Lista 3 GA Resolução

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Lista 03 – Resolução 
______________________________________________________ 
 Convenção: formas da equação da reta: 
i) 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛, onde 𝑚 (coeficiente angular ou inclinação da reta) = tgα (α é o ângulo 
formado entre a reta e o eixo x) e 𝑛 (coeficiente linear) é o valor de 𝑦 no ponto que a reta 
intercepta esse eixo das ordenadas. 
ii) (𝑦 – 𝑦0) = 𝑚(𝑥 – 𝑥0), onde (𝑥0 , 𝑦0) é a coordenada de um ponto conhecido. 
Equações de retas 
1. Desenhe e ache a equação da reta que passa pelo ponto (2, −3) com inclinação de 
2
3
. 
 
Temos o ponto 𝑃 = (2, −3) e a inclinação 𝑚 = 
2
3
 . Substituindo esses valores na expressão ii 
encontra-se: 
[𝑦 – (−3)] = 
2
3
(𝑥 – 2) 
 
 𝑎: 𝑦 = 
2
3
𝑥 − 
13
3
 
 
 
2. Ache o ponto do exercício anterior cuja coordenada y é 3; também encontre onde 
essa reta encontra os eixos coordenados. 
 
Para encontrar o valor de 𝑥 quando 𝑦 = 3 basta substituir esse valor na equação da reta 𝑎 
3 = 
2
3
𝑥 − 
13
3
 
 
 𝑥 = 11 
Para encontrar as coordenadas que em que a reta 𝑎 intercepta os eixos coordenado, basta 
encontrar os ponto de coordenadas (0, 𝑦) e (𝑥, 0). Substituindo 𝑥 = 0 na equação da reta 𝑎: 
𝑦 = 
2
3
 0 − 
13
3
 
 
 𝑦 = − 
13
3
 
Logo a coordenada do ponto pertencente à reta 𝑎 que intercepta o eixo 𝑦 é 0, − 
13
3
 . 
Substituindo 𝑦 = 0 na equação da reta 𝑎: 
0 = 
2
3
𝑥 − 
13
3
 
 
 𝑥 = 
13
2
 
Logo a coordenada do ponto pertencente a 𝑎 reta que intercepta o eixo 𝑥 é 
13
2
, 0 . 
 3. Desenhe a reta que passa por (−1, 2) e (3, 0). Ache sua equação e onde ela 
intercepta os eixos. 
Temos o ponto 𝑃 = (−1,2) e o ponto 𝑄 = (3,0). Substituindo esses valores na expressão i 
encontram-se: 
−1𝑚 + 𝑛 = 2 e 3𝑚 + 𝑛 = 0 
Montando um sistema de equação com essas equações: 
−𝑚 + 𝑛 = 2 
3𝑚 + 𝑛 = 0 
Portanto 𝑚 = − 
1
2
 e 𝑛 = 
3
2
, assim a equação da reta 𝑠 é: 
𝑠: 𝑦 = − 
1
2
𝑥 + 
3
2
 
Interseção da reta 𝑠 com os eixos: Substituindo 𝑥 = 0 na equação da reta 𝑠: 
𝑦 = − 
1
2
 0 + 
3
2
 
 
 𝑦 = 
3
2
 
Substituindo 𝑦 = 0 na equação da reta 𝑠: 
0 = − 
1
2
 𝑥 + 
3
2
 
 
 𝑥 = 3 
Portanto, os pontos que a reta 𝑠 intercepta os eixos são (3,0) e 0,
3
2
 . 
 
 
4. (a) A reta que intercepta o eixo 𝑥 no ponto (𝑎, 0) e o eixo 𝑦 no ponto (0, 𝑏) sendo 
ambos os pontos distintos da origem. Mostre que a equação dessa reta pode ser 
escrita como: 
 
𝑥
𝑎
 + 
𝑦
𝑏
 = 1 
Temos os pontos 𝑅 = (𝑎, 0) e 𝑆 = (0, 𝑏). Substituindo esses valores na expressão i 
encontram-se: 
𝑎𝑚 + 𝑛 = 0 e 0𝑚 + 𝑛 = 𝑏 
Montando um sistema de equação com elas: 
𝑎𝑚 + 𝑛 = 0 
0𝑚 + 𝑛 = 𝑏 
Portanto 𝑚 = − 
𝑏
𝑎
 e 𝑛 = 𝑏, assim a equação da reta 𝑞 é: 
𝑞: 𝑦 = − 
𝑏
𝑎
 𝑥 + 𝑏 (I) 
Rearranjando essa equação encontra-se: 
𝑥
𝑎
 + 
𝑦
𝑏
 = 1 
∎ 
(b) Ache a equação da reta que passa a uma distância h da origem e cujo segmento 
de tamanho h forma um ângulo 𝛼 como o eixo x. 
Dica: Ache os pontos onde a reta intercepta o eixo x e o eixo y em termos de h,𝛼 e use 
o resultado do item a. 
Figura ilustrativa do problema: 
 
 
 
A mínina distância da reta 𝑞 ao ponto (0,0) é distância ℎ, que determina o segmento de reta 
de dimensão ℎ e com os extremos no ponto (0,0) e em um ponto da reta 𝑞, fazendo um 
ângulo de 90° com a reta 𝑞. Consideraremos esse segmento de reta como uma parte de uma 
reta 𝑡, em que a equação tem o coeficiente angular tan 𝛼 e passa por um ponto que intercepta 
a reta 𝑞. Para determinar esse ponto devemos considerar o seguinte triângulo: 
 
Em que o cateto oposto ao ângulo 𝛼 tema a dimensão B e o cateto adjacente a esse ângulo 
tem a dimensão A. Portanto, 𝐵 = 𝑠𝑒𝑛 𝛼ℎ e 𝐴 = 𝑐𝑜𝑠 𝛼ℎ. Então o ponto que a reta t 
intercepta a reta q tem coordenada (𝑐𝑜𝑠 𝛼ℎ, 𝑠𝑒𝑛 𝛼ℎ). 
Como a reta 𝑡 forma um ângulo de 90° com a reta 𝑞, então o coeficiente angular de 𝑞 é 
- 
1
tan 𝛼
. Utilizando a equação (I), observa-se que o coeficiente angular é − 
𝑏
𝑎
 e que é igual a 
− 
1
𝑡𝑎𝑛 𝛼
. Reescrevendo a equação: 
𝑞: 𝑦 = − 
1
𝑡𝑎𝑛 𝛼
 𝑥 + 𝑏 (II) 
Substituindo nessa equação o ponto (𝑐𝑜𝑠 𝛼ℎ, 𝑠𝑒𝑛 𝛼ℎ), obtém-se: 
𝑠𝑒𝑛 𝛼ℎ = − 
1
𝑡𝑎𝑛 𝛼
 𝑐𝑜𝑠 𝛼ℎ + 𝑏 
Portanto, 𝑏 = 
ℎ
𝑠𝑒𝑛 𝛼
. Substituindo 𝑏 na equação (II): 
𝑞: 𝑦 = − 
1
𝑡𝑎𝑛 𝛼
 𝑥 + 
ℎ
𝑠𝑒𝑛 𝛼
 
