Física Fundamental

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Física
Fundamental
Adelino Antônio da Silva Ribeiro
Eliane da Silva Soares Ferreira
Simara Moraes Vasconcelos
Manaus 2007
º4.
Período
FICHA TÉCNICA
Governador
Eduardo Braga
Vice–Governador
Omar Aziz
Reitora
Marilene Corrêa da Silva Freitas
Vice–Reitor
Carlos Eduardo S. Gonçalves
Pró–Reitor de Planejamento 
Osail de Souza Medeiros
Pró–Reitor de Administração 
Fares Franc Abinader Rodrigues
Pró–Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários
Rogélio Casado Marinho
Pró–Reitora de Ensino de Graduação
Edinea Mascarenhas Dias
Pró–Reitor de Pós–Graduação e Pesquisa
José Luiz de Souza Pio
Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado)
Carlos Alberto Farias Jennings
Coordenador Pedagógico
Luciano Balbino dos Santos
NUPROM
Núcleo de Produção de Material
Coordenador Geral
João Batista Gomes
Editoração Eletrônica
Helcio Ferreira Junior
Revisão Técnico–gramatical
João Batista Gomes
SUMÁRIO
Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07
UNIDADE I – Os fundamentos da Física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09
TEMA 01 – O que é Física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
TEMA 02 – Fundamentos da teoria eletromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
TEMA 03 – Os alicerces da mecânica dos fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
UNIDADE II – As forças fundamentais da natureza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
TEMA 01 – O conceito de força . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
TEMA 02 – Eletrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
TEMA 03 – A força na hidrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
TEMA 04 – Estática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
TEMA 05 – Forças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
TEMA 06 – Hidrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
UNIDADE III – O estudo dos movimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
TEMA 01 – Análise do movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
TEMA 02 – Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
TEMA 03 – Fluidos em movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
TEMA 04 – Alguns tipos de movimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
TEMA 05 – Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
TEMA 06 – Óptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
UNIDADE IV – Universo Mecânico: o Universo como uma máquina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
TEMA 01 – O momento linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
TEMA 02 – A Lei da Gravitação Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
TEMA 03 – A Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 
UNIDADE V – As Leis do Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
TEMA 01 – As Leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 
TEMA 02 – Forças em sistemas de referenciais inerciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
TEMA 03 – Indução magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 
UNIDADE VI – Lei da Conservação da Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
TEMA 01 – Trabalho – Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
TEMA 02 – A Energia Mecânica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
TEMA 03 – Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
TEMA 04 – A Energia Potencial Gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 
TEMA 05 – Potencial Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 
TEMA 06 – Lei de ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
TEMA 07 – Lei da Conservação da Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
TEMA 08 – Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
TEMA 09 – A Primeira Lei da Termodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
UNIDADE VII – Lei da Conservação do Momento Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
TEMA 01 – Segunda Lei da Termodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
TEMA 02 – Definição de Momento Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Adelino Antônio da Silva Ribeiro
Licenciado em Física – UFAM
Especialista em Ensino de Ciências – UFAM 
Mestre em Educação – UFAM
Eliane da Silva Soares Ferreira
Bacharelem Física – UFAM
Licenciada em Física – UFAM 
Simara Moraes Vasconcelos 
Mestra em Física – UFAM
PERFIL DOS AUTORES
APRESENTAÇÃO
Professor Adelino Ribeiro
A intenção ao escrever estas Notas de Aulas é o de apresentar, em nível introdutório, os conceitos fundamentais da
Física Clássica como parte da preparação dos alunos para prosseguirem e se aprofundarem posteriormente nas demais
disciplinas de Física que compõem a matriz curricular do Curso de Licenciatura em Matemática. Estas Notas de Aulas,
portanto, constituem-se num material preparatório para o desenvolvimento de idéias e habilidades, que serão aplicadas
durante o estudo de tópicos específicos, desenvolvidos em outros cursos mais especializados. 
Acreditamos que os conceitos e as ideias que constituem o conjunto de paradigmas da Física Clássica, ao tornarem-se
parte da sua vida profissional, irão, com toda a certeza, auxiliar na suas maneiras de compreender o Universo em que
vivemos. Quanto mais profundamente se dedicar a aprender, tanto mais fácil será o restante de seu curso de graduação
e de pós-graduação. Assim sendo, ao longo deste curso, abordaremos alguns problemas específicos e de fundamen-
tal importância em Física, como, por exemplo, as Leis do Movimento, as Leis de Conservação, as Leis da Óptica, as Leis
da Termodinamica, as interações fundamentais, os conceitos de campo e de entropia, tendo em vista não só o interesse
e a importância em relação à Física e ao seu valor instrutivo, como também por se constituírem a base conveniente para
se resolver a maioria dos problemas de Física Clássica. 
Tendo esses objetivos em vista, ao abordarmos um determinado fenômeno, procuraremos, tanto quanto possível, inte-
grar a interpretação física com o tratamento matemático (cálculo e álgebra), de modo que o aluno possa averiguar se a
sua intuição corresponde ou se precisa ser corrigida apropriadamente. 
Outra peculiaridade destas Notas de Aulas é a forma pela qual os temas a serem estudados estão estruturados.
Diferentemente da seqüência encontrada tradicionalmente nos livros-textos de Física, estas Notas de Aulas operam o
conhecimento por outro caminho, sem causar, no entanto, qualquer prejuízo aos conteúdos selecionados. Segue,
abaixo, um breve comentário sobre cada unidade.
A primeira unidade foi projetada com a modesta intenção de fornecer uma visão preliminar da relação da Física com
as outras Ciências, os limites da Física Classica que vai ser estudada. Procuraremos enfatizar, nesta unidade, a base
fundamental sobre a qual se ergue todo o Edifício da Física, de modo que o aluno possa compreender a relação entre
a Física e a Matemátca, a importância das atividades experimentais e a função dos modelos teóricos em Física. 
Na segunda unidade, faremos uma bordagem relativamente simples das interações fundamentais existentes na
Natureza, suas aplicações e combinações, de modo que o aluno se familiarize com o conceito de vetor. 
Na terceira unidade, faremos um análise fenomenológica dos movimentos, identificando seus elementos e suas carac-
terísticas principais. Chamando atenção principalmente para aplicação de modelos de partícula e de onda no estudo da
Física. 
Na quarta unidade, centralizaremos nossos estudos naquela que se constituiu a mais duradoura compreensao do uni-
verso: a visao mecanicista da natureza. A ênfase recairá na Lei da Conservação do Momento Linear e na Lei da
Gravitação Universal e suas aplicações. Aqui, merecem ser destacadas formas para a determinação de campos devido
à distribuição de massas e cargas.
A quinta unidade focalizará as Leis de Newton e a sua extrema importância para o estudo de alguns Tópicos Especiais,
tais como: o lançamento de projétil, Movimento Circular e Uniforme, Sistemas de Referências Inercial (dado seu papel
primordial no desenvolvimento dos conceitos básicos e os princípios físicos envolvidos na Teoria da Relatividade Restrita
de Einstein) e Sistemas de Referencias Não-Inerciais (em razão do movimento da Terra). 
Na sexta unidade, estudaremos o conceito de Trabalho com ênfase na Lei da Conservação da Energia, enfatizando sua
estreita ligação com as Leis da Termodinâmica e aplicação tecnológica no caso das máquinas térmicas. 
Na sétima unidade, faremos o estudo da Lei da Conservação do Momento Angular, aplicando-a, particularmente, nos
problemas que tratam de rotação de corpos rígidos (enquanto sistemas de partículas) em torno de um eixo fixo. 
UNIDADE I
Os Fundamentos da Física
TEMA 01 
O QUE É FÍSICA?
“Não afirmamos que o quadro que 
estamos pintando represente toda 
a verdade, mas apenas uma viagem.”
Victor Hugo
Entender o universo – este tem sido o supremo
desejo que tem perseguido, incansavelmente,
o ser humano. A intricada e complexa rede de
fenômenos que o cercam é apenas uma ponta
do Iceberg Cósmico, cuja maior parte, ainda
hoje, se oculta no mar da nossa ignorância.
Evidentemente que o conhecimento científico
cresceu exponencialmente até os nossos dias,
mas não conhecemos tudo. Aliás, se soubés-
semos que na Física tudo já foi descoberto,
todas as questões já foram respondidas e não
há nada mais para explorar, ainda assim, nada
impossibilitaria o ser humano de examinar tais
verdades, as suas limitações, os seus parado-
xos e as possíveis falhas. 
1. Atualmente, tem sido bastante divulgada pela
mídia a possibilidade de existência de água no
planeta Marte. Comente a respeito da veraci-
dade do fato. Com base em que(ais) teoria(s)
cientifica(s) é possível justificar essa descober-
ta? Elas são suficientes? Quais as limitações
do conhecimento científico nesse campo?
2. Algumas pessoas afirmam que são capazes de
localizar água utilizando uma simples forquilha
de madeira. Embora este procedimento seja
algo controvertido, existem muitas histórias de
êxitos. Com base em seus conhecimentos cien-
tíficos, como você poderia explicar, em termos
físicos, este procedimento para furar poço?
3. Recentemente, foi bastante comentada a in-
venção de um equipamento construído por um
cientista amador que é capaz de blindar o cam-
po gravitacional, ou seja, quando uma pessoa
entra no equipamento, ele imediatamente se
desprende perdendo seu peso. Com base em
seus conhecimentos de Física, como você ava-
lia essa descoberta? Esse equipamento pode-
ria ser usado para transportar um Homem até
a Lua? Quais suas limitações?
A Física é um campo de investigação sem fim;
um processo construtivo interminável, decor-
rente das próprias limitações da mente huma-
na. Ainda não conhecemos todas as leis funda-
mentais do Universo e nem sabemos se essa
busca algum dia será alcançada, pois somente
a ponta do Iceberg revela-se de forma direta
diante do homem. 
A suprema função da Física é tentar captar uma
imagem completa deste mundo físico (Iceberg
Cósmico). É penetrá-lo mais além do imediato,
do visível, mergulhar nas profundezas do Ocea-
no Cósmico para ser capaz de estabelecer re-
lações (as regras do jogo) que governam as
propriedades e os processos observados no
Universo, colocando a explicação num novo e
mais amplo nível e contexto. Essas regras (leis)
são inerentes ao Universo; são independentes
da existência ou da vontade humana. 
Essa busca e esperança são reforçadas pela
convicção humana de que, por baixo do Ice-
berg Cósmico, existe uma ordem, uma regula-
ridade, apesar da diversidade e da aparente
complexidade de fenômenos observados. 
A crença nessa regularidade é tão imprescin-
dível para a sobrevivência do ser humano que,
desde a antiguidade, os filósofos gregos con-
sideravam a mente como o princípio que pro-
duz a ordem que se crê existir no Universo. 
Apesar de alto grau de desordem existente
num gás, a aposta na existência de regulari-
dades leva-nos a fazer previsões, por exemplo,
das suas propriedades termodinâmicas. Foi
assim tambémque, a partir da visão da dança
de alguns pontos luminosos no céu noturno,
chegamos a estabelecer a imagem de um sis-
tema planetário. Igualmente, a partir da cons-
tatação de alguns riscos coloridos (raias es-
pectrais), captadas por observações espec-
11
Física Fundamental – Os Fundamentos da Física
troscópicas, é que se conseguiu entender o
processo de emissão da luz pela matéria, a
composição química de uma substancia e até
mesmo o afastamento das galáxias. 
Nesse sentido, determinar uma lei é revelar a
ordem pré-existente na arquitetura do Univer-
so, é acreditar que todos os eventos e proces-
sos que ocorrem no Universo estão interco-
nectados. No século XVIII, Newton unificou a
mecânica terrestre e celeste ao descobrir a Lei
da Gravitação Universal. No século XIX, Joule
unificou a Mecânica com a Termodinâmica, e
Maxwell unificou os fenômenos elétricos e mag-
néticos, incorporando a Óptica nesse quadro.
No século XX, Einstein passou parte da sua vi-
da tentando formular uma teoria que unificasse
a gravitação com a eletrodinâmica. Sua ante-
visão foi recompensada em 1968, quando os
físicos Steven Weinberg e Abdus Salam ganha-
ram o premio Nobel, por demostrarem a cone-
xão entre a força eletromagnética e a força
nuclear fraca, dando origem à força eletrofra-
ca. 
