RESUMO CALC 2 - TODAS AS FORMULAS

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FORMULÁRIO PARA CÁLCULO 
. No que se segue, K e L são constantes, x é a variável independente e u é uma função . 
 
 
A) ÁLGEBRA: 
1. ax2+bx+c =
4a
Δ 
2a
bxa
2




 
, com a ≠ 0 e Δ= b2 – 4ac. 
2. ax2+bx+c = a(x–x’)(x–x”), com x’= 
2a
Δb
 e x”= 
2a
Δb 
 
B) TRIGONOMETRIA CIRCULAR: 
 1. tgα=
cosα
senα
 ; cotα =
tgα
1
 ; secα =
cosα
1
 ; cscα =
senα
1
. 
 2. sen2α + cos2α = 1 ; 1 + tg2α = sec2α ; 1 + csc2α = cot2α . 
 3. sen(–α) = – senα ; cos(– α) = cosα. 
 4. sen(π ± α) = ∓ senα ; cos(π ±α) = – cosα. 
 5. sen(α ± β) = senα cosβ ± senβ cosα. 
 6. cos(α ± β) = cosα cosβ ∓ senα senβ e tg(α ± β) =
 tgβtgα1
tgβtgα


 
 7. sen(2α) = 2senα cosα ; cos(2α) = cos2α – sen2α ; tg(2α) =
αtg1
2tgα
2
. 
 8. sen(
2
α
) = ±
2
cosα1
; cos(
2

) = ±
2
cosα1
; tg(
2

) = ±
senα
cosα1
. 
 9. senp

senq = 2sen
)
2
qp
(

cos
)
2
qp
(

 ; tgp

tgq = 
cosq cosp
q)sen(p
 ; 
 cosp + cosq = 2cos
)
2
qp
(

 cos
)
2
qp
(

 ; 
 cosp – cosq = – 2sen
)
2
qp
(

 sen
)
2
qp
(

. 
10. sena.cosb =
2
1
[sen(a+b) + sen(a– b)] ; 
 cosa.cosb = 
2
1
[cos(a+b) + cos(a–b)] e 
 sena.senb = –
2
1
[cos(a+b) – cos(a–b)]. 
C) DERIVAÇÃO: 
1. (u ± v)’= u’± v’ ; (K.u)’= K.u’ ; (u.v)’ = u’.v + u.v’ ; 
 
2
'
v
v'uvu')
v
u( 
 e [f(u)]’ = f ’(u).u’. 
2. K’ = 0 ; x’ = 1 ; (un)’ = nun–1.u’ ; (senu)’= cosu u’; 
 (cosu)’ = – senu.u’ ; (tgu)’= sec2u.u’ ; (secu)’ = secu.tgu.u’ ; 
 (cscu)’ = – cscu.cotu.u’ ; (cotu)’ = – csc2u.u’. 
D) INTEGRAÇÃO: 
1. 
Kf(x)(x)dx' f 
 ; 
  vdxudx v)dx(u
 e 
  udxKKudx
. 
2. 
f(a)f(b)(x)dx' f
b
a

 (Definição). 
3. Se 
g(x)f(x)dx 
, então 
g(u)dxf(u)u' 
(Substituição). 
4. 
  vduvuudv
(Por Partes). 
5. 
Kxdx 
 e se m ≠ 0 e m ≠ –1, então 
Kx
1m
1dxx 1mm 

 
. 
6.
Kcosx senxdx 
 ; 
Ksenxcosxdx 
 ; 
Ktgxdxsec2 
; 
 Kcotxxdxcsc2 
;
Ksecxsecxtgxdx 
 ;
Kcotxcscxcotxdx 
. 
E) A FUNÇÃO LOGARÍTMO NATURAL: 
1. Para x > 0, Lnx = 
 
x
1
dt
t
1 
(definição) 
2. (Lnu)’ = 
u
u'
 e 
K|u|Lndxu'
u
1 
. 
F) A FUNÇÃO EXPONENCIAL NATURAL: 
1. ea = b se, e só se, a = Lnb (definição). 
2. (eu)’ = eu ∙u’ e 
 Ke u'dxe uu 
. 
G) A FUNÇÃO EXPONENCIAL BASE “a” (a > 0 e a ≠ 1): 
ab = ebLna ; (au)’= Lna∙au∙u’ e 
Ka
Lna
1 u'dxa uu 
 
