SE RM ST M1T1

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SISTEMAS ESTRUTURAIS: 
RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS - 
SOLICITAÇÕES 
TANGENCIAIS 
MÓDULO 1 
TÓPICO 1 
 
PROFESSOR ESPECIALISTA ANTÔNIO OTTO NEVES FILHO 
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MÓDULO I – CONCEITOS FUNDAMENTAIS: FÍSICA E 
UNIDADES 
 
Tópico 1 – Sistemas Estruturais 
Como engenheiro envolvido no projeto de prédios, pontes e outras estruturas, você será 
obrigado a tomar muitas decisões técnicas sobre sistemas estruturais. Essas decisões incluem: (1) 
selecionar uma forma estrutural eficiente, econômica e atraente; (2) avaliar sua segurança, ou seja, 
sua resistência e rigidez; e (3) planejar sua edificação sob cargas de construção temporárias. 
Para projetar uma estrutura, você vai aprender a pôr em prática uma análise estrutural que 
estabelece as forças internas e deslocamentos em todos os pontos, produzidos pelas cargas de 
projeto. Os projetistas determinam as forças internas nos membros importantes para dimensionar 
tanto os membros como as ligações entre eles. Além disso, avaliam os deslocamentos para garantir 
uma estrutura resistente que não apresente deslocamento ou vibração excessivos sob carga de modo 
que sua função seja prejudicada. 
Em uma estrutura, temos que os materiais utilizados são solicitados de diversas formas 
durante a fase de construção e utilização de uma edificação. E ao longo desta vida útil ele deve 
desempenhar seu papel com qualidade e segurança. Dito isto, cabe a Resistência dos Materiais 
dimensiona-los de forma a resguardar a estrutura. 
Os esforços que atuam nos corpos devem ser conhecidos e analisados para que possamos 
calcular devidamente os perfis que utilizaremos. 
O projeto e a análise de qualquer elemento estrutural requer conhecimento das cargas 
atuantes no interior desse elemento, não apenas quando ele está instalado no seu local de trabalho, 
mas também durante seu deslocamento e instalação neste local. 
Agora, você vai expandir sua base em análise estrutural aplicando, de maneira sistemática, 
uma variedade de técnicas para determinar as forças e deslocamentos de diversos elementos 
estruturais básicos: vigas, treliças, pórticos, arcos e cabos. Esses elementos representam os 
componentes básicos utilizados para formar sistemas estruturais mais complexos. 
Além disso, à medida que você trabalhar nos problemas de análise e examinar a distribuição 
das forças em vários tipos de estruturas, entenderá mais como as estruturas são solicitadas e 
deformadas pelo carregamento. Gradualmente, você também desenvolverá uma percepção clara 
sobre qual configuração estrutural é a mais adequada para uma situação de projeto em particular. 
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Figura 1. Estrutura metálica sendo montada 
 
 
O Processo De Um Projeto 
O projeto de qualquer estrutura (seja o arcabouço de um veículo espacial, um prédio alto, 
uma ponte pênsil, uma plataforma de perfuração de petróleo no mar, um túnel etc.) normalmente é 
executado em etapas alternadas de projeto e análise. Cada etapa fornece novas informações que 
permitem ao projetista passar para a fase seguinte. O processo continua até que a análise indique 
que não é mais necessária nenhuma alteração no tamanho dos membros. As etapas específicas do 
procedimento estão descritas a seguir. 
 