Como se vê, em meio a mudanças existem car-
acterísticas imutáveis, padrões fixos no Univer-
so. O que gera a ordem ao universo é o fato de
podermos assegurar, com absoluta precisão,
que determinadas coisas nunca acontecem.
Você, por exemplo, pode viver 10 bilhões de
anos, contudo nunca verá, na superfície da Ter-
ra, uma pedra “cair para cima”. É isso que os
físicos denominam de ordem.
Parece-nos estranho declarar que não é ver-
dade; o que realmente orienta a Física não é a
descoberta do que acontece, mas a descober-
ta do que não acontece. A simples possibilida-
de de que o Universo possa comportar-se de
modo diferente de um dia para o outro tornaria
insegura a vida e, possivelmente, seria impos-
sível a sobrevivência da espécie humana. No
entanto o que se constata é que existem deter-
minadas constantes no Universo que se repe-
tem e que conduzem ao mesmo resultado. 
Uma vez determinado qual é a propriedade físi-
ca invariante, o ser humano passa a dispor de
uma poderosa ferramenta em suas mãos que o
ajudará entender melhor a dinâmica do Univer-
so. Daí as Leis de Conservação serem extre-
mamente importantes quando se passa de um
campo a outro dentro da própria Física, conti-
nuando dando bons frutos ao transitarmos pa-
ra outros ramos da Árvore da Ciência.
Apesar da robustez da Física e dos frutos nela
colhidos, é inútil tentar cutucar o solo e espe-
cular sobre onde nascem as raízes da Árvore
da Ciência, pois não somos capazes de desco-
brir a origem de certos conceitos. Certamente,
o que não deixa menor margem para dúvidas,
como escreveu o poeta, é que: “Nil posse cre-
ari de nihilo”. Igualmente, as idéias físicas não
nasceram e operaram no vácuo social, como
se tivessem nascidas prontas e acabadas da
mente do cientista, ou cuja finalidade tenha
sido essencialmente utilitaristas, enquanto pro-
duto pronto para ser usado. 
1. Faça uma análise comparativa dos dois casos
relacionados abaixo a respeito de como ocor-
rem a construção do conhecimento científico
dos fenômenos ocorridos na Natureza.
I. Segundo contam, Arquimedes descobriu a Lei
do Empuxo porque estava a serviço do rei, que
lhe solicitou que investigasse se a coroa era
mesmo de ouro maciço.
II. Sir Isaac Newton descobriu a Lei da Gravitação
Universal devido à queda de uma maçã na sua
cabeça, enquanto descansava no jardim de sua
mansão; isso despertou suas idéias para o
referido tema.
Sendo a atividade cientifica realizada por seres
humanos num ambiente impregnado de polari-
dades e antagonismos culturais, nenhum indi-
víduo, por maior que seja sua genialidade ou
por mais importante e fundamental que seja
seu descobrimento, pode ser considerado isen-
to das influências sociais, culturais, políticas e
econômicas que a sociedade vivencia num
determinado momento histórico.
Muito do que atualmente se sabe dos estudos
dos fluidos desenvolveu-se da grande necessi-
dade de abastecimento de água para irrigação
dos campos, do controle de inundações e da
seca. A construção de diques, represas e canais
12
UEA – Licenciatura em Matemática
é fruto dessa necessidade, que antecede a
Arquimedes. Uma das primeiras aplicações dos
fenômenos térmicos inventada pelo ser huma-
no foi a eolípila, desenvolvida por Heron de
Alexandria. Eis aí o principio de funcionamento
de uma turbina a vapor muito rudimentar devi-
do à força do vapor que escapa pelos tubos,
fazendo girar o aparelho. Essa capacidade de
o vapor produzir trabalho foi aplicada no desen-
volvimento e no aperfeiçoamento das máqui-
nas para retirar água acumulada nas minas de
carvão; disso se originou a Revolução Indus-
trial. 
A Física, enquanto atividade humana especial-
izada, não tem, portanto, existência indepen-
dente. Ela emergiu, cresceu e somente se con-
solidou porque buscou satisfazer as necessi-
dades básicas do Homem, seja explicando e
elaborando processos de controle dos fenô-
menos naturais, seja desenvolvendo técnicas
para aumentar a produção de bens e serviços,
seja como fonte de idéias para outros campos
de pesquisa, seja contribuindo para a segu-
rança nacional por meio da criação de armas
de defesa e ataque, etc. Essas multifacetadas
“impressões digitais” da Física são passíveis
de identificação ao longo da sua História, ainda
que estranhamente irregulares, em zigueza-
gue, entrecortadas por descontinuidades. 
As tentativas de explicar o mundo físico não
são algo recente. A própria Bíblia ensina-nos
que o primeiro ato divino foi o de criar a Luz.
Qual a razão para isso? Talvez tenha sido o
temor que os nossos ancestrais (e, ainda hoje,
muitos de nós) sentiam quando o sol desa-
parecia, e a Terra escurecia. Ou seja, tanto
para os nossos ancestrais quanto para nós,
uma noite de lua cheia constitui-se, ainda hoje,
num fenômeno exuberante.
Assim, no fim do dia, após uma jornada esta-
fante, eles, como nós, ao admirarem o luar,
devem ter-se indagado sobre inúmeros por-
quês: por que a lua brilha? Será que a lua tem
luz própria ou será que a luz nasce dos olhos?
O que é a luz? Quanto deve valer a velocidade
da luz? Será que é finita ou infinita? Por que a
lua não cai? O que faz que ela se mantenha em
sua órbita? Como ir da Terra à Lua?
Muitos outros fenômenos naturais também
devem ter sido observados, registrados e de-
sencadeados. Vêm, então, outra série de per-
guntas: como se forma o arco-íris? Por que
ocorrem os eclipses? O que é o raio? O que é
o fogo? O que fazer para mantê-lo aceso? O
que causa os terremotos? Por que o tronco de
uma árvore bóia e a pedra afunda? Por que os
corpos caem e a fumaça sobe? O que faz um
magneto atrair um pedaço de ferro e não de
madeira? De onde ele retira esse poder ou vir-
tude? Como surgiu o universo e as coisas que
nele existem?
Não há como não reconhecer, nessa protofísi-
ca, as raízes, por exemplo, dos conceitos, das
leis, das teorias e dos princípios que se estu-
dam até hoje na estática e na dinâmica. Todo o
desenvolvimento do eletromagnetismo deve-
se à estranha propriedade do âmbar (resina
fóssil empregada na antiguidade, na fabrica-
ção de amuletos, jóias e bijuterias) e de certas
pedras magnéticas (óxido de ferro) que, mais
tarde, receberam a denominação de ímãs.
A capacidade e a habilidade do ser humano de
responder a essas e a muitas outras comple-
xas questões geraram a Física – apenas um
dos ramos da Árvore da Ciência –, mas funda-
mental para o entendimento do Universo em
que vivemos. Certamente que esse desenvolvi-
mento não ocorreu por acaso, mas do esforço
consciente e deliberado do trabalho de ho-
mens e mulherespara trazer à tona a parte
oculta do Iceberg Cósmico e, assim, conseguir
prever e planejar suas ações para serem
capazes de sobreviver neste Planeta e, poste-
riormente, aventurar-se em frágeis jangadas,
em expedição pelo Oceano Cósmico descon-
hecido. 
O que conhecemos e o que ainda está sendo
descoberto, nos dias de hoje, não teria sido
possível se os nossos antecessores não tives-
sem assentado, com firmeza, os alicerces des-
te grande edifício em constante construção,
que é a Física, num terreno bastante sólido. 
Portanto, quando se retrocede na História da
Humanidade, verifica-se que as idéias físicas
ressoam desde a aurora dos tempos, quando
o ser humano lançou suas primeiras inquie-
tações e curiosidades em relação aos fenô-
menos naturais, e o quanto estes descobri-
mentos foram decisivos e essenciais para o
conhecimento atual da Natureza. 
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Física Fundamental – Os Fundamentos da Física
A FÍSICA E AS OUTRAS CIÊNCIAS
Em sua luta obstinada para entender a Natu-
reza, o ser humano depara-se com uma varie-
dade e complexidade de fenômenos que ge-
raram o desenvolvimento de um conjunto de
conhecimento específico. Nesse desdobramen-
to, a Física ficou com a parte mais simples,
restringindo-se aos aspectos mais fundamen-
tais dos fenômenos naturais. Evidentemente
que, para atingir essa compreensão e alcançar
a profundidade indispensável, os físicos pre-
cisaram desenvolver um nível da análise rigoro-
síssimo. Em vista disso, os demais ramos da
Arvore da Ciência, em seus projetos de tam-
bém avançar no conhecimento, foram buscar
na Física as leis fundamentais e os métodos
empregados. Nasceu daí a intensa conexão
entre a Física e as outras ciências, o que tem
proporcionado explorar novos experimentos,
gerando novos conhecimentos e produtos in-
dustrializados. 
A Química, por exemplo, emprega Mecânica
Quântica nas explicações das propriedades e
das reações químicas. Desse modo, novas
substâncias podem ser desenvolvidas a partir
dos fundamentos da interação entre átomos e
moléculas. Tanto que, em 1998, o físico Walter
Kohn recebeu o premio Nobel de Química pela
sua contribuição aos métodos da química quân-
tica. 
A Geofísica emprega as teorias do magne-
tismo no estudo da Física da Terra. O estudo
da Física dos Fluidos fornece o entendimento
das causa dos abalos sísmicos e dos proces-
sos que moldaram o nosso planeta. 
O conhecimento de Física Nuclear é crucial na
Astrofísica para a compreensão da fonte de
energia das estrelas e da evolução (geração de
supernovas). 
A Cosmologia utiliza a Teoria da Relatividade
Geral para estudar a origem e a evolução do
Universo, para explicar a força da gravidade e a
misteriosa expansão do Universo; utiliza-a tam-
bém no desenvolvimento do sistema de loca-
lização GPS.
O conhecimento de Física é essencial no estu-
do das Ciências Biomédicas (Biologia, Bio-
química e Medicina). Na área de diagnose e
tratamento médicos, são empregadas técnicas
de ressonância magnética, ultra-som, tomogra-
fia po raios X, radiografia, ecocardiograma, ele-
trocefalograma, aplicação de partículas (isó-
topos) radioativas, etc. 
Em Biofísica, o estudo das propriedades físi-
cas dos sistemas biológicos dentro da célula
(tais como a elasticidade do DNA e a interação
entre DNA-proteínas) e a aplicação de técnicas
na modelagem das redes neurais, etc. 
Os conhecimentos de Física Clássica (Mecâ-
nica, Termodinâmica e Eletromagnetismo) são
essenciais no campo das Engenharias (Civil,
Mecânica, Elétrica, Robótica, Aeroespacial, etc). 
1. Comente, fornecendo exemplos e justificativas,
a maneira pela qual a Física e a Filosofia se
relacionam.
2. Existe ou já existiu, em alguma época, co-
nexão entre a Física e a Arte? Cite dois casos
concretos.
FÍSICA E MATEMÁTICA
Provavelmente, em algum momento de sua vi-
da, você deve ter realizado, mentalmente, certos
“cálculos” ou, intuitivamente, avaliou a situa-
ção-problema apelando para as leis do movi-
mento. Com toda a certeza, antes de atraves-
sar uma avenida, para não colocar em risco
sua vida, você já deve ter, intuitivamente, ava-
liado inúmeras vezes a velocidade do carro e
feito uma estimativa do tempo necessário para
atravessar, com segurança, uma ampla e movi-
mentada avenida de Manaus. Não é mesmo? 
1. Um planeta X hipotético dá uma volta inteira
em torno do seu eixo em um terço do tempo
gasto pela Terra (1 dia), e dá uma volta em
torno do Sol no dobro do tempo gasto pela
14
UEA – Licenciatura em Matemática
Terra (365 dias). Na Terra, a relação entre a
duração do dia e a do ano é 1/365. No planeta
X, quanto corresponderá a mesma relação?