 5. Seja 𝐴 = (3, 1). Ache B tal que o triângulo OAB seja equilátero. 
O ponto A é (3,1) e o ponto O (0,0). Para formar um triângulo eqüilátero todos os lados devem 
ter a mesma medida. Como são dados dois posto, calcula-se a distancia entre eles: 
𝑑𝐴,𝑂 = (3 − 0)2 + (1 − 0)2 
 
 𝑑𝐴,𝑂 = 10 
Então, a distância do ponto B ao ponto O e ao ponto A é de 10. Chamaremos o ponto B de 
(𝑥, 𝑦). Logo: 
𝑑𝐴,𝐵 = (3 − 𝑥)2 + (1 − 𝑦)2 
 
 𝑑𝐴,𝑂 = 10 
𝑑𝑂,𝐵 = (0 − 𝑥)2 + (0 − 𝑦)2 
 
 𝑑𝑂,𝐵 = 𝑥2 + 𝑦2 = 10 
Assim temos o seguinte sistema de equação 
 (3 − 𝑥)2 + (1 − 𝑦)2 = 10 
 𝑥2 + 𝑦2 = 10 
Para começar a resolver esse sistema elevam-se ambos os lados das equações ao quadrado 
para tirar as expressões das raízes. Resolvido o sistema, encontra-s que B = 
3+ 3
2
,
1−3 3
2
 ou 
B= 
3− 3
2
,
1+3 3
2
 . Ou seja, qualquer desses dois pontos estabelece um triângulo equilátero 
com os pontos A e O. 
6. Os lados de um triângulo estão sobre as retas 𝑦 = 2𝑥 + 1, 𝑦 = 3𝑥 − 2 e 
𝑦 = 1 – 𝑥. Ache os vértices desse triângulo. 
 
Equações das retas 𝑟: 𝑦 = 2𝑥 + 1, 𝑠: 𝑦 = 3𝑥 – 2 e 𝑡: 𝑦 = 1 − 𝑥. Para encontrar os 
vértices do triângulo definido por essas retas deve-se fazer a intersecção das retas duas a duas. 
Ou seja, é preciso resolver os seguintes sistemas de equação composto pelas equações das 
retas r, s e t, duas a duas: 
Ponto A: r ∩ s 
y = 2x + 1 
𝑦 = 3𝑥 + −2 
Ponto B: s ∩ t 
𝑦 = 3𝑥 – 2 
𝑦 = 1 − 𝑥 
Ponto C: t ∩ r 
𝑦 = 1 – 𝑥 
𝑦 = 2𝑥 + 1 
Logo, o ponto 𝐴 = (3,7), o ponto 𝐵 = 
3
4
,
1
4
 e o ponto 𝐶 = (0,1). 
 
7. Ache a equação das três medianas de um triângulo com vértices (𝑎, 0) , (𝑏, 0) , (0, 𝑐). 
 
A mediana em relação a um lado do triangulo é determinada pelo segmento de reta que passa 
pelo ponto médio desse lado e pelo vértice oposto a esse lado. Logo, para se determinar as 
equações das medianas do triangulo formado pelos pontos (𝑎, 0), (𝑏, 0) 𝑒 (0, 𝑐) é necessário 
utilizar os pontos médios de cada lado com seus respectivos vértices opostos. 
Equação da reta da mediana do lado AB: 
Determinação do ponto médio desse lado: 
𝑀𝐴𝐵 = 
𝑎 + 𝑏
2
,
0 + 0
2
 
 
 𝑀𝐴𝐵 = 
𝑎 + 𝑏
2
, 0 
Vértice oposto a esse lado: 
𝐶 = (0, 𝑐) 
 
 
Equação da reta r: 
𝑎+𝑏
2
𝑚 + 𝑛 = 0 
0𝑚 + 𝑛 = 𝑐 
Logo, a equação da reta 𝑟: 𝑦 = 
−2𝑐
𝑎+𝑏
𝑥 + 𝑐 
Equação da reta da mediana do lado BC: 
Determinação do ponto médio desse lado: 
𝑀𝐵𝐶 = 
𝑏 + 0
2
,
0 + 𝑐
2
 
 
 𝑀𝐵𝐶 = 
𝑏
2
,
𝑐
2
 
Vértice oposto a esse lado: 
𝐴 = (𝑎, 0) 
Equação da reta s: 
𝑏
2
𝑚 + 𝑛 =
𝑐
2
 
𝑎𝑚 + 𝑛 = 0 
Logo, a equação da reta 𝑠: 𝑦 = 
𝑐
𝑏−2𝑎
𝑥 − 
𝑎𝑐
𝑏−2𝑎
 
Equação da reta da mediana do lado CA: 
Determinação do ponto médio desse lado: 
𝑀𝐶𝐴 = 
𝑎 + 0
2
,
0 + 𝑐
2
 
 
 𝑀𝐶𝐴 = 
𝑎
2
,
𝑐
2
 
Vértice oposto a esselado: 
𝐵 = (𝑏, 0) 
Equação da reta t: 
𝑎
2
𝑚 + 𝑛 =
𝑐
2
 
𝑏𝑚 + 𝑛 = 0 
Logo, a equação da reta 𝑡: 𝑦 = 
𝑐
𝑎−2𝑏
𝑥 − 
𝑏𝑐
𝑎−2𝑏
 
8. Os pontos 𝐴 = (2, 5) e 𝐵 = (14, 1) são simétricos em relação a uma reta. Determine a 
equação padrão e paramétrica dessa reta. 
 
Os pontas 𝐴 = (2,5) e 𝐵 = (14,1) são simétricos em relação a reta 𝑟, ou seja, se 
determinarmos uma reta 𝑠 que passe por esses dois ponto, a reta r intercepta a reta s no 
ponto médio entre esses dois pontos. A reta 𝑟 também faz 90° com a reta 𝑠. Então, para 
determinar a equação da reta 𝑠 usam-se os pontos A e B: 
2𝑚 + 𝑛 = 5 
14𝑚 + 𝑛 = 1 
Então a equação da reta 𝑠: 𝑦 = − 
𝑥
3
 + 
17
3
 
O ponto médio entre os pontos A e B: 
𝑀𝐴𝐵 = 
2 + 14
2
,
5 + 1
2
 
 
 𝑀𝐴𝐵 = (8,3) 
Logo, a reta 𝑟 que precisamos determinar passa no ponto 𝑀𝐴𝐵 = (8,3) e é perpendicular a 
reta 𝑠: 𝑦 = − 
𝑥
3
 + 
17
3
. Como elas são perpendiculares, o coeficiente angular de uma tem o 
valor do inverso oposto da outra. Os seja, 𝑚 𝑟 = − 
1
𝑚𝑠
. Sendo o coeficiente angular da reta 𝑠 
igual a − 
1
3
, o coeficiente angular da reta 𝑟 é 3. Com o coeficiente angular e um ponto 
determina-se a reta 𝑟: 
(𝑦 – 3) = 3(𝑥 – 8) 
 
 𝑦 = 3𝑥 – 21 ( forma padrão) 
Para a forma paramétrica, atribui o valor de 𝑡 para 𝑥, logo: 
𝑥 = 𝑡 
𝑦 = 3𝑡 – 21 
9. Ache o ponto de trissecção de uma mediana (o ponto que está a 
2
3
 do caminho do 
vértice ao ponto médio do lado oposto) e prove que não somente ele satisfaz a 
equação das outras duas medianas, mas que também ele é o ponto de trissecção das 
outras duas medianas. Conclua que as três medianas são concorrentes, i.e, elas 
passam pelo mesmo ponto. 
Dica:Para triângulo genérico as coordenadas podem ser escolhidas de modo que os 
vértices sejam (𝑎, 0) , (𝑏, 0) 𝑒 (0, 𝑐). 
 