Projeto Conceitual 
Um projeto começa com a necessidade específica de um cliente. Um construtor, por 
exemplo, pode autorizar uma empresa de engenharia ou arquitetura a preparar planos de um 
complexo esportivo para abrigar um campo de futebol oficial, assim como lugares para 60 mil 
pessoas, estacionamento para 4 mil carros e espaço para as instalações básicas. Em outro caso, uma 
cidade pode contratar um engenheiro para projetar uma ponte sobre um rio de 600 metros de largura 
e suportar certo volume de tráfego por hora. 
O projetista começa considerando todas as disposições e sistemas estruturais que possam 
atender aos requisitos do projeto. Frequentemente, os arquitetos e engenheiros consultam uma 
equipe nesse estágio, para estabelecer as disposições que proporcionam sistemas estruturais 
eficientes, além de satisfazer os requisitos arquitetônicos (funcionais e estéticos) do projeto. Em 
seguida, o projetista prepara esboços de natureza arquitetônica, mostrando os principais elementos 
estruturais de cada projeto, embora nesse ponto os detalhes do sistema estrutural sejam geralmente 
incompletos. 
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Projeto Preliminar 
Na fase do projeto preliminar, o engenheiro seleciona vários sistemas estruturais do projeto 
conceitual que parecem ser mais promissores e dimensiona seus componentes principais. Esse 
dimensionamento preliminar dos membros estruturais exige um entendimento do comportamento 
estrutural e conhecimento das condições de carga (peso próprio, acidental, vento e outras) que 
provavelmente afetarão o projeto. 
Nesse ponto, o projetista experiente pode fazer alguns cálculos aproximados para estimar as 
proporções de cada estrutura em suas seções críticas. 
 
Análise de Projetos Preliminares 
Neste estágio, as cargas precisas que a estrutura suportará não são conhecidas, pois o 
tamanho exato dos membros e os detalhes arquitetônicos do projeto não estão finalizados. 
Utilizando os valores estimados da carga, o engenheiro realiza uma análise dos diversos sistemas 
estruturais sob consideração para determinar as forças nas seções críticas e os deslocamentos em 
qualquer ponto que influenciem a resistência da estrutura. O peso real dos membros não pode ser 
calculado até que a estrutura seja dimensionada exatamente, e certos detalhes arquitetônicos serão 
influenciados pela estrutura. 
Por exemplo, o tamanho e o peso do equipamento mecânico não podem ser determinados até 
que o volume da construção seja estabelecido, o qual, por sua vez, depende do sistema estrutural. 
Contudo, o projetista sabe da experiência passada com estruturas semelhantes como estimar 
valores para a carga que sejam aproximações razoáveis dos valores finais. 
 
Redefinição das Estruturas 
Usando os resultados da análise dos projetos preliminares, o projetista recalcula as 
proporções dos principais elementos de todas as estruturas. Embora cada análise tenha sido baseada 
em valores de carga estimados, as forças estabelecidas neste estágio provavelmente são indicativas 
do que uma estrutura em particular deve suportar; portanto, é improvável que as proporções mudem 
significativamente, mesmo depois que os detalhes do projeto final forem estabelecidos. 
 
Avaliação de Projetos Preliminares 
Em seguida, os diversos projetos preliminares são comparados com relação ao custo, 
disponibilidade de materiais, aparência, manutenção, tempo de construção e outras considerações 
pertinentes. A estrutura que melhor atende aos critérios estabelecidos pelo cliente é escolhida para 
um maior refinamento na fase de projeto final. 
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Fases Finais De Projeto E Análise 
Na fase final, o engenheiro faz pequenos ajustes na estrutura escolhida para melhorar sua 
economia ou aparência. Agora o projetista avalia cuidadosamente os pesos próprios e considera as 
posições específicas da carga acidental que maximizarão as tensões nas seções críticas. Como parte 
da análise final, a resistência e a rigidez da estrutura são avaliadas para todas as cargas 
significativas e combinações de carga permanente e acidental, incluindo vento, neve, terremoto, 
mudança de temperatura e recalques. Se os resultados do projeto final confirmarem que as 
proporções da estrutura são adequadas para suportar as forças primitivas, o projeto estará 
terminado. Por outro lado, se o projeto final revelar certas deficiências (por exemplo, certos 
membros são solicitados demais, a estrutura é incapaz de resistir eficientemente às cargasde vento 
laterais, membros são excessivamente flexíveis ou os custos estão acima do orçamento), o projetista 
terá de modificar a configuração da estrutura ou considerar um sistema estrutural alternativo. 
Aço, concreto armado, madeira e metais, como o alumínio, são todos analisados da mesma 
maneira. As diferentes propriedades dos materiais são levadas em consideração durante o processo 
de projeto. Quando os membros são dimensionados, os projetistas consultam normas técnicas de 
projeto, as quais levam em conta as propriedades especiais de cada material. 
 
