412947001-03-4-Apostila-de-Calculo

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2x√6≠λ5a3µ≥0÷9Δα4Ω7y≤∞8σ×±ƒπΓ
Πβ1Σεδb2x√6≠λ5a3µ≥0÷9Δα4Ω7y≤∞
8σ×±ƒπΓΠβ1Σεδb2x√6≠λ5a3µ≥0÷9Δ
α4Ω7y≤∞8σ×±ƒπΓΠβ1Σεδb2x√6≠λ5a
3µ≥0÷9Δα4Ω7y≤∞8σ×±ƒπΓΠβ1Σεδb2
x√6≠λ5a3µ≥0÷9Δα4Ω7y≤∞8σ×±ƒπΓ
Πβ1Σεδb2x√6≠λ5a3µ≥0÷9Δα4Ω7y≤∞
8σ×±ƒπΓ1Πβ1Σεδb2x√6≠λ5a3µ≥0÷9
Δα4Ω7y≤∞8σ×±ƒπΓΠβ1Σεδb2x√6≠λ5
a3µ≥0÷9Δα4Ω7y≤∞8σ×±ƒπΓΠβ1Σεδb
2x√6≠λ5a3µ≥0÷9Δα4Ω7y≤∞8σ×±ƒπΓ
Πβ1Σεδb2x√6≠λ5a3µ≥0÷9Δα4Ω7y≤∞
8σ×±ƒπΓ1ΠβΣεδb2x√6≠λ5a3µ≥0÷9Δ
α4Ω7y≤∞8σ×±ƒπΓΠβ1Σεδb2x√6≠λ5a
3µ≥0÷9Δα4Ω7y≤∞8σ×±ƒπΓΠβ1Σεδb2
x√6≠λ5a3µ≥0÷9Δα4Ω7y≤∞8σ×±ƒπΓ
Πβ1Σεδb2x√6≠λ5a3µ≥0÷9Δα4Ω7y≤∞
8σ×±ƒπΓΠβ1Σεδb2x√6≠λ5a3µ≥0÷9Δ
α4Ω7y≤∞8σ×±ƒπΓ1ΠβΣεδb2x√6≠λ5a
3µ≥0÷9Δα4Ω7y≤∞8σ×±ƒπΓΠβ1Σεδb2
 
 
 
PETROFOCO Treinamento 
 
Apostila de Cálculo – Curso Preparatório para 
o Concurso da Petrobras – Cargo de 
Engenheiro de Petróleo Júnior 
 
01/12/2010 
 
Professor RÔMULO GÓES FURTADO 
 
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Gráfico de Posiçao por tempo
0
0 0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
,5 1 1,5 2 2,5
tempo ( s ) 
Po
si
ca
o 
( m
 )
t
tfff
 
AULA 1 – INTRODUÇÃO ÀS DERIVADAS 
Velocidade Média/ Instantânea 
1. Conceito: 
• Velocidade média: 
21
21
tt
xx
−
−
 
• Velocidade instantânea: 
21
21
tt
xx
−
−
 quando 021 →⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
− tt
Exemplo: Tem-se um móvel com equação da posição definida por S(t) = 5.t2, onde 
S(t) é a posição em metros e t, o tempo, em segundos. Calcule sua velocidade 
média para os instantes: 
a) [0,1] ; [1,2] 
b) [0,9 ; 1] ; [1;1,1] 
c) [0,99; 1] ; [1; 1,01] 
d) [ tΔ−1 ; 1] ; [1; ] tΔ+1
2. Análise Gráfica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Inclinação da tangente, como limite da inclinação da secante: 
 tt tt Δ
−Δ+
=
)()(lim)' ttt→Δ( 0000 Δ+= 0Para uma função qualquer, assumindo , 
temos: 
 
0
0
0
)()(
lim)('
0 tt
tftf
tf tt −
−
= →
 
Exemplo: Fazer pela definição de derivada 
3)()(' ttftf =→
 
 
 
 
- Propriedades das derivadas: 
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i. Derivada de uma função constante: cxf =)( , onde , temos ctec =
0)()( ==
dx
cd
dx
xdf 
 
Exemplo: ?)(8)( =→= xdfxf 
 
ii. Derivação para potencias: 1−= n
n
nx
dx
dx 
 
Exemplo: Complete a tabela abaixo 
 
)(xf x 2x 3x 4x ... 
)(' xf 
 
iii. Regra da multiplicação por constante: 
 
dx
udc
dx
cud )()(
= , onde e u=função derivável ctec =
 
Exemplo: ?)(3)( 2 =→= xdfxxf
 
iv. Derivada da soma: 
dx
vd
dx
ud
dx
vud )()()(
+=
+ 
 
Exemplo 1: ?)(12)(
4 =→+= xdfxxxf
 
Exemplo 2: ?)(15
3
4)( 23 =→+++= xdfxxxxf 
 
v. Regra do produto: ( ) )()()()()()( xf
dx
xdgxg
dx
xdf
dx
xgxfd
⋅+⋅=
⋅ 
 
Exemplo: Calcule , para . ( 'gf ⋅ ) xxxgxxf +=−= 32 7)(;14)(
 
vi. Regra do quociente: ( )( ) 2)(
)`()()`()(
xg
xgxfxfxg
xg
xf
dx
d ⋅−⋅
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ 
Exemplo: ?)(
1
1)( 4
2
=→
+
−
= xdf
x
xxf 
 
vii. Função exponencial: xx exfexf =→= )(')(
 , onde . aaxgaxg xx ln.)(')( =→= ℜ∈a
 
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viii. Função logarítmica: 
ax
xfxxf a ln.
1)('log)( =→= , onde 10 ≠aea f 
 
Encontrando tangentes horizontais 
 
1. Condição 0)(' =→ xf
 
Exemplo 1: Encontrar os pontos onde tem tangente horizontal em f(x). 
 
a) 22)( 24 +−= xxxf
 
b) 3π=y
 
c) )1²(1 cx
b
x
a
y ++= , onde a, b e c são constantes 
 
d) xxy 23 8 +−= − 
 
e) 
12
3
+
=
t
ty 
 
f) )7³)(32( 5xxxy +−−=
 
 Exemplo 2: Encontre 
²
²
dx
yd
 , sendo xxxy +−= ²5³7 . 
 
