Resolução Resistência dos Materiais cap 6

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Flexão 
257 
Resolução: Steven Róger Duarte 
6.1 - PROBLEMAS 
6.1. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para o eixo. Os mancais 
em A e B exercem somente reações verticais no eixo. 
 
Figura 6.1 
 
 
 
 ∑ ; ∑ 
 - 0,8RB + 24 x 0,25 = 0 RA – 7,5 – 24 = 0 
 RB = 7,5 kN RA = 31,5 kN 
 Seção 1 ( ) ; Seção 2 ( ) 
 ( ) kN.m ( ) kN.m 
 ( ) 
 ( )
 
 ( ) 
 ( )
 
 
 
 
Flexão 
258 
Resolução: Steven Róger Duarte 
6.2. Um dispositivo é usado para suportar uma carga. Se a força aplicada ao cabo for 250 N, determine as 
tensões T1 e T2 em cada extremidade da corente e, então, represente graficamente os diagramas de força 
cortante e momento para o braço ABC. 
 
Figura 6.2 
 
 ∑ ; ∑ 
 0,3 x 250 – 0,075T2 = 0 T1 – 1 – 0,250 = 0 
 T2 = 1,00 kN T1 = 1,25 kN 
 Seção AB ( ) ; Seção BC ( ) 
 ( ) kN.m ( ) kN.m 
 ( ) 
 ( )
 
 ( ) 
 ( )
 
 
 
 
Flexão 
259 
Resolução: Steven Róger Duarte 
6.3. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletror para o eixo. Os mancais 
em A e D exercem somente reações verticais sobre o eixo. A carga é aplicada às polias em B, C e E. 
 
Figura 6.3 
 
 ∑ ; ∑ 
 - 0,35 x 400 – 0,85 x 550 + 1,225RD – 1,525 x 175 = 0 RA + 713,775 – 400 – 550 – 175 = 0 
 RD = 713,775 N RA = 411,23 N 
 Seção AB ( ) ; Seção BC ( ) 
 ( ) N.m ( ) N.m 
 ( ) 
 ( )
 
 ( ) 
 ( )
 
 
 Seção CD ( ) ; Seção DE ( ) 
 ( ) N.m ( ) N.m 
 ( ) 
 ( )
 
 ( ) 
 ( )
 
 
 
 
Flexão 
260 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*6.4. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga. 
 
Figura 6.4 
 
 ∑ ; ∑ 
 - 10 x 1 – 10 x 2 – 10 x 3 – 10 x 4 + 5R2 = 0 R1 + 20 – 40 = 0 
 R2 = 20 kN R1 = 20 kN 
 Seção 1 ( ) ; Seção 2 ( ) 
 ( ) kN.m ( ) kN.m 
 ( ) 
 ( )
 
 ( ) 
 ( )
 
 
 Seção 3 ( ) ; Seção 4 ( ) ; Seção 5 ( ) 
 ( ) ( ) kN.m ( ) kN.m 
 ( ) 
 ( )
 
 ( ) 
 ( )
 
 ( ) 
 ( )
 
 
 
 
 
Flexão 
261 
Resolução: Steven Róger Duarte 
6.5. Um suporte de concreto armado é usado para apoiar as longarinas da plataforma de uma ponte. 
Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento para o suporte quando submetido à 
carga das longarinas mostradas na figura. Considere que as colunas A e B exercem somente reações 
verticais no suporte. 
 
 
 Figura 6.5 
 
 ∑ ; ∑ 
 60 x 1 – 35 x 1 – 35 x 2,5 – 35 x 4 + 5RB – 60 x 6 = 0 RA + 112,5 – 225 = 0 
 RB = 112,5 kN RA = 112,5 kN 
 Seção 1 ( ) ; Seção 2 ( ) ; Seção 3 ( ) 
 ( ) kN.m ( ) kN.m ( ) kN.m 
 ( ) 
 ( )
 
 ( ) 
 ( )
 
 ( ) 
 ( )
 
 
 Seção 4 ( ) ; Seção 5 ( ) ; Seção 6 ( ) 
 ( ) kN.m ( ) kN.m ( ) kN.m 
 ( ) 
 ( )
 
 ( ) 
 ( )
 
 ( ) 
 ( )
 
 
 
 
 
Flexão 
262 
Resolução: Steven Róger Duarte 
6.6. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para o eixo. Os mancais 
em A e B exercem somente reações verticais sobre o eixo. Expresse também a força cortante e o 
momento no eixo em função de x dentro da região 125 mm < x < 725 mm. 
 
