ELT2 SAI471 Notas 04 Circuitos CA Serie 12p rev3

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IFSP – CAMPUS CUBATÃO – SAI – 4º MÓDULO ELETRICIDADE APLICADA 2 
NOTAS DE AULA 04 – CIRCUITOS CA EM SÉRIE – REV. 3 1 
ELT2 – ELETRICIDADE APLICADA 2 
 
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM 
SÉRIE 
 
IMPEDÂNCIA E O DIAGRAMA DE FASORES 
Elementos Resistivos 
Para o circuito puramente resistivo, v e i estão em fase e suas amplitudes são 
dadas por: 
RIV
R
V
I mm
m
m 
 
Em forma fasorial: 
º0VV)t(senVv m 
 
Onde V = 0,707∙Vm. 
Aplicando a lei de Ohm por meio da utilização da álgebra de fasores, tem-se; 
)º0(
R
V
I
R
º0V
I R
R




 
Como i e v estão em fase, o ângulo associado a i deve também ser 0º. Para 
satisfazer essa condição, θR tem de ser igual a 0º. Substituindo θR = 0, encontra-se: 
º0
R
V
I)º0º0(
R
V
º0R
º0V
I 



 
De maneira que, no domínio do tempo: 
)t(sen
R
V
2i 






 
O fato de que θR = 0º é empregado na forma polar a seguir para garantir uma 
relação de fase adequada entre a tensão e acorrente em resistor; 
º0RZR 
 
A grandeza ZR, que tem um módulo e um ângulo associado, é denominada 
impedância do elemento resistivo. Ela é medida em ohms e indica quanto o elemento 
‘impede’ a passagem de corrente no circuito. O formato usado acima será útil na 
análise de circuitos mais complexos, onde as relações de fase não forem tão evidentes. 
É importante notar que ZR não é um fasor, embora a notação R0º seja 
semelhante à notação fasorial. O termo fasor é reservado para grandezas que variam no 
tempo, sendo R e o seu ângulo associado de 0º, grandezas fixas. 
 
Reatância Indutiva 
No caso do indutor puro, a tensão está adiantada de 90º em relação à corrente e a 
reatância do indutor, XL, é dada por ωL. 
Aplicando uma tensão igual a v = Vm∙sem (ωt) (na forma fasorial V0º), tem-se 
pela lei de Ohm: 
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)º0(
X
V
I
X
º0V
I L
LLL




 
Como v está adiantada de 90º em relação à corrente i, a corrente deve ter um 
ângulo de – 90º associado a ela. Para satisfazer esta condição, θL tem de ser igual a 
+ 90º. Substituindo esse valor na expressão acima, obtém-se: 
º90
X
V
I)º90º0(
X
V
º90X
º0V
I
LLL




 
De maneira que, no domínio do tempo: 
)º90t(sen
X
V
2i
L







 
O fato de que θL = 90º será usado agora na seguinte notação polar, para a 
reatância indutiva, para garantir a relação de fase apropriada entre a tensão e a corrente 
em um indutor: 
º90XZ LL 
 
A grandeza ZL, que tem um módulo e um ângulo associado, é denominada 
impedância do indutor. É medida em ohms e indica quanto o indutor ‘controla ou 
impede’ a passagem de corrente no circuito. Note que indutores puros só podem 
armazenar energia, nunca dissipá-la como os resistores. Da mesma forma que para os 
resistores, o formato usado acima será útil na análise de circuitos mais complexos, onde 
as relações de fase não forem tão evidentes. 
É importante notar que ZL não é um fasor, embora a notação XL90º seja 
semelhante à notação fasorial. 
 
EXEMPLOS NUMÉRICOS 
1. Determine a corrente i em um circuito com apenas uma reatância indutiva, XL, de 3 
Ω, sendo alimentada por uma tensão v = 24 sen(ωt). 
Solução: 
º0V968,16Vfasorialforma)t(sen24v 
 
º90A656,5I
º903
º0V968,16
º90X
V
Z
V
I
LL







 
  )º90t(sen0,8i)º90t(sen656,52i 
 
A figura abaixo ilustra as formas de onda da corrente e tensão. 
 
