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Aula 01 Matemática p/ Banco da Amazônia - Técnico Bancário Professor: Arthur Lima ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� �������������������������������������������������������������������� AULA 01: Tópicos de matemática básica � SUMÁRIO PÁGINA 1. Teoria 01 2. Resolução de questões 37 3. Questões apresentadas na aula 131 4. Gabarito 170 � Caro aluno, em nossa primeira aula trabalharemos os seguintes tópicos de matemática básica do seu edital do Banco da Amazônia: Números inteiros, racionais e reais. Percentagens. Além dos tópicos explicitados no edital, veremos mais alguns que servirão de base para o melhor entendimento das matérias das próximas aulas. Aproveite para revisar a matemática do ensino médio! Tenha uma boa aula! � 1. TEORIA 1.1 Números inteiros, racionais e reais Chamamos de conjuntos numéricos as principais classificações dos números conhecidos. Apesar do seu edital só ter cobrado 2 conjuntos numéricos (Racionais e Inteiros) de maneira explícita, será preciso conhecer os demais conjuntos numéricos para que você efetivamente entenda os conceitos aqui abordados. Assim, não estranhe ao se deparar com os conjuntos dos números naturais e irracionais na aula de hoje. NÚMEROS NATURAIS Os números naturais têm esse nome por serem aqueles mais intuitivos, de “contagem natural”. Isto é, são aqueles construídos com os algarismos de 0 a 9. O símbolo desse conjunto é a letra N, e podemos escrever os seus elementos entre chaves: 87640937272 ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� �������������������������������������������������������������������� �������������� �� �������� ��������������������� ��� ����������� ����������������������� As reticências indicam que este conjunto não tem fim, ou seja, existem infinitos números naturais. Apesar de incluído neste conjunto, o zero não é um número natural propriamente dito (pois não é um número de “contagem natural”). Por isso, utiliza-se o símbolo N* para designar os números naturais positivos, isto é, excluindo o zero. Vejam: N* = {1, 2, 3, 4…} Alguns conceitos básicos relacionados aos números naturais: a) Sucessor: é o próximo número natural. Isto é, o sucessor de 2 é 3, e o sucessor de 21 é 22. E o sucessor do número “n” é o número “n+1”. b) Antecessor: é o número natural anterior. Isto é, o antecessor de 2 é 1, e o antecessor de 21 é 20. E o antecessor do número “n” é o número “n-1”. Observe que o número natural zero não possui antecessor, pois é o primeiro número desse conjunto. c) Números consecutivos: são números em sequência. Assim, {2,3,4} são números consecutivos, porém {2, 5,4} não são. E {n-1, n e n+1} são números consecutivos. d) Números naturais pares: {0, 2, 4...}. Número par é aquele que, ao ser dividido por 2, não deixa resto. Por isso o zero também é par. e) Números naturais ímpares: {1, 3, 5...}. Ao serem divididos por 2, deixam resto 1. Sobre pares e ímpares, vale a pena perceber que: - a soma ou subtração de dois números pares tem resultado par. Ex.: 12 + 6 = 18; 12 – 6 = 6. - a soma ou subtração de dois números ímpares tem resultado par. Ex.: 13 + 5 = 18; 13 – 5 = 8. 87640937272 ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� �������������������������������������������������������������������� - a soma ou subtração de um número par com outro ímpar tem resultado ímpar. Ex.: 12 + 5 = 17; 12 – 5 = 7. - a multiplicação de números pares tem resultado par: 4 x 6 = 24. - a multiplicação de números ímpares tem resultado ímpar: 3 x 5 = 15. - a multiplicação de um número par por um número ímpar tem resultado par: 2 x 3 = 6. NÚMEROS INTEIROS Os números inteiros são os números naturais e seus respectivos opostos (negativos). Isto é, Z = {...-12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...} Observem que todos os números Naturais são também Inteiros, mas nem todos os números inteiros são naturais. Assim, podemos dizer que o conjunto de números naturais está contido no conjunto de números inteiros, isto é, N Z, ou ainda que N é um subconjunto de Z. O diagrama abaixo explicita esta relação entre N e Z: Dentro deste conjunto, podemos destacar alguns subconjuntos de números. Vejam que os nomes dos subconjuntos são auto-explicativos: a) Números Inteiros não negativos = {0,1,2,3...}. Veja que são os números naturais. b) Números Inteiros não positivos = {… -3, -2, -1, 0}. Veja que o zero também faz parte deste conjunto, pois ele não é positivo nem negativo. c) Números inteiros negativos = { … -3, -2, -1}. O zero não faz parte. 87640937272 87640937272 - Leandro Nascimento ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� �������������������������������������������������������������������� d) Números inteiros positivos = {1, 2, 3...}. Novamente, o zero não faz parte. NÚMEROS RACIONAIS Os números racionais são aqueles que podem ser representados na forma da divisão de dois números inteiros. Isto é, são aqueles números que podem ser escritos na forma (A dividido por B), onde A e B são números inteiros. Exemplos: é Racional, pois é a divisão do número inteiro 5 pelo número inteiro 4. é Racional, pois é a divisão do número inteiro -15 pelo número inteiro 9, ou a divisão de 15 por -9. 73 e -195 são Racionais, pois são a divisão dos números 73 e -195 pelo número 1. Observe este último exemplo. Já tínhamos visto que qualquer número natural é também inteiro. E agora vemos que todo número inteiro é também racional! Isto porque qualquer número inteiro é o resultado da divisão dele mesmo por 1, podendo ser representado na forma (A dividido por 1, onde A é um número inteiro qualquer). Veja se este novo diagrama, contendo os números Naturais, Inteiros e Racionais, faz sentido para você: O zero também faz parte dos Números Racionais (pode ser escrito na forma , concorda?). Porém, quando escrevemos um número racional na forma , o 87640937272 ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� �������������������������������������������������������������������� denominador (isto é, o número B) nunca é zero. Isto porque a divisão de um número por zero é impossível (exceto 0 0 , cujo valor é indeterminado). No conjunto dos Números Racionais, temos basicamente 3 tipos de números: a) Frações. Ex.: , , etc. b) Números decimais. Ex.: 1,25 Veja que este número decimal tem escrita finita, isto é, um número definido de casas após a vírgula. Por isso, ele também poderia ser escrito na forma . Neste caso, poderíamos representá-lo como , ou mesmo simplificá-lo para . c) Dízimas periódicas. Ex.: 0,33333... ou simplesmente (a barra indica que o algarismo 3 repete-se indefinidamente). As dízimas periódicas são consideradas racionais porque também podem ser escritas na forma . O número deste exemplo poderia ser escrito na forma . Existem métodos que nos permitem encontrar qual fração é equivalente a uma determinada dízima periódica. Outro exemplo de dízima periódica:1,352525252... ou . Antes de prosseguirmos, vejamos como obter as frações que dão origem a dízimas periódicas. Por exemplo, ao dividir 1 por 3 você obterá 0,333... , ou simplesmente 0,3 . Assim, dizemos que a “fração geratriz” da dízima 0,3 é igual a 1 3 . Existem métodos que nos permitem, a partir de uma dízima periódica, chegar até a fração que deu origem a ela. Em alguns casos, a parte que se repete já começa logo após a vírgula. Isto é o caso em: 0,333... 0,353535... 0,215215215... 87640937272 87640937272 - Leandro Nascimento ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� �������������������������������������������������������������������� Em outros casos, existem alguns números entre a vírgula e o início da repetição. Veja esses números sublinhados nas dízimas abaixo: 0,1333... 0,04353535... 