Figura 6.6 
 
 
 ∑; ∑ 
 - 800 x 0,125 – 1.500 x 0,725 + 0,8RB = 0 RA + 1.484,38 – 800 – 1.500 = 0 
 RB = 1.484,38 N RA = 2.300 N 
 Seção 1 ( ) ; Seção 2 ( ) 
 ( ) N.m ( ) N.m 
 ( ) 
 ( )
 
 ( ) 
 ( )
 
 
Seção 3 ( ) 
 ( ) N.m 
 ( ) 
 ( )
 
 
 
Flexão 
263 
Resolução: Steven Róger Duarte 
6.7. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para o eixo e determine a 
força cortante e o momento em todo o eixo em função de x. Os mancais em A e B exercem somente 
rações verticais sobre o eixo. 
 
Figura 6.7 
 
 ∑ ; ∑ 
 - 4 x 0,9 + 1,5RB – 2,5 x 1,95 = 0 RA + 5,65 – 6,5 = 0 
 RB = 5,65 kN RA = 0,85 kN 
 Seção 1 ( ) ; Seção 2 ( ) 
 ( ) kN.m ( ) kN.m 
 ( ) 
 ( )
 
 ( ) 
 ( )
 
 
Seção 3 ( ) 
 ( ) kN.m 
 ( ) 
 ( )
 
 
 
 
Flexão 
264 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*6.8. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para o tubo. A 
extremidade rosqueada está sujeita a uma força horizontal de 5 kN. Dica: As reações no pino C devem ser 
substituídas por cargas equivalentes no ponto B no eixo do tubo. 
 
 
Figura 6.8 
 
 
 
 ∑ ; ∑ 
 0,4Cy – 0,08Cx = 0 [1] Cx – 5 = 0 [2] 
Substituindo [2] em [1], obtemos: 
Cy = RA = 1 kN ; CX = 5 kN 
 Seção AB ( ) 
 ( ) kN.m 
 ( ) 
 ( )
 
 
 
 
 
Flexão 
265 
Resolução: Steven Róger Duarte 
6.9. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga. Dica: A carga 
de 100 KN deve ser substituída por cargas equivalentes no ponto C no eixo da viga. 
 
 
Figura 6.9 
 
 
 ∑ ; ∑ ; ∑ 
 - 75 x 1 + 100 x 0,25 + 3By = 0 [1] RA + By - 75 = 0 [2] Bx – 100 = 0 [3] 
Resolvendo as equações [1], [2] e [3], obtemos: By = 16,67 kN ; RA = 58,33 kN ; Bx = 100 kN 
 Seção 1 ( ) ; Seção 2 ( ) 
 ( ) kN.m ( ) kN.m 
 ( ) 
 ( )
 
 ( ) 
 ( )
 
 
Seção 3 ( ) 
 ( ) kN.m 
 ( ) 
 ( )
 
 
 
 
Flexão 
266 
Resolução: Steven Róger Duarte 
6.10. O guindaste de motores é usado para suportar o motor que pesa 6 kN. Represente graficamente os 
diagramas de força cortante e momento fletor da lança ABC quando ela está na posição horizontal 
mostrada. 
 
 
Figura 6.10 
 
 
 ∑ ; ∑ ; ∑ 
 1,2 x 0,6FB – 2,4 x 6 = 0 [1] 
 
 
 [2] 
 
 
 [3] 
Resolvendo as equações [1], [2] e [3], obtemos: FB = 20 kN ; Ay = 10 kN ; Ax = 12 kN 
 Seção AB ( ) ; Seção BC ( ) 
 ( ) kN.m ( ) kN.m 
 ( ) 
 ( )
 
 ( ) 
 ( )
 
 
 
 
Flexão 
267 
Resolução: Steven Róger Duarte 
6.11. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga composta. 
Ela é suportada por uma chapa lisa em A, que desliza no interior de uma ranhura e, por isso, não pode 
suportar uma força vertical, embora possa suportar momento e carga axial. 
 
Figura 6.11 
 
 
 ∑ ; ∑ 
 MA – Pa + 3a x 2P – 4a x P= 0 FC – 2P = 0 
 MA = - Pa FC = 2P 
 Seção AB ( ) ; Seção BC ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
 ( )
 
 ( ) 
 ( )
 
 
 Seção CD ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( )
 
 
 
Flexão 
268 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*6.12. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga composta 
interligada por um pino em B. 
 
