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Curso: Engenharia Civil Disciplina: Estatística (ESTE2) Prof. Rodrigo Cleber da Silva Aula 13 13 – Variável Aleatória e Distribuição de Probabilidade 1 – Definição de variável aleatória Introduzidas às noções fundamentais sobre a teoria das probabilidades, podemos passar às chamadas Distribuições de Probabilidades. DEFINIÇÃO: • Ema variável aleatória é uma variável (normalmente representada por x) que assume um único valor numérico, determinado pelo acaso, para cada resultado de um experimento. • Uma distribuição de probabilidade é uma descrição que dá a probabilidade para cada valor da variável aleatória. Ela é frequentemente expressa na forma de um gráfico, de uma tabela ou de uma fórmula. Resumindo uma distribuição de probabilidade é uma distribuição de frequência relativa para os resultados de um espaço amostral. 13 – Variável Aleatória e Distribuição de Probabilidade 1 – Definição de variável aleatória Considerando a variável aleatória (v.a.) “número de caras em duas jogadas de uma moeda”, eis a lista dos pontos do espaço amostral e os valores correspondentes à v.a.: 13 – Variável Aleatória e Distribuição de Probabilidade 1 – Definição de variável aleatória Se a moeda é equilibrada, P(K)=P(C)=1/2. As probabilidades dos diversos resultados são: 13 – Variável Aleatória e Distribuição de Probabilidade 1 – Definição de variável aleatória Assim, pois, a distribuição de probabilidades para o número de caras em duas jogadas de uma moeda é: Nota-se que a soma de todas as probabilidades é 1,00, como é de se esperar, pois os resultados apresentados são mutuamente exclusivos e coletivamente exaustivos. A mesma distribuição pode ser apresentada em forma acumulada. 13 – Variável Aleatória e Distribuição de Probabilidade 1 – Definição de variável aleatória Graficamente, as distribuição de probabilidade e acumulada se apresentam: 13 – Variável Aleatória e Distribuição de Probabilidade 1 – Definição de variável aleatória Portanto concluímos que uma variável aleatória (v.a.) fornece um meio para se descrever por valores numéricos os resultados experimentais. Uma v.a. é uma descrição numérica do resultado de um experimento. Uma v.a. pode ser classificada como discreta ou contínua, dependendo dos valores numéricos que ela assume. 13 – Variável Aleatória e Distribuição de Probabilidade 2 – Variável aleatória discretas Uma v.a. que pode assumir tanto um número finito de valores como infinita sequência de valores tais como 0, 1, 2, 3, ... é denominada variável aleatória discreta. Por exemplo, considere o experimento de um contador que faz um exame público. O exame tem quatro partes. Podemos definir a v.a. discreta como x ≡ o número de partes em que foi aprovado no exame. Essa v.a. discreta pode assumir o número finito de valores 0, 1, 2, 3 ou 4. Como outro exemplo, considere o experimento de carros que chegam a um posto de pedágio. A v.a. de interesse é x º o número de carros que chega durante o período de um dia. Os possíveis valores de x vêm da sequência de inteiros 0, 1, 2 e assim por diante. Portanto x é uma v.a. discreta que assume um dos valores nessa sequência infinita. 13 – Variável Aleatória e Distribuição de Probabilidade 2 – Variável aleatória discretas Embora muitos experimentos tenham resultados que são naturalmente descritos por valores numéricos, outros não o são. Por exemplo, uma questão de um levantamento pode solicitar a um indivíduo que relembre a mensagem de um recente comercial de televisão. Esse experimento poderia ter dois resultados possíveis: o indivíduo não pode lembrar a mensagem e o indivíduo pode lembrar a mensagem. Podemos ainda descrever esses resultados experimentais numericamente, definindo-se a v.a. discreta x como segue: seja x = 0 se o indivíduo não pode lembrar a mensagem e x = 1 se o indivíduo pode lembrar a mensagem. Os valores numéricos para essa v.a. são arbitrários (poderíamos usar 5 e 10), mas eles são aceitáveis em termos da definição de uma v.a.. 13 – Variável Aleatória e Distribuição de Probabilidade 2 – Variável aleatória discretas Outros exemplos de v.a. discretas são dados a seguir: 13 – Variável Aleatória e Distribuição de Probabilidade 3 – Variável aleatória contínuas Uma v.a. que pode assumir qualquer valor numérico em um intervalo ou numa coleção de intervalos é chamada v.a. contínua. Resultados experimentais que são baseados em escalas de medidas tais como peso, tempo, distância e temperatura podem ser descritos por v.a. contínuas. Por exemplo considere, o experimento de monitorar as chamadas telefônicas que chegam a um escritório de reclamações de uma grande empresa de seguros. Suponha que a v.a. de interesse seja x ≡ o tempo em minutos entre chamadas consecutivas recebidas. Essa v.a. pode assumir qualquer valor no intervalo x > 0. Realmente, um número infinito de valores são possíveis para x, incluindo valores tais como 1,27 minutos, 2,471 minutos, 4,5555 minutos e assim por diante. 