0,327215215215... Vamos começar trabalhando com os casos onde a repetição começa logo após a vírgula, para a seguir estender o método aos casos onde existem números entre a vírgula e o início da repetição. � Casos onde a repetição começa logo após a vírgula: Vamos trabalhar com a dízima 0,333... . Chamemos de X a fração que dá origem a esta dízima. Ou seja, X = 0,333... Como a repetição é formada por um único número (3), se multiplicarmos esta dízima por 10 conseguimos passar, para o outro lado da vírgula, o primeiro número da repetição: 10X = 10 x 0,333... = 3,333... Observe que 10X = 3 + 0,333... . Veja ainda a seguinte subtração: 10X – X = 3,333... – 0,333... Os dois números à direita da igualdade acima possuem infinitas casas decimais idênticas. Portanto, o resultado desta subtração é: 9X = 3 3 1 9 3 X = = Assim, descobrimos que a fração geratriz da dízima 0,333... é 1 3 X = . Vejamos um segundo exemplo: vamos buscar a fração geratriz da dízima 0,216216216... . Repare que temos a repetição de 216, e não há nenhuma casa 87640937272 ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� �������������������������������������������������������������������� separando a vírgula e o início da repetição. Chamando de X a fração geratriz da dízima, temos: X = 0,216216216... Para passar a primeira repetição (216) para a esquerda da vírgula, precisamos multiplicar X por 1000: 1000X = 216,216216216... Efetuando a subtração 1000X – X podemos obter a fração geratriz: 1000X – X = 216,216216216... – 0,216216216... 999X = 216 216 24 999 111 X = = Assim, a geratriz de 0,216 é a fração 24 111 . � Casos onde existem números entre a vírgula e o início da repetição: Vejamos como obter a fração geratriz da dízima 1,327215215215... . Veja que, neste caso, temos a repetição do termo 215. Entre a vírgula e o início da repetição temos 3 números (327). Deste modo, chamando de X a fração geratriz, temos: X = 1,327215215215... Multiplicando X por 1000 conseguimos deixar, à direita da vírgula, apenas os termos que se repetem: 1000X = 1327,215215215... E multiplicando X por 1000000 conseguimos passar a primeira repetição “215” para o lado esquerdo da vírgula: 1000000X = 1327215,215215215... Assim, podemos efetuar a seguinte subtração: 1000000X – 1000X = 1327215,215215215... - 1327,215215215... 87640937272 ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� �������������������������������������������������������������������� 999000X = 1327215 – 1327 999000X = 1325888 1325888 999000 X = Temos, portanto, a fração geratriz da dízima 1,327215215215... . Poderíamos ainda simplificá-la, se quiséssemos. OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS E RACIONAIS As quatro operações básicas que podemos efetuar com estes números são: adição, subtração, multiplicação e divisão. Vejamos em detalhes cada uma delas. a) Adição: A adição de dois números é dada pela soma destes dois números. Isto é, a adição de 15 e 6 é: 15 + 6 = 21 Você se lembra do método para se efetuar a soma de dois números? Vamos exercitar efetuando a soma 728 + 46. Primeiramente, você deve posicionar estes números um abaixo do outro, alinhados pela direita (casa das unidades): 728 +46 A seguir devemos começar a efetuar a soma pela direita. Somando 8 + 6 obtemos 14. Com isto, devemos colocar o algarismo das unidades (4) no resultado e transportar o algarismo das dezenas (1) para a próxima soma: 1 728 +46 4 Agora, devemos somar os dois próximos números (2 + 4), e adicionar também o número que veio da soma anterior (1). Assim, obtemos 7. Devemos colocar este número no resultado: 728 +46 87640937272 ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� �������������������������������������������������������������������� 74 Temos ainda o algarismo 7 na casa das centenas do número 728. Como o segundo número (46) não possui casa das unidades, podemos simplesmente levar este 7 para o resultado, obtendo: 728 +46 774 Chegamos ao nosso resultado final. Antes de conhecermos a próxima operação, vejamos as principais propriedades da operação de adição. - propriedade comutativa: dizemos que a adição de números inteiros ou racionais possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos números não altera a soma. Isto é, 728 + 46 é igual a 46 + 728. - propriedade associativa: ao adicionar 3 ou mais números, podemos primeiramente somar 2 deles, e a seguir somar o outro, em qualquer ordem, que obteremos o mesmo resultado. Logo, esta propriedade está presente na adição. Ex.: 2 + 5 + 7 = (2 + 5) + 7 = 2 + (5 + 7) = 14. - elemento neutro: dizemos que o zero é o elemento neutro da adição, pois qualquer número somado a zero é igual a ele mesmo. Ex.: 2 + 0 = 2; 45 + 0 = 45. - propriedade do fechamento: esta propriedade nos diz que a soma de dois números racionais SEMPRE gera outro número racional, e a soma de dois números inteiros SEMPRE gera outro número inteiro. Ex: a soma dos números inteiros e racionais 2 e 5 gera o número inteiro e racional 7 (2 + 5 = 7). b) Subtração: efetuar a subtração de dois números significa diminuir, de um deles, o valor do outro. Isto é, subtrair 5 de 9 significa retirar 5 unidades de 9, restando 4 unidades: 9 – 5 = 4 87640937272 ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� Acompanhe a subtração abaixo para relembrar o método para a subtração de números. Vamos efetuar a operação 365 – 97: 365 - 97 Observe que o primeiro passo é posicionar um número abaixo do outro, alinhando as casas das unidades. Começamos a efetuar a subtração a partir da casa das unidades. Como 5 é menor do que 7, não podemos subtrair 5 – 7. Devemos, portanto, “pegar” uma unidade da casa das dezenas de 365. Levando este valor para a casa das unidades, temos 10 unidades, que somadas a 5 chegam a 15 unidades. Agora sim podemos subtrair 15 – 7 = 8, e anotar este resultado: 365 - 97 8 Devemos agora subtrair as casas das dezenas. Devemos subtrair 5 –9, e não 6 – 9, pois já utilizamos uma unidade na primeira subtração acima. Como 5 é menor que 9, devemos novamente “pegar” uma unidade da casa das centenas de 365, e somar ao 5. Assim, teremos 15 – 9 = 6. Vamos anotar este resultado: 365 - 97 68 Agora devemos subtrair a casa das centenas. Veja que não temos mais um 3 na casa das centenas de 365, e sim 2, pois já usamos uma unidade na operação anterior. Como 97 não tem casa das centenas, basta levarmos este 2 para o resultado: 365 - 97 268 E se quiséssemos efetuar a subtração 97 – 365? Neste caso, como 97 é menor que 365, devemos: 87640937272 87640937272 - Leandro Nascimento ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� - subtrair o menor número do maior, isto é, efetuar a operação 365 – 97; - colocar o sinal negativo (-) no resultado. Desta forma, 97 – 365 = -268. Vejamos as principais propriedades da operação de subtração. - propriedade comutativa: dizemos que a subtração de números NÃO possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos números ALTERA o resultado. Como vimos acima, 365 – 97 = 268, já 97 – 365 = -268. - propriedade associativa: a subtração NÃO possui essa propriedade, pois (A – B) – C pode ser diferente de (C – B) – A - elemento neutro: o zero é o elemento neutro da subtração, pois, ao subtrair zero de qualquer número, este número permanecerá inalterado. Ex.: 2 – 0 = 2. - propriedade do fechamento: a subtração de números inteiros ou racionais possui essa propriedade, pois a subtração de dois números racionais SEMPRE gera outro número racional, e a subtração de dois números inteiros SEMPRE gera outro número inteiro. - elemento oposto: para todo número A, existe também o seu oposto, com sinal contrário, isto é, -A. Exemplos de números opostos: 5 e -5, 29 e -29 etc. Também podemos dizer que o elemento oposto de A é aquele número que, somado a A, resulta em zero: A + (-A) = 0 c) Multiplicação: a multiplicação nada mais é que uma repetição de adições. Por exemplo, a multiplicação 15 x 3 é igual à soma do número 15 três vezes (15 + 15 + 15), ou à soma do número 3 quinze vezes (3 + 3 + 3 + ... + 3). Vejamos como efetuar uma multiplicação: 57 x 13 87640937272 ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� Novamente alinhamos os números pela direita. Começamos multiplicando os números das unidades: 3 x 7 = 21. Deixamos o algarismo das unidades (1) no resultado, e levamos o algarismo das dezenas (2) para a próxima operação: 2 57 x 13 1 Agora devemos multiplicar os número das unidades do segundo número (3) pelo número das dezenas do primeiro número: 3 x 5 = 15. Antes de colocar este valor no resultado, devemos adicionar o 2 que veio da operação anterior: 15 + 2 = 17. Assim, temos: 57 x 13 171 Agora devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo número (1) pelo algarismo das unidades do primeiro número (7): 1 x 7 = 7. Devemos levar este