Usando as equações das medianas do exercício 7: 
 𝑟: 𝑦 = 
−2𝑐
𝑎 + 𝑏
𝑥 + 𝑐 
𝑠: 𝑦 = 
𝑐
𝑏 − 2𝑎
𝑥 − 
𝑎𝑐
𝑏 − 2𝑎
 
𝑡: 𝑦 = 
𝑐
𝑎 − 2𝑏
𝑥 − 
𝑏𝑐
𝑎 − 2𝑏
 
Como ponto de trissecção M está a 
2
3
 do caminho do vértice ao ponto médio do lado oposto, 
utilizaremos os pontos B = (b,0) e o ponto 𝑀𝐶𝐴 = 
𝑎
2
,
𝑐
2
 e determinaremos a posição do 
ponto que está a 
2
3
 entre o ponto B e o MCA. 
𝑑𝑥 =
2
3
 
𝑎
2
 – 𝑏 
 
 
𝑎
3
 – 
2𝑏
3
 (distancia do ponto M ao ponto B em relação ao eixo x) 
𝑑𝑦 =
2
3
 
𝑐
2
 – 0 
 
 𝑦 = 
𝑐
3
 (distancia do ponto M ao ponto B em relação ao eixo y) 
Logo, a posição do ponto de trissecção é: 
𝑥 = 
𝑎
3
 – 
2𝑏
3
 + 𝑏 
 
 𝑥 = 
𝑎 + 𝑏
3
 
𝑦 = 
𝑐
3
 + 0 
 
 𝑦 = 
𝑐
3
 
Logo o ponto de trissecção é o ponto 𝑀 = 
𝑎+𝑏
3
,
𝑐
3
 . Substituindo o valor de 𝑥 = 
𝑎+𝑏
3
 nas 
equações da reta 𝑟, 𝑠 e 𝑡 obtêm o 𝑦 = 
𝑐
3
. Logo o ponto de trissecção pertence as três 
equações das retas das medianas. Isso mostra que as três retas são concorrentes, já que se 
encontram no mesmo ponto. Analogamente, mostra-se que o ponto M é o ponto de trissecção 
das outras duas medianas como feito para a mediana o lado CA, que já foi mostrado. 
∎ 
10. O ponto em que duas retas não paralelas se encontram deve satisfazer ambas 
equações. Ache o ponto de intersecção de 3𝑥 − 4𝑦 = 1 e 4𝑥 + 5𝑦 = 22. 
 
Para determinar o ponto de intersecção das retas 𝑟: 3𝑥 – 4𝑦 = 1 e 𝑠: 4𝑥 + 5𝑦 = 22 basta 
resolver o sistema de equação composto pelas equações das retas r e s: 
3𝑥 – 4𝑦 = 1 
4𝑥 + 5𝑦 = 22 
Logo, o ponto em que as retas r e s se encontram 𝑃 = (3,2). 
11. Ache a inclinação, o ponto de intersecção com o eixo 𝑦 e desenhe. Quando a 
inclinação ou o ponto de intersecção não existir, diga. 
 
(a) 3𝑥 − 4𝑦 = 6 
Para saber qual é a inclinação da reta a equação da reta deve estar na forma 𝑚𝑥 + 𝑛 = 𝑦. 
Logo a equação 3𝑥 – 4𝑦 = 6 fica nesta forma como 
3
4
𝑥 − 
3
2
= 𝑦. Assim a inclinação da reta é 
3
4
 e o ponto de intersecção com o eixo y é 0, − 
3
2
 . Analogamente determina-se a inclinação 
da reta e o ponto de intersecção com o eixo 𝑦 com as outras retas. 
 
(c) 7𝑦 + 9 = 0 
 A reta 7𝑦 + 9 = 0 na forma 𝑚𝑥 + 𝑛 = 𝑦 fica 𝑦 = − 
9
7
. Logo, a inclinação da reta é 0 e o 
ponto de intersecção com o eixo y é 0, − 
9
7
 . 
 
(g) 4𝑥2 = 9 
As retas 4𝑥2 = 9 na forma 𝑚𝑥 + 𝑛 = 𝑦 ficam r: 𝑥 = - 
3
2
 e s: 𝑥 = 
3
2
. Logo a inclinação dessas 
retas não existe, já que elas são perpendiculares ao eixo x (tan 𝑥 = ∄), e não existe um ponto 
da reta que intercepta o eixo y, já que as retas são paralelas a esse eixo. 
 
(h) 𝑥𝑦(2𝑥 − 3𝑦 + 4) = 0 
 A reta 𝑥𝑦 2𝑥 − 3𝑦 + 4 = 0 fica: se 𝑥 = 0, a equação é 𝑦 = 
4
3
, a inclinação é 0 e o ponto de 
intersecção com o eixo y é 
4
3
; se 𝑦 = 0, a equação é 𝑥 = −2, a inclinação e o ponto de 
intersecção com o eixo y não existem. 
 
12. A linha que passa por (−5, 7) perpendicular a 4𝑥 − 5𝑦 = 10. 
A reta 𝑟 que deve ser determinada é perpendicular a reta 𝑠: 4𝑥 − 5𝑦 = 10 e passa pelo ponto 
𝐴 = (−5, 7). Para determinar a reta 𝑟 devemos obter o seu coeficiente angular. Como as 
retas 𝑟 e 𝑠 são perpendiculares, o coeficiente angular de r é 𝑚𝑟 = − 
1
𝑚𝑠
. Para determinar o 
coeficiente angular da reta 𝑠 deve obter a equação na forma 𝑚𝑥 + 𝑛 = 𝑦. Logo o coeficiente 
angular 𝑚𝑟 = 
4
5
. Portanto 𝑚𝑟 = − 
5
4
. Logo, para obter a reta 𝑟: 
 𝑦 − 7 = −
5
4
(𝑥 + 7) 
Portanto, a equação da reta r: 𝑦 = −
5
4
𝑥 + 
3
4
 