Princípios 
A massa corresponde à quantidade de matéria do corpo, ou, é o valor da resistência que o 
corpo oferece para alterar sua velocidade (inércia). 
A força é ação de empurrar ou puxar um corpo seja pela ação de outro corpo ou pela ação de 
efeitos naturais como a força da gravidade, forças magnéticas, etc. A força é caracterizada por 
módulo (ou intensidade), direção, sentido e ponto de aplicação. 
 
Forças 
Intuitivamente associamos o termo “força” a qualquer ato de puxar/empurrar algo. Em geral, 
o termo representa a ação de um corpo sobre o outro (força de contato). 
Quando você empurra um carro, chuta uma bola ou bate um prego com um martelo, você 
está aplicando as chamadas forças de contato, pois há contato direto entre os corpos envolvi- dos na 
ação. 
Quando você observa um prego ser atraído por um ímã, não existe contato direto entre os 
corpos, essa atração ocorre à distância; nesse caso, as forças são denominadas forças de ação a 
distância. 
No ambiente da construção civil temos a força de contato que uma viga faz na outra, a força 
de reação normal que o chão faz na viga além da força peso. Na física newtoniana força é uma 
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grandeza vetorial de forma que ao expressa-la, devemos fazer não apenas com um valor numérico 
(módulo), mas também por meio de sua direção e sentido. 
A direção de uma força é definida por sua linha de ação, ou seja, é a reta ao longo da qual a 
força atua, sendo caracterizada pelo ângulo que a mesma forma com algum eixo de referência. Por 
conveniência costuma-se descrever a força por meio de seus componentes em algum sistema de 
coordenadas. 
 
Figura 2. Exemplo da decomposição do vetor A em termos de suas componentes, paralela e perpendicular ao segmento de reta aa’. 
 
 
Nas situações reais, um corpo está sujeito a mais de uma força, logo faz-se necessário 
analisar o sistema de forças, que é o conjunto de forças aplicadas simultaneamente em pontos 
diversos de um mesmo corpo. Deve-se então dimensionar o vetor resultante. 
 
Figura 3. Da esquerda para direita, grupo de força e Sistema de Forças 
 
 
Massa vs Peso 
Enquanto a massa (m) de um corpo corresponde à quantidade de matéria do corpo, ou, à 
medida de sua inércia, o peso (P) é uma força cuja intensidade é determinada por: 
 
𝑃 = 𝑚𝑔 
 
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A massa de um corpo permanece a mesma onde quer que ele esteja. Mas seu peso varia de 
acordo com a aceleração gravitacional (g). E a aceleração gravitacional diminui com a altitude. Ao 
nível do mar a aceleração gravitacional é 9,80665 m/s², portanto, um corpo cuja massa é 1 kg pesa 
9,80665 N. 
 
Partícula vs Corpo 
Partícula (ou ponto material) é um corpo que possui massa, mas, tem dimensões 
desprezíveis. 
O corpo é constituído por um conjunto de partículas, donde, além de massa ele possui 
dimensões não desprezíveis. O corpo é chamado de rígido se não sofre deformação quando sujeito a 
qualquer tipo de força. No estudo da Estática os corpos serão considerados como corpos rígidos. Os 
corpos deformáveis são estudados na Resistência dos Materiais. 
 
Leis de Newton 
 Primeira Lei (Princípio da Inércia): Se uma partícula está em repouso ou em movimento 
retilíneo uniforme, ela permanecerá indefinidamente neste estado caso não venha atuar nela 
qualquer força ou cuja resultante das forças nela atuantes seja nula. 
 
 Segunda Lei (Princípio fundamental da dinâmica): Se em uma partícula de massa “m” 
atuar uma força F esta partícula adquire uma aceleração “a” na mesma direção e sentido da 
força, conforme a seguinte equação: 
amF .
. 
 
