Relatório de fisica FINAL

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DA 
BAHIA 
 
 
 
 
 
ALEX CAVALCANTE DOS SANTOS PIRES 
BLENDA GLÓRIA SANTANA 
ISAQUE DE SANTANA DOS SANTOS 
JEAN DOS SANTOS BISPO 
JESSICA DOS SANTOS LEITÃO 
LUDMILE NASCIMENTO DA SILVA 
 
 
 
 
EXPERIMENTO 3 
DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DE π 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Salvador 
2018
 
 
 
 
 
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DA 
BAHIA 
 
 
 
 
ALEX CAVALCANTE DOS SANTOS PIRES 
BLENDA GLÓRIA SANTANA 
ISAQUE DE SANTANA DOS SANTOS 
JEAN DOS SANTOS BISPO 
JESSICA DOS SANTOS LEITÃO 
LUDMILE NASCIMENTO DA SILVA 
 
 
EXPERIMENTO 3 
DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DE π 
 
 
 
Trabalho apresentado à disciplina de física geral e 
experimental como requisito parcial para a aprovação 
no curso de Engenharia Industrial Elétrica, do Instituto 
Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Bahia. 
 
 Orientadora: Marlene Santos Socorro 
 
 
 
 
 
Salvador 
2018
 
3 
 
 
Sumário 
1. Título do experimento ........................................................................................... 4 
2. Objetivo ................................................................................................................. 4 
3. Introdução ............................................................................................................. 4 
4. Material utilizado ................................................................................................... 4 
5. Procedimento experimental .................................................................................. 4 
6. Discussão e conclusão ....................................................................................... 10 
7. Referências bibliográficas ................................................................................... 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
1. Título do experimento 
 Determinação experimental de π (pi). 
2. Objetivo 
 Empregar todo o conhecimento acerca da teoria de erros numa atividade 
experimental. Determinar o valor de π (pi). 
3. Introdução 
 Através deste experimento os discentes puderam determinar o valor da 
constante π a partir de cilindros com diâmetros diferentes utilizando os instrumentos 
necessários para medição e apuração dos dados. 
 O valor de  pertence aos números irracionais. Contudo, para a maioria dos 
cálculos simples é comum aproximar  por 3,14. Uma boa parte das calculadoras 
científicas de 8 dígitos aproxima  por 3,1415926. Para cálculos mais precisos pode-
se utilizar  3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058 
com 52 casas decimais. Para cálculos ainda mais precisos pode-se obter 
aproximações de  através de algoritmos computacionais. 
 O valor do número π pode ser determinado experimentalmente a partir das 
medidas experimentais da circunferência (C) e do diâmetro (d) de um cilindro, em 
que 
C = πd. 
4. Material utilizado 
 2 cilindros de diâmetros diferentes. 
 Barbante. 
 Régua milimetrada. 
 Paquímetro. 
 Papel milimetrado. 
 
5. Procedimento experimental 
 
 1º Passo: Determinar a incerteza dos instrumentos utilizados no 
experimento. 
 
5 
 
 Os instrumentos de medida utilizados no experimento foram a régua para a 
medida da circunferência e o paquímetro para a medida do diâmetro e suas 
respectivas incertezas estão descritas abaixo: 
 
Instrumento 
de medida 
Incerteza 
Paquímetro 0,05mm 
Régua 0,05cm 
Tabela 1: Incerteza dos instrumentos 
 
 2º Passo: Determinar experimentalmente o diâmetro e a circunferência 
de 2 cilindros distintos 
 Cada integrante da equipe realizou suas respectivas medições para cada 
cilindro utilizando o paquímetro para medir o diâmetro e o barbante com a régua 
para medir a circunferência. As tabelas a seguir descrevem os dados obtidos: 
 
Cilindro 1 Cilindro 2 
i 
Circunferência 
- Régua (mm) 
Diâmetro - 
Paquímetro 
(mm) 
 i 
Circunferência 
- Régua (mm) 
Diâmetro - 
Paquímetro 
(mm) 
1 195,00 60,10 1 235,00 75,20 
2 194,00 59,85 2 241,00 74,50 
3 194,00 60,05 3 247,00 74,45 
4 194,00 60,00 4 233,00 74,50 
5 193,00 59,90 5 247,00 74,60 
6 196,00 60,10 6 242,00 74,65 
Tabela 2: Medições do cilindro 1 Tabela 3: Medições do cilindro 2 
 
 3º Passo: Realizar a média das 6 medidas experimentais para os 2 
corpos de prova 
 Para a realização do cálculo da média aritmética, utilizamos a seguinte 
fórmula: 
 
Fórmula 1: Média aritmética 
 
6 
 
As tabelas a seguir descrevem os resultados obtidos: 
 
Cilindro 1 Cilindro 2 
i 
Média 
Circunferência 
(mm) 
Média 
Diâmetro 
(mm) 
i 
Média 
Circunferência 
(mm) 
Média 
Diâmetro 
(mm) 
 194,33 60,00 240,83 74,65 
Tabela 4: Médias do cilindro 1 Tabela 5: Médias do cilindro 2 
 
 4º Passo: Obter o valor médio das medidas e seus respectivos desvio 
médio e padrão (em relação ao valor médio). 
Para a realização do cálculo do desvio médio e padrão, utilizamos as seguintes 
fórmulas: 
 
 Fórmula 2: Desvio médio 
 
 
 
Fórmula 3: Desvio padrão 
 
 
Cilindro 1 Cilindro 2 
 
Circunferência 
(mm) 
Diâmetro 
(mm) 
 
Circunferência 
(mm) 
Diâmetro 
(mm) 
Desvio médio 0,778 0,083 Desvio médio 4,56 0,18 
Desvio padrão 1,03 0,10 Desvio padrão 5,88 0,28 
 Tabela 6: Desvios do cilindro 1 Tabela 7: Desvios do cilindro 2 
 
 5º Passo: Obtenha a incerteza padrão para os 2 corpos de prova a partir 
da incerteza tipo A e do tipo B. 
 
