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1 1) Acredita-se que 20% dos moradores das proximidades de uma grande indústria siderúrgica tem alergia aos poluentes lançados ao ar. Admitindo que este percentual de alérgicos é real (correto), calcule a probabilidade de que pelo menos 4 moradores tenham alergia entre 13 selecionados ao acaso. Seja X o número de moradores que têm alergia. p: probabilidade de um indivíduo, selecionado ao acaso, ter alergia; p=0,2. X ~b (13; 0,20), ou seja, a variável aleatória X tem distribuição binomial com parâmetros n = 13 e p = 0,20, com função de probabilidade dada por: k n-k n P(X=k) = p (1-p) k , k=0, 1, ..., n o Assim, a probabilidade de que pelo menos 4 moradores tenham alergia é dada por: P(X 4) = P(X=4) + P(X=5) + … + P(X=13) = 0,1535 + 0,0694 + … + 0,0000 = 0,2526 ou P(X 4) = 1 - P(X3) = 1 – (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3))= 0,2526 2) Três em cada quatro alunos de uma universidade fizeram cursinho antes de prestar vestibular. Se 16 alunos são selecionados ao acaso, qual é a probabilidade de que: (a) Pelo menos 12 tenham feito cursinho? Seja X o número de alunos que fizeram cursinho p: probabilidade de um aluno, selecionado ao acaso, ter feito cursinho; p = 0,75. X ~b (16; 0,75), ou seja, a variável aleatória X tem distribuição binomial com parâmetros n = 16 e p = ¾ =0,75. Assim, a probabilidade de que pelo menos 12 tenham feito cursinho é dada por: P(X 12) = P(X=12) + P(X=13) + P(X=14) + P(X=15) + P(X=16) = 0,2252+0,2079+0,1336+ +0,0535+0,0100= 0,6302 (b) No máximo 13 tenham feito cursinho? Utilizando a função de distribuição apresentada no item (a) temos, P(X 13) = P(X=0) + P(X =1) + … + P(X=13) = 0,0000 + … + 0,2079 = 0,8029 ou P(X 13) = 1 - P(X 14) = 1 – (P(X =14) + P(X =15) + P(X =16) = 0,8029 (c) Exatamente 12 tenham feito cursinho? 2 Utilizando a função de probabilidade apresentada no item (a) temos, P(X =12) = 0,2252 5) Certa empresa que executa pesquisas para um grupo de indústrias, verifica que 40% dos questionários preenchidos no campo e entregues na empresa, necessitam retornar a campo para novos esclarecimentos. Se quatro questionários forem selecionados ao acaso, qual a probabilidade de que pelo menos dois retornem a campo? Resp: P (X 2) = 52% Resposta: P(x ≥ 2) = P(x=2) + P(x=3) + P(x=4) FAZ O CALCULO PARA CADA UM LOGO: 0,5248 52% OU P(x ≥ 2) = 1 – P(x < 2) 1 – [ P (x=1) + P(x=0) P(x=1) = knK kn qpC .., = 141 1,4 6,0.4,0. C = 0,3456 P(x=0) = 040 0,4 6,0.4,0. C = 0,1296 P(x ≥ 2) = 1 – (0,1296 + 0,3456) = 0,5248 52% 6) Um levantamento efetuado na carteira de uma agência bancária indicou que 20% dos títulos eram pagos com atraso. Se em um determinado dia foram pagos cinco títulos da carteira, determine a probabilidade que: a) Três títulos sejam pagos com atraso; Resp: 5% p = 0,2 q = 0,8 P(x=3) = 23 3,5 8,0.2,0.C = 10 . 0,008 . 0,64 = 0,05212 5% b) Mais de 70% sejam pagos com atraso; Resp: 0,67% 0,7 . 5 = 3,5 → 4 ou 5 titulos p = 0,2 q = 0,8 n = 5 3 P(X 4) = P(x=4) + P(x=5) = 14 4,5 8,0.2,0.C + 05 5,5 8,0.2,0.C = 0,00672 0,67% c) Mais de 70% sejam pagos sem atraso; Resp: 74% p = 0,8 q = 0,2 70% de 5 = 3,5 P(X 4) = P(x=4) + P(x=5) = 14 4,5 2,0.8,0.C + 05 5,5 2,0.8,0.C = 0,73728 74% 7) Um levantamento efetuado em um pregão da Bolsa de Valores mostrou que naquele dia 40% das empresas tiveram aumento do valor de suas ações, enquanto que as ações das empresas restantes ficaram estáveis ou perderam valor. Um fundo negocia com ações de 10 destas empresas. Calcule a probabilidade de que neste dia: a) Todas as ações do fundo tenham se valorizado; Resp: P (X = 10) = 0,01 % p = 0,4 q = 0,6 n = 10 P(x=10) = 010 10,10 6,0.4,0.C = 0,00010 = 0,01% b) No máximo duas ações destas empresas não tenham se valorizado; Resp: P (X 2) = 1,23%. P (X 2) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) 100 0,10 4,0.6,0.C + 91 1,10 4,0.6,0.C + 82 2,10 4,0.6,0.C = 0,0123 = 1,23% c) Exatamente cinco ações destas empresas tenham se valorizado; Resp: P (X = 5) = 20% p = 0,4 q = 0,6 n = 10 P(x=5) = 55 5,10 6,0.4,0.C = 0,20 = 20% d) Todas as ações do fundo não tenham se valorizado ou ficaram estáveis. Resp: P (X 10) = 0,6% P = 0,6 q = 0,4 n = 10 P(x=10) = 010 10,10 4,0.6,0.C = 0,006 = 0,6% 8) Um time A tem 2/3 de probabilidade de vitória sempre que joga. Se A joga quatro partidas, encontre a probabilidade de A vencer: a) Exatamente duas partidas; Resp: P (X = 2) = 30% p = 2/3 q = 1/3 n = 4 P(x=2) = 22 2,4 3/1.3/2.C = 0,2963 = 30% b) Pelo menos uma partida; Resp: P (X 1) = 99% P (X 1) = P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) + P(x=4) 4 = 1 – P(x=0) = 1 - 40 0,4 3/1.3/2.C = 1 – 0,0123 = 0,9876 = 99% c) Mais que a metade das partidas; Resp: P (X 3) = 59% P(x>2) = P(x=3) + P(x=4) = 13 3,4 3/1.3/2.C + 04 4,4 3/1.3/2.C = = 0,95 + 0,197 = 0,5920 = 59% 9) A probabilidade de um vendedor efetuar uma venda é 1/4. Se ele tiver sete clientes para visitar qual a probabilidade dele efetuar pelo menos duas vendas? Resp: P (X 2) = 56% P = 1/4 q = 3/4 n = 7 P (X 2) = 1 – P(x=0) + P(x=1) = 1 - 70 0,7 4/3.4/1.C + 61 1,7 4/3.4/1.C = = 1 – (0,1335 + 0,3115) = 55,5%
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