13. Duas linhas por (-1, 1), uma paralela e outra perpendicular a 3x + 5𝑦 + 8 = 0. 
Deve-se determinar as equações das retas s e t, sendo aquela paralela e esta perpendicular a 
reta 𝑟: 3𝑥 + 5𝑦 + 8 = 0 e que passam pelo ponto 𝐴 = (−1, 1). 
Determinação da reta s: 
Como a reta s é paralela a reta r, o coeficiente angular de ambas devem ser iguais. Assim, o 
coeficiente angular da reta r é −
3
5
 , então o coeficiente angular da reta s é −
3
5
. Logo a equação 
da reta s é: 
 𝑦 − 1 = − 
3
5
(𝑥 + 1) 
Logo a equação da reta s: 𝑦 = − 
3
5
𝑥 + 
2
5
. 
Determinação da reta t: 
Como a reta t é perpendicular, então 𝑚𝑡 = − 
1
𝑚𝑟
. Assim, 𝑚𝑡 = 
5
3
. Logo a equação da reta t é: 
 𝑦 − 1 = 
5
3
(𝑥 + 1) 
Logo a equação da reta t: 𝑦 = 
5
3
𝑥 + 
8
3
. 
14. Análogo ao exercício 12. 
15. No triângulo de vértice (𝑎, 0) , (𝑏, 0) e (0, 𝑐) ache as equações: 
(a) das três alturas 
 A altura em relação a um lado do triângulo é determinada pelo segmento de reta que é 
perpendicular a esse lado e pelo vértice oposto a esse lado. Logo, para se determinar as 
equações das alturas do triângulo formado pelos pontos (𝑎, 0), (𝑏, 0) e (0, 𝑐) é necessário 
utilizar os coeficientes angulares opostos e inversos aos coeficientes angulares das retas que 
determinam os lados dos triângulos e seus respectivos vértices opostos. 
 
Altura h1 em relação ao lado AB: 
Equação da reta r que passa pelos pontos 𝐴 = (𝑎, 0) e 𝐵 = (𝑏, 0). 
𝑎𝑚 + 𝑛 = 0 
𝑏𝑚 + 𝑛 = 0 
Logo, 𝑟: 𝑦 = 0 
Equação da altura h1, que passa pelo ponto (0, 𝑐) e 𝑚ℎ1 = ∄. Logo h1 é perpendicular ao eixo x 
e coincide com o eixo y. 
ℎ1: 𝑥 = 0 
Altura h2 em relação ao lado CA: 
Equação da reta t que passa pelos pontos 𝐴 = (𝑎, 0) e 𝐶 = (0, 𝑐). 
𝑎𝑚 + 𝑛 = 0 
0𝑚 + 𝑛 = 𝑐 
Logo, 𝑡: 𝑦 = − 
𝑐
𝑎
𝑥 + 𝑐 
Equação da altura h2, que passapelo ponto (𝑏, 0) e 𝑚ℎ2 = 
𝑎
𝑐
𝑎
𝑐
. Logo, a equação da reta h2 é: 
(𝑦 – 0) = 
𝑎
𝑐
(𝑥 – 𝑏) 
Portanto: 
 ℎ2: 𝑦 = 
𝑎
𝑐
𝑥 − 
𝑎𝑏
𝑐
 
Altura h3 em relação ao lado BC: 
Equação da reta s que passa pelos pontos 𝐵 = (𝑏, 0) e 𝐶 = (0, 𝑐). 
𝑏𝑚 + 𝑛 = 0 
0𝑚 + 𝑛 = 𝑐 
Logo, 𝑠: 𝑦 = − 
𝑐
𝑏
𝑥 + 𝑐 
Equação da altura h3, que passa pelo ponto (a, 0) e 𝑚ℎ2 = 
𝑏
𝑐
. Logo, a equação h3 é: 
(𝑦 – 0) = 
𝑏
𝑐
(𝑥 – 𝑎) 
Portanto 
ℎ3: 𝑦 = 
𝑏
𝑐
𝑥 − 
𝑎𝑏
𝑐
 
(b) das três mediatrizes 
 A mediatriz em relação a um lado do triângulo é determinada pela reta que é perpendicular a 
esse lado e passa pelo ponto médio desse lado. Logo, para se determinar as equações das 
mediatrizes do triangulo pelos pontos (a,0), (b,0) e (0,c) é necessário utilizar os coeficientes 
angulares opostos e inversos aos coeficientes angulares das retas que determinam os lados do 
triangulo e os pontos médios de cada lado em relação aos vértices. 
 
Mediatriz m1 em relação ao lado AB: 
𝑟: 𝑦 = 0 
Ponto médio do lado AB: 𝑀𝐴𝐵 = 
𝑎+𝑏
2
, 0 . 
Logo, equação da reta m1 tem 𝑚𝑚1= ∄ e passa pelo ponto 
𝑎+𝑏
2
, 0 : 
𝑚1: 𝑥 = 
𝑎 + 𝑏
2
 
Mediatriz m2 em relação ao lado BC: 
𝑠: 𝑦 = − 
𝑐
𝑏
𝑥 + 𝑐 
Ponto médio do lado BC: 𝑀 𝐵𝐶 = 
𝑏
2
,
𝑐
2
 . 
Logo, a equação da reta m2 tem 𝑚𝑚2 = 
𝑏
𝑐
 e passa pelo ponto 
𝑏 :
2
,
𝑐
2
: 
 𝑦 −
𝑐
2
 = 
𝑏
𝑐
(𝑥 − 
𝑏
2
) 
Logo: 
 𝑚2: 𝑦 = 
𝑏
𝑐
𝑥 − 
(𝑏2 + 𝑐2)
2𝑐
 
Mediatriz m3 em relação ao lado AC: 
𝑡: 𝑦 = − 
𝑐
𝑎
𝑥 + 𝑐 
Ponto médio do lado CA: 𝑀𝐶𝐴 = 
𝑎
2
,
𝑐
2
 . 
Logo, a equação da reta m3 tem 𝑚𝑚3 = 
𝑎
𝑐
 e passa pelo ponto 
𝑎
2
,
𝑐
2
 : 
 𝑦 − 
𝑐
2
 = 
𝑎
𝑐
(𝑥 − 
𝑎
2
) 
Logo: 
 𝑚3: 𝑦 = 
𝑎
𝑐
𝑥 − 
(𝑎2 + 𝑐2)
2𝑐
 
c) das três medianas 
Na lista há um erro de digitação. Neste exercício é para encontrar as três medianas. Idem ao 
exercício 7. 
(d) Prove que as três alturas se encontram num ponto H chamado ortocentro do 
triângulo 
Para encontrar se encontram em um mesmo ponto, encontra-se o ponto de intersecção entre 
elas. Para encontrar esse ponto, deve-se resolver três sistemas de equações de duas equações 
usando as equações h1n h2 e h3 duas a duas. 
Logo, verifica-se que o ponto 𝐻 = 0,
−𝑎𝑏
𝑐
 . 
∎ 
(e) Prove que as três mediatrizes se encontram num ponto O’, chamado circuncentro 
do triângulo 
Analogamente a letra d, acha-se o ponto 𝑂’ = 
𝑎+𝑏
2
,
𝑎𝑏 + 𝑐2
2𝑐
 . 
(f) Prove que as três medianas se encontram num ponto G, chamado baricentro do 
triângulo 
Analogamente a letra d, acha-se o ponto 𝐺 = 
𝑎+𝑏
3
,
𝑐
3
 . 
h) Prove que os pontos 𝐻, 𝑂’ 𝑒, 𝐺 são colineares e que G divide o segmento 𝑂′𝐺 na 
razão 2 :1 
 
