CI_2009_2_P1[1] prova de calculo

Prévia do material em texto

1. Seja g : R → R a func¸a˜o diferencia´vel que satisfaz as seguintes condic¸o˜es:
¬ g(0) = 0.
­ g ′(z) = (1 + 5z − 24z2)(3− 10z), para todo z ∈ R.
Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de g. A func¸a˜o g e´ sobrejetora?
2. A posic¸a˜o de uma part´ıcula P movendo-se sobre uma reta e´ dada por s(t) =
7t + 50t3
3 + 25t2
· Quando
essa part´ıcula atinge sua velocidade mı´nima?
3. Encontre as equac¸o˜es das retas que passam pelo ponto (1, 3) e que tangenciam a elipse x2 − xy + y2 = 3.
4. Determine os valores de λ para os quais a equac¸a˜o
λ + 36x − 3x2 − 2x3 = 0
tem treˆs ra´ızes distintas.
5. Um tanque tem a forma de um cone com 31m de altura e uma base, situada no solo, de 26m de
diaˆmetro. Um fluido e´ bombeado para o tanque, pelo seu ve´rtice, a uma taxa de 25 m3/s. Com que
velocidade o n´ıvel do fluido estara´ se elevando quando a superf´ıcie do fluido formar uma circunfereˆncia
com 5m de raio? Voceˆ deve utilizar o procedimento a seguir:
(a) Fac¸a um diagrama e em seguida identifique as varia´veis do problema.
(b) Use a fo´rmula do volume do cone “
(a´rea da base) · (altura)
3
” para obter uma equac¸a˜o que relacione as varia´veis
obtidas no item anterior.
(c) Derive implicitamente a equac¸a˜o obtida no item anterior.
(d) Utilize o item anterior juntamente com os dados do problema para encontrar a taxa desconhecida.