 Terceira Lei (Princípio da ação e reação): A toda ação de uma força corresponde uma 
força de reação com mesma intensidade, mesma direção e sentido contrário. 
 
Vetores 
A quantidade de massa de um corpo é representada por um número seguido por sua unidade, 
por exemplo, 3,2 kg. Este número que representa a quantidade de massa é chamado de escalar. O 
escalar pode ser também um número negativo, por exemplo, a temperatura média no cume de uma 
determinada montanha é -10°C. Portanto o escalar nos informa o valor ou a intensidade de uma 
determinada grandeza física. Se temos um conjunto de corpos de massas diferentes podemos obter a 
massa total deste conjunto bastando somar algebricamente suas grandezas individuais. 
Entretanto determinadas grandezas físicas possuem características especiais onde não é 
possível simplesmente somar suas intensidades para obter o resultado final. É o caso, por exemplo, 
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quando temos várias forças atuando sobre um determinado corpo. Neste caso temos de levar em 
conta, também, as direções e sentidos das forças aplicadas ao corpo. 
Para representar entidades físicas como a força, a velocidade, a aceleração, etc. adotamos o 
ente matemático chamado vetor. 
O vetor é a representação de uma grandeza física que possui intensidade (ou módulo), 
direção e sentido. 
O vetor é representado através de uma seta cujo comprimento em escala nos fornece o seu 
módulo. A ponta da seta, que é a extremidade do vetor, nos informa o seu sentido. Sua direção (ou 
orientação) pode ser informada através das coordenadas das extremidades do vetor ou do ângulo 
formado por sua reta suporte (ou linha de ação) e um eixo de referência qualquer. 
A Figura 4 nos mostra a representação de um vetor situado no plano xy de um sistema 
cartesiano de referência, onde sua direção é dada pelo ângulo de 35° em relação ao eixo x e seu 
módulo é a medida da seta que tem três unidades. A Figura 3 mostra também a origem e a 
extremidade do vetor, bem como a linha de ação ou reta suporte do vetor. 
 
Figura 4. Exemplo de vetor 
 
 
Como vemos na figura acima o símbolo que representa um vetor é constituído por uma letra 
com uma seta em cima ( F ), muitas vezes é representado simplesmente por uma letra em negrito 
(F). O módulo é representado por | A | ou simplesmente por A seguido de sua unidade, que no caso 
da força no SI, é o Newton (N). 
 
Vetores Iguais 
Dois ou mais vetores são iguais quando possuem a mesma direção, mesmo sentido e mesmo 
módulo, conforme Figura 4 (a). Vetores iguais podem ser representados pela mesma letra. 
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Vetores Opostos 
Dois vetores são opostos se possuem a mesma direção, mesmo módulo e sentidos diferentes, 
conforme apresentado na Figura 4 (b). Neste caso o vetor oposto G pode ser representado por –F. A 
soma de dois vetores opostos dá como resultado um vetor nulo: 
F+G = F+(-F) = 0. 
 
Figura 5. Vetores a favor e opostos 
 
 
Adição de Vetores 
O resultado da soma de dois ou mais vetores é chamado de resultante. Isto é: 
 
P + Q = R. 
 
Para obtermos a soma (resultante) de dois vetores devemos usar a lei do paralelogramo. Para 
somarmos P + Q devemos colocar a origem dos dois vetores num mesmo ponto “O” e pela 
extremidade de cada vetor traçamos uma linha paralela ao outro vetor, formando, portanto, um 
paralelogramo. 
O vetor representado pela diagonal que passa pela origem “O” dos dois vetores é o vetor 
soma (Figura 6). 
Figura 6. Vetor resultante soma 
 
 
Subtração de VetoresA subtração entre os vetores P – Q pode ser obtida somando-se o vetor P com o vetor oposto 
de Q, isto é: 
 
P – Q = P + (-Q) 
 
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A diferença entre os vetores P e Q da Figura 6 é determinada conforme a Figura 7. 
 
