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CÁLCULO II - IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS € sen2a + cos2 a = 1 tg x = sen xcos x cotg x = cos xsen x sec x = 1cos x € cosec x = 1sen x sen2a + cos2 a = 1 1 + tg2x = sec2x 1 + cotg2x = cosec2x € sen2x = 1/2(1- cos 2x) cos2x = 1/2(1 + cos 2x) sen 2x = 2sen x cos x cos 2x = 1− 2sen2x = 2 cos2 x −1 cos 2x = cos2 a − sen2a € sen x cos y = 1/2[sen(x − y) + sen(x + y)] sen x sen y = 1/2[cos(x − y) − cos(x + y)] cos x cos y = 1/2[cos(x − y) + cos(x + y)] sen(x ± y) = sen(x) cos(y) ± cos(x)sen(y) cos(x ± y) = cos(x) cos(y) sen(x) sen(y) tg(x ± y) = tg(x) ± tg(y)1 tg(x).tg(y) FUNÇÕES HIPERBÓLICAS € senh x = e x − e−x 2 cosh x = ex + e−x 2 tgh x = ex − e−x ex + e−x cotgh x = e x + e−x ex − e−x sech x = 2 ex + e−x cosech x = 2 ex − e−x TABELA DE DERIVADAS. 1. € y = c⇒ y'= 0 2. € y = sen u⇒ y'= cos u.u' 3. € y = senh u⇒ y'= cosh u.u' 4. € y = ax⇒ y' = a 5. € y = cos u⇒ y'= −sen u.u' 6. € y = cosh u⇒ y'= senh u.u' 7. € y = c.u⇒ y' = c.u' 8. € y = tg u⇒ y'= sec2 u.u' 9. € y = tgh u⇒ y'= sech2u.u' 10. € y = u + v⇒ y' = u' +v' 11. € y = cotg u⇒ y'= −cosec2u.u' 12. € y = cotgh u⇒ y'= −cosech2u.u' 13. € y = u.v⇒ y'= (u.v' ) + (v.u' ) 14. € y = secu⇒ y'= sec u.tg u.u' 15. € y = sech u⇒ y'= −(sech u).(tgh u.u' ) 16. € y = uv ⇒ y'= v.u'( ) − u.v'( ) v 2 17. € y = cosec u⇒ y'= −cosec u.cotg u.u' 18. € y = cosech u⇒ y'= −cosech u.cotgh u.u' 19. € y = un , (n ≠ 0)⇒ y'= n.(un−1).u' 20. € y = arc sen u⇒ y'= u' 1− u 2 21. € y = arg senh u⇒ y'= u' u 2 +1 22. € y = au , a ≥ 0,a ≠ 1( )⇒ y'= au . lna.u' 23. € y = arc cos u⇒ y'= −u' 1− u 2 24. € y = arg cosh u⇒ y'= u' u2 −1 ,u > 1 25. € y = eu ⇒ y' = eu .u' 26. € y = arc tg u⇒ y'= u' 1+ u 2( ) 27. € y = arg tgh u⇒ y'= u'1− u2 , u < 1 28. € y = loga u⇒ y'= u' u loga e 29. € y = arc cotg u⇒ y'= −u' 1+ u 2( ) 30. € y = arg cotgh u⇒ y'= u'1− u 2 , u > 1 31. € y = lnu⇒ y'= u'u 32. € y = arc sec u, u ≥ 1⇒ y'= u' u u2 −1 33. € y = arg sech u⇒ y'= −u' u 1− u2 34. € y = uv ⇒ y'= (v.uv−1.u' ) + (uv . lnu.v' ) 35. € y = arc cosec u, u ≥ 1⇒ y'= −u' u u2 −1 36. € y = arg cosech u⇒ y'= −u' u 1+ u2 INTEGRAIS 1. € du∫ = u +C 2. € adu∫ = au +C 3. € undu∫ = u n+1 n +1 +C, n ≠ -1 4. € du u∫ = ln | u | +C 5. € audu∫ = a u lna +C, a > 0 e a ≠ 1 6. € eudu = eu +C∫ 7. € cu du∫ = c u du∫ 8. € sen u du = − cos u +C∫ 9. € cos u du = sen u +C∫ 10. € tg u du = lnsec u +C∫ 11. € cotg u du = ln sen u +C∫ 12. € secu du = lnsecu + tg u +C∫ 13. € cosec u du = ln cosec u − cotg u +C∫ 14. € sec u tg u du = sec u +C∫ 15. € cosec u cotg u du = −cosec u +C∫ 16. € sec2 u du = tg u +C∫ 17. € cosec2u du = −cotg u +C∫ 18. € du u2 + a2∫ = 1 a arc tg u a +C 19. € du a2 − u2∫ = 1 2a ln u + a u − a +C, u 2 > a2 20. € du u2 ± a2 ∫ = lnu + u2 ± a2 +C 21. € du u a2 ± u2 ∫ = − 1a ln a + a2 ± u2 u +C 22. € du a2 − u2 ∫ = arc sen ua +C, u 2 < a2 23. € du u