer de m
2
 para ha 
é feita separando-se, a partir da direita, em casas de algarismo, assim: 
 1278493 m
2
 = 127 hectares, 84 ares e 93 centiares. 
 
1.4 - ESCALA 
 Escala de uma planta é a relação constante entre as grandezas no terreno e os respectivos 
valores gráficos representados nesta planta. 
 1 = d 
 ------- ------- 
 E D 
Onde: 
 M = denominador da escala 
 d = medida do desenho 
 D = medida do terreno 
 
 As escalas podem ser numéricas ou gráficas. Uma escala é numérica quando é indicada em 
forma de fração 1/N ou 1:N, na qual o numerador, sempre igual à unidade, corresponde à 
representação da grandeza 1 do terreno, e o denominador é a grandeza N. 
 As escalas mais usadas em Topografia são aquelas que têm o denominador múltiplo de 10, 
20 e 50, tais como: 1/100; 1/200; 1/500; 1/1.000; 1/2.000; 1/5.000; 1/10.000 e 1/20.000. As escalas 
menores são mais usadas em Geodésia, como 1/100.000; 1/200.000; 1/500.000 e 1/1.000000. 
 Na escala 1/2.000, por exemplo, um alinhamento com a extensão de 2.000 metros será 
representado em planta por 1 metro. 
 As escalas gráficas (Figura 6) podem ser lineares (ou ordinárias) e transversais. A 
representação de uma escala gráfica linear é feita da seguinte maneira: traça-se uma linha reta e 
sobre ela marca-se um ponto zero, origem da escala. Em seguida, divide-se a reta para a direita do 
zero em dez partes iguais, de um centímetro e, para a esquerda, marca-se uma destas partes, que é 
denominada “talão”. 
 
Figura 6 – Tipos de Escalas Gráficas (Brandalize, 1998). 
 
 Seja a construção de uma escala gráfica linear de 1/10.000, a partir da origem 0 marca-se 
para a direita 10 divisões de 1 centímetro e 1 divisão da mesma grandeza para a esquerda, esta 
subdividida em dez partes iguais. 
 Nesta escala, cada divisão de um centímetro equivale a 100 metros e cada subdivisão do 
talão (1 milímetro) a 10 metros. Assim, uma extensão de 875m medida no terreno será representada 
em planta pela reta ab, correspondendo a 800 metros da escala e 75 metros do talão, onde a fração 
de 5,00 metros é estimada entre a sétima e a oitava divisão do talão. 
 O traçado da escala gráfica transversal é feito a partir de um retângulo tendo por base a 
escala gráfica linear correspondente e por altura um segmento dividido em 10 partes iguais. Para 
 
 
 
10 
isto levantam-se normais por todas as subdivisões da escala e paralelas à base pelos pontos de 
divisão da altura do retângulo. Finalmente, ligam-se transversalmente os pontos das divisões 
inferiores e superiores. 
 Por fim, a escala de uma planta é função da precisão do levantamento, tendo em conta que o 
erro nele cometido não deve ser percebido em planta. Considerando que a menor grandeza gráfica 
que pode ser medida com o duplo decímetro é de 0,0001 ou 0,0002m, o erro que não deve existir na 
planta é na escala considerada: 
 E = 0,0001 ou E= 0,0002 
 Nestas condições, por exemplo, se o erro admissível sobre as distâncias é da ordem de 
1,00m a escala a ser adotada, conforme o erro gráfico considerado deverá ser: 
 E = 0,0001/1 = 1/10.000 ou E= 0,0002/1 = 1/5.000 
 
 1.4.1 - Escala Natural, Reduzida e Ampliada. 
ESCALA NATURAL: quando o numerador e denominador são iguais. O título de uma escala 
natural será de “1:1”, o que significa dizer que as dimensões do desenho serão as mesmas da 
realidade, ou seja, a dimensão gráfica é a mesma do objeto. 
ESCALA AMPLIADA: quando o denominador for menor que o numerador. O título de uma escala 
ampliada poderia ser, por exemplo, “1:0,5”, significando que o desenho fica maior que o objeto 
representado. 
ESCALA REDUZIDA: quando o denominador for maior que o numerador. Um exemplo do título 
de uma escala reduzida poderia ser “1:50.000”, significando que 50.000 unidades de um objeto real 
serão representadas no desenho com apenas uma unidade. 
 
 1.4.2 - Ampliações e Reduções da Escala. 
 Para sabermos a nova escala de um mapa que tenha sofrido qualquer alteração em suas 
dimensões, precisamos da escala do original e do índice de alteração. Este índice é obtido através da 
divisão de uma dimensão qualquer, comum a ambos os mapas. 
 Para tanto, selecionamos em ambos os mapas uma dimensão linear que apareça claramente 
(por exemplo, a distância entre dois pontos) e obtemos suas medidas. A seguir, divide-se um valor 
pelo outro (o maior pelo menor), o resultado irá informar de quantas vezes o mapa foi ampliado. 
Exemplo: 
 Um mapa em uma escala gráfica registrando os valores de 0,70e 140 km foi reduzido. Um 
segmento linear foi medido e obteve-se no original o valor de 7 cm e no reduzido 3,5cm. Dividindo-
se 7 por 3,5 obtém-se 2, logo, devemos na escala gráfica do mapa que sofreu redução multiplicar 
seus valores por 2. Então temos: 0, 140 e 280 km. 
 
 1.4.3 - Cálculo de áreas com escala 
 Quando precisamos calcular áreas em mapas com escalas determinadas, deve-se levar em 
conta a mesma razão existente para as medidas lineares, onde: 
 1 = a 
 ------- ------- 
 M
2
 A 
onde: 
 M
2
 = denominador da escala elevado ao quadrado 
 a = área medida no desenho 
 A = área real 
 
 
1.5 – ORIENTAÇÃO 
 
 1.5.1 - Azimutes 
 
 
 
11 
 O azimute de um alinhamento é o ângulo que este forma com a direção norte (Figura 7). 
Varia de 0
0
 a 360
0
, contado no sentido horário, a partir do norte. 
 A fórmula para cálculo do azimute para outros alinhamentos é dada por: 
 AZn = AZn-1 + an  180
o 
 
Sendo: 
AZn = azimute da linha 
AZn-1 = azimute da linha anterior 
an = ângulo horizontal medido no sentido horário 
 Se AZn-1 + an for maior que 180
o
, subtraí-se 180
o
, enquanto que se AZn-1 + an for menor 
que 180
o
, soma-se 180
0
. 
 Esta fórmula pode ser utilizada quando possuímos o azimute da linha anterior e o angulo que 
esta linha faz com aquela que queremos determinar o azimute. 
 Exemplo: sendo AZ1-2 = 74
0
 36’ 112” e an = 2120 26’ 39”, temos: 
 AZ2-3 = 74
0
 36’ 112” + 2120 26’ 39”  180o AZ2-3 = 107
o
 02’ 51” 
 Quando, no cálculo do azimute, resultar um valor superior a 360
0
 deve-se subtrair deste 
valor de 360
0
. 
 Exemplo: sendo AZ1-2 = 340
o
 16’ 43” e an = 330010’ 14” 
 
 AZ2-3 = AZ1-2 + an  180
o 
  AZ2-3 = 340
o
 16’ 43 + 330010’ 14”  180o  
 AZ2-3 = 130
o
 26’ 57” 
 
Figura 7 – Azimutes (Fonte: Brandalise, 1998) 
 
 1.5.2 - Rumos 
 O rumo de um alinhamento é o ângulo que este forma com a direção do norte ou sul, que 
estiver mais próxima (Figura 8). Varia de 0
o
 a 90
o
, contados a partir de: 
 Norte para direita = NE 
 Norte para esquerda = NW 
 Sul para direita = SE 
 Sul para esquerda = SW 
 O rumo deverá constar de um valor numérico, de 0
o
 a 90
o
, e duas letras. A primeira letra 
deverá ser N ou S, que indicará a origem e a segunda letra deverá ser E ou W. 
 