Esta convicção de que a razão humana é
capaz de oferecer uma interpretação quantita-
tiva coerente dos fenômenos perceptíveis
pelos sentidos, com ajuda de engenhosas
equações matemáticas, constitui-se numa das
mais extraordinárias conquistas humanas de
importância para a ciência. O prêmio Nobel de
Física Max Planck, ao se referir aos trabalhos
de Maxwell, comentou que:
“Maxwell, após diversos anos de pesquisa reser-
vada, alcançou um sucesso que deve ser conta-
do entre os maiores milagres do intelecto
humano. Ele conseguiu, pela razão pura, vislum-
brar segredos da natureza que somente
começaram a vir à luz depois de uma geração e,
ainda assim, por meio de experiências muito
laboriosas. Seria completamente inconcebível
que tal conquista fosse conseguida, se não reco-
nhecêssemos que há uma relação muito íntima
entre as leis da natureza e as do pensamento.” 
A percepção de que matematização dos fenô-
menos físicos é a chave para decifrar os mis-
térios do Universo é atribuída a Pitágoras,
para quem, na natureza, “tudo é numero”. O
trampolim para esta conexão entre a Física e a
Matemática teria sido a descoberta da relação
funcional entre o som que uma corda esticada
emite e o comprimento da corda. Posterior-
mente, Arquimedes (séc. III a.C.), seguindo o
estilo empregado por Euclides, descobriu a lei
da alavanca e a lei do Empuxo, abrindo, de
forma convincente, o caminho para a mate-
matização da Natureza.
1. A quantidade de energia luminosa incidente
por unidade de área, em iluminação normal,
varia na razão inversa do quadrado da distân-
cia da superfície à fonte. Com base nessa infor-
mação, estabeleça uma relação entre a quanti-
dade média de energia solar incidente entre o
planeta Plutão e a Terra.
Assim, por meio da descrição matemática, a
compreensão do fenômeno ultrapassa a mera
descrição qualitativa e subjetiva das percep-
ções sensoriais do ser humano. A partir de
agora, as qualidades das sensações fisiológi-
cas, tais como o som, a cor, a luz, o calor, o
gosto, etc. constituem-se num conjunto de sím-
bolos moldados por uma equação matemática. 
O movimento, por exemplo, a questão do
tráfego, um dos graves problemas da vida real,
é resolvido por meio do cálculo diferencial.
Velocidade passa a ser, portanto, dx/dt. As
cores do arco-íris são determinadas pela fre-
qüência (µµ) ou pelo comprimento de onda (λλ)
da radiação. A sensação de calor que temos
quando estamos fazendo um churrasco é dada
por E = hµµ. A intensidade do som da “Banda
do Mano” durante o carnaval é 
descrita por .
1. No Laboratório de Física, um pesquisador ob-
serva atentamente um próton atravessar uma
região na qual existe um campo elétrico e um
campo magnético, sendo ambos uniformes.
Ao acompanhar o movimento do próton, ele
constata que a trajetória da partícula depende
de como ela penetra na referida região. Na ten-
tativa de auxiliar esse pesquisador, qual instru-
mento matemático você lhe aconselharia a
aplicar ao problema?
A matematização propicia, assim, uma econo-
mia de pensamento, pois, por meio da abs-
tração, não precisamos ficar presos aos deta-
lhes e às características desnecessárias de um
fenômeno. Em vez disso, procuramos selecio-
nar e concentrar-nossomente naquelas pro-
priedades que, no conjunto, são essenciais
para seu entendimento e que podem ser quan-
tificadas, mensuradas. 
Quando se analisa, por exemplo, o movimento
de queda livre de uma esfera, o que realmente
importa é a relação entre a posição (X) e o
tempo de queda (t), a velocidade (V), etc.
15
Física Fundamental – Os Fundamentos da Física
16
UEA – Licenciatura em Matemática
Ignora-se, por exemplo, propriedades como a
cor, a textura e os detalhes da composição da
esfera. Desse modo, a descoberta da relação 
faz que a esfera deixe de ser uma
entidade individual, pois a expressão matemá-
tica serve para qualquer esfera. No fim, a es-
fera real fica completamente esquecida, e, em
seu lugar, fala-se de um de uma partícula, de
uma entidade abstrata que se move no vácuo. 
O eco dessa tradição pitagórica continuou a
reverberar intensamente no século XVII, po-
dendo ser encontrado nas obras de Galileu,
que declara com toda a ênfase:
“A filosofia (atualmente, diríamos a Física) en-
contra-se escrita neste grande livro que conti-
nuamente se abre perante nossos olhos – quero
dizer, o Universo – que não se pode compreen-
der antes de entender a língua e conhecer os
caracteres com os quais está escrito. Ele está
escrito em linguagem matemática, os carac-
teres são triângulos, circunferências e outras
figuras geométricas (teríamos que acrescentar
agora outros símbolos matemáticos), sem cujos
meios é impossível entender humanamente as
palavras; sem eles nós vagamos perdidos den-
tro de um obscuro labirinto.”
Armados com a concepção de que “tudo na
natureza são números” ou ainda “Natureza
está escrita em caracteres matemáticos” (ou
formas geométricas), os físicos, por meio do
cálculo, deduzem a trajetória que, muitas ve-
zes, escapa à percepção visual. É bem conhe-
cida, por exemplo, o episódio no qual Halley, o
astrônomo real, pergunta a Newton: “qual a
curva descrita pelos planetas”, ao que Newton
respondeu sem hesitação: “Uma elipse”.
Surpreso, Halley replicou: “Como é que você
sabe?”, ao qual Newton retrucou: “Ora, eu a
calculei”. 
A resposta de Newton significa dizer que ele
ficara extremamente satisfeito em determinar e
provar, matematicamente, que a causa do mo-
vimento era simplesmente uma equação ma-
temática. Indo mais além, utilizando seus cál-
culos matemáticos, demonstrou que essa “for-
ça” era responsável pelas marés oceânicas,
pela periodicidade misteriosa dos cometas,
etc. 
Assim sendo, na investigação dos sistemas
físicos, é expressamente proibido que a deter-
minação das regras (leis, teorias, etc) das co-
nexões lógicas sejam feitas por um mero jogo
de palavras, produto da descrição qualitativa e
verbal empregada na linguagem cotidiana,
mas de forma precisa e quantitativa. Sendo as-
sim, não há nada que se impeça de descrever
o azul do céu ou as cores do arco-íris em ter-
mos matemáticos, em vez de expressar o fenô-
meno em termos de uma linguagem limitada e
imprecisa que estamos acostumados a empre-
gar na vida diária.
1. Seja (N) o número de páginas que devem ser
lidas por um aluno durante a disciplina de Fí-
sica Fundamental; (W) o número de semanas
de aula; (P) o número de páginas que deverão
ser lidas durante uma semana. Com base no
exposto, represente, matematicamente, a rela-
ção entre N, W e P.
A busca de uma relação funcional correta é o
retrato da luta incessante da mente humana
para que os fenômenos naturais possam ser
representados matematicamente. Levada aos
confins mais íntimos e extremos, a convicção
de que a Natureza opera misteriosamente se-
gundo princípios matemáticos fez que os físi-
cos, buscassem uma relação funcional entre
determinados parâmetros físicos, na tentativa
de explicar o funcionamento do Universo. 
Foi esse ideal que levou Ptolomeu, século II
d.C., a elaborar uma explicação para a Má-
quina do Universo em termos de conceitos
geométricos altamente abstratos, tais como:
círculos, deferentes epiciclos, equantes. O
mesmo aconteceu com Galileu, século XVII, ao
descrever a queda de um corpo por meio de
relação matemática entre os números ímpares.
Newton, também, vai explicar a força de atra-
ção gravitacional que mantém a estabili-
dade das órbitas planetárias por .
Maxwell deduz da equação que a luz
é uma onda eletromagnética que se propaga
aproximadamente 300.000.000 m/s. Max
Planck descreveu o fenômeno da emissão da
irradiação do corpo negro pela expressão 
. Einstein demonstrou que a mas-
sa de um corpo em movimento não perma-
nece constante, mas aumenta com a velocida-
de , por conseguinte deduziu
que a inércia (massa) de um corpo está rela-
cionada a seu conteúdo energético por meio
da equação E = m.c2.
Embora tenhamos apresentado algumas “fór-
mulas”, não se deve confundir a Física com a
Matemática, pois, como enfatizou Einstein,
“Nenhum cientista pensa com fórmulas”. O
que comumente se faz na Física é começar
com a idéia física e depois procurar torná-la
mais precisa, expressando-a matematicamen-
te. Foi assim que se deu com Maxwell, que, a
partir das idéias de Faraday de linha de força,
transformou-a na teoria do campo eletromag-
nético, expressando-a na forma de equações
diferenciais. 
Portanto, do ponto de vista da Física, um fenô-
meno da natureza é considerado explicado quan-
do se encontra uma relação funcional que rela-
ciona os parâmetros que admitimos fazer parte
explicativa de um determinado fenômeno. 
É por meio da matematização do fenômeno
que o Físico dispõe de um conjunto de regras
de correspondência que tornam possível efetu-
ar certas seqüências de operações. O cálculo
torna-se, assim, uma espécie de jogo mental
com os símbolos matemáticos por meio dos
quais se torna possível estabelecer uma rela-
ção funcional dos resultados empíricos obtidos
por uma dada teoria.
1. Por meio de um dispositivo, uma caneta move-
se em MHS ao longo do eixo Y. Ele registra
sobre uma fita de papel que se move com
velocidade de 10 cm/s da direita para a esquer-
da, conforme mostra a figura abaixo. Suponha
que no instante t = 0 a caneta encontre-se no
ponto X = 0 e Y = 0. Determine a função Y(t)
que representa o movimento da caneta con-
forme a curva mostrada no gráfico.
Assim, por meio de uma expressão matemáti-
ca, ou seja, com a mesma formula do cálculo,
podemos escrever o conteúdo empírico por
um conjunto de sentenças equivalente que re-
presenta os efeitos observáveis. Por exemplo,
uma regra de correspondência, expressando
uma relação diretamente proporcional, pode
servir para coordenar o termo de observação,
temperatura, com o termo designado de ener-
gia cinética. De modo que podemos também
expressar que a “temperatura de um gás é dire-
tamente proporcional à energia cinética média
das moléculas de um gás.”
Portanto o que o cientista busca com freqüên-
cia é encontrar uma “relação funcional” do tipo
Y = f (x) entre as propriedades que variam, ou
seja: a corrente elétrica com a voltagem num
condutor, a distância percorrida por um corpo
muda com o tempo, o volume de um gás muda
com a pressão exercida sobre ele, o compri-
mento de uma haste de latão varia com a tem-
peratura, etc. 
Suponha que se queira encontrar uma relação
funcional entre a posição de um objeto e o
tempo que ele leva durante a queda. Após re-
gistrar numa tabela as quantidades correspon-
dentes, ele procura estabelecer uma relação
exata entre elas. 
Pode ocorrer, no entanto, que ele nem consiga
encontrar nenhuma relação, pois os dados po-
dem variar independentemente uns dos outros.
Caso descubra que existe uma relação entre
as propriedades investigadas, ele pode repre-
sentá-las por uma relação simbólica conven-
cional do tipo
17
Física Fundamental – Os Fundamentos da Física
18
. Se essa relação for amplamente
confirmada pelos experimentos, pode-se dizer
que temos agora uma LeiFísica. São os casos,
por exemplo, da lei da queda livre, das leis de
Newton, da lei de Ohm, as Lei de Kepler, etc. 
Além de resumir o conjunto de dados, a equa-
ção pode ser usada como uma definição para
velocidade: v = a.t; como uma técnica para a
medição da aceleração; para prever todas as
futuras observações e ir bem além das aparên-
cias, do imediato, estabelecendo relações de
forma a colocar os fenômenos observados em
um novo e mais amplo contexto. 
Essa foi a maneira por meio da qual Maxwell, a
partir de um conjunto de equações, deduziu
que a luz se desloca com a mesma velocidade
da luz e que, por conseguinte, a luz deve ser
uma forma de radiação eletromagnética. Igual-
mente assim procedeu o físico inglês Paul
Dirac, ao deduzir das suas equações a existên-
cia dos pósitrons (elétrons carregados positi-
vamente). 