 
Funções Trigonométricas 
 
)cos()( θ
θ
θ
=
d
dsen
 
 
)()cos( θ
θ
θ sen
d
d
=
Exercício 1: Definir as derivadas das funções trigonométricas abaixo: 
 
a) )tan(θ 
 
b) )sec(θ 
 
c) )sec(cos θ 
 
d) )(cot θg 
Exercício 2: Uma escada de 3m está apoiada em uma parede, 
conforme ilustra o desenho abaixo. A parte mais alta está em “x” 
metros do solo. Se a base da escada for empurrada em direção a 
parede, ache a taxa a qual “x” varia em relação ao ângulo que a 
escada forma com a horizontal, quando esse ângulo for 60 graus. Resposta em 
(m/grau) 
θ 
3
 x
 
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Regra da Cadeia 
 
1. Conceito: e ))(( xgfy = )(xgu = logo )(ufy = 
 
 
 dx
du
du
dy
dx
dy .=
Exemplo 1: e , ache ³xu = )cos(4 uy =
dx
dy . 
 
Exemplo 2: e )tan( xw = ttx += ³4 , 
dx
dy . 
 
Exemplo 3: , ache 
23)1²()( +−= xxxy
dx
dy . 
 
Exercício: Derretimento de um cubo de gelo de aresta “S”. 
 
Considerações: O gelo mantém a forma cúbica durante o derretimento e a taxa de 
variação do volume em relação ao tempo é ²6Sk
dt
dv
−= , K>0; K é função da 
temperatura externa e umidade e é constante. O cubo de gelo em uma hora perde 
4
1 do seu volume. Calcule o tempo total de derretimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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I LISTA DE EXERCÍCIOS:
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1 – Calcular as derivadas para as funções abaixo: 
 
 
2- Derivar (exercício com nível de complexidade maior) 
 
 
 
 
 
 
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AULA 2 – DERIVADAS (CONTINAÇÃO) 
1. Derivadas das Funções trigonométricas inversas: 
 
 
 
 
 
 
2. Derivadas das Funções Hiperbólicas: 
 
 
2ª LISTA DE EXERCÍCIO 
APLICAÇÕES DE DERIVADA E TAXAS RELACIONADAS 
1- Encontre os pontos P e Q sobre a parábola y=1-x2 tal que o triângulo ABC formado pelo 
eixo X e as tangentes em P e Q seja eqüilátero. 
 
2- Um balão de ar quente, subindo na vertical a partir do solo, é rastreado por um telêmetro 
colocado a 500 pés de distância do ponto de decolagem. No momento em que o ângulo de 
elevação do telêmetro é π/4, o ângulo aumenta a uma taxa de 0,14 rad/min. A que velocidade 
o balão sobe nesse momento? 
 
3- Uma viatura de polícia, vindo do norte e aproximando-se de um cruzamento em ângulo 
reto, está perseguindo um carro em alta velocidade, que no cruzamento toma a direção leste. 
Quando a viatura está a 6mi ao norte do cruzamento e o carro fugitivo a 0,8 mi ao leste, o 
radar da polícia detecta que a distância entre a viatura e o fugitivo está aumentando a 20mi/h. 
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Se a viatura está se deslocando a 60 mi/h no instante dessa medida, qual é a velocidade do 
fugitivo? 
 
4- A voltagem V(Volts), a corrente I (em ampères) e a resistência ( R ) em Ohms de um 
circuito elétrico. Estão relacionadas entre si pela equação V=RI. Suponha que V esteja 
aumentando a uma taxa de 1 volt/s enquanto I está diminuindo a uma taxa de 1/3 A/s. Tempo 
em segundos. 
a) Qual é o valor de dV/dt? 
b) Qual é o valor de dI/dt? 
c) Qual equação relaciona dR/dt, a dV/dt e dI/dt? 
d) Encontre a taxa com a qual R está variando quando V=12 V, I= 2 A. 
R está aumentando ou diminuindo? 
 
5- O comprimento l de um retângulo diminui a uma taxa de 2cm/s. enquanto a largura w 
aumenta a uma taxa de 2cm/s. Encontre as taxas de mudança para: 
a) Área 
b) Perímetro 
c) Comprimento das diagonais quando l=12cm e w=5 cm. Quais medidas estão aumentando 
e quais estão diminuindo. 
 
6- Uma escada com 13 pés de está em pé e apoiada em uma parede, quando sua base começa 
a escorregar afastando-se da parede. No momento em que a base está a 12 pés da casa, ela 
escorrega a uma taxa de 5 pés/s. 
a) A que taxa o topo da escada escorrega para baixo 
nesse momento? 
b) A que taxa a área do triângulo, formado pela escada, 
parede e solo, varia? 
c) A que taxa o ângulo θ, formado pela escada e pelo 
solo, varia? 
 
