Matemática Financeira Regra da Sociedade

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Matemática Financeira 
Regra da Sociedade 
 
 
Diego Oliveira 
 
www.number.890m.com 
 
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Esse é o segundo mini book sobre matemática financeira. Cada mini 
book possui um tema que é tratado de forma simples, rápida e completa. 
Aqui você encontrará exemplos resolvidos e um conteúdo bastante sucinto 
perfeito para interessados em aprender sobre Matemática Financeira, mas 
que não deseja passar por aprofundamentos (tais como demonstrações) 
desnecessárias. 
INTRODUÇÃO 
REGRA DA SOCIEDADE
Diego Oliveira1 | www.number.890m.com | nibblediego@gmail.com
Maria, Jose´ e Renato entraram em sociedade para realizac¸a˜o de um evento.
Maria entrou com R$ 125,00, Renato com R$ 200,00 e Jose´ com R$ 103,00. No
final do evento foi contabilizado um lucro de 1.500,00 reais e logo quiseram saber
quanto do lucro caberia a cada um. Obviamente na˜o poder´ıamos simplesmente
dividir o lucro em treˆs partes iguais, ja´ que cada so´cio contribuiu com valores difer-
entes. Sendo assim como resolver esse problema?
A divisa˜o de lucros, ou preju´ızos, em partes proporcionais ao tempo da aplicac¸a˜o
e ao valor dos capitais de cada so´cio e´ chamado de regra da sociedade.
Por exemplo, para treˆs so´cios a regra se resume a seguinte expressa˜o:
x
c1 × t1 =
y
c2 × t2 =
z
c3 × t3 =
lucro total
c1 × t1 + c2 × t2 + c3 × t3
Onde:
� x e´ o lucro do 1◦ so´cio;
� y e´ o lucro do 2◦ so´cio;
� z e´ o lucro do 3◦ so´cio;
� cn e´ o capital do ene´simo so´cio;
� tn e´ o tempo que o dinheiro do ene´simo so´cio ficou aplicado.
Essa expressa˜o parece um pouco complicada, mas na verdade ela e´ bem simples
de ser aplicada e com base nela podemos resolver o problema de Maria, Renato e
Joa˜o.
Para Maria ter´ıamos por exemplo
x
125, 00× t1 =
1.500, 00
125, 00× t1 + 200, 00× t2 + 103, 00× t3
Considerando que o tempo das aplicac¸o˜es e´ o mesmo podemos fazer t = t1 =
t2 = t3.
x
125, 00× t =
1.500, 00
(125, 00 + 200, 00 + 103, 00)t
⇒ 428, 00t× x = 1.500, 00× 125, 00t
1Licenciado em Matema´tica e especialista em Matema´tica Financeira.
1
⇒ 428, 00× x = 1.500, 00× 125, 00
⇒ x = 438, 084
Ou seja, a parte do lucro que caberia a Maria seria de 438,084 reais.
Ja´ o lucro de Renato seria de 700,93 reais.
y
200× t =
1500
125× t+ 200× t+ 103× t
⇒ y = 700, 93
E o lucro de Joa˜o de 360,98 reais.
z
103, 00t3
=
1.500, 00
125, 00× t+ 200, 00× t+ 103, 00× t
⇒ z = 360, 98.
Algo que voceˆ NUNCA deve esquecer e´ que aplicac¸a˜o da regra da sociedade so´
pode ser feita quando as unidades de tempo sa˜o as mesmas. Para entender melhor
o que esta´ sendo dito veja o pro´ximo exemplo.
Exemplo 1: Uma firma teve um lucro de R$ 3.870,00. O 1◦ so´cio empregou
1.000,00 durante um bimestre; o 2◦ so´cio empregou R$ 1.200,00 durante um meˆs
e dez dias e o 3◦ so´cio empregou R$ 1.500,00 durante 23 dias. Qual o lucro de
cada so´cio?
Soluc¸a˜o
Aqui temos treˆs unidade de tempo (bimestre, meˆs e dias), assim antes de aplicar
a regra da sociedade temos de passar tudo para bimestre ou meˆs ou mesmo dias.
Utilizando como unidade padra˜o o dia teremos:
1 bimestre = 60 dias,
1 meˆs e 10 dias = 40 dias
assim
x
1.000, 00 · 60+