 1.5.3 - Transformação de Azimute em Rumo 
Quadrante NE Rumo = Azimute 
Quadrante SE Rumo = 180
o
 - Azimute 
Quadrante SW Rumo = Azimute - 180
o
 
 
 
 
12 
Quadrante NW Rumo = 360
o
 - Azimute. 
 
1.5.4 - Transformação de Rumo em Azimute 
Quadrante NE Azimute = Rumo 
Quadrante SE Azimute = 180
o
 - Rumo 
Quadrante SW Azimute = 180
o 
+ Rumo 
Quadrante NW Azimute = 360
o
 - Rumo. 
 
Figura 8 – Conceito de Rumo (Brandalise, 1998) 
 
Como exemplo solicita-se converter em azimute os seguintes rumos: 
a) 49
o
 56’ 33 “ NW 
 AZ = 360
o
 - R  AZ = 360o - 49o 56’ 33 “ NW  AZ = 310O 03’ 27” 
b) 36
o
 29’ 48” SE 
 AZ = 180
o
 - R  AZ = 180o - 36o 29’ 48” SE  AZ = 143o 30’ 12” 
Convertam em rumo os seguintes azimutes: 
a) 310
o
 03’ 27” 
 270
o
 a 360
o
 = Quadrante NW 
 R = 360
o
 - AZ  R = 360o - 310o 03’ 27”  R = 49o 56’ 33” NW 
b) 143
o
 30’ 12” 
 90
o
 a 180
o
 = Quadrante SE 
 R = 180
o 
 - AZ  R = 180o - 143o 30’ 12”  R = 36o 29’ 48” SE 
 
1.6. - COORDENADAS GEOGRÁFICAS 
LATITUDE: distância de um lugar da superfície terrestre à linha do equador medida em graus 
sobre o meridiano que passa por esse lugar. A latitude () de um lugar A é o ângulo formado pela 
normal a superfície do elipsóide com o equador. 
Variação da Latitude: a latitude varia de 0° a  90º, contados a partir do equador sendo positiva no 
hemisfério norte e negativa no hemisfério sul. 
LONGITUDE: distância medida sobre a linha do equador, entre dois meridianos quaisquer, sendo 
um deles considerado como origem. A longitude () de um lugar A é o arco de equador medido do 
meridiano de origem (de Greenwich), até encontrar o meridiano do lugar prolongado até o equador. 
Variação da Longitude: a longitude varia de 0° a  180º, contados a partir do meridiano de origem, 
sendo positiva a oeste de Greenwich e negativa a leste de Greenwich. O sinal pode ser substituído 
pelas letras E ou W respectivamente. 
 
 
 
13 
 
Figura 9 – Conceito de Meridianos e Paralelos (Fonte: Oliveira, 1993) 
 
Figura 10 – Latitude e Longitude (Fonte: Oliveira, 1993) 
 
1.7. - DECLINAÇÃO MAGNÉTICA 
 É a diferença angular entre o Meridiano Geográfico e o Meridiano Magnético, por não serem 
coincidentes, em geral, para uma determinada localidade. 
 Esta diferença angular entre o Meridiano Geográfico e o Magnético varia ao longo dos anos, 
aumentando até certo limite para oeste (W) e, depois, retrocedendo para este (E), também até certo 
limite. 
 
 
 Nas cartas topográficas, em geral, (veja, por exemplo, as cartas topográficas em escala 
1:50.000 do Serviço Geográfico do Exército) estão presentes os dados referentes a declinação 
magnética, como pode ser observado abaixo: 
 
 
 
14 
 
 
 
Exemplos de Exercícios sobre Declinação Magnética 
1) O rumo magnético do alinhamento 0-1 é 7
o30’. Sabe-se que a declinação magnética é de 
15
o00’W. Calcular o azimute verdadeiro e o rumo verdadeiro para o alinhamento. 
Rumo Verdadeiro = Declinação Magnética - Rumo Magnético = 15
o
 - 7
o30’ = 7o30’NW 
Azimute Verdadeiro = 360
o
 - Rumo Verdadeiro Azv = 360
o
 - 7
o30’ = 352o30’ 
 
1.8 - COORDENADAS RETANGULARES 
 As coordenadas topográficas coincidem com o sistema de coordenadas cartesianas. Neste 
sistema de coordenadas existe um sistema de eixos perpendiculares entre si, denominados de eixo 
XX’ com orientação oeste-leste e eixo YY’ com orientação sul-norte. 
 As coordenadas são: 
a) abscissa: representada por X, é medida sobre o eixo XX’ da origem até a projeção do ponto sobre 
este eixo; 
b) ordenada: representada por Y, é medida sobre o eixo YY’ da origem até a projeção do ponto 
sobre este eixo. A orientação do eixo YY’ coincide com o norte verdadeiro. 
 
Figura 11 – Sistema de Coordenadas Retangulares (Fonte: Comastri & Gripp Junior, 2002) 
 
1.9 - MARCOS TOPOGRÁFICOS 
 Os marcos topográficos correspondem a sinais colocados no terreno, que correspondem aos 
vértices das triangulações realizadas. Estes marcos fornecem a informação referente à altitude do 
local, onde o mesmo se encontra (Figura 12). 
 Em nosso país são mais usados marcos topográficos construídos em concreto ou granito, 
como os adotados pela Diretoria do Serviço Geográfico do Exército. 
 
 
 
15 
 Estes marcos tem secção quadrada de 0,15m de lado e altura de 0,80m a 1,00m e com 0,10m 
aflorando do solo. Aproximadamente 0,25m abaixo da extremidade inferior do marco, crava-se um 
bloco de mesma seção e material do marco, com a altura de 0,10m, recoberto por uma camada de 
areia. O outro tipo de marco é constituído pelos blocos superior e inferior, com as dimensões 
constantes. Em ambos os caos, existe um sinal de referencia assinalado pelo cruzamento das 
diagonais traçadas na seção superior do marco, cuja projeção vertical corresponde a uma marca 
testemunha gravada no bloco inferior. Esta marca testemunha tem a finalidade de permitir a 
reconstrução do marco na eventualidade da sua destruição parcial. 
 