 
 
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7- A água escoa a uma taxa de 6m³/min de um reservatório hemisférico com raio de 13 m. 
Responda as questões a seguir: 
a) A que taxa o nível da água variará quando a água 
tiver 8 m de profundidade? 
b) Qual será o raio r na superfície da água quando a 
água tiver y metros de profundidade? 
c) A que taxa o raio r variará quando a água tiver 8 m 
de profundidade? 
 
8 - Uma piscina tem 20 ft de largura, 40 ft de compriment,o 9 ft de profundidade no lado mais 
fundo e 3 ft no lado mais raso. A secção transversal está exibida na figura abaixo. Se a piscina 
está sendo enchida a uma taxa de 0.8 ft3/min, qual a velocidade com que o nível de água está 
subindo quando a profundidade no lado mais fundo era 5 ft? 
 
 
9- Um balão esférico é inflado com hélio a uma taxa de 100π pés³/min. Quando o raio do 
balão for de 5 pés, a que taxa aumentará? A que taxa a área da superfície externa aumentará? 
 
10- Um bote é puxado por uma corda presa à proa e 
que passa por uma argola presa no cais a 6 pés acima 
da proa. A corda é puxada com uma taxa de 2 pés/s. 
 
a) A que velocidade o bote se aproxima do cais 
quando 10 pés de corda foram puxados? 
b) A que taxa o ângulo θ varia nesse momento? 
 
11- Um corredor corre em uma trajetória circular de raio 100 m a uma velocidade constante 
de 7 m/s. Um outro indivíduo está parado a uma distância de 200 m do centro da pista. Qual a 
taxa de variação da distância entre os dois quando esta distância era 200 m? 
 
 
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12- Um balão está subindo verticalmente acima de uma estrada a uma 
velocidade constante de 1pé/s. Quando ele está a 65 pés acima do solo, 
uma bicicleta que se desloca a uma velocidade constante de 17pés/s 
passa por baixo dele. A que taxa a distância S(t) entre o balão e a 
bicicleta aumentará três segundos depois? 
 
 
13 - O café escoa de um filtro cônico para uma cafeteira cilíndrica a uma taxa de 10pol³/min. 
Determine: 
a) A que taxa o nível na cafeteira aumentará quando o café no filtro 
tiver 5 pol de profundidade? 
b) A que taxa o nível no filtro diminuirá nesse momento? 
 
 
 
14 - O débito cardíaco pode ser calculado pela fórmula y=Q/D onde Q é o volume (ml³) de 
CO2 exalado por minuto, e D é a diferença entre as concentrações de CO2 ( ml/l). Suponha 
que para Q = 233ml/min D= 41 ml/l diminua a uma velocidade de 2 unid/min, mas Q 
permanece constante. O que acontece com o débito cardíaco? 
 
15 - Uma empresa pode produzir x itens a um custo de c(x) mil dólares, um rendimento de 
venda r(x) mil dólares e um lucro p(x) = r(x)- c(x) mil dólares. Determine dc/dt, dr/dt, dp/dt 
para os valores de x e dx/dt abaixo: 
a) r(x)= 9x , c(x) = x³ - 6x²+15x e dx/dt =0,1 para x=2 
b) r(x)= 70x , c(x) = x³ - 6x²+45/x e dx/dt =0,05 para x= 1,5 
 
16 - Uma luz está acesa no topo de um poste de 50 pés de altura. Uma bola cai da mesma 
altura em um ponto situado a 30 pés de distância do poste. A que velocidade a sombra da bola 
se desloca no solo 1/2 s depois – S ( t )bola = 16t²; com t em segundos. 
 
 
 
 
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17 - Uma bola de ferro esférica com 8 pol de diâmetro está coberta com uma camada de gelo 
de espessura uniforme. Se o gelo derrete com uma taxa de 10 pol³/min, a que taxa a espessura 
do gelo diminuirá quando tiver 2 pol? A que taxa a área da superfície externa do gelo 
diminuirá? 
 13
 
18 - Se duas resistências com R1 e R2 ohms (Ω) estão conectadas em paralelo em um 
circuito elétrico, resultando em um resistência R Ω. Se R1 diminui a uma taxa de 1 Ω/s e R2 
aumenta a uma taxa de 0,5 Ω/s, a que taxa R varia quando R1= 75 Ω e R2= 50 Ω? 
 
19 - A impedância Z (ohms) de um circuito em série está relacionada com a resistência R 
(ohms) e a reatância X (ohms) pela equação Z = ( R² + X²)1/2. Se R aumenta a 3 ohms/s e X 
diminui a 2 ohms/s a que taxa Z varia quando R = 10 ohms e X = 20 ohms? 
 
20 - Suponha um barco a 1 Km de distância da praia, varrendo a costa com um farolete . Esta 
gira a uma taxa constante de dθ/dt = -0,6 rad/s. 
a) A que taxa o ponto iluminado se desloca na costa quando a luz atinge o ponto A? 
b) Quantas voltas por minuto equivalem a 0,6 rad/s ? 
 
21 - Um ônibus transporta 60 pessoas . O número x de pessoas por viagem que tomam o 
ônibus está relacionado com o preço cobrado (p em R$) pela lei p = (3- x/40)². Escreva uma 
expressão para o rendimento total r(x) recebido por viagem pela companhia de ônibus. 
Quantas pessoas por viagem tornarão o rendimento marginal dr/dx nulo? Qual é o preço 
correspondente? 
 