 
Figura 6.12 
 
 
 ∑; ∑ 
 30 x 1 – 40 x 2,5 + 3,5Cy = 0 Ay + 20 – 70 = 0 
 Cy = 20 kN Ay = 50 kN 
 Seção 1 ( ) ; Seção 2 ( ) 
 ( ) kN.m ( ) kN.m 
 ( ) 
 ( )
 
 ( ) 
 ( )
 
 
 Seção 3 ( ) 
 ( ) kN.m 
 ( ) 
 ( )
 
 
 
Flexão 
269 
Resolução: Steven Róger Duarte 
6.13. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga. 
 
 
Figura 6.13 
 
 
 
 ∑ ; ∑ 
 - M0 – M0 + M0 + 3aRB = 0 - Ay + RB = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 Seção 1 ( ) ; Seção 2 ( ) 
 ( ) . 
 
 
/ ( ) . 
 
 
/ 
 ( ) 
 ( )
 
 
 
 
 ( ) 
 ( )
 
 
 
 
 Seção 3 ( ) 
 ( ) . 
 
 
/ 
 ( ) 
 ( )
 
 
 
 
 
Flexão 
270 
Resolução: Steven Róger Duarte 
6.15. A viga está sujeita ao momento uniforme distribuído m (momento/comprimento). Represente 
graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga. 
 
Figura 6.15 
 
 ∑ 
- MA + mL = 0 MA = mL 
Seção AB ( ) 
 ( ) ( ) 
 
*6.16. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga. 
 
Figura 6.16 
 
Flexão 
271 
Resolução: Steven Róger Duarte 
 ∑ ; Seção 1 ( ) 
 - MA – (10 x 2,5) x 1,25 + (10 x 2,5) x 3,75 = 0 ( ) 
 kN.m 
 MA = 62,5 kN.m ( ) 
 ( )
 
 kN 
Seção 2 ( ) 
 ( ) 
 kN.m 
 ( ) 
 ( )
 
 kN 
 
6.17. Um homem de massa 75 kg está sentado no meio de um barco com largura uniforme e peso de 50 
N/m. Determine o momento fletor máximo exercido sobre o barco. Considere que a água exerce uma 
carga distribuída uniforme para cima na parte inferior do barco. 
 
 Figura 6.17 
 
 ∑ 
5w – 750 – 50 x 5 = 0 w = 200 N/m 
 Seção 1 ( ) ; Seção 2 ( ) 
 ( ) 
 
 N.m ( ) 
 N.m 
 ( ) 
 ( )
 
 N ( ) 
 ( )
 
 N 
Mmáx = M(2,5) = 75 x 2,5² = 468,75 N.m 469 N.m 
 
Flexão 
272 
Resolução: Steven Róger Duarte 
6.18. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga. Ela é 
suportada por uma chapa lisa em A que desliza no interior de uma ranhura e, por isso, não pode suportar 
uma força vertical, embora possa suportar momento e carga axial. 
 
 
Figura 6.18 
 
 
 
 ∑ ; ∑ 
 MA – (wL) x 
 
 
+ FBL= 0 - wL + FB = 0 
 
 
 
 FB = wL 
 Seção AB ( ) 
 ( ) 
 
 
( ) 
 
 ( )
 
 
 
 
 
Flexão 
273 
Resolução: Steven Róger Duarte 
6.19. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga. 
 
Figura 6.19 
 
 
 
 ∑ ; ∑ 
 (30 x 1,5) x 0,75 – 45 + 3FB = 0 FA + 3,75 – 45 = 0 
 FA = 41,25 kN 
 Seção 1 ( ) ; Seção 2 ( ) 
 ( ) 
 
 kN.m ( ) kN.m 
 ( ) 
 ( )
 
 kN ( ) 
 ( )
 
 
 Seção 3 ( ) 
 ( ) kN.m 
 ( ) 
 ( )
 
 
 
 
Flexão 
274 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*6.20. Determine os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga e determine a força 
cortante e o momento em toda a viga em função de x. 
 
 
Figura 6.20 
 
 
 
 ∑ ; ∑ 
 M – (30 x 2,4) x 1,2 – 50 x 2,4 – 40 x 3,6 - 200 = 0 - 30 x 2,4 + F – 50 - 40 = 0 
 M = 550,4 kN.mF = 162 kN 
 Seção 1 ( ) ; Seção 2 ( ) 
 ( ) 
 kN.m ( ) kN.m 
 ( ) 
 ( )
 
 ( ) 
 ( )
 
 
 
 
Flexão 
275 
Resolução: Steven Róger Duarte 
6.21. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga e determine a 
força cortante e momento na viga em função de x, 1,2 m < x < 3 m. 
 