Figura 12 – Marco Topográfico do IBGE 
 
 
 
 
 
16 
 
 
 
 
 
17 
1.10. - CONVENÇÕES TOPOGRÁFICASConjunto de normas visando uma padronização que deve ser adotada quando se efetua 
trabalhos de levantamento topográfico (Figura 13). 
 
 
Figura 13 – Convenções Topográficas (Fonte: ABNT - NBR 13133/1994) 
 
 
 
18 
2 - INSTRUMENTOS TOPOGRÁFICOS 
 
2.1 - INSTRUMENTOS PARA MEDIDAS DE ÂNGULOS 
 Os instrumentos utilizados para medição de ângulos são: 
- bússolas; 
- trânsito; 
- teodolitos. 
 No passado foram usados, para medição de ângulos, os seguintes instrumentos: 
- pantômetro ou goniômetro 
- esquadro de agrimensor 
 
 2.1.1- Bússolas 
 A bússola é um instrumento que se emprega nos levantamentos topográficos, para 
determinar o azimute ou rumo do alinhamento inicial (Figura 14). 
 Consiste numa agulha de aço, imantada, que se move livremente em torno de um eixo 
vertical, colocado no centro de um limbo graduado. 
 
Figura 14 – Exemplo de um modelo de Bússola (Fonte: Brandalise, 1998) 
 
 O valor das indicações da bússola vai depender da: 
- sensibilidade da agulha; 
- da facilidade de movimento; 
- da parte da agulha que se apóia no pivô, que deve ser de ágata; 
- da constância com que ela se conserva no meridiano magnético (isto irá depender da força que a 
obriga a ficar nesta posição); 
- do grau de imantação da agulha que deve ser suficientemente forte. 
 A agulha magnética das bússolas, normalmente, tem a forma de um losango de aço 
alongado, cujo comprimento varia de acordo com as dimensões da bússola. Quando em repouso e 
livre de atritos e atrações, a agulha assume uma posição quase constante que coincide, 
aproximadamente, com a direção norte-sul magnética. 
 Inclinação da agulha: em todo ponto equidistante dos pólos magnéticos da terra, a agulha é 
igualmente atraída. No entanto, quando a agulha estiver colocada em ponto que diste desigualmente 
dos pólos magnéticos, ela será mais atraída pelo pólo mais próximo e inclinar-se-á para ele. Para 
anular esta inclinação, faz-se necessário equilibrá-la com um peso qualquer que será colocado no 
lado da agulha oposto ao pólo que estiver mais próximo, assim a agulha se conservará em um plano 
horizontal. 
 
 
 
19 
 Atração local: são devido à influência de objetos de ferro próximos à bússola ou mesmo certas 
concentrações minerais que contenham ferro em sua estrutura (pirita, magnetita, hematita, etc.) além 
de algumas rochas. 
 Além dessa influência aconselha-se a não realizar medições com bússolas, no interior dos 
carros, bem como sob os fios de alta tensão, pois há uma influência destes ambientes. 
 Tipos de Bússolas 
 As bússolas podem ser de vários tipos, como: 
- Azimutal: fornece o azimute do alinhamento. Tem o limbo graduado de 0 a 360
o
 e é usada, 
normalmente nos trânsitos. 
- Rumo: fornece o rumo do alinhamento, sendo que o limbo está graduado de 0
o
 à 90
o
, nos sentidos 
NE, NW, SW e SE. Para que se tenha a leitura direta do rumo, as letras E e W aparecem invertidas; 
- Prismática: a bússola prismática possui uma agulha móvel, com o limbo graduado de 0
o
 à 360
o
. A 
sua haste, quando liberada, aponta sempre para o norte magnético, levando consigo o círculo com o 
limbo. 
- Declinatória: esta bússola é acoplada ao teodolito e indica apenas a direção do norte magnético. 
 Condições a que toda bússola, em bom estado, deve satisfazer 
- a agulha deve ser sensível, isto é, o pivô deve ter a ponta bem aguda e a imantação da agulha deve 
ser bastante forte; 
- o plano vertical deve passar pelo pivô e pelas extremidades da agulha, isto é, o pivô deve ser 
perfeitamente vertical. 
- o pivô deve estar perfeitamente no centro do limbo ou circulo graduado. 
 
2.1.2 - Trânsito 
 É um instrumento utilizado para medição de ângulos horizontais e verticais, sendo que neste 
aparelho, a luneta gira 360
o
 em torno do eixo suporte. Não é prismático e os ângulos horizontais e 
verticais, são determinados diretamente sobre um círculo graduado, situado externamente. 
 Um sistema que permite a leitura de frações, normalmente de 20” em 20”, sendo um lupa 
utilizada para auxiliar a leitura. 
 O trânsito, em geral, é usado em pequenos levantamentos topográficos na região rural. Em 
hipótese alguma podemos utilizar o trânsito para serviços topográficos, destinados a projetos de 
engenharia, 
 
 2.1.3 - Teodolito 
 É um instrumento utilizado para medição dos ângulos horizontais e verticais com 
consequente obtenção das distâncias horizontais e diferenças de nível por taqueometria (Figura 15). 
 O teodolito sofreu um avanço tecnológico na última década, passando de teodolito 
prismático para os teodolitos eletrônicos informáticos. Dessa forma, os teodolitos podem ser: 
 - prismáticos 
 - eletrônicos 
 
Figura 15 – Teodolitos (Fonte: Brandalize, 1998) 
 
 
 
20 
 
Teodolito Prismático 
 A leitura dos ângulos é efetuada através do auxílio de prismas posicionados sobre o círculo 
graduado. A fração de grau é lida em nônio ou vernier (em alguns teodolitos prismáticos, a fração 
do grau é lida de forma direta). 
 