22 - A posição de uma partícula no instante t >= 0 que se desloca ao longo de 
S(t) = 10 cos( t + π/4). Com base nesta informação determine: 
a) Qual a posição inicial da partícula? 
b) Quais são os pontos mais distantes da origem, à direita e à esquerda, alcançados pela 
partícula? 
c) Calcule a velocidade e a aceleração da partícula nos pontos mencionados no item b. 
d) Quando a partícula atinge a origem pela primeira vez? Qual é a sua velocidade, o módulo 
de sua velocidade e a aceleração nesse momento? 
 
23 - Um carro está trafegando à noite ao longo de uma rodovia na forma de uma parábola 
y=x2. O carro começa em um ponto a 100m a oeste e 100m ao norte da origem na direção 
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leste. Há uma estátua localizada 100m a leste e 50 m ao norte da origem. Determine o ponto 
sobre a estrada no qual os faróis do carro estarão iluminando 
a estátua.AULA 3 – CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS DE FUNÇÕES 
1. Introdução: 
Através dos conceitos de derivabilidade e de continuidade de uma função num 
intervalo contido em seu domínio, descobrimos que é possível estudar sua variação 
e, portanto, construir o seu gráfico. Para tanto, precisamos estabelecer alguns 
conceitos e alguns resultados: 
• O conceito de crescimento/decrescimento de uma função num intervalo contido 
em seu domínio e os seus eventuais pontos de extremo. 
• O conceito de concavidade do gráfico de uma função num intervalo contido em 
seu domínio e os eventuais pontos de inflexão. 
• Finalmente, a construção de gráficos. 
1.1. Crescimento/decrescimento de uma função: 
Definição 1: Uma função f é dita crescente num intervalo I quando para qualquer 
ar de pontos x1 e x2, com x1< x2, tem-se . p
 
 
 
Definição 2: Uma função f é dita decrescente num intervalo I quando para qualquer 
par de pontos x1 e x2, com x1< x2, tem-se . 
. 
 
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1.1.1 Ponto de extremo da função 
Definição: Seja I um intervalo aberto, tal que e seja . Dizemos que x0 
é um ponto de máximo local para f quando existe uma vizinhança V ao redor de x0 
tal que , para todo x pertencente a V. Analogamente, x0 é um ponto de 
mínimo local para f quando existe uma vizinhança V ao redor de x0 tal que 
, para todo x pertencente a V. 
O ponto x0 pode ser dito um ponto de máximo global quando para todo 
x pertencente a Dom f. Analogamente, o ponto x0 é um ponto de mínimo global 
quando para todo x pertencente a Dom f. 
Analisando da maneira com a qual esses conceitos se relacionam com a função 
derivada, temos: 
 
Propriedade: Seja f uma função contínua com um máximo ou um mínimo local num 
ponto x0, no qual f é derivável. Então f'(x0)=0, isto é, x0 é um ponto crítico para f, ou 
seja, a reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0,f(x0)) é horizontal. 
 
Teorema: Teste da 1a Derivada para Extremos Relativos 
 
Seja f uma função contínua em um intervalo aberto (a, b) contendo xo. Se f 
é derivável em todo os pontos do intervalo (a ,b), então: 
 
i) f ’(x) > 0, ∀ x ∈ (a, xo) e f ’(x) < 0, ∀ x ∈ (xo, b) ⇒ 
 ⇒ f tem um valor MÁXIMO RELATIVO em xo. 
 
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ii) f ’(x) < 0, ∀ x ∈ (a, xo) e f ’(x) > 0, ∀ x ∈ (xo, b) ⇒ 
 ⇒ f tem um valor MÍNIMO RELATIVO em xo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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iii) f ’(x) < 0, ∀ x ∈ (a , xo) e f ’(x) < 0, ∀ x ∈ (xo , b) ou 
 
 f ’(x) > 0, ∀ x ∈ (a, xo) e f ’(x) > 0, ∀ x ∈ (xo , b) ⇒ 
 
 ⇒ em xo f NÃO tem um extremo relativo. 
 
 
 
Exemplo: 
Seja : 
 
a
 ) Encontre os intervalos onde f é crescente e onde é decrescente; 
b ) Encontre e classifique os extremos relativos; 
c) Encontre o valor máximo absoluto da f no intervalo [ –1 , 2 ). 
 
 
Exercícios 1: Determine os intervalos em que cada uma das funções dadas abaixo 
é estritamente crescente ou estritamente decrescente: 
a) b) c) 
 
Exercício 2: Seja : 
 
a) Encontre os intervalos onde g é crescente e onde é decrescente; 
b) Encontre e classifique os extremos relativos; 
c) Encontre o valor máximo absoluto da g no intervalo ( 3 , 5 ] 
 
Exercício 3: Mostre que, para todo x>0, e que . 
 
1.2. Concavidade do gráfico de uma função: 
 
A noção intuitiva de crescimento/decrescimento de uma função num intervalo 
aberto, contido em seu domínio, nos faz pensar num determinado tipo de gráfico. 
Entretanto, é preciso tomar muito cuidado com as definições abaixo. 
 
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 18
Seja f uma função derivável num intervalo aberto I contido em seu domínio e x0 
um ponto de I. A reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0,f(x0)) é dada por: 
 
Ou seja, a reta tangente pode ser encarada como sendo o gráfico de uma função 
polinomial de primeiro grau T, dada por: 
 
 
Definição: Dizemos que o gráfico de f tem concavidade para cima no intervalo 
aberto I quando f(x)>T(x) quaisquer que sejam x e x0 em I, sendo , ou seja, 
sempre que f(x) estiver “acima” de T(x). 
 
