Semana 6 Matemática

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Penápolis-Sp 
2018 
 
 
 
Engenharia de Computação 
 
 
 
Atividade para Avaliação 
Semana 6 
Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aluno: Gustavo Henrique Vasconcelos 
RA: 1803275 
Polo: Penápolis-Sp 
Turma: 4 Noite 
Penápolis-Sp 
2018 
1) 
Utilizando a sugestão dada no enunciado, se substituirmos sen x por t, pode 
resolver uma equação quadrática, que é mais fácil que a trigonométrica. 
Portanto, sen x deve ser maior ou igual a 1/2: 
sen x ≥ ½. 
Precisamos da função inversa do seno para encontrar o valor de x: 
O arco cujo seno é igual a 1/2 é π/6 e 5π/6, pela tabela trigonométrica. 
Então π/6 ≤ x ≤ 5π/6. 
 
 
 
2) 
Pela relação trigonométrica sen²(x) + cos²(x) = 1, temos que: 
cos²(x) = 1 - sen²(x) 
Substituindo na equação: 
2(1-sen²(x)) - sen(x) - 1 = 0 
2 - 2sen²(x) - sen(x) -1 = 0 
Fazendo sen x = y, temos: 
2 - 2y² - y - 1 = 0 
-2y² - y + 1 = 0 
Resolvendo pela fórmula de Bhaskara, temos que: 
y' = 1/2 
y'' = -1 
Para y = 1/2 e pela tabela trigonométrica de ângulos notáveis, temos: 
sen(x) = 1/2 
x = π/6 
x = 5π/6 
Para y = -1: 
sen(x) = -1 
x = 3π/2 
 
 
 
 
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2018 
3) 
Temos a soma de 20,241 que multiplica i elevado a n, com isso, o valor da 
soma depende exclusivamente de i^n. Vamos ver o que acontece com as 
potências de i: 
Perceba que para as potências de i^0 a i^3, temos valores distintos, e que 
este se repetem a partir de i^4. 
Na soma, como n começa em 1, temos que para n = 1: 
20,241 * i = 20,241i 
Para n = 2: 
20,241 * i^2 = -20,241 
Para n = 3: 
20,241 * i^3 = -20,241i 
Para n = 4: 
20,241 * i^4 = 20,241 
Perceba que somando os valores para n = 1 e n = 3, o resultado é 0 e 
somando os valores para n = 2 e n = 4, o resultado também é 0. Como estes 
valores se repetem infinitamente (soma de n = 5 e n = 7, n = 6 e n = 8, e assim 
por diante). 
Podemos concluir que a soma é igual a 0. 
 
4) 
a).Um número complexo pode ser representado num sistemas de coordenadas 
cartesianas, onde a parte real corresponde ao eixo x (eixo real) e a parte 
imaginária corresponde ao eixo y (eixo imaginário). 
Desta forma, um número complexo z = a + bi forma um triângulo retângulo de 
catetos a e b, e hipotenusa igual ao módulo de z (|z|). 
O argumento do número z é o arco formado entre o eixo horizontal positivo e o 
módulo de z. 
Desta forma, temos: 
Como a = -1 e b = -1: 
Pela relação trigonométrica , temos: 
 
 
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2018 
O ângulo cujo cosseno é igual a -√2/2 é 135º. Como z está no terceiro 
quadrante, temos que subtrair este ângulo de 360º. 
Então o argumento de z é 225º. 
Portanto: 
|z| = √2 
arg(z) = 225º 
 
b) A forma trigonométrica, ou polar, é dada pela fórmula: 
onde p é o módulo de z e θ é o argumento de z. 
Portanto, para z = -1 - i, temos: 
z = √2 (cos(225) + isen(225)) 
 
c) Podemos reescrever o expoente 12, como um produto de 2 e 6: 
Temos que (-1 -i)² = -1² + 2i +i² = 1 + 2i - 1 = 2i. Então, podemos escrever: 
Como sabemos, i^6 é corresponde a i^2 = -1.