Teodolito Eletrônico 
 O teodolito eletrônico é fruto do avanço tecnológico na fabricação de instrumentos 
topográficos. Nestes teodolitos os ângulos são lidos diretamente em um visor com display de cristal 
líquido semelhante ao visor de uma calculadora eletrônica. Os teodolitos eletrônicos podem ser: 
 - informáticos 
 - Estação Total 
 Teodolito Eletrônico Informático: armazena os dados em caderneta eletrônica ou 
microcomputador, que pode ser transferido para o computador, ou diretamente para a estação 
gráfica. 
 Estação Total: são teodolitos eletrônicos informáticos que possuem o distanciômetro eletrônico 
integrado. Através de programas específicos, reduzem a distância, corrigindo a temperatura e 
pressão (refração), fornecendo a distância horizontal e a diferença de nível. Com a introdução da 
altitude e azimute inicial, fornece as coordenadas e altitude dos pontos visados da estação. 
 Alguns destes equipamentos possuem programas que calculam a poligonal fornecendo todos 
os dados de fechamento, inclusive a área, no final do trabalho (em campo). 
 Os principais fabricantes da “Estação Total” são: 
 - GEOTRONICS - Geodimeter 412 
 - TOPCON - GTS 229 
 - WILD - TC 2000 
 - PENTAX - PTS - II 
 Descrição de um Teodolito e Estação Total 
 As partes principais, comuns a todos os teodolitos são: o limbo, a alidade, os eixos e a 
luneta. Já os acessórios são constituídos por: parufusos calantes, parafusos de fixação, nônios ou 
verniers, parafusos de focalização, níveis de bolha, tripé, fio de prumo e bússola. 
 Limbo: parte do teodolito onde se efetua a medição dos ângulos horizontais e verticais; 
 Alidade: é um dispositivo giratório e suporte dos elementos de visualização; 
 Luneta: constituída por ocular, objetiva e retículos; 
 Eixos: os eixos do teodolito são: horizontal, vertical e focalizante, sendo que estes três eixos 
devem estar perpendiculares entre si; 
 Parafusos calantes: sua função é centralizar as bolhas de ar dos níveis, para que o eixo principal 
do aparelho coincida com a vertical do local; 
 Parafusos de fixação: prende o movimento em torno dos eixos; 
 Nônios ou verniers: possuem escalas para leituras mais precisas; 
 Parafusos de focalização: para a focalização precisa dos pontos; 
 Níveis de bolha: servem para indicar a verticalidade do aparelho; 
 Tripé: três pernas de altura regulável para apoio do teodolito; 
 Fio de prumo: assinala a vertical do centro do aparelho ao ponto topográfico; 
 Bússola: indicação do norte magnético; 
 A localização destes elementos varia conforme o teodolito, sendo que é de fundamental 
importância, para a operação de um teodolito,localizar primeiramente as partes principais do 
mesmo. Nos teodolitos eletrônicos há, além dos itens anunciados, o teclado e o painel de comando. 
 Precisão dos Teodolitos e Estações Totais 
 A precisão dos teodolitos é fornecida pelo fabricante e corresponde à menor fração de ângulo 
que pode ser lida diretamente. As precisões variam de 1”, 2”, 6”, 10”, 20” e 1’. Dessa forma, nos 
 
 
 
21 
teodolitos de 1” de leitura direta, pode-se estimar até um décimo de segundo, enquanto nos 
teodolitos de 20” pode-se estimar 5” e nos de 1’ pode-se estimar 10”. 
 Os teodolitos de alta precisão utilizados em trabalhos geodésicos possuem leitura direta de 
0,1” ou 0,01”, podendo ser estimado 0,01” e 0,001”, respectivamente. 
 Manutenção dos Equipamentos de Topografia 
 Os melhores instrumentos podem se desajustar ou sofrer acidentes, com a ação do tempo ou 
ao longo do transporte dos mesmos para os locais de medição. Por exemplo, aparelhos que são 
transportados em caminhões ou camionetes que enfrentam estradas precárias e esburacadas, podem 
ter os parafusos afrouxados, alterando diretamente o ajuste dos mesmos. 
 Outro fator muito importante é a proliferação dos fungos na ótica dos aparelhos, resultado da 
excessiva umidade de nosso clima tropical. Quando em seu início de desenvolvimento, são fácies de 
serem eliminados, mas com o passar do tempo os mesmos podem causar danos irremediáveis nas 
lentes e prismas, pois eles liberam uma substância ácida, corrosiva, para os elementos óticos. 
 Após longos períodos de utilização sob estas condições adversas, aliando-se outros fatores 
como o pó em obras de terraplanagem e estradas, os minérios em minas e escavações, é 
fundamental que o aparelho passe por uma revisão geral para que volte a funcionar perfeitamente. 
Caso contrário, o acúmulo destes agentes vai agindo gradativamente nos elementos mecânicos 
provocando desgastes, folgas e por vezes o bloqueio dos movimentos levando à necessidade de 
substituírem-se as peças defeituosas. 
 Uma revisão geral em um teodolito implica em um serviço de aproximadamente 25 horas 
contínuas, pois o mesmo necessita ser totalmente desmontado. Cada peça é lavada em benzina e os 
elementos óticos limpos. Após isto, as partes mecânicas são lubrificadas com graxas vegetais 
importadas e especificadas para cada função (eixo, roscas, flanges e etc.), observando o 
funcionamento perfeito de cada conjunto, e a ótica isenta de poeira é montada ajustando-se os 
prismas e lentes. 
 Após os ajustes preliminares da ótica, o aparelho é encaminhado para o colimador onde são 
efetuados os ajustes finais. São estes os mais importantes, pois afetam diretamente no fechamento 
dos levantamentos. São eles: o ajuste dos níveis esféricos e tubulares, do prumo ótico, micrômetro e 
por fim a colimação dos limbos vertical e horizontal. 
 Como manutenção preventiva, é aconselhável somente após a utilização do instrumento, 
limpá-lo, com um pincel macio, tirando-se o pó, e a ótica externa com algodão embebido em um 
pouco de álcool. Após isto o aparelho deve ser guardado em local ventilado e seco e, caso tenha 
apanhado chuva, deve ser guardado com a tampa do estojo aberta. 
 É importante frizar também que os acessórios de apoio (tripé, miras, balizas, trenas, etc.) 
devem ser compatíveis com o serviço executado. E à medida que o levantamento exigir maior 
precisão será necessário também recorrer a aparelhos mais precisos e a acessórios correspondentes 
como alvos de poligonação, prumadas óticas, estadias de invar, equipamentos de centragem forçada, 
oculares de cotovelo, prismas e filtros solares e etc. 
 Para finalizar friza-se que o prazo médio para se realizar uma revisão é de um ano e meio, 
podendo em casos de trabalhos intensos diminuir este prazo. Para a verificação das colimações 
vertical e horizontal e do ajuste do prumo ótico aconselha-se verificá-los pelo menos 3 vezes por 
ano ou no início de cada obra, evitando-se assim ter que repetir o levantamento caso haja algo 
errado. 
 
2.2 - INSTRUMENTOS PARA MEDIDAS DE DISTÂNCIAS 
 Os instrumentos utilizados para as medidas de distâncias podem ser: 
- instrumentos convencionais; 
- instrumentos eletrônicos 
 2.2.1 - Instrumentos Convencionais 
 
 
 
22 
 Os instrumentos convencionais utilizados para as medidas das distâncias, tiveram pouca 
evolução tecnológica nos últimos anos e basicamente se compõem da trena e da mira, conjugada 
com o teodolito para se obter a distância horizontal por taqueometria. 
 
 2.2.1.1. - Trena 
 A trena (Figura 16), como instrumento convencional, para medidas das distâncias, é o último 
grau evolutivo das antigas correntes de agrimensura também denominadas de “cadeia do 
agrimensor”, atualmente em desuso. 
 