A lei declara simplesmente a existência de um
padrão estável por trás de um evento e coisas,
mas é a teoria que assinala o mecanismo res-
ponsável por esse padrão. É a teoria que pos-
sibilita ir além das aparências.
Todavia o simples fato de que os fenômenos
naturais sejam simplesmente formulados e ex-
plicados matematicamente não é uma justifica-
tiva aceitável capaz de determinar as causas,
pois não há como ter certeza de que aquela Lei
não é resultado fortuito de muitas causas dife-
rentes atuando independentemente, sem uma
verdadeira regularidade. 
Portanto é indispensável encontrar uma causa
única subjacente ao fenômeno. Newton, por
exemplo, não conseguiu persuadir muito os
seus contemporâneos de que a formulação
algébrica da lei da gravitação, descoberta por
ele, consistia, por si só, uma explicação acei-
tável, sem que houvesse a necessidade de
quaisquer mecanismos físico. 
Atualmente, o que prevalece entre os físicos é,
basicamente, esse tipo de justificativa. Levan-
do-se em conta tais fatos, pode-se compreen-
der com facilidade porque Einstein se opôs e
enfrentou Bohr durante uma conferencia. 
Para Einstein, o fato da Mecânica Quântica uti-
lizar o conceito de probabilidade deve-se à nos-
sa ignorância em compreender, de maneira
exata, como as coisas em nível microscópico
acontecem; se soubéssemos exatamente co-
mo os eventos acontecem, por exemplo, a ma-
neira como um conjunto de dados foi arremes-
sado e todos os detalhes da superfície onde
rolam poderíamos, pelo menos em principio,
prever o resultado. Na defesa de seu ponto de
vista, dizia Einstein: “Deus é sutil, mas não é
malicioso: Ele não joga dados!” 
OS CONCEITOS
Por mais refinada e perfeita que seja a lingua-
gem cotidiana, ela é extremamente limitada e
indefinida para esclarecer certas relações con-
ceituais tão delicadas e precisas sobre o mun-
do físico que nos cerca. Ainda que expressões
do tipo: velocidade, espaço, gravidade, tempo,
aceleração, repouso, energia, massa, eletrici-
dade, calor e movimento sejam bastante fami-
liares e utilizadas diariamente, elas não são
óbvias e nem evidentes. 
Seus significados soam misteriosamente, pois
tais expressões não são da mesma natureza
que os conceitos lingüísticos (cerveja, dinhei-
ro, boi, canoa, barranco) empregados diaria-
mente ou da mesma natureza que os concei-
tos matemáticos (número, grau, reta, epiciclo,
diferencial). 
1. Durante um teste, quando perguntados sobre
o que significava em Física afirmar-se que: “os
sistemas conservativos são aqueles em que se
verifica a conservação da energia mecânica”,
quatro alunos responderam que tal afirmação:
Aluno I – é uma constatação experimental.
Aluno II – é uma dedução.
Aluno III – é uma definição.
Aluno IV – é um postulado.
Na sua opinião, qual(ais) aluno(s) está(ão) cor-
reto(s)? Explique sua resposta.
Como se vê, os conceitos físicos não desig-
nam um fato bruto, mas sua representação pe-
lo pensamento, por meio de suas característi-
cas gerais. Um conceito é uma representação
intelectual de um objeto físico. O conceito de
linha de corrente, por exemplo, é uma repre-
sentação das trajetórias seguidas pelas par-
tículas de um fluido que serve para descrever
suas propriedades. 
É desse jogo intelectual que nascem as enti-
dades (conceitos) que inventamos e que irão
povoar o Universo. Enquanto símbolos, eles
são extremamente úteis para exprimir as rela-
ções matemáticas: os quarks, fótons, ondas de
probabilidade, saltos quânticos, força, inércia,
energia, campo, etc.
Outra particularidade relacionada ao conceito
é que um mesmo conceito pode reaparecer na
explicação de diversas situações. Os concei-
tos, por exemplo, de força, momento angular e
de átomo explicam inúmeras situações a partir
das condições de validade de uma determina-
da teoria física. Embora seja possível medir ou
atribuir valores a certos conceitos, nem sempre
é fácil defini-lo com palavras. Por exemplo, é
muito difícil definir o conceito de energia, carga
elétrica, temperatura, etc. Desse modo, um con-
ceito pode ser expresso por um código gráfico
ou matemático, ou por uma frase. 
Em resumo, numa ciência tão matematizada
como a Física, o simbolismo matemático para
ser aplicado à realidade deve ser interpretado
pela mente humana. 
A EXPERIMENTAÇÃO
Na elaboração convincente de uma teoria físi-
ca, três fatores interconectam-se e influenciam
mutuamente: a matemática, a experimentação
e a construção de modelos.
Entender a matemática como uma construção
humana ajuda-nos a melhor compreender, tam-
bém, outra característica fundamental da Físi-
ca: a experimentação. 
Não importa quão bela seja a teoria ou a equa-
ção matemática obtida! Em Física, tais idéias
precisam necessariamente ser testadas expe-
rimentalmente, de modo a assegurar seu do-
mínio de validade. É indispensável que não
nos esqueçamos de que o conhecimento ma-
temático não é algo com o qual nascemos ou
que exista predeterminado na mente humana.
Devemos tomar cuidado para não imaginar
que os axiomas e os teoremas matemáticos
sejam entendidos ou confundidos como ver-
dades a priori ou enunciados exatos acerca do
universo. 
Dessa maneira, o que denominamos de expe-
rimentação são observações que se efetuam
em condições controladas, ou seja, fenôme-
nos que podem ser reproduzidos. Essa é uma
das vantagens da experimentação, pois atra-
vés dela, o fenômeno pode ser recriado, as
condições diversificadas ou simplificadas, os
resultados aperfeiçoados, etc. 
1. Com o objetivo de determinar o período de
oscilação de um pêndulo simples, um aluno
listou 4 grandezas: comprimento do fio, massa
do pêndulo, aceleração da gravidade e o ângu-
lo (amplitude) de oscilação. Como ele deve
proceder experimentalmente para excluir as
grandezas que são irrelevantes na determi-
nação do período do pêndulo simples que exe-
cuta pequenas oscilações?
A importância da experimentação é tamanha
que, não há, na Física, campo no qual mais se
busque excelência do que no domínio experi-
mental. O que não falta é motivação para obter
os melhores resultados possíveis em termos
de precisão e significado teórico. A Física tem
o compromisso com a verificação e não com a
contemplação, de modo que devemos apelar
para a experiência em busca de uma resposta. 
De maneira sintética, pode-se dizer que exis-
tem basicamente dois tipos de experimenta-
ção: do tipo didático e do tipo de pesquisa. A
finalidade dos experimentos didáticos é fami-
liarizar o aluno com o manejos de técnicas, ti-
rar medidas, proceder a tratamento dos
dados em função das limitações dos instru-
mentos, traçar e interpretar gráficos, escrever
relatórios, etc. 
19
Física Fundamental – Os Fundamentos da Física
A experimentação que envolve pesquisa são
aquelas como as que foram realizados por Mi-
chelson e Morley, Yang e Lee, nas quais o Físi-
co se defronta com novos resultados, ou seja,
são experimentos que determinaram uma mu-
dança decisiva nos rumos da Física. 
Nesses casos, a predição teórica e a concor-dância do resultado experimental obtido não
se resumem a uma mera coincidência numéri-
ca. Os dados só servem de prova a uma
hipótese quando os interpretamos a partir de
uma formulação matemática apropriada; do
contrario, carecem de valor. Em outras
palavras, a compatibilidade entre a teoria e os
dados somente se verifica por métodos
matemáticos. Em suma, os dados não falam
por si sós, pois resultam da interação entre a
Natureza e o observador. 
1. O filme “Guerra nas Estrelas” apresenta cenas
de explosões com estrondos impressionantes,
além de efeitos luminosos espetaculares, tudo
isso acontecendo no espaço interplanetário.
Tais efeitos estão de acordo com as Leis da
Física? Justifique.
PROJETOS EXPERIMENTAIS
As atividades didático-experimentais aqui apre-
sentadas têm como principal objetivo propor-
cionar o contato do aluno com o fenômeno e,
a partir daí, buscar sua compreensão pela ação
e pela integração do saber com o fazer, e da
teoria com a prática.
A grande vantagem desse procedimento resi-
de no aprender a aprender compartilhado co-
letivamente entre professor-aluno, por meio:
1. do planejamento das atividades;
2. da escolha adequada dos procedimentos a
serem executadas;
3. da procura de solução própria para o prob-
lema;
4. da análise dos resultados e deduções con-
clusivas, etc.
Nesse estilo de condução, é fundamental o
envolvimento e a cooperação entre os
alunos juntamente com o acompanhamento
do professor na execução das atividades
programadas.
A escolha do desenvolvimento de atividades,
por meio de projeto, implica a superação da
tradicional “aulas de laboratório”, na qual a prá-
tica se submete a uma relação de dependência
com a teoria cuja finalidade é o de apenas con-
firmar ou reforçar a informação apresentada
em sala de aula, ou o que “está no livro”.
Nesse esforço de redimensionar as atividades
experimentais padronizadas, assumindo ações
abertas, liberam-se as habilidades e as criativi-
dades (manual e intelectual) dos alunos asfixi-
ados pelos roteiros do tipo “receitas de bolo”.
Para concretizar esse processo, são apresen-
tadas as seguintes atividades: 
MECÂNICA
1. Realização de uma experiência de Galileu
com o objetivo de examinar a aplicabilida-
de e a determinação quantitativa da rela- 
ção de uma esfera que se move ao
longo de um plano inclinado.
2. Desenvolvimento e apresentação de uma
impressionante demonstração, procuran-
do descobrir, por meio dos conceitos físi-
cos, o que está por trás do recorde de pú-
blico durante sua exibição.
3. Estabelecer o alcance máximo de um ob-
jeto uniforme maciço quando o fio no qual
20
UEA – Licenciatura em Matemática
ele se encontra amarrado é cortado
durante sua trajetória. 
4. Determinar qual deve ser a potência que
você deve fornecer para a roda traseira de
sua bicicleta de modo a ser capaz de man-
ter, numa pista horizontal, uma velocidade
de aproximadamente 12m/s. (DICA: para
evitar que sua cabeça crie muita turbulên-
cia, curve-se sobre o guidão e considere o
coeficiente de arrasto da ordem de 1,00 e
a área frontal igual a 0,463m².)
TERMODINÂMICA
1. Elabore um experimento com um líquido
(água, óleo, etc.) para reproduzir a experiên-
cia de Torricelli sobre a pressão atmosférica.
2. Faça uma prensa hidráulica (usando serin-
gas, por exemplo) para verificar o princípio
de Pascal.
3. Construa um calorímetro para medir o calor
específico de um corpo.
4. Elabore um experimento para observar a
dilatação térmica de um sólido ou de um
líquido.
5. Mostre como ocorre transmissão de calor
por convecção num gás sob aquecimento,
usando, por exemplo, latas de refrigerantes
em forma de cata-vento.
ÓPTICA
1. Para evidenciar a propagação retilínea da
luz, construa uma câmara escura de orifício.
Trata-se de uma caixa de paredes opacas
(pode ser uma caixa de sapatos) com um
pequeno orifício em uma das paredes. Faça
que a luz atravesse o orifício. Varie as di-
mensões do orifício. Tente prever o que ocor-
rerá com o feixe de luz ao passar pelo orifí-
cio. Como se comporta a luz? Em que situa-
ção o “desvio” da luz aumenta ou diminui?
Relate o que você observou.
ELETROMAGNETISMO
1. Em meados do século XIX, surgiu a hipóte-
se de que a energia poderia entrar ou sair
de um sistema por meio do calor e do traba-
lho realizado. Isso ocorreu em 1843, quan-
do surgiu, no meio científico, um artigo de
James Prescott Joule (1818-1889), com o
título: Sobre a produção de calor pela eletri-
cidade voltaica. Descreva em detalhes esse
fenômeno. 
Em que a estrutura da matéria influencia es-
se fenômeno? Cite exemplos claros de sua
aplicação.