 
Figura 6.21 
 
 ∑ ; ∑ 
 0,3 – (2,5 x 1,8) x 0,9 + 1,8FB – 0,3 = 0 FA + 2,25 – 4,5 = 0 
 FB = 2,25 kN FA = 2,25 kN 
 Seção1 ( ) ; Seção 2 ( ) 
 ( ) ( ) 
 kN.m 
 ( ) 
 ( )
 
 ( ) 
 ( )
 
 kN 
Seção 3 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( )
 
 
 
Flexão 
276 
Resolução: Steven Róger Duarte 
6.22. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga composta. Os 
três segmentos estão interligados por pinos em B e E. 
 
Figura 6.22 
 
 ∑( ) ; ∑ ; 
 3 x 1 - 3FA = 0 3 x 2 - 4FA – (0,8 x 4) x 1 – 3 x 4 + 6FF +2 FD= 0 
 FA = 1 kN FD = 3,6 kN 
 Seção 1 ( ) ; Seção 2 ( ) ; Seção 3 ( ) 
 ( ) kN.m ( ) 
 kN.m ( ) 
 kN.m 
 ( ) 
 ( )
 
 ( ) 
 ( )
 
 ( ) 
 ( )
 
 kN 
 Seção 4 ( ) ; Seção 5 ( ) 
 ( ) 
 kN.m ( ) 
 kN.m 
 ( ) 
 ( )
 
 kN ( ) 
 ( )
 
 kN 
 Seção 6 ( ) ; Seção 7 ( ) 
 ( ) kN.m ( ) kN.m 
 ( ) 
 ( )
 
 ( ) 
 ( )
 
 
 
 
Flexão 
277 
Resolução: Steven Róger Duarte 
6.23. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga. 
 
 
Figura 6.23 
 
 ∑ ; ∑ 
 (30 x 1,5) x 0,75 – 30 – (30 x 1,5) x 2,25 + 3FB = 0 FA + 32,5 – 90 = 0 
 FB = 32,5 kN FA = 57,5 kN 
 Seção 1 ( ) ; Seção 2 ( ) 
 ( ) 
 kN.m ( ) kN.m 
 ( ) 
 ( )
 
 kN ( ) 
 ( )
 
 
 Seção 3 ( ) 
 ( ) 
 kN.m 
 ( ) 
 ( )
 
 kN 
 
 
 
Flexão 
278 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*6.24. A viga está parafusada ou presa por pino em A e repousa sobre um coxim em B que exerce uma 
carga uniformemente distribuída na viga ao longo de seu 0,6 m de comprimento. Represente graficamente 
os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga se ela suportar uma carga uniforme de 30 
kN/m. 
 
Figura 6.24 
 
 
 ∑ ; ∑ 
 (0,6w) x 3 – (30 x 2,4) x 1,5 = 0 RA + 0,6 x 60 – 72 = 0 
 w = 60 kN/m RA = 36 kN 
 Seção 1 ( ) ; Seção 2 ( ) 
 ( ) kN.m ( ) 
 kN.m 
 ( ) 
 ( )
 
 ( ) 
 ( )
 
 kN 
 Seção 3 ( ) 
 ( ) 
 kN.m 
 ( ) 
 ( )
 
 kN 
 
Flexão 
279 
Resolução: Steven Róger Duarte 
6.25. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga. Os dois 
segmentos estão interligados em B. 
 
 
Figura 6.25 
 
 
 
 ∑( ) ; ∑ ; ∑( ) 
 2,4FC – (5 x 2,4) x 1,2 = 0 FA + 6 – 52 = 0 MA + 40 x 1,5 – 2,4 x 46 = 0 
 FC = 6 kN FA = 46 kN MA = 50,4 kN.m 
 Seção 1 ( ) ; Seção 2 ( ) 
 ( ) kN.m ( ) kN.m 
 ( ) 
 ( )
 
 ( ) 
 ( )
 
 
 Seção 3 ( ) 
 ( ) 
 kN.m 
 ( ) 
 ( )
 
 kN 
 
 
Flexão 
280 
Resolução: Steven Róger Duarte 
6.27. Determine a distância de colocação a do suporte de rolete de modo que o maior valor absoluto do 
momento seja um mínimo. Represente graficamente osdiagramas de força cortante e momento fletor para 
essa condição. 
 
Figura 6.27 
 
 ∑ ; ∑ 
 aFB – wL x 0,5L = 0 FA + FB – wL = 0 
 
 
 
 . 
 
 
/ 
 Seção 1 ( ) ; Seção 2 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 . 
 