 
H) A FUNÇÃO LOGARÍTMO BASE ‘a’(a > 0 e a ≠ 1): 
1. logab = c se, e só se, ac = b e (logau)’ = 
Lna
1
∙
u
1
∙u’. 
I) APLICAÇÃO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL NATURAL: 
1. Se 
dx
dy
= Ky, y > 0, e y = yo quando x = 0, então y = yo∙eKx. 
J) As Funções Trigonométricas(circulares) Inversas: 
 1. arcsenx = y ⇔ seny = x e –π/2 ≤ y ≤ π/2. 
 2. arccosx = y ⇔ cosy = x e 0 ≤ y ≤ π. 
 3. arctgx = y ⇔ tgy = x e –π/2 < y < π/2. 
 4. arccotx = y ⇔ coty = x e 0 < y < π. 
 5. arcsecx = y ⇔ secy = x e 0 ≤ y < π/2 ou π ≤ y < 3π/2. 
 6. arccscx = y ⇔ cscy = x e 0 < y ≤ π/2 ou π < y ≤ 3π/2. 
 7. (arcsenu)’ = –(arccosu)’ = 
u'
u1
1
2


. 
 8.(arctgu)’ = –(arccotu)’ = 
u'
u1
1
2


. 
 9. (arcsecu)’ = –(arccscu)’ = 
u'
1uu
1
2


. 
10. 
 

u'dx
u1
1
2
= arcsenu + K = –arccosu + L. 
11. 
 

dxu'
u1
1
2
= arctgu + K = –arccotu + L. 
12. 
 

u'dx
1uu
1
2
= arcsecu + K = –arccscu + L. 
J) AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS HIPERBÓLICAS: 
 1. senhx =
)e(e
2
1 xx 
 ; coshx =
)e(e
2
1 xx 
 ; tghx =
coshx
senhx
 ; 
 cotghx =
tghx
1
 ; sechx =
coshx
1
 e cscx =
senhx
1
. 
2. ex = coshx + senhx e e–x = coshx – senhx. 
3. (senhx)’ = coshx , (coshx)’ = senhx, (tghx)’ = sech2x , 
 (cothx)’ = – cosch2x , (secx)’ = – sechx∙tghx e 
 (cschx)’ = – coschx∙cothx. 
K) SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: 
Para a > 0 e u uma função: 
1. Em a2 – u2 faça u = asenθ. Então du = acosθdθ e a2 – u2 = a2cos2θ. 
2. Em u2 – a2 faça u = asecθ. Então du = asecθtgθdθ e u2 – a2 = a2tg2θ. 
3. Em u2 + a2 faça u = atgθ. Então du = asec2θdθ e u2 + a2 = a2sec2θ. 
L) INTEGRAIS DE POTÊNCIAS DAS FUNÇÕES 
TRIGONOMÉTRICAS: 
 1.
Kxcosdxsenx 
 , 
Ksenxdxcosx 
 
 2.
 K|secx|Lndxtgx 
, 
K|senx|Lndxcotx 
 
 3.
k|tgxsecx|Lndxsecx 
 ,
 k|cotxcscx|Lndxcscx 
 
 4.
Ksenxcosx)(x
2
1dxsenx2 
 , 
Ksenxcosx)(x
2
1dxxcos2 
 
 5.
Kx(tgx)xdxtg2 
 , 
Kx (cotx)xdxcot2 
 
 6. 
Ktgxxdxsec2 
 , 
Kcotxxdxcsc2 
 
 7.
2n , dxxsen
n
1n cosx xsen
n
1 dxxsen 2n1nn  

 
 8.
2n , dxxcos
n
1n senx xcos
n
1dxxcos 2n1nn  

 
 9.
2n , dxxtgxtg
1n
1dxxtg 2n1nn 

 

 
10.
2n , dxxcot x cot
1n
1 dxxcot 2n1nn 

 

 
11.
2n , dxxsec
1n
2n tgx xsec
1n
1dxxsec 2n2nn 



 

 
12.
2n , dxxcsc
1n
2n cotx xcsc
1n
1 dxxcsc 2n2nn 



 

 
 
M) FUNÇÕES RACIONAIS: 
Para a
0
: 
1.
K |bax|Ln
a
1 dx
bax
1 

 
2. Sejam x’ e x” são as raízes de f(x) = ax2+bx+c. 
 Então: (vide coluna ao lado) 

























0 4acb se ,K 
Δ
b2axarctg
Δ
2
 0 4acb se ,K 
)x'a(x
1
 0 4acb se ,K 
x"x
x'xLn
)x"a(x'
1
 dx
f(x)
1
2
2
2
 
 
 
 
 
 0 π/6 π/4 π/3 π/2 
sen 0 1/2 
2/2
 
2/3
 1 
cos 1 
2/3
 
2/2
 1/2 0