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2. Determine a tensão v em um circuito com apenas uma reatância indutiva, XL, de 4 
Ω, sendo percorrida por uma corrente i = 5 sen(ωt + 30º). 
Solução: 
º30A535,3Ifasorialforma)º30t(sen5i 
 
º120V14,14V)º904()º30A535,3(º90X)I(ZIV LL 
 
  )º120t(sen20v)º120t(sen14,142v 
 
A figura abaixo ilustra as formas de onda da corrente e tensão. 
 
Os diagramas de fasores para os circuitos dos dois exemplos precedentes são 
vistos na Figura 1. Ambos indicam de forma bastante clara que a tensão está adiantada 
90º em relação à corrente. 
 
Figura 1 – Diagrama de fasores para os exemplos 1 e 2. 
 
Reatância Capacitiva 
No caso do capacitor puro, a corrente está adiantada de 90º em relação à tensão e 
que a reatância capacitiva, XC, é dada por 1 / ωC. 
Aplicando uma tensão igual a v = Vm∙sem (ωt) (na forma fasorial V0º), tem-se 
pela lei de Ohm: 
)º0(
X
V
I
X
º0V
I C
CCC




 
Como i está adiantada de 90º em relação à tensão v, a corrente deve ter um 
V 
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ângulo de + 90º associado a ela. Para satisfazer esta condição, θC tem de ser igual a 
– 90º. Substituindo esse valor na expressão acima, obtém-se: 
º90
X
V
I))º90(º0(
X
V
º90X
º0V
I
CCC




 
De maneira que, no domínio do tempo: 
)º90t(sen
X
V
2i
C







 
O fato de que θC = – 90º, será usado agora na seguinte notação polar, para a 
reatância capacitiva, para garantir a relação de fase apropriada entre a tensão e a 
corrente em um capacitor: 
º90XZ CC 
 
A grandeza ZC, que tem um módulo e um ângulo associado, é denominada 
impedância do capacitor. É medida em ohms e indica quanto o capacitor ‘controla ou 
impede’ a passagem de corrente no circuito. Note que capacitores puros só podem 
armazenar energia, nunca dissipá-la como os resistores. Da mesma forma que para os 
resistores, o formato usado acima será útil na análise de circuitos mais complexos, onde 
as relações de fase não forem tão evidentes. 
É importante notar que ZC não é um fasor, embora a notação XC–90º seja 
semelhante à notação fasorial. 
 
Diagrama de Impedâncias 
Tendo associado ângulos de fase à resistência, à 
reatância indutiva e à reatância capacitiva, cada uma dessas 
três grandezas podem ser representadas no plano complexo, 
como visto Figura 2. Em qualquer circuito, a resistência 
sempre está na parte positiva do eixo dos reais, a reatância 
indutiva, na parte positiva do eixo dos imaginários, e a 
capacitância, na parte negativa desse eixo. O resultado é um 
diagrama de impedâncias que pode representar os valores 
individuais e o valor total da impedância de qualquer 
circuito de corrente alternada. 
Os circuitos podem ter diferentes tipos de elementos 
que apresentam uma impedância total cujo ângulo está entre 
+ 90º e – 90º. Se este ângulo é igual a 0º diz-se que o 
circuito é resistivo. Se o ângulo é positivo, diz-se que o 
circuito é indutivo. Se for negativo o circuito é capacitivo. 
 
Figura 2 – Diagrama de 
impedâncias. 
Uma vez determinada a impedância total de um circuito, seu módulo pode ser 
usado para determinar a intensidade da corrente (com o auxílio da lei de Ohm), 
enquanto o seu ângulo indicará se o circuito é principalmente indutivo, capacitivo ou 
simplesmente resistivo. 
Para qualquer configuração (série ou paralelo), o ângulo associado à impedância total é 
igual ao ângulo de fase da tensão aplicada em relação à corrente da fonte. Para circuitos 
indutivos, θT é positivo, enquanto para circuitos capacitivos ele é negativo. 
-90º 
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CONFIGURAÇÃO EM SÉRIE 
As propriedades gerais dos circuitos CA em sériesão as mesmas que as dos 
circuitos CC. A impedância total de um sistema em série é a soma das impedâncias 
individuais. 
N321T ZZZZZ  
 
 
Figura 3 – Impedâncias em série. 
EXEMPLOS NUMÉRICOS 
1. Construa o diagrama de impedâncias para o circuito abaixo e determine a 
impedância total. 
 
