ELT2 SAI471 Notas 03 Numeros Complexos e Fasores 11p rev5

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NOTAS DE AULA 03 – NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES – REV. 5 1 
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NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES 
 
INTRODUÇÃO 
Em determinado ponto do desenvolvimento dos métodos matemáticos, 
defrontou-se com a necessidade de se introduzir um operador que pudesse representar a 
raiz quadrada de um número negativo. Para suprir essa necessidade, criou-se a noção 
do operador imaginário j (também chamado de i), cuja propriedade fundamental é: 
1j1j 2  . Também se pode utilizar a letra i, em lugar da letra j. 
Com a noção do operador imaginário, introduz-se um novo conjunto de números, 
o conjunto c dos Números Complexos, que têm a forma: 
bjaz . , onde a e b são números reais quaisquer. 
 
REPRESENTAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS 
Um número complexo pode ser representado na forma cartesiana, também 
chamada de forma retangular, ou na forma polar. 
 
Representação cartesiana 
Utilizando-se um sistema cartesiano de coordenadas, chamado de Plano de 
Argand-Gauss ou Plano Complexo, é possível representar graficamente um número 
complexo. O número complexo z = a + jb, também pode ser representado pelo par 
ordenado (a, b) e plotado como um ponto cujas coordenadas são, respectivamente, sua 
parte real e sua parte imaginária. Na F tem-se o plano de Argand-Gauss onde o eixo 
das abscissas é chamado eixo real (Re) e o eixo das ordenadas é chamado de eixo 
imaginário (Im). 
Quando um número complexo z possui parte real nula (a = 0) e parte imaginária 
não-nula (b  0), temos um número imaginário puro. Por outro lado, quando a parte 
imaginária b de um número complexo z é nula, estamos diante de um número real. 
Conclui-se desse modo que o conjunto  dos números reais é um subconjunto do 
conjunto C dos números complexos. 
 
F igura 1 – Representação do número complexo através do par ordenado (a, b). 
 
 
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EXEMPLOS NUMÉRICOS 
 
A = 3 + j.3 
B = 2 – j.4 
C = -2 –j.2 
D = j.2 
E = -3 + j.5 
F = -1 
 
O Plano Complexo é dividido em quatro quadrantes. O primeiro quadrante (I Q) 
é aquele em que tanto a parte real como a parte imaginária são positivas. A seqüência 
dos quadrantes se dá no sentido anti-horário. Assim, o segundo quadrante (II Q) é o que 
possui parte real negativa e parte imaginária positiva, o terceiro quadrante (III Q) é o 
que tem tanto a parte real como a parte imaginária negativas e o quarto quadrante (IV 
Q) é o que apresenta parte real positiva e parte imaginária negativa. 
 
Forma polar 
Um número complexo z pode ser representado no plano complexo através de um 
segmento de reta unindo o ponto que tem por coordenadas sua parte real e sua parte 
imaginária (como os exemplos acima) à origem do plano (ponto 0,0). Esse segmento de 
reta é totalmente caracterizado pelo seu comprimento  (rô), chamado de módulo, e 
pelo ângulo φ que ele forma com o eixo dos reais, chamado de argumento. Essa é a 
chamada forma polar de um número complexo, cuja notação é: 
z . 
 
Outra forma de se escrever o mesmo número complexo é: 
 zz . 
 
Onde: 
22 baz  
é o módulo ou intensidade do número complexo; 






 
a
b
tg 1 
é a fase ou argumento do número complexo. 
 
Figura 2 – Representação polar de um 
número complexo. 
TRANSFORMAÇÃO ENTRE AS FORMAS DO NÚMERO COMPLEXO 
Para transformar uma forma na outra, utilizam-se as relações trigonométricas do 
triângulo retângulo que surge quando utilizamos a representação no plano complexo. 
Na Figura 2 verifica-se que a hipotenusa do triângulo é o módulo do número complexo 
e a fase é o ângulo formado a partir do eixo real em sentido anti-horário. Desta forma é 
possível extrair as relações entre a representação retangular e a representação polar. 
 