Figura 7. Vetor resultante diferença 
 
 
Adição ou Subtração De Vetores Colineares 
Vetores colineares são vetores que possuem a mesma linha de ação. 
Se dois vetores são colineares e possuem o mesmo sentido então a soma dos vetores P + Q 
resultará num vetor de mesma direção e sentido dos vetores P e Q, e o módulo será a soma 
algébrica de seus módulos P + Q, conforme Figura 7 (a). 
Se os dois vetores são colineares, porém, de sentidos contrários, a resultante será um vetor 
de direção igual à dos vetores, módulo igual à diferença dos módulos P - Q e sentido igual ao do 
vetor de módulo maior, Figura 7 (b). 
 
Figura 8. Vetores colineares 
 
 
Sistemas De Unidades 
O sistema de unidades adotado no Brasil e na maioria dos países, exceto nos países de língua 
inglesa é o Sistema Internacional de Medidas (SI). Baseado no sistema métrico suas unidades 
básicas são de medidas associadas a comprimento, massa e tempo; e são chamadas respectivamente 
de metro (m), o quilograma (kg) e o segundo (s). Por isto é chamado também de sistema MKS. 
 
! 
Não se engane! 
Unidades são responsáveis por grande parte dos erros na Arquitetura e Engenharia; 
e como tal, serão severamente cobradas nesta disciplina. 
! 
 
 
A multiplicidade de suas unidades é feita na base 10 Tabela 1. 
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Tabela 1. Prefixos do Sistema Internacional (SI). 
 
Prefixos Símbolo Fator Força (N) Pressão/Tensão (Pa) 
M
u
lt
ip
lo
s 
tera T 10
12
 TN TPa 
giga G 10
9
 GN GPa 
mega M 10
6
 MN MPa 
quilo k 10
3
 kN kPa 
hecto h 10
2
 hN hPa 
deca da 10
1
 daN daPa 
 
Unidade - 1 N Pa 
S
u
b
m
ú
lt
ip
lo
s 
deci d 10
-1
 dN dPa 
centi c 10
-2
 cN cPa 
mili m 10
-3
 mN mPa 
micro μ 10-6 μN μPa 
nano n 10
-9
 nN nPa 
pico p 10
-12
 pN pPa 
 
Tabela 2. Principais unidades do SI 
Grandeza Unidade Símbolo Fórmula 
Aceleração Metro por segundo, por segundo 
𝑚
𝑠²
 
Ângulo Radiano rad 
Área Metro quadrado m
2
 
Energia Joule J N . m 
Força Newton N 
𝑘𝑔.𝑚
𝑠²
 
Momento de uma força, Torque. Newton metro N . m 
Potência, fluxo de energia. Watt W 
𝐽
𝑠
 
Pressão/Tensão Pascal Pa 
𝑁
𝑚²
 
Tempo Segundo s 
Trabalho Joule J N . m 
Velocidade Metro por segundo 
𝑚
𝑠
 
Volume de sólidos Metro cúbico m
3
 
 
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Tabela 3. Conversões de unidade na grandeza Pressão/Tensão. 
Principais unidades de Pressão/Tensão 
1 Pa = 1 N/m² = 10
-7
 kN/cm² = 10
-4
 N/cm² 
1 kPa = 1 kN/m² = 10
-4
 kN/cm² = 10
-1
 N/cm² 
1 MPa = 1 N/mm² = 10
-1
 kN/cm² = 10² N/cm² 
1 GPa = 1 kN/mm² = 10² kN/cm² = 10
5
 N/cm² 
 
Razão de Conversão De Unidades 
Uma forma de se fazer a conversão de uma unidade para outra de mesma característica é 
utilizarmos o que se chama de razão de conversão unitária. 
Por exemplo: Converter 3,5 km para metros. 
Como 1 km = 10
3
 m a razão de conversão pode ser 
1
10
1
3

m
km
ou seu inverso 
1
1
103

km
m
. 
Pegamos então o valor a ser convertido e o multiplicamos pela razão de conversão que 
venha cancelar a unidade a ser alterada. No nosso caso fica: 
 
m
km
m
km 3
3
10.5,3
10
5,3 
 
 
Um outro exemplo, agora utilizando as unidades de tensão, que serão amplamente utilizadas 
nesta disciplina: 
 