Abaixo é apresentado o 
diagrama de impedâncias do 
exemplo acima. 
 
Solução: 
Por meio da álgebra vetorial, tem-se: 
º43,63944,8Z
8j4Z
jXRZ
º90Xº0RZZZ
T
T
LT
L21T




 
2. Calcule a impedância de entrada do circuito em série visto na figura abaixo e 
desenhe o diagrama de impedâncias. 
 
Solução: 
Por meio da álgebra vetorial, tem-se: 
º43,18325,62j6Z
)1210(j6)XX(jRZ
º90Xº90Xº0RZ
ZZZZ
T
CLT
CLT
321T




 
O diagrama de impedâncias é dado na Figura 4 abaixo. Observa-se que nesse 
exemplo existe uma reatância indutiva e uma reatância capacitiva em oposição direta. 
Se as reatâncias indutiva e capacitiva fossem iguais, o circuito seria puramente 
resistivo. 
No caso da configuração CA em série vista na Figura 5, que tem duas 
impedâncias, a corrente é a mesma em todos os elementos (como acontece com os 
circuitos de corrente contínua em série), sendo determinada pela lei de Ohm: 
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Figura 4 – Diagrama de impedâncias do exemplo 
anterior. 
 
Figura 5 – Circuito CA em série. 
N321T ZZZZZ  
 
e 
TZ
E
I 
 
A tensão em cada elemento da 
Figura 5 pode ser determinada aplicando-
se novamente a lei de Ohm: 
2211 ZIVeZIV 
 
A lei de Kirchhoff para tensões 
pode ser aplicada da mesma maneira que 
para circuitos CC. Lembrando que nos 
circuitos CA as grandezas possuem 
módulo e fase. 
2121 VVE0VVE 
 
A potência fornecida ao circuito 
pode ser obtida de: 
TcosIEP 
 
Onde θT é a diferença de fase entre E e I. 
 
Circuito R-L Série 
 
Figura 6 – Circuito R-L em série. 
Dado o circuito R-L série da Figura 
6 acima, é aplicada a notação fasorial, ou 
seja: 
º0V100E)t(sen4,141e  
 
Figura 7 – Aplicação da notação fasorial ao circuito da 
Figura 6. 
A impedância total, ZT é dada por: 
º13,535Z
º904º03ZZZ
T
21T

 
O diagrama de impedâncias pode ser visto na Figura 6. 
A corrente I é calculada por: 
º13,53A20I
º13,535
º0V100
Z
E
I
T




 
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As tensões sobre a resistência, VR, e sobre o 
indutor, VL, são dadas pela aplicação da lei de 
Ohm: 
º13,53V60V
)º03()º13,53A20(ZIV
R
RR

 
 
º87,36V80V
)º904()º13,53A20(ZIV
L
LL

 
A tensão E é dada pela lei de Kirchhoff para 
tensões: 
LRLR VVE0VVEV 
 
 
Figura 8 – Diagrama de impedâncias para o 
circuito R-L série da Figura 6. 
Na forma retangular: 
V48jV36º13,53V60VR 
 
 
V48jV64º87,36V80VL 
 
 
º0V1000jV100E)V48jV64()V48jV36(VVE LR 
 
O diagrama de fasores apresentado na 
Figura 9 está em fase com a tensão no resistor e 
atrasada 90º em relação à tensão no indutor. 
A potência total em watts fornecida ao 
circuito é 
W1200)3()A20(RIP
ou
W1200P
º13,53cosA20V100cosIEP
22
T
T
TT



 
Onde E e I são valores efetivos e θT é a 
diferença de fase entre E e I. 
 