Figura 16 – Tipos de Trena (Fonte: Brandalise, 1998) 
 
 Quanto ao material as trenas podem ser: 
 Trena de aço: fabricada com aço especial, tendo a graduação gravada sobre o próprio material. 
Tem o coeficiente de dilatação linear de 0,00001 que a torna mais precisa em relação as trenas de 
lona ou fibra de vidro. 
 As trenas de aço têm o inconveniente de sofrerem corrosão quando em contato com certas 
substâncias químicas e ter a sua gravação apagada após certo tempo de uso. 
 Trena de lona: tem a vantagem de não ser corrosiva, no entanto, tem um alto coeficiente de 
dilatação linear, tornando-a pouco precisa para determinados levantamentos topográficos destubadis 
a projetos de engenharia, principalmente os destinados a montagem indústrial. 
 Trena de fibra de vidro: é fabricada com fibra de vidro e recoberta com PVC. Possui uma 
graduação clara e precisa, sendo resistente a umidade, óleo e produtos químicos. 
 Fita de Invar: usada na medida da base geodésica (atualmente substituída por equipamentos 
eletrônicos), sendo conhecida como basímetro, possuindo um comprimento de 24m. 
 O Invar é uma liga de aço (65%) e níquel (35%) com menor coeficiente de dilatação linear 
conhecido (0,0000004). 
 
2.2.1.2. - Mira 
 São réguas graduadas que servem para taqueometria e nivelamento geométrico (Figura 17). 
Quanto ao material, a mira pode ser: madeira, fibra de vidro, alumínio e Invar. 
 Mira de madeira: são fabricadas com madeira seca e de pouca dilatação linear. A graduação pode 
ser pintada diretamente na madeira ou através de adesivos especiais; 
 Mira de fibra de vidro: são miras importadas (Japão) com pouco dilatação linear. A gravação é 
efetuada diretamente sobre a mira, que é revestida por uma camada de PVC; 
 Mira de alumínio: possuem um grande coeficiente de dilatação linear que pode ser corrigido 
através de uma tabela de temperatura gravado na mira; 
 Mira de Invar: utilizados apenas em nivelamentos de 1a ordem. 
 Com relação ao comprimento a mira pode alcançar de 2 a 4 m, podendo ser montada por 
encaixe, ou por dobradiça. 
 A leitura das miras é feita tendo como premissas: 
 
 
 
23 
- o sexto centímetro é diferente dos outros; 
- os inícios dos traços brancos indicam centímetro par; 
- os inícios dos traços pretos indicam o centímetro ímpar. 
 
2.2.2 - Instrumentos Eletrônicos 
 Os instrumentos eletrônicos (Figura 18), para medidas de distâncias são agrupados em duas 
classes: a) os que emitem micro-ondas e b) os que emitem ondas luminosas. 
 a) Instrumentos que emitem Micro-ondas 
 Estes instrumentos medem a distância entre dois pontos, através de ondas de rádio micro-
ondas. Conhecido o tempo e a velocidade da onda, um micro processador interno calcula a 
distância. É denominado de “telurômetro” e pode ter um alcance de 25m a 160km com uma 
precisão de 3mm . 
 b) Instrumentos que emitem Ondas Luminosas 
 Conhecido como distanciômetro, pode alcançar distâncias de 10m a 15kmcom precisão de 
5mm. 
 
Figura 17 – Representação de Parte de uma Mira (Comastri & Tuler, 1999) 
 
 
Figura 18 – Distanciômetros (Fonte: Brandalise, 1998) 
 
 
 
 
24 
3 - REPRESENTAÇÃO CARTOGRÁFICA 
 O mapa tem por objetivo representar duas dimensões: o plano e a altura. Todos os símbolos 
e cores convencionais são de duas ordens: planimétricos e altimétricos (Figura 19). 
 
3.1 – Planimetria 
 3.1.1 – Hidrografia 
 Os mapas em preto e branco mostravam os mares e lagos com linhas paralelas onduladas, 
enquanto nos coloridos a cor azul foi escolhida para os cursos d’água e as extensões hidrográficas. 
No caso de detalhes, a tendência é representar um rio permanente sob um traçado cheio, e um 
intermitente com traços interrompidos. 
 
Figura 19 – Parte de Carta Topográfico do Exército em escala 1:50.000 
 
 3.1.2 – Solos 
 A cor que representa o terreno na carta é, em geral, o castanho. As areias são representadas 
por meio de um pontilhado irregular, igualmente em castanho. Já os afloramentos são ressaltados 
em preto, mediante um desenho que imita a rocha. 
 3.1.3 – Vegetação 
 A cor utilizada para representação é o verde, sendo que em folhas em escala 1:50.000 estão 
previstas a representação de somente quatro variedades: mata, floresta em verde claro chapado; 
espécies arbustivas (cerrado, catinga) a mesma tonalidade do mapa com retícula apropriada, meio 
figurativa; as culturas permanentes (café, eucalipto, cacau, etc.) em simbologia apropriada , em 
verde; as culturas temporárias (trigo, soja, etc.) com outro tipo de simbologia e com toque 
figurativo. 
 3.1.4 – Unidades Políticas 
 Nas escalas pequenas, quando se faz necessária à representação de áreas políticas faz-se a 
mesma da maneira baseada na representação por cores variadas. 
 3.1.5 – Localidades 
 
 
 
25 
 Conforme o número de habitantes representa-se as localidades na seguinte sequência: 
- cidade com mais de 100.000 
- cidade entre 50.000 e 100.000 
- cidade entre 20.000 e 50.000 
- cidade entre 5.000 e 20.000 
- cidade até 5.000 
- vila (sede de um distrito) 
- lugarejo 
-propriedade rural (fazenda, sítio, granja, etc.) 
 O centro urbano (conforme a área) é representado pela forma generalizada dos quarteirões 
que compõem a área urbanizada construída. Após o perímetro, mais ou menos compacto, o casario 
vai-se aos poucos, rarefazendo, até a área rural propriamente dita. Assim, o centro urbano, que é 
representado na carta por meio duma tonalidade rosa (o vermelho reticulado), dá lugar, após o 
perímetro urbano, a pequenos símbolos quadrados, em preto, os quais representam o casario. 
 Além disso, no perímetro urbano são representados, por meios de símbolos próprios, os 
edifícios de notável significação local, como um templo, uma escola, uma fábrica, um hospital, etc. 
 O povoado que, em geral, devido a sua expressão demográfica, não tem condições de ser 
representado em área, é indicado por um símbolo próprio (em geral um círculo). A propriedade rural 
é marcada por um, ou, conforme o caso, vários símbolos de casas. 
 Outras construções como barragens, ponte, aeroportos, moinhos, cata-ventos, faróis, olarias, 
pedreiras, tem simbologia especial, mas quase sempre de caráter associativo. 
 
3.1.6 – Sistemas Viários e de Comunicação 
 As rodovias e as ferrovias têm sua representação da seguinte maneira: a auto-estrada, que é 
uma via com várias faixas de trânsito em duas mãos, separadas por um canteiro central é 
representada por duas paralelas em preto e uma terceira, central, mais fina, além de um recheio em 
vermelho, cobrindo as três linhas. O segundo tipo é, igualmente, pavimentado, mas sem canteiro 
central. A estrada seguinte não tem pavimentação, mas é de trafego permanente, é desenhada com 
duas paralelas em preto, mas o recheio em vermelho é interrompido regularmente ao longo da via. 
Vem a seguir a de tráfego periódico, que se assemelha à anterior, excluindo a parte em vermelho. E 
há finalmente, o caminho indicado por um alinhamento regularmente tracejado. 
 Quanto às ferrovias, as mesmas são representadas em preto, sendo distinguidas as bitolas 
(normal, larga e estreita) e a indicação das estações. 
 As vias de comunicação resumem-se a linha telegráfica ou telefônica e às linhas de energia 
elétrica (de alta tensão ou de baixa tensão). 
 