Figura 9. Método de conversão 
 
 
 
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Exemplos 
1 Segundo as regras da Fórmula 1, o peso mínimo do carro, de tanque vazio, com o piloto, é de 
605 kg, e a gasolina deve ter densidade entre 725 e 780 gramas por litro. Entre os circuitos nos 
quais ocorrem competições dessa categoria, o mais longo é Spa-Francorchamps, na Bélgica, 
cujo traçado tem 7 km de extensão. O consumo médio de um carro da Fórmula 1 é de 75 litros 
para cada 100 km. Suponha que um piloto de uma equipe específica, que utiliza um tipo de 
gasolina com densidade de 750 g/L, esteja no circuito de Spa-Francorchamps, parado no box 
para reabastecimento. Caso ele pretenda dar mais 16 voltas, ao ser liberado para retornar à 
pista, seu carro deverá pesar, no mínimo: 
 
A) 617 kg. B) 668 kg. C) 680 kg. D) 689 kg. E) 717 kg. 
 
Análise: Devemos calcular o peso que vai voltar o carro, após a saída do box, com a quantidade de 
gasolina para conseguir dar, pelo menos, mais 16 voltas. 
O carro com o piloto tem massa total de 605 kg. 
A distância percorrida em 16 voltas é de 7 x 16 = 112 km. A gasolina necessária para percorrer os 
112 km, considerando o consumo de 75 litros a cada 100 km é: 
 
Como a densidade da gasolina usada é 750 g/L, o peso de 84 L de gasolina é: 
 
Assim o peso do carro será 605 + 63 = 668 kg, logo, alternativa B. 
 
Noções De Álgebra Vetorial E Força 
As grandezas físicas podem ser escalares ou vetoriais. Uma grandeza física escalar é 
caracterizada por um valor numérico em determinado sistema de unidades, como quando se 
quantifica massa, comprimento, tempo e temperatura, por exemplo. Para massa, comprimento e 
tempo, esse valor é sempre positivo. Para temperatura na escala Celsisus, esse valor pode ser 
positivo ou negativo. Já a grandeza força, além de ser caracterizada por um valor numérico não 
negativo em determinado sistema de unidades, denominado intensidade ou módulo, tem uma 
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direção, um sentido e, por vezes, uma linha de ação e também um ponto de aplicação. Além disso, 
por obedecer à regra de adição de vetores, é uma grandeza vetorial. Deslocamento, velocidade, 
aceleração e quantidade de movimento são outras grandezas vetoriais de grande importância em 
Mecânica. 
A força pode ser de contato entre corpos, como quando se empurra um objeto, ou de ação à 
distância (força de campo), como nos campos gravitacional, magnético e eletromagnético. Assim, 
força é o resultado da interação entre dois corpos e portanto, sempre ocorre em pares de ação e 
reação, como é enunciado pela terceira lei de Newton. Essa grandeza tem natureza abstrata, uma 
vez que não pode ser visualizada e nem armazenada, apenas ter seu efeito identificado. 
Força de contato é sempre distribuída na superfície de contato entre dois corpos e em razão 
disso, também é chamada de força de superfície, como por exemplo, a pressão que a água exerce 
sobre a parede de um reservatório. Contudo, no caso de essa superfície ser pequena ou por 
simplicidade, essa força costuma ser considerada através de sua resultante aplicada no ponto médio 
de sua distribuição. É a chamada redução de uma força de superfície a um ponto, com a obtenção de 
uma força concentrada. O mesmo ocorre no caso de força de campo que é distribuída no volume de 
um corpo, o que é denominado força de volume. Entretanto, é prático operar com a resultante dessa 
força, que em campo gravitacional denomina-se peso. E com a consideração desse campo como 
constante, o ponto de atuação dessa força, denominado centro de gravidade, coincide com o centro 
de massa do corpo que em corpo de material homogêneo coincide com o centroide ou centro 
geométrico do corpo. 
A notação da grandeza vetorial força, usualmente é expressa por F ou |F|. Assim, escreve-se 
a segunda lei de Newton com as notações a seguir: 
 
maF 
 ou 
maF 
 
 
em que, “m” é a massa; e “a” é a aceleração. 
 