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Transformação de retangular para polar 
22 baz  





 
a
b
tg 1 
Neste ponto, uma dúvida poderia surgir, visto que entre 0 e 360
o
 existem dois 
ângulos que satisfazem a essa equação (φ = 53o e φ = 233o). Mas observe que, como 
tanto a parte real como a parte imaginária da representação retangular são negativas, 
esse número só pode pertencer ao terceiro quadrante. Logo, φ = 233o. Assim, 
z=5233º. Este exemplo mostra a importância de levar em conta o quadrante no 
momento da conversão, para que não se obtenha um resultado equivocado. 
 
Transformação de polar para retangular 
Utilizando as relações trigonométricas, a obtenção das coordenadas retangulares 
a e b de um número complexo a partir de sua representação polar é imediata (observar a 
Figura 2). 
cosza  senzb  
Onde o número complexo na forma retangular será dado por z = a ± j b. 
Será visto que as operações de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação 
de números complexos, poderão ser sempre facilitadas pelo uso da forma polar, como 
será visto a seguir. 
 
IGUALDADE DE NÚMEROS COMPLEXOS 
Dois números complexos z1 = a1 + j.b1 e z2 = a2 + j.b2 são iguais se, e somente se, 
suas partes reais forem iguais e suas partes imaginárias forem iguais entre si, isto é a1 = 
a2 e b1 = b2. 
 
NÚMERO COMPLEXO CONJUGADO 
O número complexo conjugado 
acontece quando somente a parte 
imaginária (ou a fase) troca de sinal. Seja 
o número complexo definido como z = a 
+ jb. Diz-se que o conjugado deste 
número é z = a – jb 
A Figura 3 apresenta a 
representação de números complexos 
conjugados. Note ainda que 
zz 
. 
Logo, dois números complexos 
serão conjugados se, e somente se, 
tiverem partes reais iguais e partes 
imaginárias simétricas. 
 
Figura 3 – Número complexo conjugado. 
 
EXEMPLOS NUMÉRICOS 
 
jzjz 4343  jzjz   33 
 
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POTÊNCIAS INTEIRAS DO OPERADOR j 
Lembrando que, por definição, 
j
0
 = 1 j
1
 = j j
2
 = -1 
Podemos obter facilmente o valor das demais potências inteiras e positivas do 
operador j: 
 j
3
 = j
2
 x j
1
 = -1 x j  j3 = -j 
 j
4
 = j
2
 x j
2
 = -1 x -1  j4 = 1 
 j
5
 = j
4
 x j
1
 = 1 x j  j5 = j 
 j
6
 = j
4
 x j
2
 = 1 x -1  j6 = -1 
 
Pode-se notar que a partir de j
4
 repete-se a seqüência de valores iniciada por j
0
. 
Portanto, para se obter o resultado de j elevado a uma potência inteira e positiva 
qualquer, basta dividir o valor dessa potência por 4 e usar como expoente do operador j 
o resto dessa divisão (que obviamente só poderá ser 0, 1, 2 ou 3). 
 
EXEMPLOS NUMÉRICOS 
 a) j
137
 = ? O resto da divisão de 137 por 4 é 1, logo, j
137
 = j
1
 = j 
 b) j
19 
 = ? O resto da divisão de 19 por 4 é 3. Logo, j
19
 = j
3
 = -j 
 
OPERAÇÕES ENTRE OS NÚMEROS COMPLEXOS 
É possível realizar as operações elementares com os números complexos, no 
entanto existe um conjunto de regras que deve ser obedecido. As operações mais 
básicas são apresentadas a seguir. 
 
