Linearizacao de gráficos

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LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS
Física Básica Experimental I
Departamento de Física / UFPR
Processo de Linearização de Gráficos
� O que é linearização ?
– procedimento para tornar uma curva que não é uma reta em uma 
reta.
– É encontrar uma relação entre duas variáveis, que satisfaça a 
equação da reta, ou seja, determinar os coeficientes angular e linear 
da reta ( ).
� Por que linearizar ?
– A análise de uma reta é mais simples que a análise de uma curva.
– O processo de linearização facilita a determinação das leis físicas 
que governam o experimento que gerou os dados.
ax b y +=
2
Métodos de Linearização
tt ≡′
� 1) Troca de variáveis
– A equação que governa o comportamento dos dados deve ser conhecida.
– A troca de variáveis permite converter uma equação de uma curva numa 
equação de reta.
– Exemplo:
– onde
– Obs: Nem todas as equações podem ser convertidas de forma útil.
 bax y 2 += ⇒ bxa y +′=
 xx
2
=′
Métodos de Linearização
� 2) Uso de papéis especiais: mono-log e di-log
� Quando um gráfico em papel milimetrado fornece uma curva, ainda 
assim é possível obter, em casos específicos, gráficos lineares usando 
papéis mono e di-log.
� Este método se aplica quando a equação que governa o comportamento 
dos dados não é conhecida.
� Funciona por tentativa e erro. Os “softwares” matemáticos permitem a 
troca das escalas linear para logarítmica facilitando o processo.
3
Métodos de Linearização
� Tipos de Papéis:
milimetrado mono-log di-log
Es
ca
la
 
lo
ga
rít
m
ic
a
Es
ca
la
 
lo
ga
rít
m
ic
a
Escala logarítmica
� 1) Método das mudanças de variáveis: Exemplo 1
Gráfico das funções do tipo:
cbxax (x)y 2 ++=
2
2
2
2
x2 (x)y:)d(
20x2 (x)y:)c(
x10x2 (x)y:)b(
20x10x2 (x)y:)a(
=
+=
−=
+−=
lineari
zação
⇒
⇒
⇒
Mudança de variável
2
x x =′
x2 (x)y)d( ′=′
20x2 (x)y)c( +′=′
0 20 40 60 80 100
0
5 0
1 00
1 50
2 00
2 50
Y 
(cm
)
X' (cm2)
 c'
 d'
0 2 4 6 8 10
-20
0
20
40
60
80
100
120
Y
 
(cm
)
X (cm)
 (a)
 (b)
 (c)
 (d)
´´´ (x´)´ bxay +=
4
� Mudança de variáveis: Exemplo 2
Gráfico das funções do tipo:
X/a (X)Y =
X/10 (X)Y =
lineari
zação
⇒
Mudança de variável
X
1
 X =′
X10 )X(Y ′=′⇒
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0
2
4
6
8
10
Y 
(cm
)
X' (cm-1)
0 2 4 6 8 10
0
2
4
6
8
10
12
Y 
(cm
)
X (cm)
bXaY += ´´ (X )´´
?
� Mudança de variáveis: Exemplo 3
Gráfico da função: Gráfico linearizado
onde 
B
r
 10X2 Y −= ⇒
 10X2 Y −′=
 X X =′
Linearização
 ⇒
0 20 40 60 80 100
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
Y 
(cm
1/
2 )
X (cm)
0 2 4 6 8 10
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
Y 
(cm
1/
2 )
X' (cm1/2)
bXaY += ´´ (X )´´
5
� 2) Uso de Papéis especiais: Monolog e Dilog
� Os papéis com escala logarítmica são utilizados para linearizar 
funções exponenciais
� 2.1) Papel monolog
 Ae Y BX=
 e2 Y X8,0=
Papel milimetrado Papel monolog
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
0
5
10
15
20
25
Y 
(cm
)
X (cm)
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
1
10
100
(X
1
,Y
1
)
(X2,Y2)
Y
 