3.2 – Altimetria 
 A representação das montanhas constituiu sempre um sério problema cartográfico, ao 
contrário da relativa facilidade do delineamento dos detalhes horizontais do terreno. Atualmente, 
esta representação é efetuada de várias maneiras, sendo a mais adotada pelas curvas de nível. 
 
3.2.1 – Curvas de Nível 
 O método para a representação do relevo terrestre é o das curvas de nível, porque fornece ao 
usuário, em qualquer parte da carta, um valor aproximado da altitude que ele precisa. 
 A curva de nível, que a rigor, e teoricamente falando, é uma isoipsa, constitui uma linha 
imaginária do terreno, em que todos os pontos da referida linha têm a mesma altitude, acima ou 
abaixo de uma determinada superfície de referência, geralmente, o nível médio dos mares. 
 Para a finalidade de ser facilitada a leitura e a identificação de cada curva, pois elas, em seu 
conjunto, em uma folha, podem confundir-nos a vista, adota-se o sistema de apresentar, dentro de 
um mesmo sistema ou intervalo altimétrico, determinadas curvas, mediante um traço mais grosso. 
 
 
 
26 
Tais curvas são chamadas de “mestras”, assim como as outras, finas, denominam-se 
“intermediárias”. Há, ainda, as curvas “auxiliares”. 
 As curvas de nível são impressas em castanho, que é a cor que imita o terreno. As curvas de 
nível das regiões de gelo ou neve permanentes são impressas em azul. 
 Equidistância 
 Na representação cartográfica sistemática, a equidistância entre uma determinada curva e 
outra tem que ser constante. 
 Alterações quanto à equidistância só são possíveis nos seguintes casos: em áreas planas onde 
é necessário ressaltar pequenas altitudes, sendo que as mesmas são representadas por curvas 
auxiliares; em áreas escarpadas onde se deixa de representar uma curva ou outra porque, além de 
carregar a área, poderá dificultar a leitura da mesma. 
 Além dessas representações, a intervalos regulares deve ser colocada a representação 
altimétrica dos valores quantitativos das curvas em geral. 
 
3.3 – Pontos de Controle 
 Os pontos de controle horizontal e vertical são representados por símbolos, sendo o mesmo 
em geral, caracterizado por um triângulo onde é demarcada a respectiva cota em preto. As altitudes 
são de duas espécies: a comprovada, com a cota em preto, e a não comprovada, com a cota em 
castanho. O outro símbolo de origem geodésica é a estação gravimétrica, que se reconhece por meio 
de um ponto e das iniciais EG. 
 
 
 
 
 
27 
4. PLANIMETRIA 
4.1. – Introdução 
 Um levantamento topográfico é caracterizado por um conjunto de processos e operações 
realizados para a obtenção de medidas do terreno, capazes de definirem um trecho da superfície 
terrestre, com o objetivo de representá-lo em planta. Este plano não deverá exceder as dimensões de 
um quadrado de 25 km de lado. 
 Um levantamento é planimétrico quando se visa à determinação das projeções horizontais 
dos pontos do terreno, como se todos estivessem em um mesmo plano horizontal. 
 Os métodos de levantamento planimétrico, baseados em princípios matemáticos diversos, 
podem ser classificados em: 
 Métodos principais: triangulação, caminhamento e intersecção; 
 Métodos secundários: irradiação e coordenadas retangulares; 
 Métodos auxiliares: alinhamentos e decomposição em triângulos; 
 Os métodos principais têm porobjetivo o levantamento do conjunto de pontos que definem 
o arcabouço de uma região em estudo; os métodos secundários, de menor precisão, visam o 
levantamento de detalhes (baseados no levantamento principal); os métodos auxiliares procuram 
determinar os detalhes de menor importância. 
 
4.2. - POLIGONAIS 
 O levantamento topográfico é efetuado no campo através de poligonais que podem ser de 
vários tipos como (Fig.20): 
 Poligonal fechada ou principal (pontos 1,2,3,4,5,6,7 e 8 da Fig. 1); 
 Poligonal secundária (pontos 9,10 e 11 da Fig. 1); 
 Poligonal aberta (pontos A,B,C, D, a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,l,m e n da Fig. 1); 
 
Figura 20 – Tipos de Poligonais (Fonte: Revista A Mira Edição 02 – out/nov 1990) 
 
4.1.1 - Poligonal Fechada ou Principal 
 É a poligonal em que o último vértice coincide com o primeiro, formando um polígono. É 
também chamada de poligonal principal ou poligonal de apoio, pois dela sairão as poligonais 
secundárias e as amarrações dos detalhes. 
 4.1.2 - Poligonal Secundária 
 São as poligonais que partem e chegam na poligonal principal. 
 
 
 
28 
 4.1.3 - Poligonal Aberta 
 É a poligonal em que o último vértice não coincide com o primeiro, não formando desta 
forma um polígono fechado. Esta poligonal é utilizada para amarração de pontos distantes da área 
que está sendo levantada. 
 
4.3. - MEDIÇÃO DE DISTÂNCIAS 
 A medida da distância entre dois pontos, num levantamento topográfico, corresponde a 
medida de distância horizontal entre estes dois pontos, sendo que as distâncias inclinadas são 
reduzidas as dimensões de sua projeção horizontal equivalente. 
 As grandezas lineares podem ser medidas de forma direta ou indireta, sendo: 
 Medição direta: quando o instrumento de medida é aplicado diretamente sobre o terreno; 
 Medição indireta ou estadimétrica: quando se obtém o valor da distância com auxílio de cálculo 
trigonométrico. 
 4.3.1 - Instrumentos Utilizados na Medição Direta de Distâncias 
 O instrumento mais comum, utilizado para a obtenção de medidas de distâncias é a trena. 
Esta pode ser de aço, lona, fibra de vidro, sendo graduada em metros, decímetros e centímetros, com 
comprimento variável, sendo mais comum, as de 20 metros. 
 Os acessórios utilizados na medição são: 
 Piquetes: são feitos de madeira que pode ser roliça ou de secção quadrada, sendo apontados 
numa extremidade e aparados de topo na outra. Medem, geralmente, de 10 a 30 cm; 
 Estacas ou testemunhas: também servem para a materialização dos pontos topográficos no 
terreno, sendo utilizados ao lado de cada piquete e nelas é demarcado o número de ordem do ponto; 
 Balizas (Figura 21): são hastes de madeira ou de ferro, arredondadas ou sextavadas que servem 
para materializar a ordenada vertical, tomada por um ponto do terreno. Medem 2m de comprimento 
e são pintadas em gomos de 50 cm alternados nas cores vermelho e branco. A ponta que é colocada 
sobre o piquete é munida de um ponteiro de aço bem aguçado; 
 Fixas: são de ferro ou aço, curvas em formato de argola na parte superior e pontiagudas na parte 
inferior e medem aproximadamente 15 cm. São utilizadas para controlar o número de trenadas ou 
correntadas efetuadas no terreno. 
 