2. As leis da indução eletromagnética propor-
cionaram um grande avanço para os nos-
sos dias. Após o advento da pilha elétrica,
uma imensa expectativa se formou em fun-
ção das possibilidades de desenvolvimento
na geração de energia elétrica. Mostre o
funcionamento de um motor elétrico, cons-
truindo um modelo simples desse aparato e
justifique seus princípios físicos.
APLICAÇÃO DAS LEIS DE MAGNETIZAÇÃO
Esta experiência exige material específico, que
nem sempre está disponível (ou acessível) e
nem sempre pode ser improvisado. No entanto
é uma atividade fascinante, pois envolve intera-
ções a distância, invisíveis e por isso tem caráter
mágico.
Vamos precisar de uma bobina de 300 espiras de
fio esmaltado de cobre de 1,5mm de diâmetro. O
comprimento da bobina é de cerca de 6cm, com
núcleo vazado de seção quadrada de 3cm de
lado, onde se encaixa um núcleo de ferro de pelo
menos 15cm de comprimento (podem-se empil-
har 2 ou 3 barras verticalmente para obter esse
comprimento). A ligação dos terminais da bobina
à rede elétrica deve ser feita com fio flexível, de
pelo menos 2mm de diâmetro, com um plugue
de boa qualidade para corrente de 15A. É interes-
sante usar um interruptor de campainha para a
mesma corrente.
Apóie a bobina sobre a mesa, de modo que o
núcleo de ferro fique na vertical e encaixado até
a base.
Agora você precisa de um anel de alumínio ou de
cobre, que envolva, com folga, o núcleo de ferro.
Você pode conseguir esse anel cortando uma fatia
de 1cm de um cano de alumínio ou de cobre com,
mais ou menos, 3 ou 4cm de diâmetro.
21
Física Fundamental – Os Fundamentos da Física
Ligue a bobina e coloque o anel no núcleo. Ele
não cai, mas fica levitando em volta do núcleo.
Desligue a bobina. O anel cai. Em seguida, ligue
novamente a bobina. O anel dá um violento sal-
to, atingindo uma boa altura.
Para estudar esse experimento, lembre que a
corrente elétrica da rede é alternada. Como vo-
cê pode “ver” esse fato? Pesquise as leis de
Faraday e de Lenz.
Se você tiver outro anel, serre-o e repita o ex-
perimento. O que ocorre? Por quê?
AVALIAÇÃO DO TRABALHO
Após a definição das equipes, estabeleça com
seu professor um planejamento para a exe-
cução da atividade (os prazos, as metas, a
construção de um calendário, o que estudar e
pesquisar, as formas de medição, etc.). 
Juntamente com os demais integrantes da equi-
pe, defina as atribuições de cada membro, a
seleção dos materiais e os instrumentos de
medidas, o local e a hora de trabalho e de estu-
do, etc.
A avaliação constará de dois momentos, em
datas a serem especificadas antecipadamente:
1. Entrega do relatório detalhando e compro-
vando todo o processo de desenvolvimento
do trabalho, ao qual devem ser anexados: as
etapas do planejamento e o calendário da
execução das ações; o cronograma de pla-
nejamento, as tabelas, os gráficos, as fotos,
os vídeos, etc.
2. Exposição do trabalho na forma de apre-
sentação de seminário.
CÁLCULO DA MÉDIA.
Será atribuída, para cada uma dessas ativi-
dades, uma nota de zero a dez.
A nota final será a media aritmética desses dois
momentos, que será atribuída a cada integran-
te da equipe.
MODELOS FÍSICOS
A compreensão dos mecanismosocultos e/ou
desconhecidos da Natureza, visando tornar os
fenômenos previsíveis, ocorre por meio da cons-
trução de modelos teóricos: um esquema con-
ceitual ou um conjunto de idéias extremamente
abstratos que a mente livremente inventa ou pos-
tula com a finalidade de ser capaz de explicar
e predizer, quantitativamente, o que o Universo
esconde em seu interior.
Um modelo é, pois, uma espécie de guia que
existe apenas na imaginação do cientista, que
emprega tanto para o estabelecimento dos pres-
supostos fundamentais de uma teoria, quanto
para a fonte de sugestões que permitem ampli-
ar ou romper essa teoria. Para descrever, por
exemplo, a natureza interior da matéria, admi-
te-se a existência dos quarks e, a partir daí,
constrói-se um modelo atômico para a matéria.
Esse ideal de tentar explicar a realidade por
meio da construção de entidades imaginárias
foi obra do filósofo grego Platão (séc.IV a.C.),
que propôs a seus discípulos que tentassem
“salvar o fenômeno” do movimento retrógrado
dos planetas admitindo, racionalmente, que eles
se movessem em círculos (ou como combina-
ção de vários movimentos circulares) em torno
da Terra com velocidades constantes. 
Na tentativa de satisfazer essa condição, o ma-
temático Eudóxio de Cnido propôs um modelo
geocêntrico para o movimento planetário, con-
stituído de 27 esferas homocêntricas. Posterior-
mente, Aristóteles e Calipo aperfeiçoaram o mo-
delo de Eudóxio, ampliando para um total de
55 a quantidade de esferas cristalinas. Seguin-
do adiante, Cláudio Ptolomeu, séc. II d.C., de-
senvolveu um modelo maravilhosamente edifi-
cado por meio das seguintes entidades geomé-
tricas: ciclos, epiciclos, deferentes e equantes.
Evidentemente que essas “rodas dentro de ro-
das” não existiam realmente no espaço, não
passavam de pura ficção matemática útil. 
22
UEA – Licenciatura em Matemática
Como se vê, o modelo não tem a pretensão de
retratar a realidade física, mesmo porque nem
a imagem necessita ser uma reprodução fiel,
nem muito menos direta de um objeto ou de
um sistema físico. A principal função de um
modelo é tornar visível ao “olho da mente” a
estrutura hipotética de um objeto de estudo. 
Assim, quando falamos no modelo de uma nu-
vem, não nos estamos referindo a uma nuvem
feita em escala com algodão. Estamos descre-
vendo o que acontece nas nuvens em função
de propriedades que podemos medir no labo-
ratório, das idéias e das Leis Físicas testadas,
que mostram as relações entre tais medidas.
No Universo Mecânico, o comportamento dos
fenômenos naturais que nos cercam é atribuí-
do a uma estrutura particulada da matéria.
Assim, uma vez admitido o conceito de partícu-
la como abstração útil para tratar a complexi-
dade das situações vividas, emprega-se na
descrição do movimento de qualquer móvel,
independente de seu tamanho, tal como o
movimento de um barco que se move pelo rio
Amazonas, a queda de um ouriço de castanha,
a órbita de um planeta. Isso equivale a predi-
zer, quantitativamente, a trajetória, a velocida-
de num dado instante de tempo, a aceleração,
etc. Com essa transição de um mundo real ao
imaginário, as leis do movimento tornam-se
aplicáveis a qualquer corpo.
Consideremos, por exemplo, o caso da cons-
trução de um modelo para um gás ideal. Caso
desejemos determinar, do ponto de vista mi-
croscópico, a energia interna U em termos das
variáveis macroscópicas P, V e T, devemos fa-
zer algumas suposições; uma delas é de que a
amostra do gás se constitui, numa primeira
aproximação, de partículas (pontos materiais). 
Ainda que, na Natureza, os processos macros-
cópicos sejam irreversíveis, com auxílio da Má-
quina de Carnot é possível construir o modelo
de um processo reversível capaz de auxiliar a
compreensão dos processos irreversíveis. 
Na época em que Maxwell estava desenvolven-
do sua teoria eletromagnética, modelos me-
cânicos utilizando o conceito de éter luminí-
fero, como meio propagador da luz, eram am-
plamente utilizados para produzir explanações
satisfatórias. 
1. Analise as duas declarações abaixo:
1.a afirmação:
“Na Teoria Cinética dos Gases, tal como se encon-
trava desenvolvida no século XIX, admitia-se que as
Leis de Newton para o movimento se aplicavam ao
estudo do movimento e das colisões entre molécu-
las”.
2.a afirmação:
“No século XX, verificou-se que a Mecânica New-
toniana era aplicável não apenas no estudo do
movimento molecular, mas também do movimento
dos átomos no seio das moléculas”. 
Com base nos seus conhecimentos, explique,
minuciosamente, se essas firmações são ver-
dadeiras ou falsas. 
Fazendo-se uso do formalismo matemático, o
conteúdo empírico (efeitos observáveis) de
uma teoria pode ser expresso por conjunto de
sentenças, em que os termos não interpreta-
dos do cálculo são substituídos por outros ter-
mos ou conceitos físicos já conhecidos. Pode-
mos obter, por exemplo, a equação de estado
do gás relacionando as variáveis macroscópi-
cas P, V e T.
Robert Boyle realizou muitas experiências
sobre a pressão dos gases e descobriu uma
Lei que leva seu nome. Encontrou que se o vo-
lume se reduz pela metade, a pressão aumen-
ta ao dobro. 
Assim, pela manipulação das equações, po-
demos fazer similitudes e analogias estruturais
e funcionais entre as propriedades do modelo
por meio das equações matemáticas que se
transferem para uma dada teoria Física. 
1. Esquematize um modelo que explique a Lei de
Boyle
23
Física Fundamental – Os Fundamentos da Física
O modelo, nesse sentido, é uma representação
do cálculo por meio de regra de correspondên-
cia com os termos da observação empírica que
descrevem um dado fenômeno, cuja teoria pre-
tende explicar. Por exemplo, uma regra de cor-
respondência, expressando uma relação dire-
tamente proporcional, pode servir para coor-
denar o conteúdo empírico, por exemplo, tem-
peratura, com o termo designado de energia
cinética. De modo que podemos também ex-
pressar que a “temperatura de um gás é dire-
tamente proporcional à energia cinética média
das moléculas de um gás”. 
Em vista disso, uma equação do tipo, por exem-
plo, X¨+ n2X = 0 pode representar, numa pri-
meira aproximação, o movimento de um sis-
tema massa-mola ou de um pêndulo. Todavia
sabe-se que, para esse modelo adequar-se aos
resultados empíricos, ele precisa sofrer modifi-
cações.
1. Indique algumas vantagens e desvantagens
dos modelos teóricos.
2. Faça a distinção entre modelo físico-teórico e
modelo matemático 
3. Quando você se movimenta numa moto ou
quando põe sua mão para fora da janela de um
ônibus em movimento, você não sente nenhu-
ma partícula colidindo contra seu corpo?
Então, qual são as vantagens e as desvanta-
gens de se aplicar o modelo de partícula no
estudo dos fluidos?
4. Perguntado sobre quais fenômenos o modelo
corpuscular da luz explica de modo simples e
correto, um aluno enumerou os seguintes fenô-
menos:
I. Propagação retilínea.
I. Produção de sombra e penumbra.
III. Reflexão.
IV. Refração.
VI. Interferência.
VII. Polarização.
Você concorda com as indicações do aluno?
De qual você discorda? Explique sua resposta. 
OBJETIVOS DA MECÂNICA
O tema que analisaremos, durante nossas au-
las, é a Mecânica Newtoniana, também deno-
minada de Mecânica Clássica, por ter sido a
primeira ciência a se constituir como uma teo-
ria cientifica madura e sobre a qual foi edifica-
da toda uma Filosofia da Natureza e o maravi-
lhoso edifício da Física Moderna. Por con-
seguinte, essas Notas de Aulas focalizarão o
estudo dos conceitos fundamentais, das leis e
teorias da Mecânica Newtoniana, visando esta-
belecer uma conexão entre o mundo dos fenô-
menos e o mundo das idéias. 
Os princípios da Mecânica Newtoniana apli-
cam-se não somente à Estática e à Dinâmica,
mas à Acústica, à Óptica, à Termodinâmica e
ao Eletromagnetismo. Seus princípiosesten-
dem-se também aos fenômenos astronômicos,
constituindo-se na chamada Mecânica Celes-
te. As leis de Conservação desempenham um
papel fundamental na Mecânica Quântica. 
Uma outra razão da importância dos estudos
da Mecânica justifica-se pelo o fato de que, foi
a maravilhosa estrutura conceitual da Mecâ-
nica que fomentou e potencializou a revolução
cientifica no início do século passado, com o
aparecimento da Teoria da Relatividade e da
Mecânica Quântica como novas e importantes
áreas de Física. 