(cm
)
X (cm)
� No Papel monolog:
– O coef. Angular (A’) é obtido dos pontos (X1,Y1) e (X2,Y2) do gráfico
– O coef. Linear é lido diretamente no gráfico para X = 0:
12
12
XX
YY
X
Y
A
−
′−′
=
∆
′∆
=′
)0(YB =
)Yln(Y =′
6
� Papel monolog (cont.)
� Para linearizar em papel milimetrado
� Comparando com a equação da reta
 Ae Y BX= ( ) ( ) BXBX elnAln Aeln Yln +==
( ) BXAln Yln +=
⇒
XAB Y ′+′=′
Y)(ln Y =′
linear coef.Aln B ==′
angular coef.B A ==′⇒
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
ln
(Y
)
X (cm)
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
0
5
10
15
20
25
Y 
(cm
)
X (cm)
⇒
� Uso de papéis especiais:
� 2.2) Papel dilog
 AX Y B=
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Y 
(cm
)
X (cm)
Papel milimetrado Papel dilog
0,01 0,1 1
1E-5
1E-4
1E-3
0,01
0,1
1
(X2,Y2)
(X1,Y1)
Y 
(cm
)
X (cm)
 X2 Y 4,2=
7
� No Papel dilog:
– O coef. Angular (A’) é obtido dos pontos (X1,Y1) e (X2,Y2) no gráfico
– O coef. Linear é obtido após a linearização da eq. exponencial:
Comparando com a equação da reta
Assim: 
Para achar o coef. linear
12
12
XX
YY
X
YA
′−′
′
−
′
′∆
′∆
=′
 AX Y B=
( ) ( ) ( ) ( ) XlogAlogAXlog Ylog BB +==
( ) ( ) ( ) XlogBAlog Ylog +=
XAB Y ′′+′=′
( )YlogY =′
( ) Xlog X =′
( ) Alog B =′
B A =′ ( ) ( ) ( ) XlogBAlog Ylog 11 +=
)Yln(Y =′ )Xln(X =′
� Papel dilog (cont.)
� Para linearizar em papel milimetrado:
– Após a linearização:
( ) ( ) ( ) XlogBAlog Ylog +=
XAB Y ′′+′=′
( )YlogY =′
( ) Xlog X =′
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Y 
(cm
)
X (cm)
-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
lo
g 
(Y
)
log (X)
( ) Alog B =′
B A =′
Papel milimetradoPapel milimetrado
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Exemplo de confecção de gráfico, 
linearização e ajuste de reta
� Dados obtidos:
– Objetivo: Determinar a aceleração a partir das medidas de V e X.
�
X (cm) 0 15 30 45 60 75 90
V (m/s) 0,691 1,435 1,913 2,293 2,727 3,028 3,237
� 1) unificar as unidades para o mesmo sistema de unidades
– Por exemplo, no SI.
� 2) Fazer o gráfico: V versus X
X (m) 0 0,15 0,30 0,45 0,60 0,75 0,90
V (m/s) 0,691 1,435 1,913 2,293 2,727 3,028 3,237
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
V 
(m
/s
)
X (m)
Não é reta!!!
9
� 3) Fazer a linearização:
– É necessário conhecer a equação que relaciona as variáveis V e X
– Análise:
• Este problema é um problema típico de cinemática, que envolve 
aceleração constante, ou seja, MRUV.
• As equações do MRUV são:
– A equação que relaciona V com X é:
– como 
2
at
tVX X
2
00 ++=
atV V 0 +=
Xa2V V 20
2 ∆+= 0XX X −=∆
aX2V V 20
2 += 0X0 =
X X =∆
� 3) Fazer a linearização (cont):
– Comparar com a equação da reta e fazer a mudança de variável.
– Assim:
– coef. linear:
– coef. angular:
aX2V V 20
2 +=
XAB Y ′+=
X X =′
2
0VB =
a2A =
⇒ BV0 =
⇒
2
A
a =
2V Y =
10
� 4) Montar uma tabela com as variáveis linearizadas V2 e X.
� 5) Fazer o gráfico linearizado, isto é, o gráfico de V2 versus X
X' = X (m) 0 0,15 0,30 0,45 0,60 0,75 0,90
Y=V2 (m/s) 0,47748 2,05923 3,65957 5,25785 7,43653 9,16878 10,47817
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0
2
4
6
8
10
12
Y 
(m
2 /s
2 )
X (m)
2V Y =
� 6) Fazer o ajuste da melhor reta utilizando o MMQ
– Calculando o coeficiente angular:
 X’ V2 
 Xi Yi Xi2 XiYi 
 0 0,47748 0,00000 0,00000 
 0,15 2,05923 0,02250 0,30888 
 0,30 3,65957 0,09000 1,09787 
 0,45 5,25785 0,20250 2,36603 
 0,60 7,43653 0,36000 4,46192 
 0,75 9,16878 0,56250 6,87659 
 0,90 10,47817 0,81000 9,43035 
Σ 3,15 38,53761 2,04750 24,54164 
 
( )∑ ∑−
∑∑−∑
= 2
i
2
i
iiii
XXN
Y.XY.XN
 A
2
2 m/s 42813,11)15,3(04750,27
53761,3815,354164,247
 A =
−×
×−×
=
11
� 6) Fazer o ajuste da melhor reta utilizando o MMQ (cont.)
– Calculando o coeficiente linear B:
– Comparar os coeficientes e 
• calcular a aceleração:
• calcular a velocidade inicial V0:
XAB Y += N
Y
 Y i∑=
N
X
 X i∑=
7/)15,342813,1153761,38(XA YB ×−=−=
22 /sm 36271,0B =
2/42813,112/Aa == 2m/s 71407,5a =⇒
36271,0BV0 == ⇒ m/s60225,0V0 =
� 7) Desenhar a melhor reta no gráfico
– Escolher dois pontos X1 e X2 e a partir da equação da melhor reta 
calcular Y1 e Y2
– Exemplo:
– pontos da melhor reta: Gráfico com a melhor reta
X42813,1136271,0 Y +=
20,0 X1 = ⇒
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0
2
4
6
8
10
12
Pontos da melhor reta
Y =0,36271+11,42813 X
Y 
(m
2 /s
2 )
X (m)
64834,2)20,0(42813,1136271,0 Y1 =×+=
12
FIM