Para provar que os pontos H, O’ e G são colineares deve-se resolver o determinante com as 
coordenadas desses pontos, onde na primeira coluna fica o valor do x, na segunda coluna o 
valor do y e na terceira coluna o número 1. Se o determinante for zero, os pontos são 
colineares. Então fica: 
 
𝐷 = 
 
0
−𝑎𝑏
𝑐
1
𝑎+𝑏
2
𝑎𝑏 + 𝑐2
2𝑐
1
𝑎+𝑏
3
𝑐
3
1
 
 = 0 
 
Deve-se achar o comprimenteo do segmento 𝐻𝐺 e do segmento 𝐺𝑂′ para mostrar que o 
segmento 𝐻𝐺 = 2 𝐺𝑂′ ou 2𝐻𝐺 = 𝐺𝑂′ , assim mostrando que G divide o segmento 𝐻𝑂′ na 
razão 2:1. 
𝐻𝐺 = 
𝑎+𝑏
3
− 0 
2
+ 
𝑐
3
− 
(−𝑎𝑏 )
𝑐
 
2
 
𝐺𝑂′ = 
𝑎+𝑏
3
−
(𝑎+𝑏)
2
 
2
 + 
𝑐
3
− 
(𝑎𝑏 +𝑐2)
2𝑐
 
2
 
Logo, verifica-se que 𝐻𝐺 = 2 𝐺𝑂′ 
∎ 
16. Ache duas linhas de inclinação 
2
3
 que fazem com os eixos coordenados um 
triângulo de área 
4
3
. 
 
A equação das retas r e s têm o coeficiente angular igual a 
2
3
 e fazem com os eixos coordenados 
um triângulo de área 
4
3
. Logo, a equação das retas têm a forma: 
2
3
𝑥 + 𝑛 = 𝑦 
Representando essa equação no plano: (as áreas em azul e em amarelo são iguais a 
4
3
) 
 
Para calcular a área é necessário a altura do triângulo (valor de 𝑛) e da base. Para achar o valor 
da base, deve-se achar o valor de 𝑥 quando 𝑦 = 0: 
2
3
𝑥 + 𝑛 = 0
 
 𝑥 =
3
2
𝑛 
Então, o cálculo da área do triângulo é: 
𝑏. ℎ
2
= 𝐴 
 
 
3
2 𝑛. 𝑛
2
=
4
3
 
Assim: 
𝑛1 =
4
3
 
𝑛2 = −
4
3
 
Portanto as retas são: 
𝑟: 𝑦 = 
2
3
𝑥 + 
4
3
 
𝑠: 𝑦 = 
2
3
𝑥 − 
4
3
 
17. Mostre que para quaisquer valores de s e t as retas (2𝑠 + 3𝑡) 𝑥 + (3𝑠 − 2𝑡) 𝑦 =
 5𝑠 + 4𝑡 passam pelo mesmo ponto. Mostre também que toda reta que passa por esse 
ponto é representada por uma equação da forma acima para uma escolha conveniente 
de s e t. 
 
(2𝑠 + 3𝑡) 𝑥 + (3𝑠 − 2𝑡) 𝑦 = 5𝑠 + 4𝑡 
 
Separando nessa equação os termos com s e com t: 
 
𝑠 2𝑥 + 3𝑦 − 5 = 𝑡(−3𝑥 + 2𝑦 + 4) 
 
Portanto s multiplica a equação da reta 𝑟: 2𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0 e t multiplica a equação da reta 
𝑞: − 3𝑥 + 2𝑦 + 4 = 0. Colocando as equações das retas r e q na forma i: 
 
𝑟: −
2
3
𝑥 +
5
3
= 𝑦 
 
𝑞: 
3
2
𝑥 − 2 = 𝑦 
 
Portanto, as retas r e q são perpendiculares. Assim, elas passam por um mesmo ponto, 
independente dos valores de s e t. Para que essas retas passem por um ponto determinado 
(𝑥, 𝑦), os valor de s e t tem que satisfazer a relação: 
 
𝑠 = 𝑡
(−3𝑥 + 2𝑦 + 4)
 2𝑥 + 3𝑦 − 5 
 
 
∎ 
 
 
 
18. Escreva a equação paramétrica da reta 5𝑥 + 2𝑦 = 7: 
Chama-se 𝑦 = 𝑡. Então fica 5𝑥 + 3𝑡 = 7. Logo 𝑥 = − 
(2𝑡−7)
5
 
Portanto, a equação paramétrica da reta é: 
𝑥 = − 
(2𝑡−7)
5
 
𝑦 = 𝑡 
19. Determine a e b de modo que as equações 𝑥 = 𝑎𝑡 + 1 e 𝑦 = 𝑏𝑡 + 5 sejam uma 
representação paramétrica da reta 𝑦 = 2𝑥 + 3. 
 