y
1.200, 00 · 40+
z
1.500, 00 · 23 =
3.870, 00
1.000, 00 · 60 + 1.200, 00 · 40 + 1.500, 00 · 23
⇒ x
60.000, 00
+
y
48.000, 00
+
z
34.500, 00
= 0, 027157895
Que implica em x ≈ R$ 1.629,47; y ≈ R$ 1.303,58 e z ≈ R$ 936,95.
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CAPITAL EM PARCELAS
E´ bastante comum que um ou outro investidor (em sociedade) na˜o aplique o
seu capital de uma u´nica vez num investimento ou mesmo que o aplique, mas retire
uma parte do que foi investido antes do fim investimento.
Se num investimento um ou mais so´cios possu´ırem va´rios capitais aplicados em
tempos diferentes utiliza-se o somato´rio dos produtos do capital pelo seu respectivo
tempo para o calculo da divisa˜o dos lucros. O exemplo 2 a seguir mostra essa
situac¸a˜o.
Exemplo 2: No dia 1◦ do meˆs de janeiro, treˆs so´cios organizaram uma firma
com o capital de R$ 4.500,00 dividido entre os treˆs em partes iguais. O primeiro
so´cio integralizou totalmente a sua parte. O segundo entrou com R$ 1.000,00
tendo, 3 meses apo´s, integralizado o restante. Ja´ o terceiro so´cio entrou com R$
750,00 so´ completando sua parte em 1◦ de julho. No fim de um ano de atividade,
o lucro apurado foi de R$ 1.200,00. Quanto coube a cada so´cio?
Soluc¸a˜o:
Nesse caso temos:
1◦ so´cio: 1.500,00 × 12 meses = 18.000,00;
2◦ so´cio: 1.000,00 × 3 meses + 1.500,00 × 9 meses = 16.500,00;
3◦ so´cio: 750,00 × 6 meses + 1.500,00 × 6 meses = 13.500,00;
Assim pela regra da sociedade:
x
18.000, 00
=
y
16.500, 00
=
z
13.500, 00
=
1.200, 00
18.000, 00 + 16.500, 00 + 13.500, 00
⇒ x
18.000, 00
=
y
16.500, 00
=
z
13.500, 00
=
1.200, 00
48.000, 00
⇒ x = 1.200, 00
48.000, 00
· 18.000, 00 = 450, 00;
⇒ y = 1.200, 00
48.000, 00
· 16.500, 00 = 412, 50;
⇒ z = 1.200, 00
48.000, 00
· 13.500, 00 = 337, 50;
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Enta˜o, o primeiro so´cio deve receber R$ 450,00, o segundo R$ 412,00 e o terceiro
R$ 337,50 reais.
No caso da retirada de uma parte do capital por um dos investidores a divisa˜o
segue a mesma logica. Veja o pro´ximo exemplo.
Exemplo 3: Na fundac¸a˜o de certa sociedade A e B entraram com R$ 5.200,00
e R$ 7.300,00 respectivamente. Quando a empresa completou seu segundo meˆs de
existeˆncia o so´cio A retirou R$ 1.200,00; dois meses depois desta data o so´cio B
depositou R$ 1.500,00. Ao fim do primeiro semestre de atividades verificou-se o
lucro de R$ 1.5006,00. Qual o lucro de cada so´cio?
Soluc¸a˜o
Dos R$ 5.200,00 investido pelo so´cio A apenas R$ 4.000,00 permaneceu na
aplicac¸a˜o por durante 6 meses. O restante R$ 1.200,00 (5.200, 00− 4.000, 00) foi
aplicado apenas durante os dois primeiros meses. Assim:
lucro de A
4.000, 00 · 6 + 1.200, 00 · 2
Do total aplicado pelo so´cio B apenas R$ 7.300,00 ficou durante os seis meses.
Os 1.500,00 aplicados depois so´ teve rendimento nos dois u´ltimos meses. Assim:
lucro de B
7.300, 00 · 6 + 1.500, 00 · 2
enta˜o pela regra da sociedade
lucro de A
4.000, 00 · 6 + 1.200, 00 · 2 =
lucro de B
7.300, 00 · 6 = 1.500, 00 · 2 =
15.006, 00
73.200, 00
→ lucro de A
26.400, 00
=
lucro de B
46.800, 00
= 0, 205
onde se conclui que o lucro de A foi de R$ 9.594,00 e o lucro de B de R$
5.412,00.
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