 
 
Analogamente, podemos definir o que vem a ser concavidade para baixo do 
gráfico de f. 
Definição: Dizemos que o gráfico de f tem concavidade para baixo no intervalo 
aberto I quando f(x)<T(x) quaisquer que sejam x e x0 em I, sendo . , ou 
seja, sempre que f(x) estiver “abaixo” de T(x). 
 
 
 
Finalmente, o ponto onde ocorre mudança de concavidade no gráfico tem um 
nome especial que é ponto de inflexão. Mais precisamente, temos: 
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 19
Definição: Seja f uma função contínua e x0 um ponto de seu domínio. O ponto x0 
é denominado um ponto de inflexão de f quando nele ocorre mudança de 
concavidade do gráfico de f. 
O ponto (xo, f(xo)) é um ponto de inflexão do gráfico da função f, se o gráfico tiver 
nele uma reta tangente e se existir um intervalo aberto (a , b), contendo xo, tal 
que uma das seguintes condições é satisfeita: 
 
 
i) f ’’(x) < 0, ∀ x ∈ (a, xo) e f ’’(x) > 0, ∀ x ∈ (xo, b): 
 
 
 
 
 
 
 
 
ii) f ’’(x) > 0, ∀ x ∈ (a, xo) e f ’’(x) < 0, ∀ x ∈ (xo, b): 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por exemplo, no gráfico de f(x)=x3, temos um ponto de inflexão que é x=0. 
 
 
 
 
 
 
 
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 20
No gráfico de f(x)=tg x temos uma infinidade de pontos de inflexão, que são da 
forma x=kπ, onde 
. 
 
 
 
 
 
 
Teorema: Teste da 2a Derivada – Determinando as concavidades 
Seja f uma função derivável pelo menos até segunda ordem num intervalo aberto 
I, temos: 
i) Se f''(x)>0 em I, então o gráfico de f terá concavidade para cima em I: 
 
.
 
 
 
 
 
 
 
b) Se f''(x)<0 em I, então o gráfico de f terá concavidade para baixo em I. 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 21
1.3. Construção de Gráficos: 
 
1.3.1. Roteiro para construção de gráficos: 
i) Determine o domínio da função; 
ii) Determine as interseções com os eixos; 
iii) Calcule da primeira derivada; 
iv) Determine os pontos críticos, isto é, pontos que anulam a primeira derivada; 
v) Analiseos intervalos entre os pontos críticos acima: 
a) Se f '(x)>0 ∀ x ∈ (a, b), então f será estritamente crescente neste intervalo. 
b) Se f '(x)<0 ∀ x ∈ (a, b), então f será estritamente decrescente no intervalo. 
vi) Calcule a segunda derivada, sendo f uma função derivável até segunda 
ordem; 
vii) Determine os pontos que anulam a segunda derivada; 
viii) Analise os intervalos entre os pontos que anulam a segunda derivada: 
a) Se f''(x)>0 ∀ x ∈ (a, b), então o gráfico de f terá concavidade para cima neste 
intervalo. 
b) Se f''(x)<0 ∀ x ∈ (a, b), então o gráfico de f terá concavidade para baixo neste 
intervalo. 
c) Se f ’’(x) < 0, ∀ x ∈ (a, xo) e f ’’(x) > 0, ∀ x ∈ (xo, b) ou se f ’’(x) > 0, ∀ x ∈ (a, 
xo) e f ’’(x) < 0, ∀ x ∈ (xo, b), então (xo, f(xo)) é um ponto de inflexão. 
ix) Determine os Limites nas extremidades dos intervalos que constituem o 
domínio da função. 
 
Exemplo 1: Sendo , façamos o gráfico de f(x): 
 
Exercícios 1: Estude o comportamento das seguintes funções e construa os 
respectivos gráficos, com todas as informações que considerarem necessárias: 
 
a) b) c) 
d) e) 
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Exercícios: 
 Teorema da primeira derivada: 
 
a) Se para todo valor de x em (a, b), então f é crescente em [a,b]. 0)(' >xf
b) Se para todo valor de x em (a, b), então f é decrescente em [a,b]. 0)(' <xf
c) Se para todo valor de x em (a, b), então f é constante em [a,b]. 0)(' =xf
 
 
1 – Ache os intervalos nos quais as seguintes funções são crescentes ou decrescentes. 
 
a) 34)( 2 +−= xxxf b) 3)( xxf =
 
2 – Sobre o gráfico abaixo de 21243)( 234 +−+= xxxxf
 
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
-3 -2,
6
-2,
2
-1,
8
-1,
4 -1 -0,
6
-0,
2 0,2 0,6 1 1,4 1,8 2,2 2,6 3 3,4 3,8 4,2
Série1
 
 
a) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento: 
b) Usando o teorema da primeira derivada faça a comparação 
 
 
Teorema 2 – Seja f duas vezes derivável em um intervalo aberto I. 
a) Se em I, então f tem a concavidade para cima em I. 0)('' >xf
b) Se em I, então f tem a concavidade para baixo em I. 0)('' <xf
 
Exercício: Encontre os intervalos abertos nos quais as seguintes funções tem a convavidade 
para cima e para baixo. 
 
a) 34)( 2 +−= xxxf b) 3)( xxf = c) 13)( 23 +−= xxxf
 
Encontre os pontos de inflexão das funções abaixo. 
 
a) 4)( xxf = b) xxexf −=)(
 22
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c) de [0,2π] )()( xsenxf =
d) )()( 1 xtgxf −=
Localize os máximos e mínimos relativos de: 
 
a) 3/23/5 153)( xxxf −= b) 133)( 23 −+−= xxxxf
 
Pelo teorema da segunda derivada localize os extremos relativos da função: 
 
24 2)( xxxf −= 
 
Movimento retilíneo. Analise o movimento da partícula abaixo: 
 
a) 360212)( 23 ++−= ttttS
 
b) Um jogador de beisebol lança a bola verticalmente com velocidade de 100pés/s de uma altura 
de 7 metros. A bola chega a altura de 208 pés? 
 
