4ª Lista-Base e Dimensão

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Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo -
Votuporanga
Álgebra Linear - Engenharia Civil
Quarta Lista de Exercícios
2o semestre - 2014
Professora Elen Cristina Mazucchi
. Base e Dimensão.
Exercício 1: Sejam os vetores v1 = (1, 0,−1), v2 = (1, 2, 1) e v3 = (0,−1, 0) do R3.
a) Mostrar que {v1, v2, v3} é base do R3.
b) Escrever e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1) como combinação linear dos
vetores da base B. (Resp.: e1 =
1
2v1 +
1
2v2 + v3, e2 = −v3 e e3 = −12v1 + 12v2 + v3)
Exercício 2: Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base de P2 (conjunto
dos polinômios de grau manor ou igual a 2)?
a) 1, t, t2 (Resp.: Sim)
b) 2, 1− x, 1 + x2 (Resp.: Sim)
c) 1 + x+ x2, x+ x2, 1 + 2x− x2 (Resp.: Não)
Exercício 3: Para quais valores de k o conjunto B = {(1, k), (k, 4)} é base do R2?
(Resp.: k 6= ±2)
Exercício 4: Mostrar que os vetores v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 2, 3), v3 = (3, 0, 2) e
v4 = (2,−1, 1) geram o R3. Encontre uma base dentre os vetores v1, v2, v3 e v4.
(Resp.: Base: {v1, v2, v3})
Exercício 5: Seja o subespaço S de M(2, 2) :
S =
{[
a b
c d
]
; c = a+ b e d = a
}
.
a) Qual a dimensão de S? (Resp.: 2)
b) O conjunto
{[
1 −1
0 1
]
,
[
2 1
3 4
]}
é uma base de S? Justificar.
Resp.: Não, pois
[
2 1
3 4
]
/∈ S
Exercício 6: Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes espaços veto-
riais.
a) S1 =
{
(x, y, z) ∈ R3/y = 5x e z = 0} (Resp.: DimS1 = 1 e B = {(1, 5, 0)})
1
b) S2 =
{
(x, y, z) ∈ R3/2x− y + 3z = 0} (Resp.: DimS2 = 2 eB = {(1, 2, 0), (0, 3, 1)})
Exercício 7: Determinar a dimensão e uma base para o espaço solução dos sistemas:
a) S1 =

x+ 2y − 2z − t = 0
2x+ 4y + z + t = 0
x+ 2y + 3z + 2t = 0
(Resp.: DimS1 = 2 eB = {(1, 0, 3,−5), (0, 1, 6,−10)})
b) S2 =

2x+ 2y − 3z = 0
x− y − z = 0
3x+ 2y + z = 0
(Resp.: DimS2 = 0 e não existe base)
Exercício 8: No espaço vetorial R3 considere os seguintes subespaços:
U = {(x, y, z) ∈ R3;x = 0} e W = [(1, 2, 0), (3, 1, 2)]. Determine a dimensão de U , W , U +W e
U ∩W. Determine uma base para U +W.
(Resp.: DimU = 2, DimW = 2, Dim(U +W ) = 3 e Dim(U) = 1. Uma base para U +W é
B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)})
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