número para o resultado, entretanto devemos colocá-lo logo abaixo do algarismo das dezenas do segundo número (1). Veja: 57 x 13 171 7 A seguir, devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo número (1) pelo algarismo das dezenas do primeiro número (5): 1 x 5 = 5. Assim, temos: 57 x 13 171 57 Por fim, devemos somar as duas linhas de resultado, obtendo: 57 87640937272 ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� x 13 171 570 741 Veja que antes de efetuar a soma, colocamos um zero à direita do 57, transformando-o em 570. Fazemos isto porque este resultado (57) surgiu da multiplicação do algarismo das dezenas do multiplicador (13). Se fosse do algarismo das centenas do multiplicador, colocaríamos 2 zeros, e assim por diante. É importante relembrar as regras de sinais na multiplicação de números. Você deve se lembrar que: - a multiplicação de números de mesmo sinal tem resultado positivo. Ex.: 5 x 5 = 25, e (-5)x(-5) = 25. - a multiplicação de números de sinais diferentes tem resultado negativo. Ex.: 5x(-5) = -25. Portanto, se tivéssemos multiplicado (-57) x 13, ou então 57 x (-13), deveríamos obter -741. E se tivéssemos multiplicado (-57) x (-13) deveríamos obter 741. Vejamos as principais propriedades da operação de multiplicação: - propriedade comutativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois A x B é igual a B x A, isto é, a ordem não altera o resultado (ex.: 3 x 5 = 5 x 3 = 15). - propriedade associativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois (A x B) x C é igual a (C x B) x A, que é igual a (A x C) x B etc. Ex.: (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4) = (4 x 3) x 2 = 24. - elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da multiplicação, pois ao multiplicar 1 por qualquer número, este número permanecerá inalterado. Ex.: 5 x 1 = 5. 87640937272 ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� - propriedade do fechamento: a multiplicação possui essa propriedade, pois a multiplicação de números racionais SEMPRE gera um número racional, e a multiplicação de números inteiros SEMPRE gera outro número inteiro (ex.: 5 x 7 = 35). - propriedade distributiva: apenas a multiplicação possui essa propriedade. Esta propriedade nos permite dizer que: Ax(B+C) = (AxB) + (AxC) Exemplificando: 5x(3+7) = 5x(10) = 50 ou, usando a propriedade: 5x(3+7) = 5x3 + 5x7 = 15+35 = 50 d) Divisão: quando dividimos A por B, queremos repartir a quantidade A em partes de mesmo valor, sendo um total de B partes. Ex.: Ao dividirmos 10 por 2, queremos dividir 10 em 2 partes de mesmo valor. No caso, 10 2 5÷ = . Vamos relembrar como efetuar divisões com o caso abaixo, onde dividimos 715 por 18: 715 |18 Neste caso, chamamos o 715 de dividendo (número a ser dividido) e o 18 de divisor (número que está dividindo o 715). Como o divisor possui 2 casas (18), devemos tentar dividir as primeiras duas casas da esquerda do dividendo (71). Veja que 18x4 = 72 (que já é mais que 71). Já 18x3 = 54. Assim, temos: 715 |18 3 Devemos multiplicar 3 por 18 e anotar o resultado abaixo de 71, e a seguir efetuar a subtração: 715 |18 -54 3 17 87640937272 ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� Agora devemos “pegar” o próximo algarismo do dividendo (5): 715 |18 -54 3 175 Dividindo 175 por 18, temos o resultado 9. Devemos anotar o 9 no resultado, à direita, e anotar o resultado da multiplicação 9 x 18 abaixo do 175, para efetuarmos a subtração: 715 |18 -54 39 175 -162 13 Agoratemos o número 13, que é inferior ao divisor (18). Portanto, encerramos a divisão. Obtivemos o quociente (resultado) 39 e o resto igual a 13. Dizemos que esta divisão não foi exata, pois ela deixou um resto. Observe que o dividendo (715) é igual à multiplicação do divisor (18) pelo quociente (39), adicionada do resto (13). Isto é: 715 = 18 x 39 + 13 Como regra, podemos dizer que: Dividendo = Divisor x Quociente + Resto As regras de sinais na divisão são as mesmas da multiplicação: - a divisão de números de mesmo sinal tem resultado positivo. - a divisão de números de sinais diferentes tem resultado negativo. Portanto, se tivéssemos dividido (-10) por 2, ou então 10 por (-2), deveríamos obter -5. E se tivéssemos dividido (-10) por (-2) deveríamos obter 5. Vejamos as principais propriedades da operação de divisão: 87640937272 ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� - propriedade comutativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois A / B pode ser diferente de B / A. Ex.: 2 / 5 = 0,4; e 5 / 2 = 2,5. - propriedade associativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois (A / B) / C pode ser diferente de (C / B) / A. Ex.: (2/5)/3 é diferente de (3/5)/2. - elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da divisão, pois ao dividir qualquer número por 1, o resultado será o próprio número. Ex.: 5 / 1 = 5. - propriedade do fechamento: aqui está a grande diferença entre números inteiros e números racionais. A divisão de números racionais possui a propriedade do fechamento, pois ela SEMPRE gera um número racional (ex.: 2 / 100 = 0,02; que é racional). Já a divisão de números inteiros NÃO POSSUI essa propriedade, pois ao dividir números inteiros podemos obter resultados fracionários ou decimais (como no exemplo 2 / 100 = 0,02), que não pertencem ao conjunto dos números inteiros. OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS Os números decimais são, em regra, aqueles que resultam da divisão não- exata de dois números inteiros. São os números que possuem “casas após a vírgula”. A manipulação deles é essencial para a resolução de diversas questões, motivo pelo qual você precisa saber somá-los, subtraí-los, multiplicá-los, dividi-los, elevá-los a potências e extrair raízes dos mesmos. Vejamos cada uma dessas operações em detalhes. a) Adição de números decimais: A adição de dois números decimais segue a mesma lógica da adição comum. Isto é: - os números devem ser posicionados um embaixo do outro, com a vírgula logo abaixo da vírgula do outro, e as casas correspondentes uma embaixo da outra - as casas correspondentes devem ser somadas, começando da direita para a esquerda. - à medida que forem sendo formadas dezenas, estas devem ser transferidas para a próxima adição (das casas logo à esquerda). 87640937272 ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� Vamos aplicar estes passos na adição de 13,47 e 2,9. Colocando os números um embaixo do outro, com a vírgula uma embaixo da outra, temos todas as casas correspondentes em uma mesma vertical: 13,47 + 2,9 Veja que a casa das unidades do primeiro número (3) está logo acima da casa das unidades do segundo número (2). A primeira casa decimal do primeiro número (4) está logo acima da primeira casa decimal do segundo (1). E assim por diante. Como não há casa decimal abaixo do 7, podemos considerá-la igual a 0. Agora, basta começar a somar as casas correspondentes, começando pelas da direita, anotando o resultado. Quando houver a formação de dezenas (ex.: 4 + 9 = 13), a dezena (1) deve ser transferida para a próxima operação (3 + 2). Com isso, temos: 13,47 + 2,9 16,37 b) Subtração de números decimais: Aqui também devemos posicionar os números um abaixo do outro, com a vírgula do primeiro na mesma vertical da vírgula do segundo número. A seguir devemos subtrair as casas correspondentes, da direita para a esquerda. Vejamos: 13,47 - 2,9 10,57 Repare, neste exemplo, que no momento de efetuar a subtração 4 – 9 foi preciso pegar uma unidade da casa à esquerda do 4 (no caso, o 3) e “transformá-la” em uma dezena, somando-a ao 4. Assim, subtraimos 14 – 9, obtendo o resultado 5. A seguir, ao invés de subtrair 3 – 2, tivemos que subtrair 2 – 2 pois uma unidade do “3” já havia sido utilizada. c) Multiplicação de números decimais: 87640937272 ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� Aqui aplicamos o mesmo procedimento da multiplicação comum, com duas observações: - devemos posicionar os números assim como fizemos na adição e na subtração, isto é, com a vírgula de um logo abaixo da vírgula do outro. - o número de casas decimais do resultado será igual à soma do número de casas decimais dos dois números sendo multiplicados. Assim você saberá posicionar a vírgula. Vejamos o nosso exemplo: 13,47 x 2,9 12123 + 26940 39,063 Repare que a primeira linha abaixo do 2,9 refere-se à multiplicação de 13,47 por 9. Já a segunda linha refere-se à multiplicação de 13,47 por 2. Nesta linha há um 0 à direita porque o 2 está uma casa decimal à frente do 9. Efetuando a soma das duas linhas, obtém-se 39063. E, lembrando que existem 3 casas decimais nos números sendo multiplicados (duas em 13,47 e uma em 2,9), devemos ter 3 casas decimais no resultado, o que leva ao número 39,063. d) Divisão de números decimais: Para efetuar a divisão de números decimais, devemos inicialmente multiplicar ambos os números (divisor e dividendo) por uma potência de 10 (10, 100, 1000, 10000 etc.) de modo a retirar todas as casas decimais presentes. Após isso, é só efetuar a operação normalmente. Para exemplificar, vamos dividir 3,5 por 0,25. Observe que o número que possui mais casas decimais é o divisor (0,25), possuindo 2 casas decimais. Assim, devemos multiplicar ambos os números por 100, de modo a retirar ambas as casas decimais: 3,5 x 100 = 350 0,25 x 100 = 25 87640937272 ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� Agora, basta efetuar a divisão de 350 por 25, que você sabe fazer, tendo como resultado o número 14. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO – NÚMEROS DECIMAIS) Para fixar o que foi visto aqui, efetue as seguintes operações, cujo gabarito é fornecido em seguida. a) 2,25 + 1,7 b) 2,25 – 1,7 c) 2,25 x 1,7 d) 2,25 / 1,5 e) 0,898 + 1,12 f) 0,898 – 1,12 g) 0,898 x 1,12 h) 0,898 / 0,01 Respostas: a) 3,95 b) 0,55 c) 3,825 d) 1,5 e) 2,018 f) -0,222 g) 1,00576 h) 89,8 NÚMEROS IRRACIONAIS Os Números Irracionais são aqueles que, ao contrário dos Racionais, não podem ser obtidos da divisão de dois inteiros, ou seja, não podem ser escritos na forma (onde A e B são números inteiros). Isto porque esses números são formados por uma sequência infinita de algarismos. Exemplo: na obtenção da raiz quadrada do algarismo 2, nos deparamos com um número irracional: (as reticências indicam que este número é compostopor infinitos algarismos) 87640937272 ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� Da mesma forma, o conhecido número (“pi”), muito utilizado na trigonometria, possui infinitas casas decimais que não se repetem como em uma dízima periódica, o que faz dele um número irracional: NÚMEROS REAIS O conjunto dos Números Reais é formado pela união dos números Racionais e Irracionais. Desta forma, podemos dizer que: (O conjunto dos Números Naturais está contido no dos Inteiros, que está contido no dos Racionais, que está contido no dos Reais) E, além disso, (O conjunto dos Números Irracionais está contido no dos Números Reais) Complementando o diagrama que desenhamos nos tópicos acima, agora temos: No diagrama acima, Q/R significa que aquele subconjunto pertence aos Números Racionais e Reais, e I/R significa que aquele subconjunto pertence aos Números Irracionais e Reais. As propriedades das operações com números reais são as mesmas já vistas para os racionais. 1.1.1 Números primos e fatoração 87640937272 ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� Dizemos que um número é primo quando ele só pode ser dividido, sem deixar resto, por 1 e por si mesmo. Veja, por exemplo, o número 7. Como qualquer número, ele pode ser dividido por um, tendo como resultado 7 e não deixando resto algum. Entretanto, experimente dividi-lo por 2, 3, 4, 5 ou 6, e verá que sempre há um resto diferente de zero. Apenas ao dividi-lo por 7 é que não encontraremos resto novamente. Portanto, 7 é um número primo, pois só é divisível por 1 e por ele mesmo. Diversos outros números possuem essa propriedade, como os listados abaixo: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...} A título de curiosidade, repare que o 2 é o único número primo par. Todos os demais são ímpares. Qualquer número natural pode ser representado como uma multiplicação de números primos. Por exemplo, 6 pode ser representado por 2 x 3. Este processo de transformar um número qualquer em um produto de números primos é chamado de fatoração. Vamos fatorar o número 24. Devemos começar tentando dividi-lo por 2, que é o menor número primo (muitos autores não consideram que o 1 seja um número primo). Esta divisão é exata (não possui resto), e o resultado é 12. Podemos dividir novamente por 2, tendo resultado 6, e dividir o 6 outra vez por 2, tendo resultado 3. Agora não é mais possível dividir por 2. Assim, devemos partir para o próximo número primo, que é o 3. Dividindo 3 por 3 temos resultado 1. Repare que para chegar no resultado 1 foi preciso dividir 24 por 2 em 3 etapas, e a seguir dividir por 3 em uma etapa. Portanto, 24 = 2 x 2 x 2 x 3, ou simplesmente 24 = 23 x 3. Visualize este processo abaixo: Número Fator primo 24 2 12 2 6 2 3 3 1 Logo, 24 = 23 x 3 Para praticar, vejamos a fatoração do número 450: Número Fator primo 87640937272 ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� 450 2 225 3 75 3 25 5 5 5 1 Logo, 450 = 2 x 32 x 52 Vejamos ainda a fatoração do número 1001. Observe que ele não é divisível (ou seja, deixa resto) por 2, 3 ou 5. Apenas ao chegar o fator primo 7 é que conseguimos dividi-lo. Acompanhe abaixo: Número Fator primo 1001 7 143 11 13 13 1 Logo, 1001 = 7 x 11 x 13 A fatoração será muito útil na obtenção do Mínimo Múltiplo Comum e Máximo Divisor Comum entre dois números, como veremos a seguir. 1.1.2 Múltiplos e divisores de números naturais Para a resolução de diversas questões que podem cair em sua prova, vale a pena você desenvolver a rapidez na obtenção de múltiplos e divisores de um dado número, calcular o mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum entre dois números, e conhecer regras práticas para saber se um número é ou não divisível por outro (critérios de divisibilidade). Os múltiplos de um número X são aqueles números que podem ser obtidos multiplicando X por outro número natural. Por exemplo, os múltiplos de 3 são: 3, 6, 9, 12, 15 etc. Repare que esses números podem ser obtidos multiplicando 3 por 1, 2, 3, 4 e 5, respectivamente. Quando temos 2 números X e Y, e listamos os múltiplos de cada um deles, podemos ter múltiplos em comum entre os dois. Exemplificando, vamos listar alguns múltiplos de 8 e de 12: Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72 etc. 87640937272 ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72 etc. Observe que os seguintes números são múltiplos de 8 e também de 12: 24, 48, 72. Isto é, são múltiplos em comum desses 2 números. O menor deles, neste caso o 24, é chamado de mínimo múltiplo comum (MMC) entre 8 e 12. O cálculo do MMC se mostra útil na resolução de diversos exercícios, como veremos adiante. Um método simples de se calcular o MMC entre 2 números é dado pelos seguintes passos: 1. Decompor cada número em uma multiplicação de fatores primos; 2. O MMC será formado pela multiplicação dos fatores comuns e não comuns dos dois números, de maior expoente. Decompondo 8 em fatores primos, temos que 8 = 2x2x2 = 23. E decompondo 12 em fatores primos, temos que 12 = 2x2x3 = 22x3. Assim, o MMC será formado pelos fatores comuns (2) e não comuns (3) de maior expoente (isto é, MMC = 23 x 3 = 24). A título de exercício, vamos calcular o MMC entre 15 e 9. Veja que 15 = 3x5, e 9 = 32. Portanto, MMC = 32x5 = 45. Para você entender como o MMC pode ser útil na resolução de questões, imagine o seguinte caso: dois colegas de trabalho, João e José, gostam de realizar festas em suas casas periodicamente. João costuma realizar festas de 9 em 9 dias, enquanto José costuma realizar festas de 15 em 15 dias. Sabendo que hoje houve festa na casa de ambos, daqui a quanto tempo as datas das festas de ambos coincidirão novamente? Ora, se João dá festas de 9 em 9 dias, sua próxima festa será daqui a 9 dias, a seguinte daqui a 18, a outra daqui a 27, e assim por diante. Já a próxima festa de José será daqui a 15 dias, depois daqui a 30, depois 45 etc. Observe que os dias em que ambos darão festas devem ser um múltiplos de 9 e também de 15, isto é, múltiplos comuns de 9 e 15. A próxima festa ocorrerá no menor desses múltiplos, isto é, no mínimo múltiplo comum entre 9 e 15. Como calculamos acima, MMC (9, 15) = 45. Portanto, a próxima vez em que as festas coincidirão ocorrerá daqui a 45 dias. Dizemos que um número é divisível por outro quando esta divisão é exata, não deixando resto nem casas decimais. Para saber se um número é divisível por outro, basta efetuar a divisão e verificar se existe resto. Ex.: 25 5 5÷ = , portanto 25 é divisível por 5. O problema surge quando queremos julgar, por exemplo, se o 87640937272 ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� número 1765830275 é divisívelpor 5. Efetuar esta divisão à mão consome muito tempo. Para identificarmos rapidamente essa divisibilidade, existem os critérios de divisibilidade. Os principais deles encontram-se na tabela abaixo: Principais critérios de divisibilidade Divisor* Critério Exemplos 1 Todos os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8... 