 
 
7 
 
 
 Tabela 8: Incertezas do cilindro 1 Tabela 9: Incerteza do cilindro 2 
 
 6º Passo: Obter a equação analítica para a propagação de incertezas da 
circunferência e do diâmetro para o valor de π; propague os valores 
encontrados e obtenha todos os valores médios do valor de π. 
 
Tabela 10: Valor de π nos cilindro 1 e 2 
 
 
 
Tabela 12: Propagação cilindro 1 
 
 
 
Tabela 11: Propagação cilindro 2 
 
 
 
-------------------------- Circunferencia Diametro
Tipo A 0,347832796 0,0372678
Tipo B 0,5 0,05
Combinada 0,609087559 0,062360956
Propagaçao 0,000114384
Incerteza - Cilindro 1 
-------------------------- Circunferencia Diametro
Tipo A 2,037306379 0,081989159
Tipo B 0,5 0,05
Combinada 2,09776483 0,096032402
Propagaçao
Incerteza - Cilindro 2
0,00080691
Incerteza - Cilindro 1 Incerteza - Cilindro 2 
Incerteza Circunferência Diâmetro Incerteza Circunferência Diâmetro 
Tipo A 0,347832796 0,037268 Tipo A 2,037306379 0,081989159 
Tipo B 0,5 0,05 Tipo B 0,5 0,05 
Padrão 0,609087559 0,062361 Padrão 2,09776483 0,096032402 
 
8 
 
 7º Passo: Fazer um gráfico da circunferência por diâmetro, para 
visualizar o comportamento entre essas grandezas. Incluir neste gráfico 
todas as incertezas padrões obtidas (barra de erros). 
 
 
y = 3,166x + 4,371
R² = 0,969
0,000
50,000
100,000
150,000
200,000
250,000
0,000 10,000 20,000 30,000 40,000 50,000 60,000 70,000 80,000
C
IR
C
U
N
FE
R
EN
C
IA
 ((
M
M
)
DIAMETRO (MM)
AJUSTE LINEARMédias
 
9 
 
 
 
 
 
 
 8º Passo: Calcular o coeficiente angular e o linear e suas respectivas 
incertezas deste conjunto de dados empregando o cálculo de regressão 
(mínimos quadrados) 
De posse da tabela podemos construir um sistema AX=Y onde: 
 
𝐴 =
60,10 1
59,85 1
60,05 1
60,00 1
59,90 1
60,10 1
75,20 1
74,50 1
74,45 1
74,50 1
74,60 1
74,65 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ; 𝑋 
𝑎
𝑏
 ; 𝑌 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
195
194
194
194
193
196
235
241
247
233
247
242 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cilindro 1 3,238878624
Clindro 2 3,226310995
3,05
3,1
3,15
3,2
3,25
3,3
3,35
Valores de π médio e o desvio médio
 
10 
 
Logo, a solução X é obtida resolvendo o sistema 𝑋 = 𝐴𝑇𝐴 −1𝐴𝑇𝑌 
 
 
𝐴𝑇 = 
60,10 59,85 60,05 60,00 59,90 60,10 75,20 74,50 74,45 74,50 74,60 74,65
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 
 
𝐴𝑇 ∗ 𝐴 = 
55036,18 807,9
807,9 12
 
 
 𝐴𝑇𝐴 −1 = 
0,001552 −0,1044912
−0,1044912 7,1182048
 
 
( 𝐴𝑇𝐴 −1) ∗ 𝐴𝑇 = 
−0,0112135 −0,0116015 −0,0112911 −0,0113687 −0,0115239 −0,0112135 0,0122223 0,0111359 0,0110583 0,0111359 0,0112911 0,0113687
0,8382824 0,8644052 0,843507 0,8487315 0,8591807 0,8382824 −0,739535 −0,6663912 −0,6611666 −0,6663912 −0,6768403 −0,6820649
 
 
( 𝐴𝑇𝐴 −1𝐴𝑇) ∗ 𝑌 = 
3,1669027
4,3716086
 
Obtendo assim 3,1669027 como coeficiente angular e 4.3716086 como 
coeficiente linear da equação. 
 
 
 9º Passo: Faça um ajuste linear utilizando uma planilha eletrônica, calc, 
Excel, Origin, MatLab ou outro qualquer acessível e obtenha os 
coeficientes angulares e lineares com os seus respectivos desvios. 
 
y = 3,1669x + 4,3716 
R² = 0,9696 
 
6. Discussão e conclusão 
Por meio das medidas realizadas de circunferência e diâmetro de dois cilindros 
foi possível encontrar o valor da constante de π. Com o valor médio dos valores 
encontrados determinados o desvio médio e o desvio padrão do resultado obtido. 
 
11 
 
A discrepância dos valores encontrados é ocasionada pela falta de precisão 
nas medidas, pois não estávamos trabalhando com objetos perfeitos, como no caso 
do barbante que caso fosse esticado, durante as etapas de medidas, apresentava 
valores distintos, ocasionando na variação do π entre os dois cilindros. 
O cálculo dos desvios é de grande importância para determinar o quão 
precisos foram os resultados obtidos e o quão próximas as medidas estão das 
verdadeiras. 
 
7. Referências bibliográficas 
AGUIAR, F.L.; JÚNIOR, W.I.M.. Ajuste de curvas por quadrados mínimos lineares. 
Disponível em: <http://www.mat.ufmg.br/gaal/aplicacoes/quadrados_minimos.pdf>. 
Acesso em: 29 jul. 2018.