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Modelagem Matemática e Sistemas Dinâmicos
4ª Lista de Exercícios – Revisão de EDO – Problemas de Valor Inicial
Leve em conta que y = 1/(1 + c1e-x) é uma família a um parâmetro de soluções de y’ = y – y2 para encontrar uma solução para o problema de valor inicial que consiste na equação diferencial e na condição inicial dada.
1) y(0) = - 1/3 2) y(-1)= 2
Use o fato de que x = c1 cos t + sen t é uma família a dois parâmetros de soluções de x’’ + x = 0 para determinar uma solução para o problema de valor inicial que consiste na equação diferencial e nas condições iniciais dadas.
3) x(0) = -1, x’(0) = 8 4) x((/2) = 0, x’((/2) = 1
5) x((/6) = 1/2, x’((/6) = 0 6) x((/4) =
, x’((/4) = 
Leve em conta que x = c1 ex + c2 e-x é uma família a dois parâmetros de soluções de y’’ + y = 0 para encontrar uma solução para o problema de valor inicial que consiste na equação diferencial e nas condições iniciais dadas.
7) y(0) = 1, y’(0) = 2 8) y(1) = 0, y’(1) = e
9) y(-1) = 52, y’(-1) = -5 10) y(0) = 0, y’(0) = 0
Determine por inspeção pelo menos duas soluções dos problemas de valor inicial dados em 11 e 12.
11) y’ = 3y2/3, y(0) = 0 12) xy’ = 2y, y(0) = 0
Determine uma região no plano xy na qual a equação diferencial dada tenha uma única solução cujo gráfico passe pelo ponto (x0, y0) nessa região.
13) 
 14) 
15) 
 16) 
17) (4 – y2)y’ = x2 18) (1 + y3)y’ = x2
19) (x2 + y2)y’ = y2 20) (y – x)y’ = y + x
Determine se o Teorema 1.1 Existência de uma única solução garante que a equação diferencial 
 tem uma única solução que passa pelo ponto dado.
21) (1, 4) 22) (5, 3)
23) (2, -3) 24) (-1, 1)
25) (a) Determine por inspeção uma família a um parâmetro de soluções da equação diferencial xy’ = y. Verifique que cada membro da família é uma solução do problema de valor inicial xy’ = y, y(0) = 0.
(b) Explique o item (a) determinando uma região R no plano xy para a qual a equação diferencial xy’ = y, y(0) = 0.
(c) Verifique que a função definida por partes 
 satisfaz a condição y(0), Determine se essa função é também uma solução do problema de valor inicial dado no item (a).
26) (a) Verifique que y = tg(x + c) é uma família a um parâmetro de soluções da equação diferencial y’ = 1 + y2.
(b) Uma vez que f(x, y) = 1 + y2 e (f/(y = 2y são contínuas em toda parte, a região R do Teorema 1.1 pode ser tomada como todo o plano xy. Use a família de soluções do item (a) para encontrar uma solução explícita do problema de valor inicial y’ = 1 + y2, y(0) = 0. Mesmo estando x0 = 0 no intervalo -2 < x < 2, explique por que a solução não está definida neste intervalo.
(c) Determine o maior intervalo I de definição da solução do problema de valor inicial do item (b).
27) (a) Verifique que y = -1/(x + c) é uma família a um parâmetro de soluções da equação diferencial y’ = y2.
(b) Uma vez que f(x, y) = y2 e (f/(y = 2y são contínuas em toda parte, a região R do Teorema 1.1 pode ser tomada como todo o plano xy. Ache uma solução da família do item (a) que satisfaça y(0) = 1. Ache uma solução da família do item (a) que satisfaça y(0) = -1. Determine o maior intervalo I de definição da solução de cada problema de valor inicial.
(c) Ache uma solução da família do item (a) que satisfaça y’ = y2, y(0)= y0, y0 ( 0. Explique por que o maior intervalo I de definição para essa solução é ou -( < x < 1/y0 ou 1/y0 < x < (. 
(d) Determine o maior intervalo I de definição para a solução do problema de valor inicial y’ = y2, y(0) = 0.
Algumas Respostas:
1) y = 1/(1 – 4e-x)
3) x = -cos t + 8 sen t
5) 
7) 
9) 
11) y= 0, y = x3
13) semiplanos definidos por y > 0 ou x < 0
15) semiplanos definidos por x > 0 ou x < 0
17) as regiões definidas por y > 2, y < -2 ou -2 < y < 2
19) qualquer região que não contenha (0, 0)
21) sim
23) não
25) (a) y = cx
 (b) qualquer região retangular que não toque o eixo y
 (c) Não, a função não é diferenciável em x = 0.
27) (b) y = 1/(x – 1) em (-(, 1); em y = -1/(x + 1) em (-1, ()
 (c) y = y0 /(1 – y0 x); y0 ( 0. Considere os casos y0 < 0 e y0 > 0
Problema de Valor Inicial
Em geral estamos interessados na resolução de uma equação diferencial sujeita a determinadas condições prescritas, condições estas que são impostas à solução desconhecida y = y(x) e suas derivadas. Em algum intervalo I contendo x0, o problema 
Resolver: 
 
