Resolução P2A v2

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2ª Avaliação de Geometria Analítica 
(Resolução) 
 
1. Sejam ( ) ( ) e ( ) ( ) onde . Sejam os 
pontos ( ) e ( ). Determine a equação vetorial da reta t que contém P 
é concorrente com r e equidista de Q e s. 
 
Se s e t forem paralelas: 
 
Então o vetor diretor de t é paralelo ao vetor diretor de s. Assim: ⃗ ⃗ ( ). 
 ( ) ( ) 
 
i) Verificando a condição: ( ) ( ) 
 ( ) 
| ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗|
| ⃗|
 ( ) 
 ( ) 
| ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗|
| ⃗|
 
|( ) ( )|
|( )|
 
|( )|
|( )|
 
 
 ( ) ( ) 
| ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗|
| ⃗|
 ( ) ( ) 
 ( ) 
|( ) ( )|
|( )|
 
|( )|
|( )|
 
 
Condição verificada, pois ( ) ( ). 
 
ii) Verificando a condição: t é concorrente com r 
 
Igualando-se as coordenadas, obtém-se o seguinte sistema: 
 
 
 
Encontramos e . Logo, existe ponto de intersecção e as retas t e r são 
concorrentes. 
 
As condições foram verificas, portanto, se s e t forem paralelas, a equação da reta t é 
 ( ) ( ) 
 
Se s e t forem reversas: 
 
 
I pertence à r então é da forma ( ) 
2 
 
 
P e I pertencem à reta t, então ⃗⃗⃗⃗⃗ é o vetor diretor da reta t. 
 ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) 
Equação de t: ( ) ( ) 
 
Pela condição do problema ( ) ( ) 
i) Cálculo de ( ) 
 ( ) 
| ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗|
| ⃗ ⃗|
 
 ( ) 
|( ) ( ) ( )|
|( ) ( )|
 
|( ) ( )|
|( )|
 
| |
√ 
 
 
ii) Cálculo de ( ) 
 ( ) 
| ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗|
| ⃗|
 
 ( ) 
|( ) ( )|
|( )|
 
|( )|
|( )|
 
√( ) 
√ ( ) 
 
√ 
√ 
 
iii) Igualando as distâncias 
| |
√ 
 
√ 
√ 
 
Elevando ao quadrado ambos os lados, encontramos: 
| | 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação da reta t: 
 ( ) ( ) 
 
2. Determine: 
 
(a) m de modo que os planos e sejam 
perpendiculares; 
 
 e são perpendiculares se, e somente se, seus vetores normais forem ortogonais. 
Assim, ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ . 
 
( ) ( ) 
3 
 
 
 
 
 
 
(b) a equação do plano que contém as retas e 
 onde . 
 
Reescrevendo as equações das retas na forma paramétrica: 
 
 
 
 
 
 
Sendo ( ) um ponto genérico do plano, a equação deste é dada por 
[ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗] . ⃗ é o vetor diretor de r, ⃗ o vetor diretor de s e R um ponto pertencente a 
r. 
 
[ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗] |
 
 
 
| 
 ( ) ( ) ( ) 
 
 
 
 
3. Calcule: 
 
(a) a distância entre os planos e ; 
 
 ( ) ( ), ( ) 
 ( ) ( ) 
| |
√ 
 
 
√ 
 
 
 √ 
 
√ 
 
 
 
(b) a distância entre as retas e . 
 
Reescrevendo as equações na forma paramétrica: 
 
 
 
 
 
 
 
r e s são paralelas, então: 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗|
| ⃗|
 
|( ) ( )|
|( )|
 
|( )|
|( )|
 
√( ) 
 
 
 ( ) ( ) √ 
 
 
𝑟 𝑠 
𝑟 𝑠 
4 
 
4. Faça um esboço e determine o centro, vértices, focos e excentricidade da cônica: 
 
 
 
[ ( ) ] [ ( ) ] 
 
Observe que no primeiro colchete temos o equivalente a e no 
segundo . Para que a segunda equação seja equivalente a primeira 
devemos subtrair 64 no primeiro colchete e subtrair 9 no segundo. 
 
[ ( ) ] [ ( ) ] 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
Multiplicando a equação por ⁄ : 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
A equação acima representa uma hipérbole. 
 
Centro: ( ). 
 
 
 
 
 
Vértices (considerando que o centro da hipérbole é a origem): 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 
Focos (considerando que o centro da hipérbole é a origem): 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 
Efetuando as translações (considerando o centro como (2,-1)), temos: 
 ( ) e ( ) 
 ( ) e ( ) 
 
Excentricidade: 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
Figura 1- Gráfico da hipérbole 
 
5. Defina parábola como lugar geométrico. Identifique seus principais elementos e 
indique sua equação geral. 
 
Sejam r uma reta e F um ponto não pertencente a ela. O lugar geométrico P dos pontos 
equidistantes de F e r chama-se parábola. F é o foco, r é a diretriz, e chamaremos o 
número positivo p tal que d(F,r) = 2p de parâmetro da parábola. A reta que contém o 
foco e é perpendicular à diretriz chama-se eixo. Se H é o ponto de intersecção da 
diretriz com o eixo, o ponto V, ponto médio de HF, é chamado de vértice. Uma corda 
da parábola é qualquer segmento cujas extremidades (distintas) pertencem a ela. 
Amplitude focal de P é o comprimento da corda que contém o foco e é perpendicular 
ao eixo. 
[1]
 
Equação geral: 
 
1 CAMARGO, I. BOULOS, P. Geometria Analítica. 3 ed rev e ampl. São Paulo: Prentice Hall, 2005. p. 306