Finalmente, o aspecto mais importante para a
Humanidade talvez tenha sido a visão da Me-
cânica como companheira inestimável e aliada
inseparável na busca de soluções que respon-
dam às necessidades práticas do Homem. Não
há a menor dúvida de que, na luta pela sobre-
vivência, o ser humano tenha recorrido aos
princípios da Mecânica para ajudá-lo. Nota-se
isso na construção de abrigos, casas, templos,
represas e embarcações; no desenvolvimento
de equipamentos para erguer e deslocar
coisas; no estabelecimento de processos de
orientação geográfica. 
Do ponto de vista intelectual, a Mecânica, tam-
bém foi indispensável para que o ser humano
formasse uma compreensão dos fenômenos
que o cercam, como, por exemplo, a regulari-
dade dos movimentos dos corpos celestes. 
O campo de abrangência da Mecânica está
intimamente associado ao estudo do fenôme-
no do movimento. O movimento, por constituir-
se num dos fenômenos que, indubitavelmente
24
UEA – Licenciatura em Matemática
o que mais presenciamos ao nosso redor, nos
coloca frente a frente com algumas das mais
profundas questões acerca do Universo. 
O mais extraordinário nessa busca é, por
exemplo, descobrirmos que o movimento de
uma pedra pode conter os segredos do movi-
mento planetário. Como acreditar que, por trás
desse movimento tão simplório e corriqueiro,
estejam envolvidos conceitos acerca da natu-
reza do espaço e do tempo?
A aplicação dos conceitos da Mecânica, entre-
tanto, não se reduzem apenas à compreensão
de fenômenos do mundo físico cotidiano, eles
são essenciais também para o entendimento de
fenômenos em escalas atômicas e cósmicas. 
O conceito de energia, por exemplo, é essen-
cial para o estudo da evolução do universo,
das propriedades das partículas elementares,
dos mecanismos que regem as reações bio-
químicas; é essencial também na análise do
crescimento das sociedades industriais, no
“design” de construção de motores, etc.
Portanto qualquer Curso de Física Fundamen-
tal deve fornecer uma visão geral da estrutura
e dos métodos da Mecânica Newtoniana que
fizeram dela uma ciência tão bem-sucedida.
No entanto é um equivoco esperar que este
curso apresente adequada e rigorosamente to-
do o conteúdo abrangido pela Mecânica New-
toniana. Para que tenhamos um bom Curso de
Física Fundamental, vamos priorizar e enfatizar
os conceitos, as leis e as teorias básicas da
Mecânica Newtoniana. 
Por fim, chamamos a atenção para o fato de que
estas Notas de Aulas estão estruturadas e con-
struídas diferentemente da tradição dominante.
Optamos pela apresentação de um tratamento
unificado e global da estrutura sobre a qual se
assenta a Mecânica Newtoniana, dadas as suas
similaridades conceituais e matemáticas. 
Para melhor compreender as idéias presentes
nas teorias da Mecânica Newtoniana, tentare-
mos abordá-las, sempre que possível, sob
uma perspectiva histórica: como foram cons-
truídas, tomaram forma, rompem os obstácu-
los epistemológicos e desaparecem. 
O conhecimento da evolução das idéias ajuda-
nos, por exemplo, a compreender o ponto de
vista aceito modernamente de inércia. Outras
vezes, análise de casos bem particulares
(queda livre) pode também ser um ponto de
partida valioso para a discussão geral de uma
Lei Física, por exemplo, a Lei da Gravitação
Universal. Muitos conceitos físicos podem tor-
nar-se familiares por meio da abordagem unidi-
mensional do problema em vez da análise ime-
diata em três dimensões; exemplo: o conceito
de quantidade de movimento. 
Apesar de toda essa importância e riqueza
conceitual da Mecânica Newtoniana, não po-
demos esquecer que todas as teorias físicas
possuem um domínio de validade, isto é, são
aplicáveis até um certo limite. Fora desse do-
mínio, não há garantia de sobrevivência, e a
análise do fenômeno requer outro tratamento,
outra teoria, outros equipamentos experimen-
tais, etc. O esquema abaixo, mostra, de forma
quantitativa, os intervalos de validades para as
diversas áreas da Física. 
DOMÍNIO NÃO-FÍSICO!?
Na passagem de um domínio de estudo para a
outro, embora as teorias físicas utilizem termos
comuns, seus significados são diferentes. Por
exemplo, na análise dos movimentos com ve-
locidades próximas à da luz (c = 3x108 m/s), os
conceitos básicos da Mecânica Newtoniana re-
querem uma drástica modificação. Na Me-
cânica Newtoniana, o espaço é absoluto e Eu-
clidiano, enquanto na teoria de Einstein, o
espaço é curvo. Um extraordinário contraste,
não é mesmo? 
Atente para este outro exemplo: de acordo
com a Teoria da Relatividade Geral, a matéria é
um aspecto do espaço – tempo (que é contín-
uo e determinista) enquanto na Mecânica
Quântica, a matéria é descontínua ou particula-
da dotada de características ondulatória e fun-
damentalmente não determinante.
25
Física Fundamental – Os Fundamentos da Física
TEMA 02 
FUNDAMENTOS DA TEORIA
ELETROMAGNÉTICA
O que é eletricidade ?
É quase impossível pensarmos em um mundo
sem energia elétrica. Com exceção dos fenôme-
nos governados pela força gravitacional (que-
da dos corpos e movimento dos planetas),
praticamente todos os fenômenos físicos e quí-
micos que observamos em nosso cotidiano
são regidos pelas forças elétricas.
Os fenômenos elétricos são inumeráveis: a ele-
tricidade produz-se espontaneamente sobre a
terra e na atmosfera; circula em forma de cor-
rente, criada por pilhas, dínamos; encontramo-
la nos dispositivos que produzem raios X, on-
das de rádio, raios catódicos e nas emissões
de radiações por substâncias radioativas.
Para compreender a eletricidade, precisamos
de uma abordagem gradativa, em etapas, em
que cada conceito servirá de alicerce para o
outro.
Então, muita calma nessa hora!
Ao estudar conceitos básicos, se você for rápi-
do em excesso, eles podem tornar-se difíceis,
confusos e até mesmo frustrantes.
Os conceitos que veremos tiveram origem
numa estranha propriedade de uma resina ao
ser esfregada em um pedaço de lã: o âmbar,
que tinha a capacidade de atrair para si
pequenos objetos. 
Iniciou-se, então, uma nova ciência – a eletrici-
dade.
O ÂMBAR
Desde a antiguidade, dos antigos povos gre-
gos até os nossos dias, sempre houve a con-
vicção de que a eletricidade é uma proprie-
dade da matéria. O que significa que sua inter-
pretação, sua explicação, dependeria da com-
preensão da estrutura elementar da matéria.
E logo se descobriu, por meio de ensaios ex-
perimentais, que são as nossas ações sobre a
matéria que evidenciam essa propriedade. Daí,
as idéias, as hipóteses teóricas, os ensaios
experimentais dos fenômenos de natureza elé-
trica foram os mais variados, no entanto nem
sempre se obteve muito sucesso. 
Alguns filósofos da Grécia antiga, entre eles
podemos citar Tales de Mileto, cerca de 630
a.C., já sabiam que o atrito comunica ao âmbar
(resina fóssil de pinheiro, de cor amarela
translúcida) a propriedade singular de atrair os
corpos leves e de produzir faíscas quando dele
se aproxima o dedo.
Eles já admitiam que a matéria deveria ser for-
mada por minúsculas partículas indivisíveis.
Mas foi no fim do século XVIII e início do sécu-
lo XIX, devido aos trabalhos dos cientistas
Lavoisier, Proust e Dalton, que se chegou à con-
clusão de que todo e qualquer tipo de matéria
é formado por partículas extremamente peque-
nas denominadas átomos. 
Veja que essa idéia voltao olhar da comu-
nidade científica para o mundo microscópico,
“o mundo que não se vê”, ou seja, “o mundo
invisível” formado por átomos que vão compor
o mundo macroscópico, “o mundo que se vê”. 
Foi desse modo que se originou a teoria atômi-
ca, cujas idéias básicas são válidas até hoje. E
com ela, a certeza de que a eletricidade é uma
propriedade das partículas elementares que
compõe o átomo. 
Segundo o modelo atômico atualmente
aceito, o átomo é formado por três tipos de
partículas: prótons e nêutrons, que formam
um núcleo compacto, em torno do qual cir-
cundam os elétrons. E essas constituem a
matéria macroscópica.
Na figura a seguir, como exemplo, temos o
átomo de lítio: à esquerda, neutro, com três
prótons no núcleo e três elétrons circundando
esse núcleo. Ao centro, um íon positivo é obti-
do removendo-se um elétron do átomo neutro.
À direita, um íon negativo é obtido adicionan-
do-se um elétron ao átomo neutro.
26
UEA – Licenciatura em Matemática
No decorrer do tempo, experiências foram fei-
tas, demonstrando-se que prótons e elétrons se
atraem; também comprovaram que prótons, ao
interagirem, repelem-se, e que os elétrons tam-
bém se repelem mutuamente. Os nêutrons não
sofrem nenhuma força, a não ser a gravita-
cional, no entanto desempenham importante
papel ao aumentar a distância entre os prótons. 
A propriedade fundamental e característica
que produz a atração e a repulsão entre essas
partículas é chamada Carga Elétrica. 
AS INTERAÇÕES ENTRE AS CARGAS
Inúmeras partículas positivas e negativas estão
unidas pela imensa atração da força elétrica.
Nessa imensa massa compacta, que mais pa-
rece um formigueiro de partículas negativas e
positivas, as enormes forças elétricas equili-
bram-se quase que perfeitamente. Esse, formi-
gueiro são os átomos que constituem a matéria.
Quando dois ou mais átomos se juntam para
formar uma molécula, ela também é constituída
de partículas positivas e negativas equilibradas.
Assim como estão equilibradas as forças elétri-
cas quando trilhões de moléculas se juntam
para formar um pedacinho de matéria.
Preste atenção! Entre dois pedaços de maté-
ria, praticamente não há atração ou repulsão
elétrica, pois cada um deles está em equilíbrio
eletrostático, ou seja, cada um possui o mes-
mo número de partículas positivas e negativas.
Podemos usar os corpos celestes como exem-
plo. Entre esses corpos, não há qualquer resul-
tante da força elétrica. A força gravitacional,
muito mais fraca e sempre atrativa, é que fica
como a força predominante entre esses cor-
pos. Como foi definido e demonstrado por
nosso tutor maior, Isaac Newton, em sua
grande obra O Princípia.
Mais adiante, entraremos em maiores detalhes
e estudaremos a respeito das cargas elétricas
e as suas interações.
Em 1770, aproximadamente, Benjamim Fran-
klin, o inventor do pára-raios, fazia experiên-
cias com a eletricidade das nuvens por meio
de um papagaio. Franklin pode ser considera-
do um dos pioneiros no estudo científico da
eletricidade. Foi ele quem primeiro usou os ter-
mos positivo e negativo, que prevalecem até
os dias de hoje. A escolha por representar as
cargas com sinais matemáticos era em função
do saldo ou déficit de eletricidade em um
corpo, mas indica também a preocupação dos
físicos, já naquela época, em descrever mate-
maticamente os fenômenos físicos.
A partir daí, Charles Augustin de Coulomb
(1736-1806), estabeleceu a lei quantitativa, a
partir da qual uma teoria matemática determina
a quantidade elétrica, a força, o trabalho, o
potencial, etc., isto é, o Campo Elétrico.
A MAGNETITA
Depois, foi constatado que os ímãs em forma
de barras, ao serem suspensos de maneira a
girarem livremente, giravam e se orientavam na
direção norte-sul da Terra. Essa propriedade
possibilitou a construção das bússolas, instru-
mento de excepcional importância para as
grandes navegações.
27
Física Fundamental – Os Fundamentos da Física
O ELETROMAGNETISMO
Como podemos perceber, a eletricidade e o
magnetismo eram tidos como questões distin-
tas. Possuíam ‘causas’ diferentes. Do século VI
a.C. até o fim do século XVI, nenhuma expli-
cação desses fenômenos havia sido dada.