Adição e Subtração 
Para somar ou subtrair números complexos, basta somar ou subtrair suas partes 
reais, obtendo desse modo a parte real do resultado e somar ou subtrair suas partes 
imaginárias, obtendo desse modo a parte imaginária do resultado. Podem ser feitas na 
forma polar, mas para facilitar sempre se faz na forma retangular. 
Sejam dois números complexos abaixo definidos: 
jbaz 1
 e 
jdcz 
. 
Definem-se as operaçõesde adição e subtração entre eles como sendo: 
)()(21 dbjcazz  
Isto é: parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária. 
 
Multiplicação na forma retangular 
Para efetuar a multiplicação de dois números complexos, seguem-se os passos 
abaixo: 
1. Multiplicam-se termo a termo as partes real e imaginária de cada um dos 
fatores. Para tanto, será necessário utilizar as propriedades da potenciação 
vistas acima. 
2. Somam-se as partes reais dos resultados parciais, obtendo-se a parte real do 
resultado final. 
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3. Somam-se as partes imaginárias dos resultados parciais, obtendo-se a parte 
imaginária do resultado final. 
Definem-se as operações de multiplicação e divisão entre eles como sendo: 
 
)]()[()]()[(
)()()()(21
bcdajdbca
jdjbjbcjdacazz

 
 
EXEMPLOS NUMÉRICOS 
Efetuar a multiplicação dos complexos z1 = 3 + j2 e z2 = – 5 – j3. 
 
- Efetuo a primeira multiplicação parcial: 
 (3 + j.2) x (-5) = -15 – j.10 
- Efetuo a segunda multiplicação parcial: 
 (3 + j.2) x (-j.3) = -j.9 – j2.6 = -j.9 + 6 
- Somo as partes reais dos resultados parciais: 
 -15 + 6 = -9 
- Somo as partes imaginárias dos resultados parciais: 
 10 + (-9) = -19 
- Obtenho o resultado final: 
 (3 + j.2) x (-5 – j.3) = -9 – j.19 
 
Propriedade da Multiplicação de Complexos Conjugados 
Quando se multiplicam dois complexos conjugados, o resultado será um número real. 
Demonstração: 
(a + j.b) x (a – j.b) = a2 + j.a.b – j.a.b – j2b2 = a2 - b2 x -1 = a2 + b2, número que 
possui parte imaginária nula, sendo, portanto, um número real. 
 
Multiplicação na forma polar 
Para multiplicar dois números complexos na forma polar, basta multiplicar os 
seus módulos, obtendo assim o módulo do resultado e somar os seus argumentos, 
obtendo assim o argumento do resultado. Sejam dois números complexos definidos 
com sendo: 
 11 zz
 e  22 zz . 
O produto entre eles é realizado como abaixo. 
)()( 2121   zzzz 
É possível realizar todas as operações usando-se qualquer forma de 
representação. No entanto, utilizar a forma cartesiana para realizar as operações de 
adição e subtração e a forma polar para realizar as operações de multiplicação e divisão, 
torna mais simples a obtenção dos resultados. 
 
Divisão de um número complexo por um número real 
Para dividir um número complexo por um número real, basta dividir a parte real 
do número complexo pelo número real, obtendo-se a parte real do resultado e dividir a 
parte imaginária do número complexo pelo número real, obtendo-se a parte imaginária 
do resultado. 
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EXEMPLOS NUMÉRICOS 
(8 j.2)
4 j
2

 
. 
 
Divisão de dois números complexos 
Para se efetuar a divisão de um número complexo por outro número complexo, 
multiplica-se o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, o que 
transforma a operação na divisão de um número complexo por um número real. 
 
