1 Sequencias

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Sequências e 
Séries
Prof. Msc. Gracielle A Araújo
1 - Sequências
(1.1) Definição
Uma sequência é uma lista de números 
escritos em uma ordem definida.
a1, a2, a3, a4, ….. an, ….
1º 
elemento
2º elemento
3º 
elemento
4º 
elemento
n-ésimo 
elemento
A sequência 
 a1, a2, a3, a4, ….. an, …. 
é indicada por:
{an} ou {an}n=1∞
(1.2) Definição
Para todo o número positivo n existe 
um número correspondente an: 
 f: Z+ -> R 
 n -> f(n)
Exemplo
Considere a aplicação: 
 f:{1,2,3,4,5,6}->R 
 n -> f(n) = an = n+1 
Encontre o domínio, contradomínio e 
imagem da sequência. 
Exemplo
Identifique o enésimo termo de cada 
sequência e encontre o vigésimo termo: 
{n/(n+1)}n=1∞
Exemplo
Encontre uma fórmula para o termo 
geral an da sequência: 
{3/5, -4/25, 5/125, -6/625, 7/725, …}
(1.3) Definição
A s equênc i a de F i bonacc i é 
aplicada a muitos fenômenos e é 
definida da seguinte forma: 
a1=0
a2=1an=an-1+an-2
Para n≥3.
(1.4) Teorema
As sequências an e bn são iguais se 
para o mesmo índice tem-se:
an = bn 
Para todo n dentro do domínio. 
Exemplo
Verifique se as sequência são iguais: 
 b0=1 bn=2bn-1
e,
an=2n
Critérios de 
Convergência
(1.5) Definição
Uma sequência {an} tem limite L e 
escrevemos: 
Se pudermos tornar os termos tão 
próximos de L quanto quisermos ao 
fazer n suficientemente grande. 
lim an = Ln->∞
Se o limite existir dizemos que a 
s e q u ê n c i a c o n v e r g e ( o u é 
convergente). 
Caso contrário dizemos que a 
sequência diverge ou é divergente.
{an}
{bn}
Exemplo
Verifique se as sequência são 
convergentes: 
e,
bn = n+2
an = n+2n+1
(1.6) Definição
Uma sequência {an} tem limite L 
e escrevemos: 
Se para cada E>0 existir um inteiro 
correspondente N tal que:
lim an = Ln->∞
n > N então |an-L|<E
(1.7) Teorema
Se, 
Quando n é um inteiro, então, 
lim f(n) = Ln->∞
e, f(n) = an
lim an = Ln->∞
Exemplo
(1.7) Teorema
Se, 
Significa que para cada número 
positivo M existe um inteiro N tal 
que,
lim an = ∞n->∞
se n>N então an>M
Nota: Se, lim an = ∞n->∞
a sequência {an} é divergente
(1.8) Propriedades
Se {an} e {bn} forem sequências 
convergentes e c for uma constante, então,
lim (an + bn) = n->∞ lim ann->∞ lim bnn->∞+
lim (an - bn) = n->∞ lim ann->∞ lim bnn->∞-
lim can = n->∞ clim ann->∞
lim (an . bn) = n->∞ lim ann->∞ lim bnn->∞.
lim an/bn = n->∞
lim an n->∞lim bn n->∞
lim ann->∞
p = [lim an]n->∞ p
(1.8) Teorema do Confronto
Se, 
Para n≥n0
an≤ bn ≤ cn
Então: lim bn = L
n->∞
lim an = n->∞ lim cnn->∞ = L
Exemplo
(1.8) Teorema do Módulo
Se, 
Então,
lim an = 0 n->∞
lim |an| = 0n->∞
Exemplo
(1.9) Teorema
Se, 
E se a função f for contínua em L, 
então,
lim f(an) = n->∞
lim an = L
n->∞
f(L)
Exemplo
(1.10) Teorema
Exemplo
(1.11) Definição
Uma sequência {an} é denominada crescente 
se an<an+1 para todo n≥1, isto é, a1 < a2 < 
a3 < a4 … 
Uma sequência {an} é denominada decrescente 
se an > an+1 para todo n≥1, isto é, a1 > a2 > a3 
> a4 … 
É dicotômica se for crescente ou 
decrescente 
Exemplo
(1.12) Definição
Uma sequência {an} é limitada 
superiormente se existir um número 
M tal que,
an ≤ M para todo n≥1
Uma sequência {an} é limitada 
inferiormente se existir um número 
m tal que,
m ≤ an para todo n≥1
(1.12) Definição …
Se for limitada inferiormente e 
superiormente, então {an} é uma 
sequência limitada.
(1.13) Teorema
Toda sequência monótona 
limitada é convergente. 
Exemplo
Exercícios
Bibliografia
 STEWART, James. Cálculo. 7 ed. Vol. 1. 
São Paulo: Pioneira Thomson 
Learning, 2013. 
THOMAS, George B et al. Cálculo. Vol. 
1, 12 ed. São Paulo: Addison Wesley, 
2012.