Porém, mesmo assim, várias experiências
obtiveram resultados práticos: Alessandro
Volta (1745-1827), cientista italiano e pesqui-
sador experimental da eletricidade, descobre a
pilha, e a eletricidade, até então estática, passa
a ser dinâmica, fluindo através dos condutores
e estabelecendo fenômenos magnéticos, calo-
ríficos, químicos, etc. Esse advento marca nova
etapa: a Corrente Elétrica. As pesquisas de
André Marie Ampère (1775-1836) marcam os
estudos sobre o Campo Magnético da cor-
rente elétrica, explicando-os e estabelecendo
as leis que definem qualitativa e quantitativamen-
te o campo magnético da corrente. Em 1820, o
dinamarquês Hans Christian Oersted (1777-
1851) mostrou uma conexão entre o efeito elé-
trico e o efeito magnético em um experimento
que possibilitou a construção dos motores elé-
tricos e do telefone. A partir de então, os cam-
pos elétrico e magnético são inseparáveis e
constituem o Eletromagnetismo.
TEMA 03 
OS ALICERCES DA MECÂNICA DOS FLUIDOS
ARISTÓTELES (384 – 322 a.C.) apresentou al-
guns conceitos referentes ao movimento dos
projéteis e à resistência do ar, embora muita
coisa que ele pressupôs mostrou ser equivoca-
da. Mas ele argumentou que os fluidos devem
ser contínuos, isto é, por pequena que seja
uma porção do fluido, mesmo assim ela é ainda
divisível. Em geral, todas as suas concepções
físicas pressupunham a existência de um meio
material em que os corpos se movem. Ele con-
siderava que, em ausência de um meio materi-
al, o movimento de um corpo se daria com ve-
locidade infinita (sabemos que isso não está
correto). Pelos estudos de Aristóteles, verifica-
mos que ele estava envolvido com os primeiros
passos da mecânica dos fluidos.
ARQUIMEDES viveu aproximadamente entre
287 a 212 a.C., na cidade de Siracusa, na Gré-
cia. Era matemático e engenheiro, fez seus es-
tudos em Alexandria. Podemos dizer que foi o
primeiro a examinar a estrutura interna dos
líquidos. Ele chegou a afirmar que os fluidos
não podem ter espaços vazios internamente,
significando que eles devem ser contínuos. Ele
teve também noção da pressão hidrostática de
um fluido e de sua transmissão em todos os
sentidos. No tratado de Arquimedes, intitulado
Sobre os Corpos Flutuantes, ele apresenta o
atualmente chamado de Princípio de Arquime-
des. Na realidade, o trabalho de Arquimedes é
conseqüência de várias proposições que ele
faz no tocante ao comportamento dos sólidos
em um fluido.
Seu estudo mais famoso consta de um proble-
ma apresentado pelo rei Hierão II: descobrir se
a coroa encomendada pelo soberano a um
ourives era de ouro maciço ou se o artesão
misturou prata em sua confecção. A solução
do problema ter-lhe-ia ocorrido por acaso, em
uma casa de banho, ao perceber que o volume
da água derramada da banheira cheia era o
próprio volume de seu corpo. A euforia pela
28
UEA – Licenciatura em Matemática
descoberta fê-lo sair pelas ruas, sem roupa,
gritando: Heureka! Heureka! Arquimedes mer-
gulhou a coroa num recipiente com água e
mediu o volume derramado; a seguir mergu-
lhou blocos de ouro maciço e de prata maciça
com pesos iguais ao da coroa, medindo os vo-
lumes derramados. O volume derramado pela
coroa, ficou entre os volumes derramados pe-
los blocos de ouro e de prata, evidenciando a
fraude do ouvires, que teria sido condenado à
morte por esse motivo. 
HERON DE ALEXANDRIA (viveu por volta do
século II d.C.) também deu contribuição para o
estudo aplicado da mecânica dos fluidos.
Descreveu diversos mecanismos, em que se
utilizava ar aquecido ou ar comprimido e vapor.
A Máquina de Heron é uma antepassada das
turbinas modernas. Os romanos, apesar de te-
rem criado algumas formidáveisobras de en-
genharia, como os famosos aquedutos que
abasteciam Roma.
LEONARDO DA VINCE (1425 – 1519) foi uma
mistura de cientista, engenheiro, inventor, filóso-
fo e artista, interessando-se por muitos assuntos.
No que concerne aos rios, Leonardo disse exis-
tir uma lei geral: onde a corrente transporta uma
grande quantidade de água, a sua velocidade é
maior e vice-versa. Em seus manuscritos, ele for-
mula a mesma idéia de modo diferente: onde o
rio se torna mais estreito, a água flui mais de-
pressa. Por isso, Leonardo chegou à lei:
vA = constante
SIMON STEVIN viveu entre 1548 a 1620, era
matemático, pode ser considerado o pioneiro
no estudo do equilíbrio dos líquidos. No fim do
século XVI, a ciência italiana apresentou um
período de relativa estagnação; por isso, o
centro do movimento científico transferiu-se
para a Holanda, onde, em 1581, Simon Stevin
estudava na Universidade de Leyden, tornando
se um grande professor de Matemática. Além
de realizar importantes trabalhos de Matemá-
tica, Stevin deu uma grande contribuição ao
desenvolvimento da mecânica, principalmente
no que se refere à estática dos sólidos e dos lí-
quidos. Na sua obra, destacam-se três impor-
tantes publicações: Princípios de estática, uma
espécie de continuação dos trabalhos de Ar-
quimedes (teoria da alavanca, centro de gravi-
dade dos corpos, etc., e o teorema dos planos
inclinados), Aplicações de estática e Princípios
de hidrostática, uma importante contribuição
ao estudo da hidrostática, entre outros assun-
tos, tratando sobre o deslocamento de corpos
mergulhados em água e a explicação do
paradoxo da hidrostática – a pressão de um
líquido independe da forma do recipiente,
depende apenas da altura da coluna líquida.
Influenciado pelas teorias de Da Vince,
pesquisou o comportamento hidrostático das
pressões, divulgando o princípio do paralelo-
gramo das forças.
Embora preocupado com temas teóricos,
Stevin era um homem de ação, não tendo aban-
donado nunca as questões de ordem prática.
Tanto que se deve a ele a demonstração do
fato de que um barco é mais estável quanto
mais baixa a posição de seu centro de gravi-
dade. E também a demonstração de que o
centro de gravidade do barco deve situar-se
mais abaixo que o centro de gravidade da
água deslocada pelo casco. A maior invenção
desse grande cientista foi um veículo construí-
do para Maurício de Nassau, em 1600, dentro
do qual cabiam 28 pessoas e que nenhum ca-
valo podia alcançar.
GALILEU GALILEI (1564 – 1642), tentando
entender o princípio de funcionamento do
sifão, utiliza o conceito de velocidade virtual:
uma pequena massa de líquido (contida num
tubo estreito) pode ficar em equilíbrio com
uma grande massa de líquido (contida num
grande recipiente), pois uma pequena descida
do nível do líquido no recipiente corresponde
a uma grande subida do líquido no tubo.
Essas observações e inferências permitiram a
Galileu apresentar uma nova abordagem para
os conceitos da hidrostática de Arquimedes,
pois o próprio Arquimedes usara outro pro-
cedimento, ou seja, ele partiu de consider-
ações estáticas, propriamente ditas, ao passo
que Galileu, trabalhando com o conceito de
velocidade virtual, utiliza um raciocínio com
base na cinemática.
29
Física Fundamental – Os Fundamentos da Física
BENEDETTO CASTELLI (1577–1644) foi autor
de um tratado sobre medições de água cor-
rente (Della misura dell’ácque correnti, 1628).
Ele utiliza a lei de Leonardo da Vinci: 
Av = constante.
EVANGELlSTA TORRICELLI viveu entre 1608
–1647, físico italiano, foi discípulo de Galileu,
tornando-se seu secretário nos últimos anos de
vida do notável cientista e sucedendo-o no car-
go de matemático na corte de Florença. Tam-
bém é conhecido como precursor de Newton e
Leibniz no desenvolvimento do cálculo infini-
tesimal; foi ele o responsável pela compro-
vação do peso do ar.
Torricelli conseguiu resolver um problema que
foi proposto a Galileu pelo duque de Toscana.
Este mandou abrir poços muito profundos, com
cerca de 15m de profundidade, e a água só
conseguia subir, através de tubos, até a altura
de 10m quando bombas aspiravam o ar dos
tubos. A explicação dada por Torricelli foi de
que a pressão exercida por uma coluna de
água de 10m de altura contrabalançava a pres-
são exercida pelo ar atmosférico. Estabeleceu
a idéia de pressão atmosférica e, para compro-
var sua teoria, realizou a famosa experiência
com um tubo de mercúrio, em vez de água.
Como o mercúrio tem densidade 13,6 vezes
maior do que a da água, Torricelli concluiu que
a coluna de mercúrio que deveria contraba-
lançar a pressão atmosférica deveria ter uma
altura de 76cm; com essa experiência, compro-
vou suas hipóteses. Ocorreu-lhe ainda que a
pressão atmosférica deveria mudar com a alti-
tude, o que foi comprovado posteriormente por
Pascal.
BLAISE PASCAL viveu entre 1623 e 1662;
matemático, físico e filósofo francês, foi o autor
da famosa frase: “O coração tem razões que a
própria razão desconhece”. Seus trabalhos em
Matemática e Física foram notáveis. Inventor
da primeira máquina de calcular, patenteada
com o nome de “La Pascaline”, tornou pratica-
mente possível a estrutura das modernas cal-
culadoras. Deu uma contribuição para o estu-
do do cálculo combinatório e para a teoria das
probabilidades. 
No campo da Física, sua tendência foi de va-
lorizar a experimentação. Pascal preferiu de-
dicar-se a experiências diretas, principalmente
porque havia decidido resolver alguns proble-
mas sobre os quais os cientistas discutiam há
bastante tempo, sem conseguir chegar a uma
conclusão definitiva. Na hidrostática, ele esta-
beleceu que a pressão exercida em um ponto
de um líquido transmite-se a todos os outros
pontos. Prosseguindo os estudos de Torricelli,
Pascal usou o dispositivo criado pelo cientista
italiano como barômetro, comprovando, expe-
rimentalmente, que a coluna de mercúrio dimi-
nui à medida que se escala uma montanha.
Concluiu, desse modo, que a pressão atmos-
férica diminui com o aumento da altitude.
DANIEL BERNOULLI (1700–1782), em seu
livro Hydrodynamica, publicado em 1738, estu-
da a relação entre a pressão e a velocidade
num líquido ideal (viscosidade nula e incom-
pressível), ao longo de um tubo horizontal, que
parte do fundo de um reservatório. 
No entanto a “equação de Bernoulli”, que é
conhecida hoje, não foi obtida diretamente por
Bernoulli, mas sim por Joseph Louis Lagrange
(1736–1813), com base na integração das equa-
ções diferenciais de Leonhard Euler (1707
–1783), utilizando uma matemática mais avan-
çada. Euler foi o grande arquiteto da Mecânica
dos Fluidos. A equação de Bernoulli pode ser
considerada a equação fundamental da hidro-
dinâmica dos escoamentos laminares de flui-
dos ideais não compressíveis.
O físico italiano GIAMBATTISTA VENTURI
(1746–1822) combinou as leis de Leonardo da
Vince e de Bernoulli-Lagrange com o manôme-
tro de Torricelli, construindo um dispositivo
chamado tubo de Venturi, que serve como um
dispositivo para medir a velocidade de escoa-
mento do fluido. 
Em fins do século XVIII, a hidrodinâmica havia
chegado a um ponto a partir do qual qualquer
desenvolvimento posterior do assunto exigiria
a introdução da viscosidade em suas equa-
ções. Com isso, a manipulação matemática do
assunto ficou muito mais complicada, mas tor-
nou-se necessário assim proceder. Esta será a
contribuição do século XIX e do século XX.
30
UEA – Licenciatura em Matemática
JEAN LE ROND D’ALEMBERT (1717–1783),
estudando a resistência experimentada por um
corpo sólido que se move com velocidade cons-
tante num fluido ideal e incompressível (fluido
ao qual se aplica a equação de Bernoulli) ficou
surpreso ao constatar, depois de rigorosa aná-
lise matemática do problema, que essa resis-
tência seria nula. Esse resultado é um para-
doxo, pois, experimentalmente constata-se que,
apesar de tudo, essa resistênciaexiste e cres-
ce com a velocidade com o que o corpo se
move em relação ao fluido.