2 Números pares (isto é, terminados em um algarismo par) 0, 2,4, 28, 490, 522 etc. 3 Números cuja soma dos algarismos é divisível por 3 0, 3, 6, 9, 12 (1+2=3), 15 (1+5 = 6), 27 (2+7=9), 51 (5+1=6), 915 (9+1+5=15) etc. 4 Se o número formado pelos 2 últimos dígitos for divisível por 4 0, 4, 8, 12, 16, 912, 1816 etc. 5 Números terminados em 0 ou 5 0, 5, 10, 65, 120, 1345 etc. 6 Números divisíveis por 2 e por 3 0, 6, 12, 924 (é par, e 9+2+4=15) etc. 9 Números cuja soma dos algarismos é divisível por 9 0, 9, 18, 27, 126 (1+2+6 = 9), 7155 (7+1+5+5=18) etc. 10 Números terminados em 0 0, 10, 20, 150, 270, 1580 etc. *7 e 8 foram omitidos intencionalmente, pois possuem critérios muito difíceis, motivo pelo qual praticamente não são cobrados. Chamamos de máximo divisor comum (MDC) entre dois números A e B o maior número pelo qual tanto A quanto B podem ser divididos de maneira exata, isto é, sem deixar resto. Podemos calcular o máximo divisor comum entre 2 números listando os divisores de cada um deles. Exemplificando, vamos listar os divisores de 32 e 40: 87640937272 ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� - 32 pode ser dividido por: 1, 2, 4, 8, 16, 32. - 40 pode ser dividido por: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40. - Divisores comuns entre 32 e 40: 1, 2, 4, 8. Vejam que 8 é o máximo divisor comum (MDC) entre 32 e 40. Para calcular o MDC sem precisar listar todos os divisores de cada número (como fizemos acima), basta seguir 2 passos: 1. Decompor cada um dos números em fatores primos (ex.: 32 = 25; 40 = 23×5) 2. O MDC será formado pela multiplicação dos fatores comuns de menor expoente (neste caso, apenas o 2 é comum, e seu menor expoente é 3. Logo, MDC = 23 = 8); Para você visualizar uma aplicação prática do MDC, imagine o seguinte caso: temos um conjunto de 20 cães e 30 gatos. Queremos criar grupos de gatos e grupos de cães, sem misturá-los, porém todos os grupos devem ter o mesmo número de integrantes. Qual o menor número de grupos possível? Para obter o menor número de grupos possível, precisamos dividir 20 e 30 pelo maior número possível. Este maior número que divide tanto 20 quanto 30, sem deixar resto, é justamente o MDC entre 20 e 30. Decompondo 20 em fatores primos, temos que 20 = 22x5. Temos também que 30 = 2x3x5. Portanto, MDC(20,30) = 2x5 = 10. Portanto, devemos formar grupos de 10 elementos. Isto é, 2 grupos com 10 cães em cada, e 3 grupos com 10 gatos em cada. Assim, o menor número de grupos possível é 5. 1.1.3 Frações e operações com frações Ao trabalhar com números racionais, recorrentemente estaremos lidando com frações, que nada mais são que operações de divisão. Escrever 2 5 é equivalente a escrever 2 5÷ . As frações estão constantemente presentes na resolução de exercícios, motivo pelo qual é essencial lembrar como efetuamos cada operação com elas: soma, subtração, multiplicação e divisão. a) Para somar ou subtrair frações, é preciso antes escrevê-las com o mesmo denominador, isto é, com um denominador comum. Este denominador é, 87640937272 ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� simplesmente, um múltiplo comum entre os denominadores das frações originais. Falaremos sobre múltiplos adiante, de modo que aqui veremos apenas o básico. Vamos entender isto com o exemplo abaixo: 1 3 6 8 + Veja o número 24 é um múltiplo de 6 (pois 6x4 = 24) e de 8 (pois 8x3 = 24). Para trocar o denominador da fração 1 6 � para 24, é preciso multiplicar o denominador 6 por 4. Assim, também devemos multiplicar o numerador 1 por 4, para manter a fração. Portanto, 1 4 6 24 = �� Já para trocar o denominador da fração 3 8 �para 24, é preciso multiplicar o denominador 8 por 3. Assim, também devemos multiplicar o numerador 3 por 3, para manter a fração. Portanto, 3 9 8 24 = �� Agora sim podemos efetuar a soma: 1 3 4 9 4 9 13 6 8 24 24 24 24 + + = + = = b) Para multiplicar frações, basta multiplicar o numerador de uma pelo numerador da outra, e o denominador de uma pelo denominador da outra. Veja nosso exemplo: 1 3 1 3 3 6 8 6 8 48 × × = = × c) Para dividir frações, basta multiplicar a primeira pelo INVERSO da segunda. Veja isso em nosso exemplo: 1 1 3 1 8 86 3 6 8 6 3 18 8 = ÷ = × = *** Dica importantíssima: trabalhando com frações, normalmente podemos substituir a expressão “de” pela multiplicação. Veja como: 87640937272 ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� - quanto é um terço de 1000? Ora, simplesmente 1 1000 3 × ! - e quanto é dois sétimos de 25? A resposta é 2 25 7 × � - quanto vale um quarto da soma do número de homens (700) e de mulheres (600) presentes em um evento? Simplesmente 1 (700 600) 4 × + . - por fim, quanto vale 5/9 da diferença entre os números X e Y? Aqui, a resposta é dada pela expressão 5 ( ) 9 X Y× − . Certifique-se de que você entendeu isso. Usaremos bastante ao longo dos exercícios! 1.1.4 Potenciação Já tivemos que trabalhar com potências nesta aula, ao abordar a fatoração, mas nesta seção veremos mais detalhes sobre esta operação matemática. Observe o exemplo abaixo: 35 5 5 5 125= × × = (lê-se: “cinco elevado à terceira potência é igual a cinco vezes cinco vezes cinco”) Pelo exemplo dado, você pode perceber que elevar um número X a uma determinada potência “n” é simplesmente multiplicar X por ele mesmo, “n” vezes. Outro exemplo, para não deixar dúvida: 42 2 2 2 2 16= × × × = (“dois elevado à quarta potência é igual ao dois multiplicado por ele mesmo 4 vezes”) Resumindo, quando tratamos sobre potências temos sempre uma base (número X) elevada a um expoente (“n”). Entendido o conceito básico, podemos analisar algumas propriedades das potências. Essas propriedades facilitarão bastante o manuseio de equações que envolvam potências: a) Qualquer número elevado a zero é igual a 1. Trata-se de uma convenção, isto é, uma definição. Assim, podemos dizer que: 0 0 0 5 1 ( 25) 1 0,3 1 = − = = 87640937272 ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� b) Zero elevado a qualquer número é igual a zero. Isso é bem lógico, pois zero elevado a “n” significa zero multiplicado por ele mesmo, “n” vezes. Ex.: 30 0 0 0 0= × × = c) Multiplicação de potências de mesma base (X): A questão aqui é como multiplicar 2 34 4× . Normalmente você faria assim: × = × × × × =2 34 4 (4 4) (4 4 4) 1024 Veja que basta somar os expoentes (“n”), uma vez que as duas potências têm a mesma base 4: +× = = =2 3 2 3 54 4 4 4 1024d) Divisão de potências de mesma base (X): Como você faria a divisão 5 3 4 4 ? Provavelmente seria assim: 5 3 4 4 4 4 4 4 4 4 16 4 4 4 4 × × × × = = × = × × Entretanto, observe que basta subtrair os expoentes (“n”), pois o numerador e denominador da divisão tem a base 4. Veja: 5 5 3 2 3 4 4 4 16 4 − = = = Analogamente, observe que 33 1 4 4 − = . Isto porque: 0 0 3 3 3 3 1 4 4 4 4 4 − − = = = O que vimos acima nos permitirá levar uma potência do numerador para o denominador de uma divisão, ou vice-versa, simplesmente trocando o sinal da potência. Exemplificando, vamos resolver a expressão 3 54 4− × . Temos duas formas: � Usar a propriedade de multiplicação de potências de mesma base, somando os expoentes: 3 5 ( 3) 5 24 4 4 4 16− − +× = = = � Usar a propriedade que acabamos de ver, levando 34− para o denominador e, a seguir, fazendo a divisão de potências de mesma base: 87640937272 ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� 5 3 5 5 3 2 3 44 4 4 4 16 4 − −× = = = = e) Potência de potência: A questão agora é resolver 2 3(2 ) . Você poderia inicialmente elevar 2 à segunda potência (isto é, ao quadrado), e a seguir