A equação 𝑦 = 2𝑥 + 3 na forma paramétrica: 
𝑥 = 
𝑡−3
2
 
𝑦 = 𝑡 
Logo: 
𝑡 − 3
2
= 𝑎𝑡 + 1 
𝑡 = 𝑏𝑡 + 5 
Assim: 
𝑎 =
−5 + 𝑡
2𝑡
 
𝑏 = 
−5 + 𝑡
𝑡
 
20. Prove que a equação da reta que passa por (𝑥1, 𝑦1) e por (𝑥2, 𝑦2) pode ser escrita 
da forma: 
 
𝑥 𝑦 1
𝑥1 𝑦1 1
𝑥2 𝑦2 1
 = 0 
Desenvolvendo esse determinante, encomtra-se: 
𝑥
(𝑦2 − 𝑦1)
(𝑥2 − 𝑥1)
+
𝑥2𝑦1 − 𝑥1𝑦2
(𝑥2 − 𝑥1)
= 𝑦 
Utilizando os pontos (𝑥1, 𝑦1) e (𝑥2, 𝑦2) para determinar a quação da reta resolvendo o sistema 
de equação: 
𝑥1𝑚 + 𝑛 = 𝑦1 
𝑥2 + 𝑛 = 𝑦2 
Do sistema, conclui-se que: 
𝑥
(𝑦2 − 𝑦1)
(𝑥2 − 𝑥1)
+
𝑥2𝑦1 − 𝑥1𝑦2
(𝑥2 − 𝑥1)
= 𝑦 
Portanto, a equação da reta pode ser escrita como o determinante apreseentado. 
∎ 
Angulos entre retas 
1. Ache o ângulo agudo entre as retas 3𝑥 − 4𝑦 + 1 = 0 e 2𝑥 + 3𝑦 = 5. 
Para achar o ângulo entre duas retas deve utilizar a seguinte fórmula: 
tan 𝜃 = 
𝑚𝑠 −𝑚𝑟
1+ 𝑚𝑠𝑚𝑟
 (iii) 
Sendo s: 3𝑥 − 4𝑦 + 1 = 0 e r: 2𝑥 + 3𝑦 = 5. Assim, 𝑚𝑠 = 
3
4
 e 𝑚𝑟 = 
−2
3
. Colocando na fórmula 
iii, encontra-se : 
tan 𝜃 = 
17
3
. 
2. Qual o ângulo entre o eixo x e 5𝑥 + 12 = 1? 
A equação da reta r é 5𝑥 + 12 = 1. Então 𝑥 = 
−11
5
. Assim, o ângulo que essa reta faz com o 
eixo x é de 90°. 
3. Ache duas retas passando por (1, −1) que faz um ângulo de 45° com 3𝑥 − 4𝑦 = 7. 
A retas r e s passam no ponto A=(1,-1) e fazem 45° com a reta t: 3𝑥 − 4𝑦 = 7, portando 
𝑚𝑡 =
3
4
. Utilizando a fórmula iii: 
tan 45° = 
𝑚 𝑡−𝑚𝑟 ,𝑠1+ 𝑚𝑡𝑚𝑟 ,𝑠
 
 
 tan 45° = 
3
4
−𝑚𝑟 ,𝑠
1+ 
3
4
𝑚𝑟 ,𝑠
 
Portando, 𝑚𝑟 = 7 e 𝑚𝑠 = −7 
Logo: 
r: 𝑦 + 1 = 7 𝑥 − 1 
 
 𝑦 = 7𝑥 − 8 
s: 𝑦 + 1 = −7 𝑥 − 1 
 
 𝑦 = −7𝑥 + 6 
4. Ache os três ângulos de um triângulo cujos vértices são (2, 1), (-1, 2), (3,-2). Veja se 
eles somam 180°. 
 
A = (-1,2), B = (2,1) e C = (3,-2) 
𝐴𝐵 = (−1 − 2)2 + (2 − 1)2 
 
 𝐴𝐵 = 10 
𝐵𝐶 = (2 − 3)2 + (1 + 2)2 
 
 𝐵𝐶 = 10 
𝐶𝐴 = (3 + 1)2 + (−2 − 2)2 
 
 𝐶𝐴 = 4 2 
Portanto, 𝐵𝐴 𝐶 = 𝐴𝐶 𝐵 
Pela regra do cosseno: 
𝐴𝐵 2 = 𝐵𝐶 2 + 𝐶𝐴 2 − 2. 𝐵𝐶 . 𝐶𝐴 . 𝑐𝑜𝑠𝛼 
 
 10 = 42 − 8 20. 𝑐𝑜𝑠𝛼 
 
 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 0,8944 
∴ 𝛼 ≅ 26,56° 
 
𝐶𝐴 2 = 𝐴𝐵 2 + 𝐵𝐶 2 − 2. 𝐴𝐵 . 𝐵𝐶 . 𝑐𝑜𝑠𝛽 
 
 32 = 20 − 20. 𝑐𝑜𝑠𝛽 
 
 𝑐𝑜𝑠𝛽 = −0,6 
∴ 𝛽 ≅ 126,86° 
𝛼 + 𝛼 + 𝛽 = 180° 
5. Seja 𝛼 um dos ângulos formados pelas retas 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 e 𝑦 = 𝑝𝑥 + 𝑞. Dê uma 
expressão para 𝑐𝑜𝑠𝛼 . 
 
r: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 e s:𝑦 = 𝑝𝑥 + 𝑞 
𝑚𝑟 = −
𝑎
𝑏
 e 𝑚𝑠 = 𝑝 
𝑡𝑔𝛼 = 
−
𝑎
𝑏 − 𝑝
1 + −
𝑎
𝑏 𝑝
 
 
 𝑡𝑔𝛼 = 
−𝑎 − 𝑏𝑝
𝑏 − 𝑎𝑝
 
 
 
𝑠𝑒𝑛𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛼
 = 
−𝑎 − 𝑏𝑝
𝑏 − 𝑎𝑝
 
 
 
 𝑠𝑒𝑛𝛼 
 𝑐𝑜𝑠𝛼 
=
 −𝑎 − 𝑏𝑝 
 𝑏 − 𝑎𝑝 
 
 
 
 𝑐𝑜𝑠𝛼 =
 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑏 − 𝑎𝑝 
 −𝑎 − 𝑏𝑝 
 
 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 
 𝑠𝑒𝑛𝛼 (𝑏 − 𝑎𝑝)
−𝑎 − 𝑏𝑝
 
 6. Escreva a equação da reta que passa pela origem e faz um angulo de 45° com a 
reta 
𝑥
2
+
𝑦 3
2
= 1 
 
Análogo ao exercício 3. 
7. Mostrar que os quatro pontos (2, 2), (5, 6), (9, 9) e (6, 5) são os vértices de um 
losango e que suas diagonais se cortam mutuamente ao meio e uma é perpendicular a 
outra. 
 
A=(2,2), B=(5,5), C=(9,9) e D=(6,5) 
Para ser um logango: 
𝐴𝐷 = 𝐵𝐶 
 
 2 − 6 2 + (2 − 5)2 = 5 − 9 2 + (6 − 9)2 
 
 5 = 5 
𝐴𝐵 = 𝐷𝐶 
 
 2 − 5 2 + (2 − 6)2 = 9 − 6 2 + (9 − 5)2 
 
 5 = 5 
𝐴𝐷 = 𝐵𝐶 = 𝐴𝐷 = 𝐵𝐶 = 5 
Portanto os quatro pontos são os vértices de um losango. 
Equação da reta da diagonal 𝐵𝐷 : 
r: 𝑦 = −𝑥 + 11 
Equação da reta da diagonal 𝐴𝐶 : 
s: 𝑦 = 𝑥 
Como o coeficiente angular das equações das diagonais são opostos e inversos, então o ângulo 
entre as diagonais é 90°. 
Ponto M de intersecção das diagonais: 
𝑦 = −𝑥 + 11 
𝑦 = 𝑥 
M= 
11
2
,
11
2
 
𝐴𝑀 = 𝑀𝐶 
 
 
11
2
− 2 
2
+ 
11
2
− 2 
2
= 9 −
11
2
 
2
+ 9 −
11
2
 
2
 
 
7 2
2
=
7 2
2
 
𝐵𝑀 = 𝑀𝐷 
 
 
11
2
− 5 
2
+ 
11
2
− 6 
2
= 6 −
11
2
 
2
+ 5 −
11
2
 
2
 
 
 2
2
=
 2
2
 
Portanto, as diagonais cortam-se mutuamente ao meio. 
∎ 
 
8. O segmento retilíneo que une os pontos médios de dois lados opostos de qualquer 
quadrilátero e o segmento retilíneo que une os pontos médios das diagonais do 
quadrilátero corta se mutuamente ao meio. 
 