Figura 21 – Baliza (Fonte: Brandalize, 1998) 
 
 4.3.2 - Medição com Trenas 
 Na medição da distância entre os pontos A e B, procura-se medir a projeção A’B’ no plano 
topográfico HH’, conforme Figura 22. 
 Para medir-se a distância A’B’, coloca-se uma extremidade da trena em B’ e leva-se a outra 
até o ponto A’, mantendo-a na horizontal. 
 Na medição de distâncias maiores que o comprimento das trenas, deve-se tomar cuidado 
para não sair do alinhamento, o que se consegue através de balizamentos. Neste caso, para a 
realização do balizamento é necessário a presença de três indivíduos (balizeiro de ré, de vante e 
intermediário), cada um com uma baliza (Figura 23). 
 
 
 
29 
 
Figura 22 – Medição com Trena (Fonte: Comastri e Gripp Junior, 2002) 
 
 O balizeiro de ré coloca-se com a baliza aprumada e uma extremidade da trena no ponto 
inicial do alinhamento (ponto A da Figura 2), enquanto o balizeiro intermediário fica com a outra 
extremidade da trena, uma baliza e fixas. O balizeiro de vante fica com a baliza aprumada no final 
do alinhamento, sendo que o balizeiro intermediário recebe orientação do balizeiro de ré, de modo 
que, com a trena esticada, sua baliza esteja dentro do plano vertical formado pela baliza de ré com a 
baliza de vante. Após receber um sinal convencional do balizeiro de ré, o balizeiro intermediário 
retira sua baliza e crava neste ponto uma fixa. Ambos indivíduos movimentam-se e prosseguem na 
medição, até o final do alinhamento. 
 Durante a medição, o balizeiro de ré vai recolhendo as fixas e, finalmente, em função do 
número de fixas, comprimento da trena e da fração de trenadas obtidas no trecho final, avalia-se a 
distância horizontal de alinhamento. 
 Em terrenos com relevo acidentado, costuma-se medir trechos de 5 ou 10 metros por vez, 
para maior facilidade em se manter a trena na posição horizontal. 
 
Figura 23 – Levantamento com Trena (Fonte: Baitelli, 1990) 
 
 4.3.2.1 - Causas de Erros nas Medidas à Trena 
 
 
 
30 
 Os erros cometidos na medição direta de distâncias podem ser oriundos de diversas fontes: 
 - erro de leitura; 
 - erro de alinhamento; 
 - erro de inclinação; 
 - erro de aferição; 
 - erro de tensão; 
 - erro de catenária; 
 - erro de trena que não mede exatamente 20 m; 
 Erro de alinhamento: é o erro cometido quando o balizamento não é observado com exatidão, 
onde uma das extremidades da trena fica fora do alinhamento. É um erro cumulativo e positivo. 
Pode ser evitado, fazendo um estaqueamento da linha a ser medida, sendo que os lances deverão ter 
medidas inferiores ao comprimento da trena a ser utilizada na medição. 
 Erro de inclinação: é um erro cometido quando a trena não é colocada em nível. Ocorre 
principalmente devido a inclinação do terreno. É um erro cumulativo e positivo (Fig. 3). 
 Erro de aferição da trena e variação da temperatura: a temperatura influi ocasionando a dilatação 
das trenas. Em geral, as trenas são graduadas na temperatura de 20
o
 C e sob tensão de 10 a 15 kg. 
Assim, em trabalhos de precisão, como na medição de bases topográficas e montagem industrial, 
deve-se introduzir a correção da temperatura, calculada pela fórmula: 
 c = s (t - to)  
onde: to = tensão de graduação ou de aferição; 
 t = temperatura de trabalho; 
 s = comprimento da trena 
  = coeficiente de dilatação do material da trena 
 Erro de tensão: as tensões aplicadas nas extremidades das trenas dificilmente se mantêm 
uniformes, ocasionando variações nas medidas. Esta variação de comprimento da trena, em virtude 
da diferença de força tensora empregada pode ser calculada pela fórmula: 
 S (T - To) 
 c = --------------- 
 q . E 
onde: S = comprimento da trena 
 To = tensão de graduação da trena 
 T = tensão do trabalho 
 q = secção da trena (mm
2
) 
 E = módulo de elasticidade por tração (normalmente E = 20.000 kg por mm
2
) 
 Normalmente nos trabalhos topográficos a tensão da trena é obtida manualmente. No 
entanto, nos trabalhos de alta precisão deve-se empregar o dinamômetro para obter a tensão 
adequada. 
 erro de catenária: é a curvatura da trena que aparece devido ao seu peso. Para evitá-la deve-se 
aplicar maiores tensões nas extremidades da trena. 
 
 4.3.2.2 - Solução de Problemas com o Emprego de Trenas 
 Traçado de Perpendiculares: 
 O traçado de perpendiculares no terreno faz-se necessário para diferentes aplicações, como a 
demarcação de um alinhamentoperpendicular a um já existente ou como auxiliar na amarração de 
detalhes de interesse, durante um levantamento. 
 No caso da medição direta pode-se utilizar o método de demarcação do triângulo retângulo 
ou do triângulo isósceles. 
 Para demarcar um ângulo reto , através do triângulo retângulo, utilizam-se 12 m de trena, 
dispostos com 3, 4 e 5 metros de lado (Fig. 24). Um auxiliar no ponto C, sobre a reta AB, a 3 m do 
ponto A, por onde deve passar um novo alinhamento, segura o 0 m da trena e o 12
o
 m, enquanto o 
 
 
 
31 
outro segura o 3
o
 m sobre o ponto A, e um terceiro o 7
o
 m. Ao se esticar a trena, o auxiliar que 
segura o 7
o
 m irá ocupar uma posição que define o ângulo de 90
o
 com o alinhamento AB. 
 
Figura 24 – Traçado de Perpendiculares com triângulo retângulo (Fonte: Brandalise, 1998) 
 
 No traçado de um ângulo de 90
o
 através de um triângulo isósceles segue-se os seguintes 
passos (Fig. 25): sendo o alinhamento AB, e o ponto C, o local onde se deseja traçar uma 
perpendicular, mede-se inicialmente as distâncias iguais nas direções CA e CB, definindo os pontos 
d e e. Dois auxiliares, um em cada um desses pontos seguram as extremidades da trena e um 
terceiro segura o meio da trena. Ao se esticar a trena, a direção perpendicular será definida pelo 
ponto C e o meio da trena. 
 
