lista02_Estatistica_Ramalho_p2_RESOLUÇÃO

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1) Acredita-se que 20% dos moradores das proximidades de uma grande indústria 
siderúrgica tem alergia aos poluentes lançados ao ar. Admitindo que este percentual de 
alérgicos é real (correto), calcule a probabilidade de que pelo menos 4 moradores tenham 
alergia entre 13 selecionados ao acaso. 
 
Seja X o número de moradores que têm alergia. 
p: probabilidade de um indivíduo, selecionado ao acaso, ter alergia; p=0,2. 
 X ~b (13; 0,20), 
ou seja, a variável aleatória X tem distribuição binomial com parâmetros n = 13 e p = 0,20, 
com função de probabilidade dada por: 
k n-k
n
P(X=k) = p (1-p)
k
 
 
 
, k=0, 1, ..., n 
o 
Assim, a probabilidade de que pelo menos 4 moradores tenham alergia é dada por: 
P(X  4) = P(X=4) + P(X=5) + … + P(X=13) = 0,1535 + 0,0694 + … + 0,0000 = 0,2526 
ou 
P(X  4) = 1 - P(X3) = 1 – (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3))= 0,2526 
 
 
 
2) Três em cada quatro alunos de uma universidade fizeram cursinho antes de prestar 
vestibular. Se 16 alunos são selecionados ao acaso, qual é a probabilidade de que: 
 
(a) Pelo menos 12 tenham feito cursinho? 
 
Seja X o número de alunos que fizeram cursinho 
p: probabilidade de um aluno, selecionado ao acaso, ter feito cursinho; p = 0,75. 
X ~b (16; 0,75), 
ou seja, a variável aleatória X tem distribuição binomial com parâmetros n = 16 e p = ¾ 
=0,75. 
 
Assim, a probabilidade de que pelo menos 12 tenham feito cursinho é dada por: 
P(X  12) = P(X=12) + P(X=13) + P(X=14) + P(X=15) + P(X=16) = 0,2252+0,2079+0,1336+ 
+0,0535+0,0100= 0,6302 
 
(b) No máximo 13 tenham feito cursinho? 
Utilizando a função de distribuição apresentada no item (a) temos, 
P(X  13) = P(X=0) + P(X =1) + … + P(X=13) = 0,0000 + … + 0,2079 = 0,8029 
ou 
P(X  13) = 1 - P(X  14) = 1 – (P(X =14) + P(X =15) + P(X =16) = 0,8029 
 
(c) Exatamente 12 tenham feito cursinho? 
 2 
Utilizando a função de probabilidade apresentada no item (a) temos, 
P(X =12) = 0,2252 
 
 
 
5) Certa empresa que executa pesquisas para um grupo de indústrias, verifica que 40% 
dos questionários preenchidos no campo e entregues na empresa, necessitam retornar a 
campo para novos esclarecimentos. Se quatro questionários forem selecionados ao acaso, 
qual a probabilidade de que pelo menos dois retornem a campo? Resp: P (X  2) = 
52% 
 
 
Resposta: 
 
P(x ≥ 2) = P(x=2) + P(x=3) + P(x=4) 
 
FAZ O CALCULO PARA CADA UM 
 
LOGO: 
0,5248  52% 
 
 
 OU 
 
P(x ≥ 2) = 1 – P(x < 2) 
 
 
1 – [ P (x=1) + P(x=0) 
 
P(x=1) = 
knK
kn qpC
..,
 = 
141
1,4 6,0.4,0.
C
= 0,3456 
 
 
P(x=0) = 
040
0,4 6,0.4,0.
C
 = 0,1296 
 
 
P(x ≥ 2) = 1 – (0,1296 + 0,3456) = 0,5248  52% 
 
 
 
