345729 2a Prova Cálculo I Eng. Mecânica

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INSTITUTO FEDERAL DO ESPI´RITO SANTO - IFES
Campus Aracruz
2a Avaliac¸a˜o de Ca´lculo I
Prof. Alexandre Reis
Curso: Bacharelado em Engenharia Mecaˆnica
Periodo: 2016/1. Data: 31/05/2016
Nome: Assinatura:
Dentre as questo˜es extras abaixo, escolha e fac¸a apenas uma (1).
Questa˜o 1. (20,0) Calcule os limites abaixo.
a) (5,0) lim
x→+∞
1− x− x2
2x2 − 7 .
b) (5,0) lim
x→−∞
x+ x3 + x4
1− x2 + x5 .
c) (5,0) lim
x→+∞
x+ 2√
9x2 + 1
.
d) (5,0) lim
x→−∞
t3 + 2
t2 + t+ 1
.
Questa˜o 2. (20,0) Obtenha a derivada da func¸a˜o g(x) = 4xx+1 por meio da definic¸a˜o de limites.
Questao 3. (20,0) Considere a curva plana x2 + 2xy − y2 + x = 2.
a) (10,0) Derive implicitamente a expressa˜o acima e encontre dy/dx.
b) (10,0) Obtenha as equac¸o˜es da reta tangentes a` curva dada no ponto (1, 0) e da reta normal no ponto
(1, 2).
Questa˜o 4. (20,0) Encontre as derivadas das func¸o˜es abaixo.
a) (5,0) f(x) = 2x
√
x
(x+4)2 .
b) (5,0) f(t) = ln(t
√
t2 − 1).
c) (5,0) g(x) = 2x · cos(√3x).
d) (5,0) h(x) = exsen(x).
Questa˜o 5. (20,0) Uma esteira transportadora esta´ descarregando cascalho a uma taxa de 3m3/min,
constituindo uma pilha na forma de cone com o diaˆmetro da base e altura sempre igual. Qua˜o ra´pido cresce a
altura da pilha quando esta esta´ a 3m de altura? (Dado: o volume de um cone e´ V = pi3R
2h, onde R e´ o raio
da base e h a altura)
Questa˜o 6. (EXTRA) (20,0) Considere um c´ırculo de raio R. Utilizando as propriedades dos limites
mostre que a a´rea A desse c´ırculo e´ piR2.
Questa˜o 7. (EXTRA) (20,0) Utilize diferenciais ou aproximac¸o˜es lineares para encontrar os valores
aproximados de:
a) tan(44o).
b) (8, 02)2/3.
“O Livro da Natureza esta´ escrito em caracteres matema´ticos.”
Galileu Galilei