Exercícios - Operações com Matrizes

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LISTA DE EXERCÍCIOS 01 – OPERAÇÕES COM MATRIZES 
 
 
1) (FGV-2005) As meninas 1 = Adriana; 2 = Bruna e 3 = Carla falam muito ao telefone entre 
si. A matriz M mostra cada elemento aij representando o número de telefonemas que “i” deu 
para “j” no mês de setembro: |
 
 
 
|. Quem mais telefonou e quem mais recebeu 
ligações? 
 
Resp.: Quem mais telefonou foi Bruna, 24 ligações, e quem recebeu mais ligações foi 
Adriana. 
2) (FGV-2004) Uma matriz X possui elementos cuja soma vale 1. Se [
 
 
] onde 
XT é a transposta de X , calcule o produto dos elementos de X. 
 
O valor do produto é (a.b) = 0. 
 
3) Dadas as matrizes [
 
 
] e [
 
 
 
], determine A + 2.BT. 
 
Resp.: [
 
 
] 
 
4) (UEL-PR) Uma matriz quadrada A é simétrica se A = AT. Assim se a matriz 
 (
 
 
 
) é simétrica, calcule x + y + z. 
 
Solução é x = -1, y = 7 e z = 4. 
 
5) (Fgv) Uma fábrica decide distribuir os excedentes de três produtos alimentícios A, B e C a 
dois países da América Central, P1 e P2. As quantidades, em toneladas, são descritas mediante 
a matriz Q: 
 
 
 
Para o transporte aos países de destino, a fábrica recebeu orçamentos de duas 
empresas, em reais por tonelada, como indica a matriz P: 
 
 
 
500 300 1ºempresa
P
400 200 2ºempresa
 
  
 
 
 
a) Efetue o produto das duas matrizes, na ordem que for possível. Que representa o elemento 
a13 da matriz produto? 
b) Que elemento da matriz produto indica o custo de transportar o produto A, com a segunda 
empresa, aos dois países? 
c) Para transportar os três produtos aos dois países, qual empresa deveria ser escolhida, 
considerando que as duas apresentam exatamente as mesmas condições técnicas? Por quê? 
 
6) (UERJ) Observe parte da tabela do quadro de medalhas dos Jogos Pan-americanos do Rio 
de Janeiro em 2007: 
 
Com base na tabela, é possível formar a matriz quadrada A cujos elementos aij representam o 
número de medalhas do tipo j que o país i ganhou, sendo i e j pertencentes ao conjunto {1, 2, 
3}. Para fazer uma outra classificação desses países, são atribuídos às medalhas os seguintes 
valores: 
– ouro: 3 pontos; 
– prata: 2 pontos; 
– bronze: 1 ponto. 
Determine o número de pontos totais obtidos pelos três países separadamente. 
 
Solução: EUA = 519; CUBA = 288; Brasil = 309 
 
7) (UEL PR) Uma das formas de se enviar uma mensagem secreta é por meio de códigos 
matemáticos, seguindo os passos: 
1. Tanto o destinatário quanto o remetente possuem uma matriz chave C ; 
2. O destinatário recebe do remetente uma matriz P, tal que MC =P, onde M é a matriz 
mensagem a ser decodificada; 
3. Cada número da matriz M corresponde a uma letra do alfabeto: 1=a, 2=b, 3=c, ...., 23=z; 
4. Consideremos o alfabeto com 23 letras, excluindo as letras k, w e y; 
5. O número zero corresponde ao ponto de exclamação; 
6. A mensagem é lida, encontrando a matriz M, fazendo a correspondência número/letra e 
ordenando as letras por linhas conforme segue: m11m12m13m21m22m23m31m32m33. 
 
Considere as matrizes: 
 
 
 
 
 
Com base nos conhecimentos e nas informações descritas, determine a mensagem enviada 
por meio da matriz M. 
 
Resp.: Boasorte! 
 
8) Uma loja vende sapatos femininos de três marcas X; Y; Z e tamanhos de 35 a 40. A loja 
possui no estoque 140 pares da marca X assim distribuídos: 
Tamanho 35 30 pares 
Tamanho 36 50 pares 
Tamanho 37 25 pares 
Tamanho 38 18 pares 
Tamanho 39 10 pares 
Tamanho 40 7 pares 
Analogamente, a loja possui, das marcas Y e Z, sapatos femininos assim distribuídos: 
Tamanho 35 36 37 38 39 40 
Quantidade da marca Y 8 7 9 28 10 8 
Quantidade da marca Z 0 10 15 12 9 3 
 
a) Escreva sob forma de matriz todas as informações dadas. 
b) Quantos pares de sapato ela tem do tamanho que você usa? 
c) Qual é o tamanho que possui mais pares em estoque? 
d) Escreva em linguagem coloquial o significado dos elementos a35 e a22 da matriz do item a. 
9) Na confecção de três modelos de camisas (A, B e C) são usados botões grandes (G) e 
pequenos (p). O número de botões por modelos é: 
 