Figura 25 – Traçado de Perpendiculares (Fonte: Brandalise, 1998) 
 
 Transposição de Obstáculos 
a) Pontos Extremos de um alinhamento não intervisíveis: em trabalhos topográficos, algumas vezes 
é preciso medir-se a menor distância entre dois pontos e eles não são intervisíveis porque existe um 
obstáculo entre eles como uma mata, um prédio, entre outros. Neste caso, um procedimento seria 
calcular a distância desejada através do conhecimento dos lados de um triângulo (Figura 26) . 
 Escolhe-se um ponto C do qual se possa avistar os pontos A e B que compõem o 
alinhamento a ser medido. Medem-se as distâncias CA e CB, e após demarca-se os pontos D e E 
(por exemplo, metade do alinhamento CA e CB), obtendo-se sua distância DE. 
 Para os triângulos formados têm-se a seguinte relação: 
 CD DE CA x DE 
 ---- = -----  AB = ---------------- 
 CA AB CD 
 
 
 
32 
 
Figura 26 – Transposição de Obstáculos (Fonte: Brandalise, 1998) 
 
 Localização de Detalhes 
 Além da medida de distâncias, quase sempre é necessário localizar um acidente de terreno 
ou um detalhe como um terreno cultivado, um prédio, uma estrada, etc. Para isto, torna-se 
necessário amarrar ou referenciar este acidente ou detalhe, através de diversos pontos a uma linha de 
referência (Fig. 27). 
 Para levantar um trecho da estrada, pela linha AB, traçam-se perpendiculares a essa linha, 
em diversos pontos convenientes e, em seguida, medem-se as distâncias entre o acidente ou detalhe, 
e a linha AB. 
 
 
Figura 27 – Levantamento de Detalhes (Fonte: Baitelli, 1990) 
 
 Medição de ângulos por meio de trenas 
 Para que se conheça o valor de um ângulo por meio de trenas, devem-se determinar os lados 
de um triângulo que contenha o ângulo a ser medido e aplica-se a ele a lei dos cosenos (Fig. 28). 
 
Figura 28 – Obtenção de ângulos com utilização de trena (Fonte: Baitelli, 1990) 
 
 
 
33 
 O procedimento de campo utilizado para este cálculo envolve os seguintes passos: marca-se 
com trena e baliza, 10 m na direção BA e 10 m na direção BC, definindo os pontos M e N. Estica-se 
a trena, ligando-se os dois pontos e efetua-se a medição da distância formada. 
 
4.3.2.3 - Levantamento Planimétrico com Trena 
 Para levantar uma poligonal com trena, utiliza-se o processo descrito anteriormente para 
medir ângulos e faz-se a medição dos alinhamentos, observando os cuidados indispensáveis a um 
rigoroso balizamento. 
 Outra forma de se levantar uma área apenas com trena seria a de medir as linhas do 
perímetro e algumas linhas internas constituindo triângulos, o que permitiria facilmente a confecção 
da planta. 
 Ao mesmo tempo deve-se confeccionar um croqui das operações de campo. 
 Um exemplo de caderneta de campo, para levantamento através de trenas segue abaixo: 
ALINHAMENTOS DH (alinhamento-m) LINHAS 
INTERNAS 
DH 
0 - 1 10 1 – 5 10 
1 - 2 15 2 - 5 9 
2 - 3 12 3 - 5 13,5 
3 - 4 10 
4 - 5 16 
5 - 0 9 
 
 4.3.2.4 - Avaliação da Área 
 A área pode ser avaliada graficamente por triangulação usando as seguintes fórmulas: 
 b x h 
Triângulo Retângulo = A = -------------- ou S =  p (p-a) (p-b) (p-c) Fórmula 1 
 2 
onde: p = semiperímetro 
 a,b e c = lados do triângulo 
 
Triângulo Qualquer = A = (Lado x lado x sem ângulo) / 2 Fórmula 2 
 
 Calculada a área de cada triângulo formado, obtém-se a área total pela soma das áreas dos 
triângulos demarcados no desenho. 
 
4.4. - MEDIDAS DE ÂNGULOS 
 4.4.1 - Levantamento por Bússola 
 Sendo um instrumento de rápida instalação, a bússola pode ser aplicada sem inconvenientes 
para o levantamento de um polígono cujos vértices tenham sido marcados no reconhecimento da 
área, empregando o método do caminhamento perimétrico. De cada vértice visa-se tanto o vértice 
seguinte como o precedente. 
a) Vantagens: 
 - simplicidade e rapidez: basta uma visada em cada vértice do polígono para se obter a 
direção de todos os lados; 
b) Desvantagens: 
 - pouca precisão de suas indicações devido a natureza da força magnética e também as 
causas de erro de leitura. 
 
4.5. - LEVANTAMENTO DE POLIGONAIS 
 
 
 
34 
 Este levantamento pode ser efetuado utilizando-se vários instrumentos, como trena, bússola, 
trânsito, entre outros, mas quando precisamos de uma boa precisão deste levantamento é necessário 
que seja utilizado o Teodolito. 
 Num levantamento é necessário observar as seguintes fases: 
- Reconhecimento do terreno para determinar os pontos de estacionamento do teodolito; 
- Levantamento do polígono; 
- Levantamento de detalhes 
 O levantamento de uma poligonal pode ser efetuado por vários métodos como: 
 Método do caminhamento perimétrico; 
 Método da deflexão 
 Método das irradiações; 
 Método da intersecção. 
 4.5.1 - Levantamento pelo método do caminhamento perimétrico 
 É o método planimétrico mais utilizado na prática, principalmente para áreas relativamente 
grandes e acidentadas (Fig. 29). Neste levantamento o operador deve caminhar sobre as linhas das 
divisas, instalando o aparelho nos pontos que melhor definirem os detalhes planimétricos, medindo 
as distâncias entre pontos e o ângulo formado entre os alinhamentos. 
 O ângulo é contado a partir do alinhamento anterior até o alinhamento seguinte no mesmo 
sentido dos ponteiros do relógio (sentido horário). 
 O ângulo medido deverá ser verificado em campo, pois em hipótese alguma se admite a 
leitura isolada de um ângulo sem a respectiva verificação, principalmente quando se trata de uma 
poligonal, seja esta uma poligonal fechada ou aberta. 
 
Figura 29 – Levantamento por Caminhamento (Fonte: Comastri & Gripp Junior, 2002) 
 
 4.5.1.1 - Verificação de um ângulo lido 
a) repetição: consiste em repetir a leitura do ângulo, isto é, efetuar a leitura do ângulo duas vezes 
(Fig. 30). A média do ângulo se obtém fazendo: 
 1 + 2 
  = ------------------- 
 2 
Exemplo 
ESTAÇÃO RÉ PONTO VISADO ÂNGULO LIDO 
2 1 3 123º 18’ 22” - 1 
2 1 3 123º 18’ 16” - 2 
Média:  = (1 + 2) / 2   = 123º 18’ 19” 
 
 
 
35 
 
 
 
c) ângulo duplo: consiste em medir o ângulo, repetindo a leitura com o valor do ângulo lido 
registrado no limbo do instrumento na visada