Pontos M1, M2, M3 e M4 médios de dois lados opostos do quadrilátero: 
M1= 
𝑥1+𝑥2
2
,
𝑦1+𝑦2
2
 
M2= 
𝑥3+𝑥4
2
,
𝑦3+𝑦4
2
 
M3= 
𝑥1+𝑥4
2
,
𝑦1+𝑦4
2
 
M4= 
𝑥2+𝑥3
2
,
𝑦2+𝑦3
2
 
Pontos Ma e Mb médios dos segmentos retilíneos que unem os postos médios dos lados 
opostos: 
Ma = Mb = 
𝑥1+𝑥2+𝑥3+𝑥4
2
,
𝑦1+𝑦2+𝑦3+𝑦4
2
 
Postos M5 e M6 médios das diagonais: 
M5= 
𝑥2+𝑥4
2
,
𝑦2+𝑦4
2
 
M6= 
𝑥1+𝑥3
2
,
𝑦1+𝑦3
2
 
Ponto Mc médio do segmento retilíneo que une os postos médios das diagonais: 
Mc = 
𝑥1+𝑥2+𝑥3+𝑥4
2
,
𝑦1+𝑦2+𝑦3+𝑦4
2
 
Portanto, os pontos médios dos segmentos retilíneos que unem os pontos médios dos lados 
opostos e o ponto médio do segmento retilíneo que une os pontos médios das diagonais se 
cortam mutuamente ao meio. 
∎ 
Distância entre pontos e retas 
1. Ache as distâncias entre os pontos e as retas dadas: 
Utilizando a equação da reta na forma 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 0, utiliza-se a fórmula seguinte para 
calcular a distância entre o ponto em a reta: 
𝑑𝑃,𝑟 =
 𝐴𝑥0 + 𝐵𝑦0 + 𝐶 
 𝐴2 + 𝐵2
 
Em que (𝑥0 , 𝑦0) é o ponto que se quer determinar a distância à reta. 
(a) (−3, 4) a 5𝑥 − 2𝑦 = 3. 
Distância entre 𝑃 = (−3,4) e a reta 𝑟: 5𝑥 − 2𝑦 = 3. Colocando a equação da reta 𝑟 na forma 
acima: 
𝑟: 5𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0 
Substituindo os valores na fórmula acima: 
𝑑𝑃,𝑟 =
 5. −3 + −2 . 4 + (−3) 
 52 + (−2)2
 
 
 𝑑𝑃,𝑟 =
26 29
29
 
Analogamente determina-se a distância entre os outros pontos e as outras retas. 
2. Determine a distância 𝛿 entre o ponto 𝐴 = (3, 1) e a reta 𝑥 + 2𝑦 = 3. Ache o 
ponto B sobre essa reta tal que d (A,B) = 𝛿. Escreva a equação da reta de forma 
paramétrica 𝑟 = 𝑟0 + 𝑣𝑡 e calcule o produto interno dos vetores 𝐴𝐵 e 𝑣. Conclua. 
 
Ponto 𝐴 = (3,1) e a reta r: 𝑥 + 2𝑦 − 3 = 0. 
𝑑𝐴,𝑟 =
 1.3 + 2.1 + (−3) 
 12 + 22
 
 𝑑𝐴,𝑟 =
2 5
5
 
Determinação do ponto B: 
Equação paramétrica da reta: 
𝑥 = 3 − 2𝑡 
𝑦 = 𝑡 
𝐵 ∈ 𝑟, logo 𝐵 = (𝑥, 𝑦) pode ser representado pela forma paramétrica, em que 𝑣 = (−2,1,0) 
𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴 = 3 − 2𝑡, 𝑡, 0 − 3,1,0 
𝐵 − 𝐴 = −2𝑡, 𝑡 − 1,0 
𝐴𝐵 . 𝑣 = 0 (porque eles são perpendiculares) 
 −2𝑡, 𝑡 − 1,0 −2,1,0 = 0 
 
 𝑡 =
1
5
 
𝐵 − 𝐴 = −2.
1
5
,
1
5
− 1,0 
 
 𝐵 = 𝐴 + 
−2
5
,
−4
5
, 0 
 
 𝐵 = 3,1,0 + 
−2
5
,
−4
5
, 0 
 
 
 𝐵 = 
13
5
,
1
5
, 0 
3. Ache o comprimento das alturas de um triângulo com vértices (𝑎, 0), (𝑏, 0), (0, 𝑐). 
Analogamente ao exercício 1, para determinar o comprimento das alturas de um triângulo 
com vértices (𝑎, 0), (𝑏, 0) e (0, 𝑐) deve-se calcular a distância desses pontos as retas que 
determinam o lado oposto a esse vértice, de acordo com o exercício 15. 
4. Ache a distância entre as duas retas paralelas: 3𝑥 + 2𝑦 = 6 e 6𝑥 + 4𝑦 = 9. 
(Porque essas retas são paralelas?) 
 
As retas são paralelas porque possuem o mesmo valor do coeficiente angular, que neste caso é 
𝑚 = −
3
2
. 
Para determinar a distância entre elas, escolhe-se um ponto que pertence a uma das retas e 
calcula a distância desse ponto a outra reta. O ponto A=(0,3) pertence a reta 3𝑥 + 2𝑦 = 6. 
Analogamente ao exercício 1, encontra-se a distância entre o A e a reta 6𝑥 + 4𝑦 = 9. 
5. Prove que a distância entre duas retas paralelas cujas equações são 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 ′ =
0 e 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0. 
Da equação da reta r: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶′ = 0 isola-se o 𝑦: 
𝑦 =
−𝐴𝑥 − 𝐶′
𝐵
 
Logo, o ponto 𝐸 = 0, −
𝐶′
𝐵
 pertence a equação da reta r. Calculando a distância do ponto E a 
reta s: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0: 
𝑑𝐸,𝑠 =
 𝐴. 0 + 𝐵. −
𝐶′
𝐵 + 𝐶 
 𝐴2 + 𝐵2
 
 
 𝑑𝐸,𝑠 =
 𝐶 − 𝐶′ 
 𝐴2 + 𝐵2
 
∎ 
6. Ache os pontos da reta 𝑦 = 2𝑥 + 1 que estão situados a distância 2 da origem. 
Ponto A distante de 2 da origem: 
𝐴 = (𝑥, 2𝑥 + 1) 
Logo a distância de A a O é: 
𝑑𝐴,𝑂 = 𝑥 − 0 2 + [(2𝑥 + 1) − 0]2
 
 2 = 𝑥 − 0 2 + [(2𝑥 + 1) − 0]2 
5𝑥2 + 4𝑥 − 3 = 0 
𝑥1 =
−2 + 19
5
 
𝑥2 =
−2 − 19
5
 
Substituindo na equação da reta: 
𝑦1 =
1 + 2 19
5
 
𝑦2 =
1 − 2 19
5
 
Portanto os pontos distante de 2 da origem são: 
𝐴1 = 
−2 + 19
5
,
1 + 2 19
5
 
𝐴2 = 
−2 − 19
5
,
1 − 2 19
5
 
7. Quais são as retas paralelas a reta 3𝑥 − 4𝑦 = 1 que estão a distância 5 desta? 
Para determinar as retas s e t distantes de 5 da reta r: 3𝑥 − 4𝑦 = 1 é necessário usar a 
fórmula da distânciado ponto e reta e utilizar um ponto genérico (x,y) 
5 =
 3𝑥 − 4𝑦 − 1 
 32 + (−4)2
 