Camisa A - Botões P: 3; Botões G: 6 
Camisa B - Botões P: 1; Botões G: 5 
Camisa C - Botões P: 3; Botões G:5 
 
O número de camisas fabricadas, de cada modelo, nos meses de maio e junho, é: 
 
Camisa A - Maio: 100; Junho: 50 
Camisa B - Maio: 50; Junho: 100 
Camisa C - Maio: 50; Junho: 50 
 
Nestas condições, obter o total de botões usados em maio e junho. 
 
Resp.: Botões P - Maio: 500; Junho:400 e Botões G - Maio: 1.100; Junho: 1.050 
 
10) (UFJF-02) Em uma vídeo locadora, o acervo de filmes foi dividido, quanto ao preço, em 
três categorias: Série Ouro (SO), Série Prata (SP) e Série Bronze (SB). Marcelo estava fazendo 
sua ficha de inscrição, quando viu Paulo alugar dois filmes SO, dois filmes SP e um filme SB e 
pagar R$13,50 pela locação dos filmes. Viu também Marcos alugar quatro filmes SO, dois 
filmes SP e um filme SB e pagar R$20,50 e Fernando alugar três filmes SO, um filme SP e dois 
filmes SB e pagar R$16,00 pela locação dos filmes. Então, nesta locadora, o preço da locação 
de três filmes, um de cada categoria, é igual a: 
 
Resp.: R$ 7,50 
 
11) (UNESP-03) A agência Vivatur vendeu a um turista uma passagem que foi paga, à vista, 
com cédulas de 10, 50 e 100 dólares, num total de 45 cédulas. O valor da passagem foi 1.950 
dólares e a quantidade de cédulas recebidas de 10 dólares foi o dobro das de 100. O valor, em 
dólares, recebido em notas de 100 pela agência na venda dessa passagem, foi: 
 
Resp.: 1.000 dólares 
 
12) Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e 
colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela tabela: 
 
 
 
 
 
 
a) Se ele pretende construir 5, 6 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, 
respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas? 
b) Suponha que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, 
respectivamente, 15, 8, 5, 1, e 10. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa? 
c) Qual é o custo total do material empregado? 
13) (UFBA 89 ) 
 
Seja X a matriz 2x2 tal que A –1X tB =A 
Sabendo-se que A = 












10
02
 B e 
22
03
 calcule det X 
R) 18 
 
4) Dadas as matrizes 
A = 






 42
53
, B = 





 
76
31
, C = 








11
40
 e D = 













06
35
14
 
determine a matriz x, de modo que: 
 
a) X = 3A -2(B + A) b) X + 3C = B – C c) X = A . B – C 
d) X = A2 e) X = B x Dt f) X = 
1
2
D -
2
3
D 
Resp.: 
a) x =






 1014
115
 b) x =






112
131
 c) x = 






3525
3027
 
 
 d) x = 







1 35
14 6
 e) x =






 36917
641
 f) x = 












01
2/16/5
6/13/2
 
 
 4) Determine os valores de “x”, “y” e “z” para que as igualdades sejam verdadeiras 
 
a) 








232
3
zyx
zyx = 





 
2521
82
 b) 








5yx5
x3x9x 2
 = 







59
x1020
 
 
 
c) 

























ytz
x
xx
tz
y
332
60
95
12
524
/16 22
 d) 





 
110
27
 = 








tzyx
tzyx
)(2
232
 
 
 
e) 












ttz
xx
t
yxx
5
3
54
2
2
2 
 
Resp.: a) x = 3, y = 5, z = -5 
 b) x = 5, y = 34 
c) x = -1, y = 1/3, z = - 1/2, t = - 1 
d) x = 2, y = 3, z = 0, t = 1 
e) x = 0, y = 3, z = 4, t = 1 
 
15) Sejam as matrizes 








































02
31
52
 e 
320
251
012
 
132
310
423
CBA ,
. Determine, se 
existir: 
 
CACB
AB
BA
BA
BA
BA
t
..
.
.




 f)
 e)
 d)
 c)
2 b)
32 a)
 
Resp.: 

















































































253
236
1621
. f) 
9116
21131
536
. e)
3151
711
818
 d) 
214
563
215
 c)
572
1112
447
2 b) 
7124
0173
8712
32 a)
CACBAB
BABA
BABA
t
.
.
...
 
 
16) Se 
.


















02
20
 e 
34
12
 , 
62
71
CBA
 Determinar uma matriz X 
 que tal
 
.
32
CXBAX 


 
Resp.: 
 
2714
209






X