Sujeita a: 
 
Onde x0, y0, y1, ..., yn-1 são constantes reais especificadas, é chamado de problema de valor inicial (PVI) de ordem n. Os valores de y(x) e suas n - 1 derivadas em um único ponto x0: 
, são chamados de condições iniciais. 
PVI de primeira ordem:
Resolver: 
 
Sujeita a: 
 (Problema de valor inicial de primeira ordem)
Resolver: 
 
Sujeita a: 
 (Problema de valor inicial de segunda ordem)
O termo condição inicial vem de sistemas físicos em que a variável independente é o tempo t e em que y(t0) = y0 e y’(t0) = y1 representam, respectivamente, a posição e a velocidade de um objeto no instante inicial t0.
Ex: 
 é uma família a um parâmetro de soluções da equação diferencial de primeira ordem y’ = y no intervalo 
. Se especificarmos uma condição inicial y(0) = 3, e então substituirmos x = 0, y = 3 na família, determinamos a constante 
 = c, logo c = 3.
Assim sendo, a função 
 é uma solução do problema de valor inicial y’ = y, y(0) = 3.
Se exigirmos agora que a solução da equação diferencial passe pelo ponto (1, -2) em vez de (0, 3), então y(1) = -2 dará lugar a -2 = ce ou c = -2e -1. A função y = -2e x-1 é uma solução do problema de valor inicial y’ = y, y(1) = -2.
Teorema: Existência de uma única solução 
Seja R uma região retangular no plano xy definida por a ( x ( b, c ( y ( d que contém o ponto (x0, y0). Se f(x,y) e 
 são continuas em R, existe algum intervalo I0: x0 – h < x < x0 + h contido em a ( x ( b, e uma única solução y(x), definida em I0, que é uma solução do problema de valor inicial de primeira ordem.
PVI de segunda ordem:
Resolver: 
 
Sujeita a: 
Ex: 
 é uma família a dois parâmetros de soluções de 
.
Ache uma solução do problema de valor inicial 
Aplicando 
 à família dada de soluções: 
.
Uma vez que 
 verificamos que c1= -2. 
Em seguida aplicamos 
 à família dada de soluções: 
.
Diferenciando e fazendo 
, obtemos 
, onde vemos que c2= ¼.
Logo 
 é solução do problema de valor inicial de segunda ordem 
Teorema: Existência de uma única solução
Sejam an(x), an-1(x),..., a1(x), a0(x) e g(x) contínuas em um intervalo I e seja an(x) ( 0 para todo x nesse intervalo, então existe uma única solução y(x) do problema de valor inicial nesse intervalo. 
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