Figura 9 – Diagrama de fasores para o 
circuito R-L série da Figura 6. 
Finalmente a potência também pode ser calculada como; 
W1200P
0W1200P
º90cos)A20()V80(º0cos)A20()V60(P
cosIVcosIVPPP
T
T
T
LLRRLRT




 
θR é a diferença de fase entre VR e IR e θL é a diferença de fase entre VL e IL. 
O fator de potência FP do circuito é cos 53,13º = 0,6 atrasado, onde 53,13º é a 
diferença de fases entre E e I. 
Escrevendo a equação básica para a potência P = E∙I∙cosθ como: 
T
2
Z
R
cos
I/E
R
E
RI
IE
RI
IE
P
cos 






 
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Para o caso que está sendo analisado, tem-se: 
atrasado6,0cos
5
3
Z
R
cos
T




 
Circuito R-C Série 
 
Figura 10 – Circuito R-C em série. 
Dado o circuito R-C série da Figura 
10 acima, é aplicada a notação fasorial, ou 
seja: 
º13,53A5I)º13,53t(sen07,7i  
 
Figura 11 – Aplicação da notação fasorial ao circuito da 
Figura 10. 
A impedância total, ZT é dada por: 
º13,5310Z
º908º06ZZZ
T
21T

 
O diagrama de impedâncias pode ser visto na Figura 12. 
A tensão E é calculada por: 
º0V50Eº13,5310()13,53A5(ZIE T 
 
As tensões sobre a resistência, VR, e sobre o 
capacitor, VC, são dadas por: 
º13,53V30V
)º06()º13,53A5(ZIV
R
RR

 
 
º87,36V40VC
)º908()º13,53A5(ZIV CC

 
A tensão E é dada pela lei de Kirchhoff para 
tensões: 
CRCR VVE0VVEV 
 
No diagrama de fasores mostrado na Figura 
13, a corrente I está em fase com a tensão no 
resistor e adiantada de 90º e relação à tensão no 
capacitor. No domínio do tempo as tensões ficam: 
)º87,36t(sen56,56v
)º87,36t(sen402v
)º13,53t(sen42,42v
)º13,53t(sen302v
)t(sen70,70)t(sen502e
C
C
R
R





 
 
Figura 12 – Diagrama de impedâncias para o 
circuito R-C série da Figura 10. 
 
Figura 13 – Diagrama de fasores para o 
circuito R-C série da Figura 10. 
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NOTAS DE AULA 04 – CIRCUITOS CA EM SÉRIE – REV. 3 9 
As curvas para todas as tensões e para a corrente neste circuito são vistas na 
Figura 14, onde novamente i e vR estão em fase e vC está atrasada 90º em relação à i. 
 
Figura 14 – Formas de onda para o circuito R-C série da Figura 10. 
A potência total em watts fornecida ao circuito é 
W150P)º13,53cos(A5V50cosIEP TTT 
 
ou 
W150P)6()A5(RIP T
22
T 
 
O fator de potência deste circuito é: 
adiantado6,0F)º13,53cos(cosF PP 
 
ou 
adiantado6,0cos
10
6
Z
R
cos
T




 
Circuito R-L-C Série 
Dado circuito R-L-C série na Figura 15 abaixo 
 
Figura 15 – Circuito de corrente alternada R-L-C série. 
A sua notação fasorial é dada na Figura 16. 
A sua impedância equivalente é calculada por; 
º90Xº90Xº0RZZZZ CL321T 
 
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NOTAS DE AULA 04 – CIRCUITOS CA EM SÉRIE – REV. 3 10 
º13,5354j33j7j3ZT 
 
O diagrama de impedâncias do circuito é dado na Figura 17. 
 
Figura 16 – Aplicação da notação fasorial ao circuito da Figura 15. 
 