 
/ ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 ( )
 
 
 
 
 ( ) 
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
. 
 
 
/
 
 ; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
 
 
/
 
 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
Flexão 
281 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*6.28. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a barra. Somente 
reações verticais ocorrem em suas extremidades A e B. 
 
Figura 6.28 
 
 
 
 
 
 
 .
 
 
 / 
 ( ) .
 
 
 / 
 Seção AB ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
Flexão 
282 
Resolução: Steven Róger Duarte 
6.29. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga. 
 
 
Figura 6.29 
 
 
 
 ∑ ; ∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Seção 1 ( ⁄ ) ; Seção 2 ( ⁄ ⁄ ) 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
283 
Resolução: Steven Róger Duarte 
6.30. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga. 
 
 
Figura 6.30 
 
 
 
 ∑ ; ∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Seção 1 ( ⁄ ) ; Seção 2 ( ⁄ ⁄ ) 
 ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 ( )
 
 
 
 
 
 ( ) 
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
284 
Resolução: Steven Róger Duarte 
6.31. A viga T está sujeita ao carregamento mostrado. Represente graficamente os diagramas de força 
cortante e de momento fletor. 
 
 
Figura 6.31 
 
 ∑ ; ∑ 
 ( ) 
 
 Seção 1 ( ) ; Seção 2 ( ) 
 ( ) kN.m ( ) kN.m 
 ( ) 
 ( )
 
 ( ) 
 ( )
 
 
 Seção 3 ( ) 
 ( ) 
 kN.m 
 ( ) 
 ( )
 
 kN 
 
 
Flexão 
285 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*6.32. O esqui suporta o peso de 900 N ( 90 kg) do homem. Se a carga de neve em sua superfície 
inferior for trapezoidal, como mostra a figura, determine a intensidade w e, então, represente graficamente 
os diagramas de força cortante e momento fletor para o esqui. 
 
Figura 6.32 
 
 ∑ ; ( ) 
 ( ) .
 
 
/ ( ) 
 N.m 
 w = 600 N/m ( ) 
 ( )
 
 
 N 
 ( ) 
 ( ) 
 N.m 
 ( ) 
 ( )
 
 N 
 
 
 
Flexão 
286 
Resolução: Steven Róger Duarte 
6.33. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga. 
 
 
Figura 6.33 
 
 
 
 ∑ ; ∑ 
 - 112,5 x 1,5 – 112,5 x 7,5 + 9FB = 0 FA + 112,5 – 225 = 0 
 FB = 112,5 kN FA = 112,5 kN 
 ( ) ; ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
 kN.m ( ) 
 
 
 
 
 kN.m 
 ( ) 
 ( )
 
 
 
 
 
 kN ( ) 
 ( )
 
 
 
 
 
 kN 
 
 
 
 
Flexão 
287 
Resolução: Steven Róger Duarte 
6.34. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga de madeira e 
determine a força cortante e o momento fletor em todo o comprimento da viga em função de x. 
 
Figura 6.34 
 
 
 ∑ ; ∑ 
 1 x 1 – (2 x 1,5) x 0,75 + 1,5FB – 1 x 2,5 = 0FA + 2,5 – 5 = 0 
 FB = 2,5 kN FA = 2,5 kN 
 ( ) ; ( ) 
 ( ) kN.m ( ) 
 kN.m 
 ( ) ( ) 
 ( )
 
 kN 
Seção 3 (2,5 m ) 
 ( ) kN.m 
 ( ) 
 
Flexão 
288 
Resolução: Steven Róger Duarte 
6.35. O pino liso está apoiado em duas chapas A e B e sujeito a uma carga de compressão de 0,4 kN/m 
provocada pela barra C. Determine a intensidade da carga distribuída w0 das chapas agindo sobre o pino e 
represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para o pino. 
 
 
Figura 6.35 
 
 
 ∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ; ( ) 
 ( ) 
 kN.m ( ) 
 kN.m 
 ( ) 
 ( ) 
 ( )
 
 kN 
 
Flexão 
289 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*6.36. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga. 
 
 
Figura 6.36 
 
 
 
 ∑ ; ∑ 
 - 2,25 + 3,6FB – 4,05 x 4,2 = 0 - FA + 5,35 – 4,05 = 0 
 FB = 5,35 kN FA = 1,3 kN 
 ( ) ; ( ) 
 ( ) kN.m ( ) 
 
 
 
 
 kN.m 
 ( ) ( ) 
 ( )
 
 
 kN 
 
 
 
Flexão 
290 
Resolução: Steven Róger Duarte 
6.37. A viga composta consiste em dois segmentos interligados por um pino em B. Represente 
graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor se ela suportar a carga distribuída mostrada 
na figura. 
 