EXEMPLOS NUMÉRICOS 
Efetuar a divisão do complexo z1 = 4 – j2 pelo complexo z2 = – 1 + j. 
 Multiplico o numerador pelo conjugado do denominador: 
 
2.6)1()2.4( jjj 
 
 Multiplico o denominador pelo seu conjugado: 
 
2)1()1(  jj
 
 Divido o primeiro resultado pelo segundo, obtendo o resultado final: 
 
j
j


3
2
2.6 
 
Divisão de números complexos na forma polar 
Para dividir um número complexo na forma polar por outro, basta dividir o 
módulo do numerador pelo módulo do denominador, obtendo-se assim o módulo do 
resultado, e subtrair do argumento do numerador o argumento do denominador, 
obtendo-se assim o argumento do resultado. Sejam dois números complexos definidos 
com sendo: 
 11 zz
 e  22 zz , com 02 z . 
Então a divisão entre ambos é feita com indicado abaixo. 
)(
2
1
2
1  









z
z
z
z
 
 
Potências inteiras de um número complexo na forma polar 
Para elevar um número complexo na forma polar a uma potência inteira, basta 
elevar o módulo do número a essa potência, obtendo assim o módulo do resultado, e 
multiplicar o argumento do número por essa potência, obtendo assim o argumento do 
resultado. 
).()(  nzzz nnn  
 
EXEMPLOS NUMÉRICOS 
1 - Adição de números complexos: 
a) 
)4030()454()22( jjz  
 
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)4030()45º45.(cos4)22( jjsenjz  
 
 
)4030(
2
2
2
2
.4)22( jjjz 








 
 
)4030()2.22.2()22( jjjz 
 
 
)402.22()302.22(  jz
 
 
)2.242()282.2(  jz
 
 
83,4417,25 jz 
 
 
2 - Divisão de números complexos: 
   


604)75(15
5
20
755
1520
z 



 
 
3 - Transformação da forma cartesiana para a forma polar:: 
Obter a forma polar do número complexo z = -3 - 4 j. 
Calculo o módulo da forma polar: 
 
525)4()3( 2222  zba  
Calculo o argumento da forma polar: 
 
333,1
3
4
arctgarctg
a
b
arctg 













  . 
 
4 - Multiplicação na forma polar: 
4 30 5 20 (4 5) (30 ( 20 )) 20 10         
 
 
5 - Potência de um número complexo na forma polar: 
 
 15032)30.5(2)302( 555 z
. 
 
FASORES 
A adição de tensões e correntes senoidais é necessária com freqüência quando 
analisamos circuitos CA. Um método para se realizar esta tarefa é através da utilização 
de fasores, que são vetores radiais girantes que têm um módulo constante e uma 
extremidade fixa na origem. O fasor estará, no instante t = 0, nas posições vistas na 
Figura 4(a) para cada uma das formas de onda mostradas na Figura 4(b). 
Na Figura 4(b) se observa que v2 corta o eixo horizontal em t = 0 s, tornando 
necessário que o raio do vetor visto na Figura 4(a) coincida com o eixo horizontal neste 
instante para garantir que a projeção vertical seja zero volt. O seu comprimento, visto 
na Figura 4(a), é igual à amplitude da senóide. A outra senóide é gerada por um fasor 
que em t = 0 s já descreveu um ângulo de 90º em relação ao eixo horizontal, 
alcançando portanto a sua projeção vertical máxima, como mostra a Figura 4(a). Como 
a projeção vertical é máxima, o valor de pico da senóide que o fasor gera também é 
alcançado em t = 0 s, como ilustrado na Figura 4(b). Nota-se também que em t = 0 s 
tem-se vT = v1, pois v2 = 0 V neste instante. 
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(a) (b) 
Figura 4 – (a) Representação fasorial das formas de onda senoidais; (b) obtenção da soma de duas tensões 
alternadas. 
 
Utilizando operações matemáticas com números complexos, pode ser mostrado 
que: 
º43,63V236,2º90V2º0V1  
Se v1 e v2 forem convertidos para a forma de fasores usando: 
 mm V)t(senVv 
 
e for efetuada a adição com o uso da álgebra dos números complexos, se pode 
obter vT, também em forma de fasor. Agora se pode converter vT para o domínio do 
tempo e plotá-la no mesmo gráfico, como na Figura 4(b). A Figura 4(a), que mostra os 
módulos e posições relativas dos fasores envolvidos, é denominada diagrama de 
fasores. Ela é na verdade um valor instantâneo dos vetores girantes em t = 0 s. 
 