13 – Variável Aleatória e Distribuição de Probabilidade 3 – Variável aleatória contínuas Como um outro exemplo, considere um trecho de 144 Km de uma auto-estrada interestadual ao norte de Atlanta, Geórgia, nos USA. Para um serviço de emergência localizado em Atlanta, podemos definir a v.a. como x ≡ a localização do próximo acidente de trânsito ao longo desse trecho da auto-estrada. Neste caso, x seria uma v.a. contínua que assume qualquer valor no intervalo 0 < x < 144. Outros exemplos são apresentados na tabela abaixo. 13 – Variável Aleatória e Distribuição de Probabilidade 3 – Variável aleatória contínuas 13 – Variável Aleatória e Distribuição de Probabilidade 3 – Variável aleatória contínuas Observação: Um modo de determinar se uma v.a. é discreta ou contínua é pensar nos valores da v.a. como pontos sobre um segmento de reta. Escolha 2 pontos que representam valores da v.a.. Se todo o segmento de reta entre os 2 pontos também representa possíveis valores para a v.a., então a v.a. é contínua. 13 – Variável Aleatória e Distribuição de Probabilidade Exercício: Uma série de experimentos e v.a.‘s associadas são listados a seguir. Em cada caso, identifique os valores que a v.a. pode assumir e estabeleça se a v.a. é discreta ou contínua. 13 – Variável Aleatória e Distribuição de Probabilidade 4 – Distribuição discreta de probabilidade A distribuição de probabilidade para uma v.a. descreve como as probabilidades estão distribuídas sobre os valores da v.a.. Para uma v.a. discreta x, a distribuição de probabilidade é definida por uma função de probabilidade, denotada por f(x). A função de probabilidade fornece a probabilidade para cada um dos valores da v.a.. Como exemplo de v.a. discreta e sua distribuição de probabilidade, considere as vendas de automóveis de uma revendedora chamada X-Motors. Nos últimos 300 dias de operação, os dados de vendas mostram 54 dias sem vendas de automóveis, 117 dias com um automóvel vendido, 72 dias com dois automóveis vendidos, 42 dias com três automóveis vendidos, 12 dias com quatro automóveis vendidos e 3 dias com cinco automóveis vendidos. 13 – Variável Aleatória e Distribuição de Probabilidade 4 – Distribuição discreta de probabilidade Suponha que consideremos o experimento de selecionar um dia de operação na X-Motors. Definimos a v.a. de interesse como x ≡ o número de automóveis vendidos durante um dia. A partir dos dados históricosconhecidos, sabemos que x é uma v.a. discreta que pode assumir os valores 0, 1, 2, 3, 4 ou 5. Na notação da função de probabilidade, f(0) fornece a probabilidade de 0 automóveis vendidos, f(1) fornece a probabilidade de 1 automóvel vendido e assim por diante. Uma vez que os dados mostram 54 dos 300 dias com 0, atribuímos o valor 54/300 = 0,18 para f(0), indicando que a probabilidade de 0 automóvel ter sido vendido durante um dia é de 0,18. Analogamente, podemos calcular as demais funções, mostradas na tabela a seguir. 13 – Variável Aleatória e Distribuição de Probabilidade 4 – Distribuição discreta de probabilidade 13 – Variável Aleatória e Distribuição de Probabilidade 4 – Distribuição discreta de probabilidade No desenvolvimento de uma função de probabilidade para qualquer v.a. discreta, as duas condições seguintes precisam ser satisfeitas: O exemplo mais simples de uma distribuição discreta de probabilidade é a distribuição uniforme de probabilidade. Sua função de probabilidade é dada a seguir: 13 – Variável Aleatória e Distribuição de Probabilidade 4 – Distribuição discreta de probabilidade Por exemplo considere o experimento de lançamento de um dado e defina a v.a. x como sendo o número da face voltada para cima. Existem n = 6 valores possíveis para a v.a.; x = 1, 2, 3, 4 , 5, 6. Assim a função de probabilidade para esta v.a. é f(x) = 1/6 x = 1,2,3,4,5,6 13 – Variável Aleatória e Distribuição de Probabilidade 5 – Valor esperado e Variância de uma v.a. Discreta • Valor esperado O valor esperado, ou média, de uma v.a. discreta é a medida de posição central para a v.a.. A expressão matemática para o valor esperado da v.a. x é dada por: E(x) = μ = Σ x.f(x) Voltando ao exemplo anterior da X-Motors, temos: 13 – Variável Aleatória e Distribuição de Probabilidade 5 – Valor esperado e Variância de uma v.a. Discreta • Valor esperado Portanto E(x) = μ = Σ x.f(x) = 1,50. 13 – Variável Aleatória e Distribuição de Probabilidade 5 – Valor esperado e Variância de uma v.a. Discreta • Variância Enquanto o valor esperado fornece o valor médio para a v.a., frequentemente necessitamos de uma medida de variabilidade ou de dispersão. A expressão matemática para a variância é: 13 – Variável Aleatória e Distribuição de Probabilidade 5 – Valor esperado e Variância de uma v.a. Discreta • Variância No exemplo anterior temos: 13 – Variável Aleatória e Distribuição de Probabilidade Exercícios: 13 – Variável Aleatória e Distribuição de Probabilidade Exercícios: 13 – Variável Aleatória e Distribuição de Probabilidade Exercícios: 13 – Variável Aleatória e Distribuição de Probabilidade Exercícios:
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