 
Figura 6.37 
 
 
 ∑ ; ∑ ; ∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
291 
Resolução: Steven Róger Duarte 
6.38. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga. 
 
 
Figura 6.38 
 
 
 
 ∑ ; ∑ 
 MB + 9 x 1 - 36 x 1,5 = 0 FB – (18 + 12) x 1,5 = 0 
 MB = 63 kN.m FB = 45 kN 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 kN.m 
 ( ) 
 ( )
 
 kN 
 
 
 
 
Flexão 
292 
Resolução: Steven Róger Duarte 
6.39. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga e determine a 
força cortante e o momento em função de x. 
 
 
Figura 6.39 
 
 
 
 ∑ ; ∑ 
 - 600 x 4,5 – 300 x 5 + 6FB = 0 FA + 700 – (400 + 200) x 1,5 = 0 
 FB = 700 N FA = 200 N 
 ( ) ; ( ) 
 ( ) N.m ( ) 
 
 
 
 N.m 
 ( ) ( ) 
 ( )
 
 
 
 
 
 N 
 
 
Flexão 
293 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*6.40. Determine a distância de colocação a do suporte de rolete de modo que o maior valor absoluto do 
momento seja um mínimo. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para 
essa condição. 
 
 Figura 6.40 
 
 ∑ ; ∑ 
 0,5PL + aFB - PL = 0 FA + FB – 2P = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ⁄ ) ; ( ⁄ ) 
 ( ) . 
 
 
/ ( ) . 
 
 
/ 
 
 
 
 ( ) 
 ( )
 
 . 
 
 
/ ( ) 
 ( )
 
 . 
 
 
/ 
 ( ) ; 
 
 
 ; 
 ( ) |Mmáx| = |Mmín| 
 ( ) 
 ( )
 
 a = 0,866L 
 
Flexão 
294 
Resolução: Steven Róger Duarte 
6.41. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga. 
 
Figura 6.41 
 
 
 
 ∑ ; 
 
 
 ; ∑ 
 ∫ 
 
 
 
∫ 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 MA = 0,5 kN.m 
 ( )( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
295 
Resolução: Steven Róger Duarte 
6.42. O caminhão será usado para transportar a coluna de concreto. Se ela tiver um peso uniforme de w 
(força/comprimento), determine a colocação dos apoios a distâncias a iguais em relação às extremidades, 
de modo que o momento fletor absoluto máximo na coluna seja o menor possível. Além disso, represente 
graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a coluna. 
 
 Figura 6.42 
 
 ∑ ; ∑ 
 .
 
 
 / ( ) F1 + F2 – wL = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ; ( ) ; 
 ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ; para x = 0,5L, temos: 
 ( ) 
 ( )
 
 ( ) 
 ( )
 
 
 
 
 4a² + 4La – L² = 0; resolvendo a equação: a = 0,207L 
 
 
 
 
Flexão 
296 
Resolução: Steven Róger Duarte 
6.2 - PROBLEMAS 
6.43. Um elemento com as dimensões mostradas na figura deverá ser usado para resistir a um momento 
fletor interno M = 2 kN.m. Determine a tensão máxima no elemento se o momento for aplicado (a) em 
torno do eixo z e (b) em torno do eixo y. Trace um rascunho da distribuição de tensão para cada caso. 
 
 Figura 6.43 
(a) Em torno do eixo z 
 
 
 
 = 8,64 x 10
-6
 m
4
 ; 
 
 
 
 
 
 = 13,89 MPa 
(b) Em torno do eixo y 
 
 
 
 = 2,16 x 10
-6
 m
4
 ; 
 
 
 
 
 
 = 27,78 MPa 
*6.44. A haste de aço com diâmetro de 20 mm está sujeita a um momento interno M = 300 N.m. 
Determine a tensão criada nos pontos A e B. Além disso, trace um rascunho de uma visão tridimensional 
da distribuição de tensão que age na seção transversal. 
 
 Figura 6.44 
 
 
 
 
 
 
( ) = 7,854 x 10-9 m4 
yA = c = 10 mm ; yB = csen(θ) = 10sen(45°) = 7,0711 mm ; M = 300 N.m 
 
 
 
 
 
 
 ; 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
297 
Resolução: Steven Róger Duarte 
6.45. A viga está sujeita a um momento M. Determine a porcentagem desse momento à qual resistem as 
tensões que agem nas pranchas superior e inferior A e B da viga. 
 