u2 − a2 ∫ = 1a arc sec u a +C 24. € senh u du = cosh u +C∫ 25. € coshu du = senh u +C∫ 26. € sech2u du = tgh u +C∫ 27. € cosech2u du = −cotgh u +C∫ 28. € sech u tgh u du = −sech u +C∫ 29. € cosech u cotgh u du = −cosech u +C∫ INTEGRAÇÃO POR PARTES: € udv = uv − vdu∫∫ Fórmulas de Recorrências 1. € sennu du∫ = − 1n sen n−1u cos u + n -1n sen n−2u du∫ 2. € cosnu du∫ = 1n cos n−1u sen u + n -1n cos n−2u du∫ 3. € tgnu du∫ = 1n −1 tg n−1u − tgn−2u du∫ 4. € cotgnu du∫ = − 1n −1 cotg n−1u − cotgn−2u du∫ 5. € secnu du∫ = 1n −1 sec n−2u tg u + n - 2n -1 sec n−2u du∫ 6. € cosecnu du∫ = − 1n −1 cosec n−2u cotg u + n - 2n -1 cosec n−2u du∫ 7. € du (u2 + a2)n∫ = u(u2 + a2)1−n 2a2 (n −1) + 2n − 3 2a2 (n −1) du (u2 + a2)n−1∫ , n > 1 SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA € senm x cosn x dx∫ Procedimento Identidades Relevantes n ímpar Separe um fator de cos x Aplique a identidade Faça a substituição u = sen x € cos2 x = 1− sen2x m ímpar Separe um fator de sen x Aplique a identidade Faça a substituição u = cos x € sen2x = 1− cos2 x n par m par Utilize a identidade relevante para reduzir as potências de sen x e cos x. € sen2x = 12 (1− cos 2x) cos2 x = 12 (1+ cos 2x) € tgm x secn x dx∫ Procedimento Identidades Relevantes n par Separe um fator de sec2 x Aplique a identidade Faça a substituição u = tg x € sec2 x = tg2x +1 m ímpar Separe um fator de sec x tg x Aplique a identidade Faça a substituição u = sec x € tg2x = sec2 x −1 n ímpar m par Utilize a identidade relevante para reduzir o integrando somente às potências de sec x. Utilize as fórmulas de redução para potências de sec x. € tg2x = sec2 x −1 € a2 − u2 = a cosθ u = asen θ ⇒ du = a cos θdθ € u2 + a2 = a secθ u = atg θ ⇒ du = a sec2θ dθ € u2 − a2 = a(tg θ ) u = asec θ ⇒ ⇒ du = a(sec θ )(tg θ)dθ INTEGRAIS IMPRÓPRIAS Se f é contínua para € x ≥ a⇒ f (x)dx a +∞ ∫ = limb→+∞ f (x)dxa b ∫ , se existir Se f é contínua para € x ≤ b⇒ f (x)dx −∞ b ∫ = lima→−∞ f (x)dxa b ∫ , se existir Se f é contínua para todo x € ⇒ f (x)dx −∞ +∞ ∫ = lima→−∞ f (x)dxa 0 ∫ + limb→+∞ f (x)dx0 b ∫ se existirem Se f é contínua em [a,b) e € lim x→ b − f (x) = ±∞ : € f (x)dx a b ∫ = lim s→ b − f (x)dx a s ∫ , Se f é contínua em (a,b] e € lim x→ a + f (x) = ±∞ : € f (x)dx a b ∫ = lim r→ a + f (x)dx r b ∫ , Se f é contínua em [a,b] exceto para x=c ∈ (a,b) e tem limites laterais infinitos em c: € f (x)dx a b ∫ = lim s→ c − f (x)dx a s ∫ + lim r→ c + f (x)dx r b ∫ COMPRIMENTO DE ARCO INTEGRAIS IMPRÓPRIAS € L = 1 + [ f ' (x)]2dx a b ∫ OU € L = 1 + [g' (y)]2 dy c d ∫ Se f é contínua para € x ≥ a⇒ f (x)dx a +∞ ∫ = lim b→+∞ f (x)dx a b ∫ , se existir Se f é contínua para € x ≤ b⇒ f (x)dx −∞ b ∫ = lim a→−∞ f (x)dx a b ∫ , se existir Se f é contínua para todo x € ⇒ f (x)dx −∞ +∞ ∫ = lim a→−∞ f (x)dx a 0 ∫ + lim b→+∞ f (x)dx 0 b ∫ se existirem
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