Figura 17 – Diagrama de impedâncias 
para o circuito R-L-C série da Figura 15. 
A corrente I é dada por: 
º13,53A10I
º13,535
º0V50
Z
E
I
T




 
 
As tensões sobre a resistência, 
VR, sobre o capacitor, VC, e sobre o 
indutor, VL, são determinadas por: 
º13,53V30V
)º03()º13,53A10(ZIV
R
RR

 
 
º87,36V70V
)º907()º13,53A10(ZIV
L
LL

 
 
º13,143V30VC
)º903()º13,53A10(ZIV CC

 
 
A tensão E é dada pela lei de Kirchhoff para tensões: 
CLRCLR VVVE0VVVEV 
 
No diagrama de fasores mostrado 
na Figura 18, a correnteI está em fase 
com a tensão no resistor, atrasada 90º em 
relação â tensão no indutor e adiantada 
90º em relação à tensão no capacitor. 
No domínio do tempo a corrente e 
as tensões ficam: 
 
)º13,53t(sen14,14i
)º13,53t(sen102i

 
 
Figura 18 – Circuito de corrente alternada R-L-C série. 
 
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NOTAS DE AULA 04 – CIRCUITOS CA EM SÉRIE – REV. 3 11 
)º13,143t(sen42,42v)º13,143t(sen302v
)º87,36t(sen98,98v)º87,36t(sen702v
)º13,53t(sen42,42v)º13,53t(sen302v
LC
LL
RR



 
As curvas para todas as tensões e para a corrente neste circuito são vistas na 
Figura 19. 
 
Figura 19 – Formas de onda para o circuito R-L-C série da Figura 15. 
A potência total em watts fornecida ao circuito é; 
W300P00W300P
)º90cos()A10()V30(º90cos)A10()V70(º0cos)A10()V30(P
cosIVcosIVcosIVPPPP
TT
T
CCLLRRCLRT



 
O fator de potência FP do circuito é cos 53,13º = 0,6 atrasado. Note na Figura 18 
que a corrente I está atrasada 53,13º em relação a E. 
 
REGRA DOS DIVISORES DE TENSÃO 
A regra dos divisores de tensão para circuitos de corrente alternada tem 
exatamente o mesmo formato da que é usada nos circuitos de corrente contínua: 
E
Z
Z
V
T
x
x 
 
Onde VX é a tensão em um ou mais elementos em série com uma impedância 
total ZX, E é a tensão total aplicada ao circuito em série e ZT é a impedância total do 
circuito em série. 
 
EXEMPLOS NUMÉRICOS 
1. Usando a regra dos divisores de tensão, calcule a tensão em cada elemento do 
circuito visto na figura abaixo. 
 
Solução: 
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NOTAS DE AULA 04 – CIRCUITOS CA EM SÉRIE – REV. 3 12 
 
º87,36V80V
º13,535
º90400
4j3
º90400
V
º0100
º03º904
º904
E
ZZ
Z
V
C
C
RC
C
C














 
2. Usando a regra dos divisores de 
tensão, calcule as tensões 
desconhecidas vR, vL, vC e v1 no 
circuito mostrado na figura 
abaixo. 
º13,53V60V
º13,535
º0300
4j3
º0300
V
º0100
º03º904
º03
E
ZZ
Z
V
RR
RC
R
R













 
 
Solução: 
º13,83V30V
º13,5310
º30300
8j6
º30300
17j9j6
º30300
V
º3050
º9017º909º06
º06
E
ZZZ
Z
V
RR
CLR
R
R
















 
 
º13,173V45V
º13,5310
º120450
8j6
º120450
17j9j6
º120450
V
º3050
º9017º909º06
º909
E
ZZZ
Z
V
LL
CLR
L
L
















 
 
º87,6V85V
º13,5310
º60850
8j6
º60850
17j9j6
º60850
V
º3050
º9017º909º06
º9017
E
ZZZ
Z
V
CC
CLR
C
C
















 
 
º87,6V40V
º13,5310
º60400
8j6
º60400
º3050
17j9j6
º908
V
º3050
º9017º909º06
º9017º909
E
ZZZ
ZZ
V
11
CLR
CL
1

















 
 
BIBLIOGRAFIA 
Boylestad, R. L. – INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE CIRCUITOS – 10ª Edição. 
Pearson Education do Brasil. São Paulo / SP. 2004.