elevar o resultado à terceira potência (ao cubo): 2 3 3(2 ) (4) 64= = Entretanto, veja que basta você elevar 2 ao resultado da multiplicação entre os dois expoentes: 2 3 2 3 6(2 ) 2 2 64×= = = f) Raiz de potência: Quando estudarmos radiciação (próximo tópico), veremos que trata-se de uma operação inversa à potenciação. Assim, obter a raiz quadrada de um número é equivalente a elevá-lo a 1 2 , obter a raiz cúbica é equivalente a elevá-lo a 1 3 , e assim por diante. Visto isso, vamos obter o valor de: 62 . Veja que poderíamos fazer simplesmente assim: 62 2 2 2 2 2 2 64 8= × × × × × = = Entretanto, como obter a raiz quadrada é igual a elevar a 1 2 , podemos fazer: ( ) 11 66 6 3222 2 2 2 8×= = = = Note que utilizamos a propriedade anterior (potência de potência) para resolver este caso. g) Potência de produto: Se tivermos que resolver uma expressão como 2(2 3)× , podemos fazer de algumas formas: � 2 2(2 3) (6) 36× = = 87640937272 ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� � 2(2 3) (2 3) (2 3) 36× = × × × = � 2 2 2(2 3) 2 3 4 9 36× = × = × = Veja a última forma. Ela nos diz que um produto A B× elevado à uma potência “n” é igual ao produto das potências nA e nB . h) Potência de base 10: Quando a base da potência for 10 e o expoente for um número natural “n”, fica bem fácil resolver. O resultado será formado pelo número 1 seguido de “n” zeros: 3 6 10 1000 10 1000000 = = Da mesma forma, se o expoente for um número inteiro negativo, basta usar as propriedades que vimos acima. Veja exemplos: 3 3 6 6 1 110 0,001 10 1000 1 110 0,000001 10 1000000 − − = = = = = = i) Potência de base negativa: Quando a base da potência é um número negativo, devemos analisar qual será o sinal do resultado. Por ex.: 3(-2) = 8 ou -8 ? Para isso, fica aqui uma regra: se o expoente for par, o resultado é positivo. Se o expoente for ímpar, o resultado será negativo. Neste caso, como 3 é ímpar, o resultado correto é -8. Você pode visualizar isso melhor fazendo a conta em etapas: 3(-2) = (-2) (-2) (-2) (4) (-2) 8× × = × = − Veja um exemplo com expoente par: 4(-2) = (-2) (-2) (-2) (-2) (4) (4) 16× × × = × = j) Fração elevada a um expoente: Uma fração elevada a um expoente é igual a outra fração onde numerador e denominador estão elevados àquele expoente. Veja: 3 3 3 2 2 3 3 � � =� � � � Isto pode ser visto fazendo a conta em etapas: 87640937272 ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 8 3 3 3 3 3 3 3 3 27 × ×� � = × × = = =� � × ×� � 1.1.5 Radiciação Como já disse acima, a radiciação é uma operação inversa à potenciação. Quando dizemos que a raiz quadrada de 9 é 3, isso significa que 3 elevado ao quadrado será igual a 9. A operação de radiciação pode ser escrita usando-se o símbolo n ou elevando o número em questão ao expoente 1 n . Veja alguns exemplos: 1 3 327 27 3= = , pois 33 27= 1 2 216 16 4= = , pois 24 16= Veja que, quando se trata de raiz quadrada, podemos usar o símbolo 2 ou simplesmente . As principais propriedades da radiciação são: a) Qualquer raiz de zero é igual a zero: Isto é, 0 0n = . Isto porque zero elevado a qualquer número também resulta em zero. b) Qualquer raiz de 1 é igual a 1: Ou seja, 1 1n = . Isto porque 1 elevado a qualquer número também resulta em 1. c) a b a bx x= Essa é uma propriedade muito importante. Exemplificando, 6 3 6 234 4 4 16= = = . d) Raiz “n” de produto é igual ao produto das raízes “n”: Isto é, a raiz “n” de A x B é igual a raiz “n” de A x raiz “n” de B: 87640937272 ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� n n nA B A B× = × Veja que essa propriedade só vale se ambas as raízes tiverem o mesmo radical “n”. Ilustrando, temos que: 25 16 25 16 5 4 20× = × = × = e) Raiz da divisão é igual à divisão das raízes: A raiz de A/B é igual à raiz de A dividida pela raiz de B: n n n A A B B = Veja esse exemplo: 25 25 5 16 416 = = f) Raiz de raiz: Por essa propriedade, temos que n m n mA A×= . Exemplificando: 3 3 2 62 2 2×= = Isso pode ser visto usando-se as propriedades de potência: 1 1 1 11 1 333 62 3 62 22 2 2 2 2 2 ×� � = = = =� � � � = Vamos estudar um método para extrair a raiz de um número. Ele consiste em 2 passos: 1. Decomposição do número em fatores primos 2. Aplicação da propriedade a b a bx x= A título de exemplo, vamos calcular 3 216 . Lembre-se que os números primos são aqueles divisíveis apenas por 1 e por si mesmos, ou seja: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 etc. Assim, iremos começar dividindo 216 pelo menor número primo (2) e, quando não mais for possível, passamos para o número primo seguinte (3), e assim sucessivamente. Teremos: Número Fator primo 216 2 87640937272 ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� 108 2 54 2 27 3 (pois não é mais possível usar o 2) 9 3 3 3 1 Logo, 216 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 23 x 33 Feito isso, podemos aplicar a propriedade da radiciação da seguinte forma: 1 1 13 33 3 3 3 1 13 3 3 3 3216 (2 3 ) (2 3 ) 2 3 2 3 6× ×= × = × = × = × = Se você ficou em dúvida, talvez precise voltar na seção de Potenciação e revisar as propriedades que estudamos. Vamos resolver mais um caso: 7056 . Decompondo 7056 em fatores primos, temos: Número Fator primo 7056 23528 2 1764 2 882 2 441 3 147 3 49 7 7 7 1 Logo, 4 2 27056 2 3 7= × × Portanto: 1 1 14 2 24 2 2 22 2 27056 2 3 7 2 3 7 2 3 7 84 × × × = × × = × × = × × = Várias vezes você irá se deparar com números que não possuem raiz exata. Apesar disso, é possível simplificar o resultado. Vamos calcular, por exemplo, a raiz quadrada de 32. Fazendo a decomposição em fatores primos, temos que: 32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25 87640937272 87640937272 - Leandro Nascimento ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� Assim, 532 2= Podemos simplificar esta expressão lembrando-se que 5 42 2 2= × : 5 4 432 2 2 2 2 2 4 2= = × = × = × ou, simplesmente, 4 2 Finalizando, é bom lembrar que no conjunto dos números racionais não existe raiz par de números negativos (ex.: não existe 2 16− ), mas existe raiz ímpar ( 33 27 3, pois ( 3) 27− = − − = − ). 1.2 Expressões numéricas Uma expressão numérica é uma sequência de números dispostos de acordo com sinais matemáticos, que indicam as operações a serem efetuadas. Veja um exemplo: { }( 25 2) (9 3) 7 4� �+ × − − ÷ = A resolução desse tipo de expressão é muito simples, desde que você se lembre das seguintes regras: 1. Primeiro resolver o que está dentro dos parênteses, depois o que está entre colchetes, e a seguir o que está entre chaves. 2. Primeiro resolver operações de radiciação ou potenciação, a seguir multiplicação ou divisão, e a seguir resolver operações de soma ou subtração. Utilizando o nosso exemplo, veja que devemos inicialmente resolver as duas operações que encontram-se entre parênteses. Dentro desses parênteses, veja que há uma operação de radiciação ( 25 ), que é a primeira a ser resolvida: [ ]{ }(5 2) (9 3) 7 4+ × − − ÷ = A seguir, resolvemos as demais operações dentro dos parênteses, obtendo: [ ]{ }7 6 7 4× − ÷ = Agora devemos resolver a multiplicação dentro dos colchetes: { }42 7 4− ÷ = Em seguida resolvemos a subtração dentro das chaves: 35 4÷ = 87640937272 87640937272 - Leandro Nascimento ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� Por fim, resolvemos a divisão que se encontrava fora das chaves, obtendo: 35 4 8,75÷ = Vale a pena lembrar aqui que uma fração é uma operação de divisão como outra qualquer, e se houver uma fração em sua expressão numérica, basta resolvê- la no momento que você resolveria aquela operação de divisão. 