 Figura 6.45 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 ; 
 
 
 ; 
 
 
 
 
( )
 
( )( ) ; 
 4
 
 
5 (
 
 
* 
 
6.46. Determine o momento M que deve ser aplicado à viga de modo a criar uma tensão de compressão 
no ponto D ζD = 30 MPa. Além disso, trace um rascunho da distribuição de tensão que age na seção 
transversal e calcule a tensão máxima desenvolvida na viga. 
 
 Figura 6.46 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 = 40 MPa 
Flexão 
298 
Resolução: Steven Róger Duarte 
6.47. A peça de mármore, que podemos considerar como um material linear elástico frágil, tem peso 
específico de 24 kN/m³ e espessura de 20 mm. Calcule a tensão de flexão máxima na peça se ela estiver 
apoiada (a) em seu lado e (b) em suas bordas. Se a tensão de ruptura for ζrup = 1,5 MPa, explique as 
consequências de apoiar a peça em cada uma das posições. 
 
 
Figura 6.47 
 
 
(a) Em seu lado 
 
W = = (24 x 10³)(0,5 x 1,5 x 0,02) = 360 N 
 ∑ ; 
 
 
 = 2,0833 x 10
-4
 m
4
 
 Mmáx + 0,375 x 180 – 180 x 0,75 = 0 
 
 
 
 
 
 = 0,081 MPa 
 Mmáx = 67,5 N.m 
(b) Em suas bordas 
 
 
 
 
 = 3,333 x 10
-7
 m
4 
;
 
 
 
 
 
 
 = 2,025 MPa (quebra) 
σmáx = 2,025 MPa > σrup = 1,5 MPa; logo, a peça quebra nessa posição 
Flexão 
299 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*6.48. A peça de mármore, que podemos considerar como material linear elástico frágil, tem peso 
específico de 24 kN/m³. Se for apoiada nas bordas como mostrado em (b), determine a espessura mínima 
que ela deve ter para não quebrar. A tensão de ruptura é ζrup = 1,5 MPa. 
 
 
Figura 6.48 
 
 
 
W(t) = ( )( ) = (18.000t) N 
 ∑ 
Mmáx + (9.000t)(0,375) – (9.000t)(0,75) = 0 
Mmáx = (3.375t) N.m 
Dados: c = 0,5t ; 
 
 
 
 
 
 
 m
4
 ; 
 
 
 27 mm 
 
 
 
Flexão 
300 
Resolução: Steven Róger Duarte 
6.49. A viga tem seção transversal mostrada na figura. Se for feita de aço com tensão admissível ζadm = 
170 MPa, determine o maior momento interno ao qual pode resistir se o momento for aplicado (a) em torno 
do eixo z e (b) em torno do eixo y. 
 
Figura 6.49 
(a) Em torno do eixo z 
 0
 
 
 1 
 
 
 = 5,41 x 10
-6
 m
4 
; 
 
 
 
 (b) Em torno do eixo y 
 
 
 
 
 
 
 
= 1,44125 x 10
-6
 m
4 
; 
 
 
 
6.50. Foram apresentadas duas alternativas para o projeto de uma viga. Determine qual delas suportará 
um momento de M = 150 kN.m com a menor quantidade de tensão de flexão. Qual é essa tensão? Com 
que porcentagem ela é mais efetiva? 
 
Figura 6.50 
 ( ) 0
 
 
 1 
 
 
 = 2,1645 x 10
-4
 m
4 
;
 ( ) 
 
 ( )
 
 
 
 
= 114,34 MPa 
 ( ) 0
 
 
 1 
 
 
 = 3,6135 x 10
-4
 m
4 
; 
 ( ) 
 
 ( )
 
 
 
 
= 74,72 MPa 
 (
 ( )
 ( )
 * = 100%.
 
 
 / 53% 
A seção (b) terá a menor quantidade de tensão de flexão. Porcentagem de maior eficácia = 53,0% 
Flexão 
301 
Resolução: Steven Róger Duarte 
6.51. A peça de máquina feita de alumínio está sujeita a um momento M = 75 N.m. Determine a tensão de 
flexão criada nos pontos B e C daseção transversal. Trace um rascunho dos resultados sobre um 
elemento de volume localizado em cada um desses pontos. 
 