Problemas básicos de aplicação de máximo e mínimo de funções: 
 
a) Ache as dimensões de um retângulo com perímetro de 100 metros, cuja área é a maior 
possível. 
b) Uma caixa aberta deve ser feita de uma folha de papelão medindo 16 cm por 30 cm, 
destacando-se quadrados iguais nos quatro cantos e dobrando-se o lados conforme figura abaixo. 
Qual é o tamanho dos quadrados para se obter uma caixa com o maior volume. 
 
 
c) Ache o raio e a altura de um cilindro circular reto com o maior volume, o qual pode ser 
inscrito em um cone circular reto com 10 cm de altura e 6 cm de raio. 
 
d) Uma lata cilíndrica fechada deve conter 1 litro de liquido. Como poderíamos escolher a altura 
e o raio para minimizar o material usado na confecção da lata. 
 
Sendo H = altura da lata em cm, R = raio da lata em cm e S = área superficial da lata em cm2. 
 
e) Ache um ponto na curva o qual esteja mais próximo de (18,0) 2)( xxf =
 
 
f) Uma forma liquida de penicilina fabricada por uma firma farmacêutica é vendida a granel a 
um preço de 200 reais por unidade. Se o custo total de produção em dólares para x unidade for 
 23
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50000080003,0)( 2 ++= xxxC e se a capacidade de produção da firma for de no Maximo 30000 
unidades em um tempo especificado, quantas unidade de penicilina devem ser fabricadas e 
vendidas naquele tempo para maximizar o lucro? 
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AULA 5 – INTEGRAÇÃO 
Integrais Imediatas 
∫ += cudu 
∫ −≠++=
+
1
1
1
mcomc
m
xdxx
m
m
 
1
1
1
−≠+
+
=∫
+
mcomc
m
uduu
m
m
 
∫ += cuu
du ln
 
∫ += cedue uu 
∫ += ca
adua
u
u
ln 
∫ +−= cuduu cossen 
∫ += cuduu sencos 
∫ += cuduu seclntan 
∫ += cuduuu sectan.sec 
 
∫ +−= cudutgucou seccos.seccos 
∫ ++= cuuduu tanseclnsec 
∫ +−= cuguduu cotseccoslnseccos 
∫ += cuduug senlncot 
∫ += cuduu tansec 2 
∫ +−= cugduu cotseccos 2 
∫ += cuduu coshsenh 
∫ += cuduu senhcosh 
∫ += cuduuh tanhsec 2 
∫ +−= cughduuh cotseccos 2 
∫ +−= cuhduuuh sectanh.sec 
∫ +−= cuhduutghcouh seccos.seccos 
 
 
Exercícios - Integrais por substituição 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 01 – Área entre Funções 
 
 
Exercícios – Área entre funções 
 
1. Ache a área limitada acima por y=x+6 e abaixo por y = x² e nas laterais em 
x = 0 e x = 2. 
 
 
2. Ache a área limitada pelas funções do exercício anterior. 
 
 
3. Encontre a área entre as curva x = y² e y = x-2. 
 
 
 
4. Encontre a área do item anterior integrando em função de y. 
 
 
5. Encontre a área entre as funções y= e^x , y=e^2x. 
 
 
6. Calcular a área para círculo, elipse por integração. 
 
 
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Volume por fatiamento 
Idéia: 
Se A(x) for uma função contínua de x, podemos usá -la para calcular o 
volume do sólido. 
 
Procedimento: 
• dividir o intervalo [a, b] em subintervalos de comprimento dx; 
• fatiar o sólido em cada ponto determinado pelos subintervalos; 
• cada fatia cilíndrica tem volume aproximado de: 
Vk = área da base × altura = A(xk) × dx 
• o volume total será: VSol = ∑ A(xk) · dx, com k variando de 1 a n. 
Tomando n -> ∞, temos: 
 
Definicão: 
O volume de um sólido compreendido entre os planos x = a e x = b, cuja 
área da seção transversal por x é dada por A(x):Exercícios Propostos – Volume por fatiamento 
 
1. Determine o volume do sólido que se situa entre os planos perpendiculares 
ao eixo x em x = 0, e x = 4. As seções transversais perpendiculares ao eixo 
x são discos circulares cujas diagonais vão da parábola y = x² à parábola y 
= 2 − x². 
 
 
 
 
 
 
 
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29 
 
 
2. Uma cunha curva foi obtida por meio do corte de um cilindro de raio 3 por 
dois planos. Um deles é perpendicular ao eixo do cilindro. O segundo cruza 
o primeiro formando um ângulo de 45 graus no centro do cilindro. 
Determine o volume da cunha. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Calcular volume de cilindro, cone, pirâmide de dimensões H, R por 
integração. 
 