1.3 Porcentagem A porcentagem nada mais é do que uma divisão onde o denominador é o número 100. Você certamente deve estar bem habituado a ver porcentagens nas notícias da imprensa. Dizer que 12% (leia “cinco por cento”) dos brasileiros são desempregados é igual a dizer que 12 a cada grupo de 100 brasileiros não tem emprego. Veja outros exemplos: - “11% do seu salário deve ser pago a título de contribuição previdenciária”: de cada 100 reais que você recebe como salário, 11 devem ser pagos para a previdência. - “a taxa de analfabetismo de adultos no Brasil é de 20%”: de cada 100 adultos no Brasil, 20 são analfabetos. - “o número de adolescentes grávidas cresceu 10% em 2011, em relação ao ano anterior”: para cada 100 adolescentes grávidas que existiam em 2010, passaram a existir 10 a mais em 2011, isto é, 110 adolescentes grávidas. - “o número de fumantes hoje é 5%menor que aquele do início da década”: para cada 100 fumantes existentes no início da década, hoje temos 100 – 5, isto é, 95 fumantes. Para calcular qual a porcentagem que uma certa quantia representa de um todo, basta efetuar a seguinte divisão: quantia de interessePorcentagem = 100% total × 87640937272 ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� Por exemplo, se queremos saber qual o percentual que 3 crianças representam em um total de 4 crianças, temos: quantia de interesse 3Porcentagem = 100% 100% 0,75 100% 75% total 4 × = × = × = Podemos transformar um número porcentual (ex.: 75%) em um número decimal (ex.: 0,75), e vice-versa, lembrando que o símbolo % significa “dividido por 100”. Isto é, 75% é igual a 75 dividido por 100, que é igual a 0,75: 7575% 0,75 100 = = Da mesma forma, se temos um número decimal (ex.: 0,025) e queremos saber o valor percentual correspondente, basta multiplicá-lo por 100%: 1000,025 0,025 0,025 100% 2,5% 100 = × = × = Por fim, se quantia de interessePorcentagem = 100% total × , então também podemos dizer que: quantia de interesse = porcentagem total× (Obs.: veja que omiti o 100% desta última fórmula, afinal 100100% 1 100 = = ) Esta fórmula acima nos diz que, se queremos saber quanto é 20% de 300, basta multiplicar 20% por 300: 20% de 300 = 20% x 300 = 0,2 x 300 = 60 Isto é, 60 pessoas correspondem a 20% de um total de 300 pessoas. Portanto, grave isso: em matemática, o “de” equivale à multiplicação. Portanto, 20% de 300 é igual a 20% x 300, e assim por diante. Vamos exercitar um pouco? 87640937272 87640937272 - Leandro Nascimento ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� 2. RESOLUÇÃO DE QUESTÕES ATENÇÃO: coloquei nessa aula 100 exercícios para você exercitar bastante. As questões da CESGRANRIO estão concentradas na parte final, ok? 1. FCC – MPE/RS – 2010) Devido a uma promoção, um televisor está sendo vendido com 12% de desconto sobre o preço normal. Cláudio, funcionário da loja, está interessado em comprar o televisor. Sabendo que, como funcionário da loja, ele tem direito a 25% de desconto sobre o preço promocional, o desconto que Cláudio terá sobre o preço normal do televisor, caso decida adquiri-lo, será de a) 37% b) 36% c) 35% d) 34% e) 33% RESOLUÇÃO: Se o preço normal do televisor é T, com o desconto de 12% ela está sendo vendida pelo preço promocional abaixo: Preço Promocional = T – 12%T = T – 0,12T = 0,88T Como Cláudio tem desconto de 25% sobre o preço promocional, ele deve pagar: Preço para Cláudio = Preço Promocional – 25% do Preço Promocional Preço para Cláudio = 0,88T – 25% x 0,88T Preço para Cláudio = 0,88T – 0,25 x 0,88T = 0,66T Isto é, Cláudio pagará apenas 66% do preço normal da televisão, tendo um desconto de 100% - 66% = 34%. Resposta: D 2. FGV – CAERN – 2010) Analise as afirmativas a seguir: I – 6 é maior do que 5 2 II – 0,555... é um número racional 87640937272 87640937272 - Leandro Nascimento ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� III – Todo número inteiro tem um antecessor Assinale: a) Se somente as afirmativas I e III estiverem corretas b) Se somente a afirmativa II estiver correta c) Se somente as afirmativas I e II estiverem corretas d) Se somente a afirmativa I estiver correta e) Se somente as afirmativas II e III estiverem corretasRESOLUÇÃO: Vamos comentar cada alternativa: I – 6 é maior do que 5 2 Vamos assumir que essa afirmativa é verdadeira e testá-la. Se 56 2 > , então, elevando os dois lados ao quadrado: ( ) 22 56 2� �> � �� � 256 4 > 6 4 25 24 25 × > > Veja que 24 > 25 é um absurdo. Portanto, só se pode concluir uma coisa: 56 2 < , ou seja, a alternativa I é falsa. II – 0,555... é um número racional 0,555... ou 0,5 é uma dízima periódica. Como vimos, as dízimas periódicas também são números racionais, pois podem ser escritos na forma A B , onde A e B são números inteiros. Essa alternativa está correta. III – Todo número inteiro tem um antecessor 87640937272 ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� De fato, todo número inteiro tem um antecessor. Basta visualizar a reta numérica, e veremos que para cada número inteiro n, existe um número inteiro n-1, que é o seu antecessor: Assim, essa alternativa também está correta. Resposta: E. 3. CEPERJ – PREFEITURA DE ITABORAÍ – 2011) Considere a expressão 15 5 x x + + , onde x > 0. O número máximo de valores inteiros de x que tornam a expressão dada também um número inteiro é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 RESOLUÇÃO: Chamemos de z um dos números inteiros dados pela expressão do enunciado. Portanto, sabemos que: 15 5 x z x + = + Como queremos saber quantas possibilidades existem para x, vamos isolar essa variável. Acompanhe a manipulação algébrica abaixo: × + = +( 5) 15z x x + = +5 15zx z x − = −15 5zx x z × − = −( 1) 15 5x z z 15 5 1 z x z − = − ����������������������� ��� ������������� ���� ��� ��� � � ��� ��� ��� �� � 87640937272 ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� Sendo assim, vamos testar alguns valores de z, lembrando que z deve ser um número inteiro, e x deve ser inteiro e positivo. - Se z = 0, 15 5 0 15 15 0 1 1 x − × = = = − − − . Como x não pode ser negativo, essa não é uma possibilidade válida. - Se z = 1, 10 0 x = . Entretanto a divisão de um número inteiro por zero é impossível (exceto 0 0 , que é um valor indeterminado). Logo, x = 1 não nos serve. - Se z = 2, x = 5, o que é uma possibilidade válida. - Se z = 3, x = 0, o que não vale, pois x deve ser maior que zero. - Se z = 4 ou mais, veja que x será negativo, pois 15-5z será negativo e z-1 será positivo. Faltou testar valores negativos para z (lembre-se que apenas x precisa ser >0). Entretanto, veja que se z for negativo, x será também negativo (o que não é válido). Isso porque o numerador (15-5z) será um valor positivo, e divisor (z-1) será negativo, o que resulta em um número negativo. Para ilustrar, vamos testar z = -2: 15 5 ( 2) 25 2 1 3 x − × − = = − − − Assim, temos apenas 1 possibilidade válida para x, que é 5. Resposta: B. 4. CEPERJ – PREFEITURA DE BELFORD ROXO – 2011) Os números x e y são tais que 10 30x≤ ≤ e 40 60y≤ ≤ . O maior valor possível da expressão x y é: a) 1 2 b) 3 4 c) 1 4 87640937272 ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� d) 2 3 e) 1 6 RESOLUÇÃO: O maior valor possível para x y é obtido quando o numerador (x) é o maior valor possível e o denominador (y) é o menor valor possível. Como 10 30x≤ ≤ , o maior valor possível de x é 30. E, sendo 40 60y≤ ≤ , o menor valor possível para y é 40. Logo, temos: 30 3 40 4 x y = = Resposta: B. 5. FCC – TRT/4ª – 2011) Considere o número inteiro X1Y, em que X e Y representam os algarismos das centenas e das unidades, respectivamente. Sabendo que 31692 : (X1Y) = 76, a soma X+Y é um número: a) Quadrado perfeito b) Menor que 10 c) Primo d) Divisível por 6 e) Múltiplo de 4 RESOLUÇÃO: Ora, se 31692 76 1X Y = , então 31692 1 76 X Y= . Fazendo a divisão, temos: 417 1X Y= Portanto, X = 4 e Y = 7. Assim, X+Y = 11, que é um número primo. Alternativa C. Resposta: C. 87640937272 ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� 6. FCC – TRT/24ª – 2011) Nicanor deveria efetuar a divisão de um número inteiro e positivo N, de três algarismos, por 63; entretanto, ao copiar N, ele enganou-se, invertendo as posições dos dígitos extremos e mantendo o seu dígito central. Assim, ao efetuar a divisão do número obtido por 63, obteve quociente 14 e resto 24. Nessas condições, se q e r são, respectivamente, o quociente e o resto da divisão de N por 63, então: a) q + r = 50. b) r < 40. c) q < 9. d) r é múltiplo de 4. e) q é um quadrado perfeito. RESOLUÇÃO: Se um número N, dividido por D, deixa quociente q e resto r, podemos dizer que N = D*q + r. Ex: 7 dividido por 2 tem quociente 3 e resto 1. Logo, 7 = 2*3 + 1, concorda? Vamos chamar de M o número que foi utilizado por engano, isto é, o número N com os dígitos extremos trocados. Sabemos que M dividido por 63 tem quociente 14 e resto 24. Logo, M = 63*14 + 24 M = 882 + 24 = 906 Se M = 906, N deve ser 609 (basta trocar os algarismos das extremidades). Dividindo N por 63, temos: 609 63 42 9 Isto