 Figura 6.51 
 
 
∑ 
∑ 
 
 ( )( ) ( )( )
 ( ) ( )
 = 32,5 mm (centroide da seção transversal) 
 0
 
 
 ( )( ) 1 
 
 
 ( ) = 3,6333 x 10-7 m4 
 
 
 
 
( )( )
 
 
= 3,61 MPa ; 
 
 
 
( )( )
 
 
= 1,55 MPa 
*6.52. A peça de máquina feita de alumínio está sujeita a um momento M = 75 N.m. Determine as tensões 
de flexão máximas tanto de tração quanto de compressão na peça. 
 
Figura 6.52 
 
 
∑ 
∑ 
 
 ( )( ) ( )( )
 ( ) ( )
 = 32,5 mm (centroide da seção transversal) 
 0
 
 
 ( )( ) 1 
 
 
 ( ) = 3,6333 x 10-7 m4 
( ) 
 
 
 
( )( )
 
 
= 3,6 MPa ; ( ) 
 
 
 
( )( )
 
 
= 6,71 MPa 
Flexão 
302 
Resolução: Steven Róger Duarte 
6.53. A viga é composta por quatro peças de madeira coladas como mostra a figura. Se o momento que 
age na seção transversal for M = 450 N.m, determine a força resultante que a tensão de flexão produz na 
peça superior A e na peça lateral B. 
 
 Figura 6.53 
 
 
 
 
 
 
 
 = 1,316 x 10
-4
 m
4
 ; ( ) ( ) ( ) = 0 kN 
( ) 
 
 
 
 
 
 = 0,41033 MPa ; ( ) 
 
 
 
 
 
 = 0,341876 MPa 
( ) 
 ( )( )
 
 = 1,50 kN 
6.54. A área da seção transversal da escora de alumínio tem forma de cruz. Se ela for submetida ao 
momento M = 8 kN.m, determine a tensão de flexão que age nos pontos A e B e mostre os resultados em 
elementos de volume localizados nesses pontos. 
 
 Figura 6.54 
 
 
 
 
 
 
 
 = 1,7813 x 10
-5
 m
4 
 
 
 
 
 
 
 = 49,4 MPa (C) ; 
 
 
 
 
 
 = 4,49 MPa (T) 
Flexão 
303 
Resolução: Steven Róger Duarte 
6.55. A área da seção transversal da escora de alumínio tem forma de cruz. Se ela for submetida ao 
momento M = 8 kN.m, determine a tensão de flexão máxima na viga e faço o rascunho de uma vista 
tridimensional da distribuição de tensão que age em toda a seção transversal. 
 
 Figura 6.55 
 
 
 
 
 
 
 = 1,7813 x 10
-5
 m
4 
; 
 
 
 
 
 
 = 49,4 MPa 
*6.56. A viga é composta por três tábuas de madeira pregadas como mostra a figura. Se o momento que 
age na seção transversal for M = 1,5 kN.m, determine a tensão de flexão máxima na viga. Faça um 
rascunho de uma vista tridimensional da distribuição de tensão que age na seção transversal. 
 
 Figura 6.56 
 
 
∑ 
∑ 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
 = 216,2907 mm (centroide da seção transversal) 
 . 
 
 
 / .
 
 
 / .
 
 
 / 
I = 4,74038 x 10
-4
 m
4
 ; 
 
 
 
( )( )
 
 = 0,6844 MPa 
 
 
 
 
( ) ( )
 
 = 0,5642 MPa ; 
 
 
 
( )( )
 
 = 0,5054 MPa 
 
 
 
 
( )( )
 
 = 0,3851 MPa 
Flexão 
304 
Resolução: Steven Róger Duarte 
6.57. Determine a força resultante que as tensões de flexão produzem na tábua superior A da viga se M = 
1,5 kN.m. 
 
 Figura 6.57 
 
∑ 
∑ 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
 = 216,2907 mm (centroide da seção transversal) 
 . 
 
 
 / .
 
 
 / .
 
 
 / 
I = 4,74038 x 10
-4
 m
4
 ; ( ) 
 
 
 
( )( )
 
 = 0,5054 MPa 
( ) 
 
 
 
( )( )
 
 = 0,3851 MPa 
( ) 
( )( )( )
 
 = 4,23 kN 
6.58. A alavanca de controle é usada em um cortador de grama de empurrar. Determine a tensão de 
flexão máxima na seção a-a da alavanca se uma força de 100 N for aplicada ao cabo. A alavanca é 
suportada por um pino em A e um cabo em B. A seção a-a é quadrada, 6 mm por 6 mm. 
 
 Figura 6.58 
 ∑ ; 
 
 
 = 1,08 x 10
-10
 m
4
 
 
 M + 100 x 0,05 = 0 ; M = 5 N.m 
 
 
 
 
 
 = 138,89 MPa