 
 
 
 
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O caso de duas funções senoidais que têm ângulos de fase diferentes de 0º e 90º 
aparece na Figura 5. Nota-se que as ordenadas das funções vistas na Figura 5(b) em t = 
0 s são determinadas pelas posições angulares dos fasores que se vê na Figura 5(a). 
Como se usa quase que exclusivamente os valores eficazes, e não os valores de 
pico, na análise de circuitos CA o fasor agora será definido, por razões práticas e de 
uniformidade, como tendo um módulo igual ao valor eficaz da função senoidal que 
representa. O ângulo (argumento) associado com o fasor continuará como descrito 
anteriormente – o ângulo de fase. 
 
(a) (b) 
Figura 5 – Adição de duas correntes senoidais cuja diferença de fase não é 90º 
 
Em geral, a forma fasorial de uma tensão ou corrente senoidal será: 
 efVV
 e 
 efII
 
Deve-se ressaltar que na notação de fasores as grandezas envolvidas sempre 
variam de forma senoidal e a freqüência não é representada. 
A álgebra dos fasores só pode ser aplicada a 
formas de onda senoidais de mesma freqüência. 
 
 
EXEMPLOS NUMÉRICOS 
1. Converta as expressões a seguir do domínio do tempo para o domínio dos fasores. 
 
a) 
º050)t(sen502 
 
 
b) 69,6 sen (ωt + 72º) → 0,707×69,672º → 49,2172º 
 
c) 45 cos (ωt) → 0,707×4590º → 31,8290º 
 
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2. Escreva a expressão senoidal para os fasores a seguir se a freqüência for 60 Hz. 
 
a) I = 1030º 
)º30t377(sen14,14i)º30t602(sen102i 
 
 
b) V = 115-70º 
)º70t377(sen6,162v)º70t602(sen1152v 
 
 
 
3. Calcule a tensão de entrada no circuito visto na figura abaixo se 
 
Hz60f
)º60t377(sen30v
)º30t377(sen50v
b
a





 
Solução: 
Aplicando a lei de Kirchhoff para tensões 
tem-se: 
bain vve 
 
 
Passando do domínio do tempo para o domínio dos fasores, tem-se: 
º60V21,21V)º60t377(sen30v
º30V35,35V)º30t377(sen50v
bb
aa

 
 
 
Passando da forma polar para a forma retangular a fim de poder efetuar a adição: 
V37,18jV61,10º60V21,21V
V68,17jV61,30º30V35,35V
b
a

 
 
 
Então: 
V05,36jV22,41E
)V37,18jV61,10()V68,17jV61,30(VVE
in
bain

 
 
 
Passando da forma retangular para a polar, fica: 
º17,41V76,54V05,36jV22,41Ein 
 
 
 
Transformando do domínio dos fasores para o domínio do tempo, obtém-se: 
)º17,41t377(sen43,77E
)º17,41t377(Vsen76,542º17,41V76,54E
in
in

 
 
 
O gráfico a seguir, contendo as três formas de onda, indica que a cada instante a 
soma das duas formas de onda realmente coincide com ein. Em t = 0 s (ωt = 0), ein é a 
soma de dois valores positivos, enquanto para um valor de ωt quase a meio caminho 
entre π/2 e π, a soma do valor positivo de va com o valor negativo de vb resulta em ein = 
0. 
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BIBLIOGRAFIA 
Santos Filho, A. L. – Apostila de Eletricidade. CEFET-SP – UNED Cubatão. São 
Paulo/SP, 2006. 
Boylestad, R. L. – INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE CIRCUITOS – 10ª Edição. 
Pearson Education do Brasil. São Paulo / SP. 2004.