6) Um levantamento efetuado na carteira de uma agência bancária indicou que 20% dos 
títulos eram pagos com atraso. Se em um determinado dia foram pagos cinco títulos da 
carteira, determine a probabilidade que: 
a) Três títulos sejam pagos com atraso; Resp: 5% 
 
 p = 0,2 q = 0,8 P(x=3) = 
23
3,5 8,0.2,0.C
= 10 . 0,008 . 0,64 = 0,05212  5% 
 
b) Mais de 70% sejam pagos com atraso; Resp: 0,67% 
 
 0,7 . 5 = 3,5 → 4 ou 5 titulos p = 0,2 q = 0,8 n = 5 
 
 3 
 P(X  4) = P(x=4) + P(x=5) = 
14
4,5 8,0.2,0.C
+ 
05
5,5 8,0.2,0.C
= 0,00672  0,67% 
 
 
c) Mais de 70% sejam pagos sem atraso; Resp: 74% 
 
 p = 0,8 q = 0,2 70% de 5 = 3,5 
 
 P(X  4) = P(x=4) + P(x=5) = 
14
4,5 2,0.8,0.C
+ 
05
5,5 2,0.8,0.C
= 0,73728  74% 
 
 
7) Um levantamento efetuado em um pregão da Bolsa de Valores mostrou que naquele dia 
40% das empresas tiveram aumento do valor de suas ações, enquanto que as ações das 
empresas restantes ficaram estáveis ou perderam valor. Um fundo negocia com ações de 
10 destas empresas. Calcule a probabilidade de que neste dia: 
a) Todas as ações do fundo tenham se valorizado; Resp: P (X = 10) = 0,01 % 
 
 p = 0,4 q = 0,6 n = 10 P(x=10) = 
010
10,10 6,0.4,0.C
 = 0,00010 = 0,01% 
 
b) No máximo duas ações destas empresas não tenham se valorizado; 
 Resp: P (X  2) = 1,23%. 
 P (X  2) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) 
 
 
100
0,10 4,0.6,0.C
 + 
91
1,10 4,0.6,0.C
 + 
82
2,10 4,0.6,0.C
= 0,0123 = 1,23% 
 
 
c) Exatamente cinco ações destas empresas tenham se valorizado; Resp: P (X = 5) = 20% 
 
 p = 0,4 q = 0,6 n = 10 
 P(x=5) = 
55
5,10 6,0.4,0.C
= 0,20 = 20% 
 
d) Todas as ações do fundo não tenham se valorizado ou ficaram estáveis. 
 Resp: P (X  10) = 0,6% 
 P = 0,6 q = 0,4 n = 10 
 
 P(x=10) = 
010
10,10 4,0.6,0.C
= 0,006 = 0,6% 
 
 
8) Um time A tem 2/3 de probabilidade de vitória sempre que joga. Se A joga quatro 
partidas, encontre a probabilidade de A vencer: 
a) Exatamente duas partidas; Resp: P (X = 2) = 30% 
 
 p = 2/3 q = 1/3 n = 4 
 P(x=2) = 
22
2,4 3/1.3/2.C
= 0,2963 = 30% 
 
b) Pelo menos uma partida; Resp: P (X  1) = 99% 
 
 P (X  1) = P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) + P(x=4) 
 
 4 
 = 1 – P(x=0) = 1 - 
40
0,4 3/1.3/2.C
= 1 – 0,0123 = 0,9876 = 99% 
 
c) Mais que a metade das partidas; Resp: P (X  3) = 59% 
 
 P(x>2) = P(x=3) + P(x=4) = 
13
3,4 3/1.3/2.C
+ 
04
4,4 3/1.3/2.C
 = 
 = 0,95 + 0,197 = 0,5920 = 59% 
 
 
9) A probabilidade de um vendedor efetuar uma venda é 1/4. Se ele tiver sete clientes para 
visitar qual a probabilidade dele efetuar pelo menos duas vendas? Resp: P (X  2) = 56% 
 
 P = 1/4 q = 3/4 n = 7 
 
 P (X  2) = 1 – P(x=0) + P(x=1) = 1 - 
70
0,7 4/3.4/1.C
+ 
61
1,7 4/3.4/1.C
= 
 = 1 – (0,1335 + 0,3115) = 55,5%