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345952 3a Prova de Cálculo I Engenharia Mecânica

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INSTITUTO FEDERAL DO ESPI´RITO SANTO - IFES
Campus Aracruz

3a Avaliac¸a˜o de Ca´lculo I
Prof. Alexandre Reis

Curso: Bacharelado em Engenharia Mecaˆnica
Periodo: 2016/1. Data: 08/07/2016
Nome: Assinatura:

Dentre as 7 primeiras questo˜es abaixo escolha e fac¸a apenas cinco (5), identificando-as na folha de prova.
A nota sera´ calculada considerando-se apenas as questo˜es escolhidas e a questa˜o extra (caso seja feita).

Questa˜o 1. (20,0) Obtenha o resultado das integrais abaixo.

a) (5,0)
∫ 1
−1

senh(x)
x2 dx (Dica: senh(x) =

ex−e−x
2 ).

b) (5,0)
∫
et cos(t)dt.

c) (5,0)
∫ 3
0
x2
√

9− x2dx (Dica: use cos2(θ)sen2(θ) = sen2(2θ)4 , ∀θ ∈ R).

d) (5,0)
∫

4+u2

u3 du.

Questa˜o 2. (20,0) Calcule a a´rea delimitada pelas curvas y = −x2 + 5x e y = x.

Questao 3. (20,0) Esboce no plano R2 o gra´fico da func¸a˜o f(x) = x3 + 6x2 + 9x. Determine seu domı´nio,
ra´ızes, paridade, ass´ıntotas horizontais e verticais (se na˜o houver, justifique), pontos cr´ıticos, intervalos de
crescimento e decrescimento, pontos de inflexa˜o e concavidades.

Questa˜o 4. (20,0) Fac¸a o que se pede.

a) (5,0) Encontre dydx , onde y =
∫ tan(x)
0

√
t+
√
t dt.

b) (5,0) Encontre dydx , onde y =
∫ x2
0

√
1 + t3dt.

c) (5,0) Calcule o limite limx→0
sen(x)
x3 .

d) (5,0) Calcule o limite limx→−∞ x2ex.

Questa˜o 5. (20,0) Calcule o volume da regia˜o obtida na questa˜o (2) rotacionada em torno do eixo x.

Questa˜o 6. (20,0) Se 1200 cm2 de material estiverem dispon´ıveis para fazer uma caixa com uma base
quadrada e sem tampa, encontre o maior volume poss´ıvel da caixa.

Questa˜o 7. (20,0) Encontre dois nu´meros positivos cujo produto seja 100 e cuja soma seja a mı´nima
poss´ıvel.

Questa˜o 8. (EXTRA) (20,0) Considere um tronco de cone regular de cuja altura mede h cujas bases sa˜o
quadrados de lados a e b, onde a < b. Calcule o volume desse so´lido.

“Vito´ria sem luta e´ triunfo sem glo´ria.”
Prove´rbio Chineˆs.