 
 
 
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30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo – Calculando o Volume de um sólido de revolução 
 
1. Calcule o volume de uma esfera de raio “a”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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31 
Exercícios Propostos - Volume de um sólido de revolução 
 
1. Calcule o volume do sólido gerado com a revolução da função f(x) = x³ em 
relação ao eixo x, no intervalo [1,2]. 
 
 
 
 
2. Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno da reta y = 1 
da região limitada por y = x^(1/2) e pelas retas y = 1 e x = 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno do eixo y, da 
região compreendida entre o eixo y e a curva x =2/y, 1=< y =< 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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32 
 
4. Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno da reta x = 3, 
da região compreendida entre a parábola x =y² + 1 e a reta x = 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Ache o volume do sólido gerado quando a região entre os gráficos das 
equações f(x) =0,5 + x² e g(x) = x sobre o intervalo [0,2] é girada em torno 
do eixo x. 
 
 
 
 
6. Ache o volume do sólido gerado quando a região limitada por y =x^(0,5), 
y=2 e x =0 girada em torno do eixo y. 
 
 
 
 
7. Calcule o volume gerado quando fazemos a função y=x² ser rotacionada no 
eixo y no intervalo de y : [0,4] 
 
 
 
 
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8. Calcular o volume pela rotação da intersecção de y=x² e y=x+2 ao longo do 
eixo x. 
 
 
 
9. Achar o volume quando rotacionamos a área compreendida entre as 
funções y² = 4x e x=4 ao longo do eixo x= 6. 
 
 
 
10. Dados os gráficos y=x³ e x=2, calcular o volume compreendido quando 
rotacionarmos ao longo do eixo y. 
 
Volume por camadas cilíndricas 
 
Volume = ∫2πxf(x)dx para o intervalo [a,b] 
 
 
Exercícios Propostos - Volume por camadas cilíndricas 
 
1. Calcule o volume por cascas cilíndricas quando fazemos girar em torno do 
eixo y a região envolvida y=x^0,5 , x=1 e x=4. 
 
 
2. Calcular o volume quando girado em torno do eixo y a área limitada por 
y=x^(3/2), y=1 em x [1,3]. 
 
33 
 
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3. Usando o método das cascas cilíndricas, calcular o volume quando 
rotacionada a área limitada por y=x^(0,5), y=1 e x=4 em torno de y =-2. 
 
 
 
Comprimento de Arco de Curvas 
 
 
 
 
Exercícios Propostos - Comprimento de Arco de Curvas 
1. Determinar o comprimento do arco da curva f(x) = x ^(2/3) entre os 
pontos P1 (8,4) e P2(27,9). 
 
 
 
34 
 
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35 
2. Calcular o comprimento de uma circunferência de raio r. 
 
 
 
 
 
Área de superfície de revolução 
 
Seja y = f(x) contínua e derivável em [a,b], 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja x = f(y) contínua e derivável em [a,b] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios Propostos - Área de superfície de revolução 
 
1. Determinar a área obtida pela revolução da curva y = x^0,5, entre x= 1 e x= 
4 em torno do eixo x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Propostos – Integração por Partes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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38 
 
 
 
Questões de Provas de provas anteriores da Petrobras 
 
1ª Questão: 
 
 
 
 
 
2ª Questão: 
 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
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3ª Questão: 
 
 
 
 
 
 
4ª Questão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
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5ª Questão: 
 
 
 
 
 
6ª Questão: 
 
 
 
40 
 
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41 
AULA 6 – INTEGRAÇÃO 
 
 
 
Facilitando a encontrar a integral 
 
 
se a mesma puder ser escrita na forma: 
 
ou 
 
 
 
 
 
 
 
 
A idéia agora é utilizar o método de frações parciais para 
determinar 
 
 
 
 
O primeiro passo é fatorar o denominador: 
 
 
O passo seguinte é determinar as constantes A e B de maneira 
que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
o que resulta: 
3)1)(x(x
1)3(x
3)1)(x(x
3)2(x
3x3
1x
2
−+
+
+
−+
−
=
−
+
+ 3)1)(x(x
3 3x 62x
3)1)(x(x
1)3(x3)2(x
−+
++−
=
−+
++−
=
32xx
3 5x
2 −−
−
=
∫ −−
− dx
32xx
3 5x
2
∫∫ −++ dx3x
3dx
1x
2
∫ ⎟⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
+
dx
3x
3
1x
2
∫∫∫∫ −++=−++ dx3x
13dx
1x
12dx
3x
3dx
1x
2
C3xln31xln2 +−++=
∫ −−
− dx
32xx
3 5x
2
3)1)(x(x
3 5x
32xx
3 5x
2 −+
−
=
−−
−
3)(x
B
1)(x
A
32xx
3 5x
2 −
+
+
=
−−
−
1)3)(x(x
B1)(x
3)-1)(x(x
A3)(x
3)2x(x
3) (5x
2 +−
++
+
−=
−−
−
1)B(x3)A(x3 5x ++−=−
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42 
 
 
 
Combinando os termos do lado esquerdo: 
 
B3AB)x(A3 5x +−+=− 
 
Equacionando os coeficientes, o seguinte sistema de equações 
lineares é obtido: 
 
⎩
⎨
⎧
−=+−
=+
3B3A
5BA 
 
 
 
FRAÇÕES PARCIAIS: DESCRIÇÃO GERAL DO MÉTODO 
 
O sucesso em escrever uma fração racional f(x)/g(x) como a soma de 
frações parciais depende de dois fatores: 
 
1 – O grau de f(x) deve ser menor que o grau de g(x). 
 Funções racionais deste tipo são chamadas de funções 
 próprias. 
 