 25 = 3𝑥 − 4𝑦 − 1 
3𝑥 − 4𝑦 − 1 = ±25 
Portanto as equações das retas s e t são: 
𝑠: 3𝑥 − 4𝑦 = −24 
𝑡: 3𝑥 − 4𝑦 = 26 
As retas r, s e t são paralelas porque seus coeficientes angulares são iguais a 
3
4
. 
8. A reta r é representada parametricamente por x = at + b e y = ct + d determine o 
ponto o ponto P em que a reta r intercepta a reta s cuja equação é 𝛼𝑥 + 𝛽𝑦 = 𝑐. 
 
Reta r: 
 𝑥 = 𝑎𝑡 + 𝑏 
𝑦 = 𝑐𝑡 + 𝑑 
Isolando o parâmetro t na equação do x e substituindo na equação do y, obtém-se: 
𝑦 =
𝑐𝑥 − 𝑐𝑏 + 𝑑𝑎
𝑎
 
Reta t: 
𝛼𝑥 + 𝛽𝑦 = 𝑐 
Isolando y da reta t, obtém-se: 
𝑦 =
−𝛼𝑥 + 𝑐
𝛽
 
Igualando o y das retas r e t 
𝑐𝑥 − 𝑐𝑏 + 𝑑𝑎
𝑎
=
−𝛼𝑥 + 𝑐
𝛽
 
𝑥 =
𝑐𝑎 + 𝛽𝑐𝑑 − 𝛽𝑑𝑎
𝛽𝑐 + 𝛼𝑎
 
Substituindo o x encontrado na equação da reta t: 
𝑦 =
−𝛼 
𝑐𝑎 + 𝛽𝑐𝑑 − 𝛽𝑑𝑎
𝛽𝑐 + 𝛼𝑎 + 𝑐
𝛽
 
𝑦 =
𝛼 𝑑𝑎 − 𝑐𝑑 + 𝑐2
𝑐 + 𝛼𝑎
 
Portanto o ponto de intersecção das retas r e t é 
𝐼 = 
𝑐𝑎 + 𝛽𝑐𝑑 − 𝛽𝑑𝑎
𝛽𝑐 + 𝛼𝑎
,
𝛼 𝑑𝑎 − 𝑐𝑑 + 𝑐2
𝑐 + 𝛼𝑎
 
9. Determinar as equações da reta que passa pelo ponto (3, 1) e tal que a distância 
desta reta ao ponto (-1, 1) é igual a 2 2. (Duas soluções). 
 
As retas passam por (3,1) distam de 2 2 do ponto A=(-1,1). Utilizando a forma ii para 
determinar uma reta: 
𝑟: 𝑦 − 1 = 𝑚 𝑥 − 3 
 
 𝑚𝑥 − 𝑦 − 3𝑚 + 1 = 0 
Assim, essa reta r tem que estar a 2 2 de distância do ponto A: 
2 2 =
 −𝑚 − 1 − 3𝑚 + 1 
 𝑚2 + 12
 
 𝑚 = ±1 
Portanto as retas são: 
𝑟1: 𝑦 = 𝑥 − 2 
𝑟2: 𝑦 = −𝑥 + 4 
10. Determinar a equação do lugar geométrico de um ponto que se move de maneira 
que sua distância a reta 4x - 3y + 12 = 0 é sempre igual a duas vezes a distância ao 
eixo x. 
 
O lugar geométrico de um ponto 𝑃 = (𝑥, 𝑦) que a distância a reta 𝑟: 4𝑥 − 3𝑦 + 12 = 0 é duas 
vezes a distância desse ponto ao eixo 𝑥 (𝑥 = 0) é representado por: 
𝑑𝑃,𝑟 = 2. 𝑑𝑃,𝑥
 
 
 4𝑥 − 3𝑦 + 12 
 42 + (−3)2
= 2.
 𝑥 + 0 + 0 
 12 + 02
 
Portanto, encontra-se que o lugar geométrico é representado pelas equações: 
𝑦 = −2𝑥 + 4 
𝑦 =
14
3
𝑥 + 4 
11. O ângulo de inclinação de cada uma de duas retas paralelas é 𝛼. Se uma reta 
passa pelo ponto (a, b) e a outra pelo ponto (c, d), mostrar que a distância entre elas é 
 
 𝑐 − 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝛼 − 𝑑 − 𝑏 𝑐𝑜𝑠𝛼 
 
A reta r passa por (a,b) e tem o coeficiente angular 𝑡𝑔𝛼: 
𝑟: 𝑦 − 𝑏 = 𝑡𝑔𝛼 𝑥 − 𝑎 
 
 𝑡𝑔𝛼. 𝑥 − 𝑦 − 𝑡𝑔𝛼. 𝑎 + 𝑏 = 0 
A reta s passa por (c,d) e tem o coeficiente angular 𝑡𝑔𝛼: 
𝑠: 𝑦 − 𝑑 = 𝑡𝑔𝛼 𝑥 − 𝑐 
 
 𝑡𝑔𝛼. 𝑥 − 𝑦 − 𝑡𝑔𝛼. 𝑐 + 𝑑 = 0 
Utilizando um ponto A= 
𝑡𝑔𝛼 .𝑐−𝑑
𝑡𝑔𝛼
, 0 da reta s e calculando a distância do ponta A à reta r: 
𝑑𝐴,𝑟 =
 𝑡𝑔𝛼 
𝑡𝑔𝛼. 𝑐 − 𝑑
𝑡𝑔𝛼 + 0 + −𝑡𝑔𝛼. 𝑎 + 𝑏 
 𝑡𝑔2𝛼 + 12
 
 𝑑𝐴,𝑟 = 𝑐 − 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝛼 − 𝑑 − 𝑏 𝑐𝑜𝑠𝛼 
∎ 
12. Determinar a equação do lugar geométrico de um ponto que se move de maneira 
que sua distância ao ponto (-2, 1) é sempre igual a três vezes a distância a reta 
𝑦 + 4 = 0. 
 
O lugar geométrico de um ponto P=(x,y) que a distância ao ponto A(-2,1) é igual a três vezes a 
distância daquele ponto a reta r: 𝑦 + 4 = 0 é representado por: 
𝑑𝑃,𝐴 = 3. 𝑑𝑃,𝑟
 
 𝑥 + 2 2 + (𝑦 − 1)2= 3.
 0 + 𝑦 + 4 
 02 + 12
 
Desenvolvendo essa expressão, encontra-se: 
𝑥2 + 4𝑥 − 8𝑦2 − 74𝑦 − 139 = 0