Ainda por ser uma grandeza vetorial, representa-se graficamente força, com uso de um 
segmento de reta orientado (seta),como ilustrado na Figura 0 Nessa representação, o comprimento 
do segmento de reta exprime a intensidade em determinada escala, a inclinação define a direção e a 
seta indica o sentido da força. 
 
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Figura 10. Representação gráfica. 
 
 
Nesse tópico, ainda é importante salientar e destacar que a direção de uma força é definida 
pela sua linha de ação. A linha de ação é a reta ao longo da qual a força atua, sendo caracterizada 
pelo ângulo que forma com algum eixo fixo (Figura 11). 
 
Figura 11. Destaque para a linha de ação de um vetor força. 
 
 
Trigonometria 
Grau é a medida do ângulo 

 entre duas retas o qual é medido utilizando-se como unidade o 
ângulo correspondente à divisão da circunferência em 360 partes. 
Radiano é a medida do ângulo 

 entre duas retas, calculado pelo quociente entre o 
comprimento do arco entre as duas retas e o raio do arco (Figura 12). 
Portanto o ângulo 

 medido em radiano é definido como: 
 
r
s

 
 
Figura 12. Representação 
 
 
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A relação de conversão entre graus e radianos pode ser expressa por: 360º = 2 . π rad ou 
180º = π rad, para mencionar apenas duas possibilidades básicas. 
 
Funções Trigonométricas Para O Triângulo Retângulo 
Conforme o triângulo retângulo da Figura 13, temos: 
 
Figura 13. Triângulo retângulo 
 
hipotenusa
opostotetoca
c
a
sen 
 
 
hipotenusa
adjacentetetoca
c
b
cos
 
 


cos
sen
adjacentecateto
opostotetoca
b
a
tg 
 
 
Relações importantes: 
 
222 cba 
 (Pitágoras) 
1cos22  sen 
 
Relações Entre Lados E Ângulos De Um Triângulo Qualquer 
Dado um triângulo qualquer, como o da Figura 14, temos: 
 
Figura 14. Triângulo qualquer 
 
 
 
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Lei dos senos 
Csen
c
Bsen
b
Asen
a

 
 
Lei dos cossenos 
Cbabac cos2222 
 
 
Exemplos 
1 (Cefet – PR) A rua Tenório Quadros e a avenida Teófilo Silva, ambas retilíneas, cruzam-se 
conforme um ângulo de 30º. O posto de gasolina Estrela do Sul encontra-se na avenida Teófilo 
Silva a 4 000 m do citado cruzamento. Sabendo que o percurso do posto Estrela do Sul até a rua 
Tenório Quadros forma um ângulo de 90° no ponto de encontro do posto com a rua Teófilo 
Silva, determine em quilômetros, a distância entre o posto de gasolina Estrela do Sul e a rua 
Tenório Quadros? 
 
Inicialmente: devemos ilustrar a situação 
 
 
Relações: utilizando a relação mostrada no item 6.1, temos: 
 
 
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2 De um ponto A, um agrimensor enxerga o topo T de um morro, conforme um ângulo de 45º. 
Ao se aproximar 50 metros do morro, ele passa a ver o topo T conforme um ângulo de 60º. 
Determine a altura do morro. 
 
 
 
 
 
 
 
PROPOSTA DE PESQUISA 
 
 
 
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Tendo como referência as imagens acima, sugere-se uma pesquisa com o intuito de encontrar 
outras imagens semelhantes que evidenciem as aplicações práticas, no âmbito da Engenharia Civil, 
dos conceitos relacionados a forças sobre ponto material, vetores, resultante de várias forças 
concorrentes, decomposição de uma força em componentes e momento de uma força. 
Obs.: Sugere-se tirar fotografias de situações que presenciarem, realizar buscas na internet, 
etc.