2 – Os fatores de g(x) devem ser conhecidos. 
 
 
UTILIZANDO UM FATOR LINEAR REPETIDO 
 
O problema agora é como expressar por meio de uma soma de frações 
parciais funções racionais do tipo: 
22)(x
76x
+
+ 
 
 
 
 
2)(x
B
2)(x
A
2)2)(x(x
76x
2)(x
76x
2 +
+
+
=
++
+
=
+
+
NÃO se pode escrever: 
 
 
 
2)(x
BA
2)(x
B
2)(x
A
+
+
=
+
+
+
pois (lembrar que A e B são constantes!): 
 
 
 
22 2)(x
B
2x
A
2)(x
76x
+
+
+
=
+
+
 
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43 
Seja a função dada escrita na forma: 
 
 
 
 
 
 
ou 
 
 
22 2)(x
B
2)2)(x(x
A2)(x
2)
 
que gera o seguinte sistema de equações lineares: 
 
 
Portanto, A = 6 e B = – 5. 
 
 
Assim: 
 
 
 
Este resultado pode ser utilizado para determinar: 
 
 
Desta forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTEGRANDO UMA FRAÇÃO IMPRÓPRIA 
 
Seja a função racional f(x)/g(x). Quando o grau de f(x) for maior que o 
grau de g(x), a função racional é denominada função imprópria. 
 
O novo problema é como expressar por meio de uma soma de frações 
parciais funções racionais do tipo: 
 
 
(x
76x
+
+
++
+=
+
+ B2)A(x76x ++=+
⎩
⎨
⎧
=+
=
7B2A
6A
22 2)(x
5
2x
6
2)(x
76x
+
−
+
=
+
+
∫ +
+ dx
2)(x
76x
2
∫∫∫ +−+=+
+ dx
2)(x
5dx
2x
6dx
2)(x
76x
22
∫∫ +−+= dx2)(x
15dx
2x
16 2
∫∫ −+−+= dx2)(x5dx2x
16 2
C
2x
52xln6 +
+
++=
32xx
3x4x2x
2
23
−−
−−−
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44 
 
 
O primeiro passo é dividir o numerador pelo denominador. 
 
 
 
 
2x
32xx 3 x 4x 2x 2 23 −−−− − 
 
 
 
2x6x4x2x 
32xx3 4x2x 
23 
223 
−− 
−−− − 
– 
Portanto: 
 
 
 
 
5x
2x6x4x2x
32xx3x4x2x
23
223
++−
−−−−− ou 
 
 
 
 
35x
2x6x4x2x
32xx3x4x2x
23
223
−
++−
−−−−− ou, finalmente: 
 
 
 
 
Desta forma: 
 
 
32xx
35x2x
32xx
35x
32xx
3)2x2x(x
32xx
35x3)2x2x(x
32xx
3x4x2x
2
22
2
2
2
2
23
−−
−
+=
−−
−
+
−−
−−
=
−−
−+−−
=
−−
−−−
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dx
32xx
35xdx2xdx
32xx
3x4x2x
22
23
∫∫∫ −−
−
+=
−−
−−−Assim sendo: 
 
 
 
C3xln31xln2 x2 +−+++= 
 
 
 
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45 
 
 
INTEGRANDO UMA FRAÇÃO COM UM FATOR QUADRÁTICO 
IRREDUTÍVEL NO DENOMINADOR 
 
22 1)1)(x(x
42x
−+
+−Seja a função racional: 
 
 
O problema agora é reescrever esta função utilizando frações parciais. 
 
O denominador possui: 
22 1)(x1)(x
42x
−+
+−
fator quadrático 
irredutível 
fator linear 
repetido 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então: 
2222 1)(x
D
1x
C
1x
BAx
1)1)(x(x
42x
−
+
−
+
+
+
=
−+
+−
devido ao fator 
linear repetido 
devido ao fator 
irredutível 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1)D(x1)1)(xC(x1)B)(x(Ax42x 222 ++−++−+=+−
 
 
Expandindo e agrupando termos resulta: 
 
 
DCBC)x2B(A 
D)xCB2A(C)x(A 4 2x 23
+−++− 
+ +−+−++ = + − 
 
 
 
 
Com este resultado, determinar: 
∫ −+
+− dx
1)1)(x(x
42x
22 
 
 
Esta integral pode, portanto, ser escrita como: 
 
 
 
 
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46 
 
 
 
 
dx
1)(x
1dx
1x
2dx
1x
12xdx
1)1)(x(x
42x
2222 ∫∫∫∫ −+−−+
+
=
−+
+−
 
 
 
 
dx
1)(x
1dx
1x
2dx
1x
1dx
1x
2xdx
1)1)(x (x
42x
22222 ∫∫∫∫∫ −+−−+++=−+
+−
 
 
 
C
a
xtgarc
a
1dx
ax
1
22 +⎟⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
+∫
 
 
 
 
E, finalmente: 
C
1x
11x2ln(x)tgarc1)ln(xdx
1)1)(x(x
42x 2
22 +−
−−−++=
−+
+−
∫ 
 
 
 
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Questões que caíram na Petrobras: 
 
 
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*Quanto vale a área da região delimitada pelo eixo das abscissas, as retas x=0 
e x= pi/3? e o gráfico da função de R em R cuja lei é f(x) = cos (2x) 
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