é, q = 9 e r = 42. Das respostas possíveis, vemos que apenas a letra E está correta, pois sabemos que 9 é um quadrado perfeito (isto é, a raiz quadrada de 9 é um número inteiro, neste caso 3). Resposta: E. 7. FCC – TRT/1ª – 2011) Em uma campanha de doação de livros, x pessoas receberam 4 livros, e y pessoas receberam 3 livros, sendo x e y números inteiros e positivos. Se foram distribuídos 100 livros, então, as possibilidades diferentes para x + y são em número de: 87640937272 ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 RESOLUÇÃO: Como foram distribuídos 100 livros no total, temos que: 4 3 100x y+ = Para facilitar a análise, podemos isolar uma das variáveis (por ex.: y) dessa equação da seguinte forma: 4 3 100 3 100 4 100 4 254 3 3 x y y x x xy + = = − − − = = × Como y deve ser um número inteiro, isso significa que 25-x deve ser divisível por 3. Como x e y devem ser números naturais (pois representam quantidades de pessoas), podemos ir variando o valor de x de modo que 25-x seja divisível por 3 (ou seja, 25-x deve ser igual a 24, 21, 18, 15 etc.). Por exemplo, para que 25-x seja igual a 24, x deve ser igual a 1. E, substituindo x = 1 na expressão acima, y = 4 x 24/3 = 4x8 = 32. Veja os demais casos na tabela abaixo: 25 – x x y x+y 24 1 32 33 21 4 28 32 18 7 24 31 15 10 20 30 12 13 16 29 9 16 12 28 87640937272 ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� ��������������!�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� 6 19 8 27 3 22 4 26 0 25 0 26 Veja, na coluna da direita da tabela acima, que temos 9 possibilidades para x+y. Entretanto, devemos excluir a última (x = 25 e y = 0), pois o enunciado disse que tanto x quanto y devem ser números inteiros positivos (e o zero não é considerado um número natural positivo, lembra-se?). Assim, ficam 8 possibilidades válidas. Resposta: C. 8. FCC – TRT/1ª – 2011) Sejam x e y números naturais, e ∆ e � símbolos com os seguintes significados: - x ∆ y é igual ao maior número dentre x e y, com x y≠ ; - x � y é igual ao menor número dentre x e y, com x y≠ ; De acordo com essas regras, o valor da expressão [64 (78 64)] {92 [(43 21) 21]}∆ ∆ ∆� � � é: a) 92 b) 78 c) 64 d) 43 e) 21 RESOLUÇÃO: Devemos lembrar aquela regra básica para resolução de equações matemáticas: primeiro resolvemos o que está entre parênteses (), depois entre colchetes [], e por fim o que está entre chaves {}. Assim, efetuando as operações ∆ e � como definidas no enunciado, veja os passos abaixo: 87640937272 ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� [64 (78 64)] {92 [(43 21) 21]} [64 78] {92 [21 21]} 64 {92 21} 64 92 64 ∆ ∆ ∆ = ∆ ∆ = ∆ = = � � � � � � � Resposta: C. 9. FCC – TRF/2ª – 2012) Ao consultar o livro de registro de entrada e saída de pessoas às dependências de uma empresa, um funcionário observou que: 5/8 do total das pessoas que lá estiveram ao longo de certa semana eram do sexo masculino e que, destas, 2/7 tinham menos de 35 anos de idade. Com base nessas informações, pode-se concluir corretamente que o total de pessoas que visitaram tal empresa naquela semana NÃO poderia ser igual a (A) 56. (B) 112. (C) 144. (D) 168. (E) 280. RESOLUÇÃO: Seja P o número de pessoas que visitaram a empresa. Como 5/8 eram do sexo masculino, então é preciso que 5 8 P seja um número inteiro. E como 2/7 tinham menos de 35 anos de idade, então é preciso também que 2 7 P �seja inteiro. Assim, é preciso que o número de pessoas seja divisível por 8 e por 7. O MMC(8,7) é 56. Também são múltiplos comuns de 8 e 7 os múltiplos de 56, ou seja: 112, 168, 224, 280 etc. Repare que apenas o número 144 (letra C) não é múltiplo de 56. Resposta: C 10. CEPERJ – RIO PREVIDÊNCIA – 2010) A soma dos algarimos de 1010 3− é: a) 88 b) 89 c) 91 87640937272 ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� d) 95 e) 97 RESOLUÇÃO: Lembrando da propriedade de potências de base 10, sabemos que 1010 é o número formado pelo algarismo 1 seguido de 10 algarismos zero, isto é: 1010 10000000000= Assim, é fácil efetuar a subtração: 1010 3 10000000000 3 9999999997 − − = Somando os algarismos de 9999999997 temos: 9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 9 9 7 88+ + + + + + + + + = × + = RESPOSTA: A. 11. FCC – TRT/15ª – 2009) Do total de projetos que estavam em um arquivo, sabe- se que: 2 5 deveriam ser analisados e 4 7 referiam-se ao atendimento ao público interno. Com essa informação, é correto concluir que o total de projetos existentes nesse arquivo NUNCA poderia ser um número compreendido entre a) 10 e 50 b) 60 e 100 c) 110 e 160 d) 150 e 170 e) 180 e 220 RESOLUÇÃO: Observe que se o total de projetos for um número divisível por 5 e por 7 ao mesmo tempo, será possível calcular 2 5 e 4 7 dos projetos, isto é, eles serão números inteiros. Quais números são divisíveis por 5 e 7 ao mesmo tempo? Os múltiplos comuns entre 5 e 7. O mínimo múltiplo comum entre eles é 35. Portanto, se o número de projetos for múltiplo de 35, será um número divisível 87640937272 ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� por 5 e 7. As outras possibilidades para o número de projetos são os demais múltiplos comuns entre 5 e 7. Você pode encontrá-los simplesmente buscando os múltiplos de 35, que é o MMC (5,7). Portanto: Nº de projetos = 35, 70, 105, 140, 175, 210, 245... Dado que em todos os intervalos existe um múltiplo comum entre 5 e 7, exceto naquele entre 150 e 170 (letra D), somente nesse intervalo é que o número de projetos NUNCA poderia estar. Resposta: D 12. FCC – BANESE – 2012) O departamento de informática de um banco dividiu as agências de um município em grupos de três, de modo que cada técnico ficasse responsável por dar suporte às agências de um desses grupos. Nessa divisão, porém, sobrou uma agência, tendo um dos técnicos de ficar responsável por quatro agências. Já o setor de apoio ao crédito, que dividiu as mesmas agências em grupos de cinco para designar um assessor que atendesse as agências de cada grupo, não teve esse problema: não sobraram agências na divisão. Dentre os números abaixo, o único que pode representar o total de agências desse município é (A) 15. (B) 19. (C) 20. (D) 24. (E) 25. RESOLUÇÃO: O número de agências deve ser tal que: - seja múltiplo de 5 (pois não deixa resto ao ser dividido por 5); - dividido por 3, tenha resto 1. Os múltiplos de 5 encerram em 0 ou 5. Portanto, podemos eliminar as alternativas B e D. Analisando as demais alternativas, veja que 15 é divisível por 3 (não deixa resto), e 20 dividido por 3 deixa resto 2. Já 25 dividido por 3 deixa resto 1, sendo este o nosso gabarito. 87640937272 ����������� ����� ������������������������� �� �������������� ��� ������ �� �������������� !�∀���#!�∃%� � � �������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� Resposta: E 13. FCC – BANESE – 2012) A abertura da Copa do Mundo de 2014 está prevista para ocorrer na cidade de São Paulo, no dia 12 de junho daquele ano. 785 dias depois, em 5 de agosto de 2016, uma sexta-feira, deve ocorrer a abertura das Olimpíadas do Rio de Janeiro. Com esses dados, é possível concluir que a abertura da Copa de 2014 ocorrerá em (A) uma quarta-feira. (B) uma quinta-feira. (C) uma sexta-feira. (D) um sábado. (E) um domingo. RESOLUÇÃO: Observe que 785 dias separam os 2 eventos. Como cada semana tem 7 dias, podemos dividir 785 por 7 para sabermos quantas semanas existem entre as duas datas. Efetuando esta divisão, temos resultado (quociente) igual a 112 e resto igual a 1. Portanto, entre as duas datas temos 112 semanas completas e mais 1 dia. Se tivéssemos exatas 112 semanas, poderíamos afirmar que o dia 12 de junho de 2014 (abertura da Copa) seria uma sexta-feira, pois o dia 5 de agosto de 2016 é este. Entretanto, como temos mais 1 dia entre as duas datas, isto significa que a abertura da Copa ocorrerá um dia da semana antes, ou seja, em uma quinta-feira. Resposta: B 14. FCC – TCE/AP – 2012) Um número inteiro será chamado de tricíclico se, e somente se, for formado por uma sequência de dois ou mais dígitos aparecendo exatamente três vezes. Por exemplo, os números 858 585, 107 107 107 e 292 129 212 921 são tricíclicos. O menor número positivo que deve ser somado a 198 891 para que se obtenha como resultado um número tricíclico
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