No século XIX, foi desenvolvida uma célebre
equação para os fluidos viscosos: equação de
NAVIER- STOKES, mas, por se tratar de uma
equação não-linear, ela é de difícil solução.
Muitos casos de interesse técnico não pode-
riam ser resolvidos por meio dessa equação.
Sendo assim, os engenheiros, interessados em
casos concretos de aplicação da mecânica
dos fluidos, mostraram-se decepcionados com
a hidrodinâmica clássica. Havia belas equa-
ções matemáticas, mas pouco adequadas pa-
ra seus fins práticos.
31
Física Fundamental – Os Fundamentos da Física
UNIDADE II
As Forças Fundamentais da Natureza
35
Física Fundamental – As Forças Fundamentais da Natureza
TEMA 01
O CONCEITO DE FORÇA
INTRODUÇÃO
O conceito de força é primário e, como tal, ca-
rece de definição. Desde a infância, estamos
acostumados a associar, de forma intuitiva e
subjetiva, o efeito cinestésico proveniente do
esforço muscular que exercemos para, por
exemplo, empurrar, puxar ou erguer um deter-
minado objeto. Da experiência cotidiana tam-
bém aprendemos a avaliar qualitativamente o
efeito da direção da força, pois, ainda que o es-
forço muscular exercido seja o mesmo, a dire-
ção da força para empurrar um corpo sobre
uma superfície não é a mesma para erguer o
corpo. Assim, sem saber, você aprende, desde
cedo, a associar à Força uma intensidade e
uma direção. Uma força, portanto, é uma ação
que deforma, movimenta ou muda o estado de
movimento e de repouso de um corpo. 
1.1 AS FORÇAS FUNDAMENTAIS DA NATUREZA
Predizer os movimentos a partir do conheci-
mento das Forças de modo a determinar a tra-
jetória é uma das mais importantes aplicações
da Física. Se cada par de partículas no Uni-
verso tivesse sua interação característica, a ta-
refa tornar-se-ia impossível, pois colocar em
ordem todas as observações experimentais pa-
ra encontrar a força pode transformar-se numa
tarefa extremamente tediosa e difícil. Felizmen-
te, a natureza é um sistema muito mais simples
do que isso.
Até onde sabemos, existem quatro tipos dife-
rentes de interações fundamentais no Univer-
so: a gravitacional, a eletromagnética, a força
nuclear forte e a força nuclear fraca.
As interações gravitacionais e eletromagnéti-
cas podem atuar a grandes distâncias, pois
decrescem com o inverso do quadrado da dis-
tancia. Contudo a força gravitacional é sempre
atrativa, enquanto que a força eletromagnética
pode ser atrativa e repulsiva.
Na natureza, a interação que nos é mais fami-
liar é a Interação Gravitacional. Na realidade,
não “sentimos” essa interação; o que presen-
ciamos são forças de interação de contatos
(compressões, trações ) que costumam equili-
brar-se nas nossas atividades diárias; é a força
resultante da interação gravitacional (ou peso).
A FORÇA OU INTERAÇÃO GRAVITACIONAL
deve-se a ação das massas (m) e apresenta as
seguintes características:
1. É uma interação atrativa.
2. Varia com o inverso do quadrado da distân-
cia (F α 1/r2 ). (Figura 01)
3. É sensível se pelo menos uma das partícu-
las tiverem uma massa muito grande.
4. É a que mantêm os planetas em órbita ao
redor do Sol, mantêm-nos ligados à Terra e
produz as marés. 
Fig. 1
FORÇA PESO
Quando um objeto cai em queda livre, a força
que atua sobre ele é de atração gravitacional
com que a Terra puxa o corpo para baixo. Essa
Força que atua sobre o corpo verticalmente pa-
ra baixo na direção do centro da Terra é o que
denominamos de “Peso de um corpo”, dado
pela seguinte relação: Fg = Peso = m.g. 
Desse modo, se você conhece a massa do cor-
po e o valor da aceleração da gravidade (g) de
uma determinada localidade, você pode deter-
minar a massa ou peso do corpo. Assim, o
peso do corpo muda quando o transportamos
da Terra à Lua. Entretanto a massa do corpo
permanece constante. O peso é a força da gra-
vidade atuando sobre um objeto (quer ele este-
ja caindo ou não). A massa de um corpo, entre-
tanto, é uma propriedade intrínseca do corpo. 
36
UEA – Licenciatura em Matemática
CENTRO DE GRAVIDADE.
Ao nos referirmos à Força Gravitacional (Peso),
verificamos que a gravidade puxa todas as par-
tículas do corpo para baixo. Como a gravidade
age de maneira diferente sobre cada partícula
do corpo, o peso de um corpo, ou seja, a resul-
tante de todas essas forças está aplicada num
determinado ponto geométrico do corpo. Por-
tanto denominamos de CENTRO DE GRAVI-
DADE o ponto no qual o peso está aplicado. 
Nos sistemas macroscópicos, a interação ele-
tromagnética de atração e de repulsão se can-
celam permanecendo, no entanto, a força gra-
vitacional. Por esta razão, a força gravitacional
domina a Escala Cósmica do nosso Universo.
Inversamente, o Universo ao nosso redor é do-
minado pelas interações eletromagnéticas
pois, numa escala atômica, elas mais intensas
que as forças gravitacionais. As interações
eletromagnéticas são responsáveis pela a
estrutura dos átomos, moléculas, formas mais
complexas de matéria e, também, pela a
existência da luz.
FORÇA (OU INTERAÇÃO) ELETROMAGNÉ-
TICA deve-se à existência de cargas elétricas
em repouso ou em movimento. Apresenta as
seguintes características :
1. Pode ser atrativa se as cargas tiverem sinais
contrários, ou repulsivas se as cargas tive-
rem os mesmos sinais.
2. Varia, também, com o inverso do quadrado
da distância.
3. É a responsável pelas chamadas forças de
contato, que se manifestam todas as vezes
em que dois corpos são comprimidos um so-
bre o outro. Por exemplo, um livro sobre uma
mesa.
4. Leva em conta atrito, tensão superficial, vis-
cosidade.
5. É a responsável pela rigidez e pela força elás-
tica dos materiais, a chamada “força de
tração”, que se manifesta nos fios, nas cor-
das, nos cabos, nas correntes.
1. Suponha que o nosso Universo não tenha a
força gravitacional e que somente as forças
eletromagnéticas mantenham todas as partícu-
las unidas. Admita que a Terra tenha uma car-
ga elétrica de 1 Coulomb. 
a) Qual deveria ser a ordem de grandeza da
carga elétrica do Sol para que a Terra tives-
se exatamente a mesma trajetória do uni-
verso real?
b) Se, neste estranho Universo, também não
existisse a força eletromagnética, certa-
mente não haveria nem o Sol e nem os pla-
netas. Explique por quê.
As forças de interação nuclear (forte e fraca)
têm um curto alcance, importante somente em
nível das distancias nucleares, da ordem de
10–15m. A força nuclear forte é a responsável
pela manutenção do núcleo atômico coeso.
Fora isso, seus efeitos são pouco perceptíveis
em nível dos fenômenos cotidiano.
A força nuclear forte apresenta as seguintes
características :
1. Tem alcance reduzido da ordem de 10-15m,
o que corresponde ao diâmetro do núcleo.
2. Existe unicamente entre certa classe de par-
tículas, conhecidas como HÁDRONS, que
se subdividem em:
i) MÉSONS – partículas ligeiras:
ii) BÁRIONS – partículas pesadas:
A força nuclear fraca desempenha uma função
fundamental para o entendimento dos fenôme-
nos radioativos, mas somente pode ser detecta-
da por meio de complexos experimentos. Ela é
menos conhecida e não muito bem compreen-
dida. Apresenta as seguintes características :
1. Apresenta um alcance muito reduzido, de
ordem 10–17m.
37
Física Fundamental – As Forças Fundamentais da Natureza
2. Manifesta-se somente em certos processos
de decaimento de partículas (desintegra-
ção, radioatividade beta).
3. É responsável pelo início da reação de
cadeia que leva à fusão nuclear, por meio
da qual o Sol nos alimenta de energia.
Somente para que você tenha uma noção de
intensidade dessas diferentes interações, com-
paremos o que ocorre quando se tem como
padrão a força entre dois prótons a uma distân-
cia de 10–15m. 
Nosso objetivo com esta síntese é compreen-
der como asforças que nos são familiares e
importantes no estudo da Mecânica podem ser
entendidas como manifestações macroscópi-
cas dessas quatro interações fundamentais.
Assim, podemos entender qualitativamente as
força de contato, tais como a força que um livro
exerce sobre uma mesa, a força numa mola, num
bastão, num barbante, num arame, viscosidade,
atrito, etc. Essas forças não são fundamentais,
elas surgem das forças elétricas que atuam de
maneira complicada entre uma enorme quanti-
dade de átomos. 
Grosso modo, podemos dizer que, num objeto,
os átomos mantém-se juntos devido a forças
interatômicas que tendem a mantê-los afasta-
dos de uma certa distância finita, denominada
de distância de equilíbrio. Assim, quando você
puxa um fio por uma de suas extremidades,
cada átomo puxa vigorosamente o seu vizinho,
de modo que o puxão se transmite à outra
extremidade, tal como ocorre com os elos de
uma corrente. A resultante de todas essas for-
ças elétricas atuando sobre os átomos aparece
sob a forma de uma força macroscópica, a
Tensão.
Outro exemplo de força de contato é a Com-
pressão. Nesse caso, o processo é o inverso:
quando se comprime um dos lado, cada átomo
empurra o seu vizinho, tendendo manter a se-
paração de equilíbrio, de modo que o empur-
rão é transmitido à outra extremidade.
A Força Normal é o resultado da força entre os
átomos de dois objetos. As regras empíricas
para uma força normal são de que a sua inten-
sidade depende de quão firme é o objeto pres-
sionado. A direção da Força normal é sempre
perpendicular à superfície
Além do seu papel de transmitir forças, a ten-
são e a compressão também podem alterar a
forma do corpo, alongando-o ou encurtando-o.
Pode-se obter uma explicação qualitativa do
que ocorre, considerando que em um fio, por
exemplo, sob tensão, cada átomo sofre um
pequeno deslocamento da sua posição de
equilíbrio. Apesar de as forças elétricas tenta-
rem restituir os átomos a suas posições de
equilíbrio, alguma elongação permanece
quando o fio está sob tensão.
O atrito é outro exemplo inescapável da força
produzida pela eletricidade. Ainda que superfí-
cies extremamente polidas possam parecer
lisas, quando examinadas por meio de micros-
cópios elas aparecem rugosas, repletas de sa-
liências e incontáveis irregularidades. Assim,
quando dois objetos são colocados em conta-
to, essas saliências microscópicas tendem a
entrelaçar-se ou mesmo soldar-se devido às
forças elétricas, dificultando o movimento rela-
tivo das superfícies em contato. 
Desse modo, quando um objeto desliza sobre
RELAÇÃO ENTRE AS FORÇAS FUNDAMENTAIS DA NATUREZA
38
UEA – Licenciatura em Matemática
outro, esses pequenos pontos de solda conti-
nuamente estão quebrando-se e recompondo-
se. Além disso, os obstáculos entrelaçados pre-
cisam ser superados por deformação ou abra-
são. O resultado dessas complexas causas é a
o atrito, ou seja, uma força paralela à superfície
que se opõe ao movimento do objeto.
Desde que a quantidade desses pontos
microoscópicos de soldas seja proporcional à
pressão do objeto sobre a superfície, a força
de atrito é proporcional à força normal sobre o
objeto. 
Observando-se o comportamento da força in-
teratômica entre dois átomos, pode-se obser-
var imediatamente o quanto ele é diferente da
Lei de Coulomb. Enquanto a Lei de Coulomb
cai com 1/r2, a força interatômica varia com
1/r–7. 
Estudos sobre a natureza microscópica da
matéria indicam que a atração a longo alcance
é resultado do cancelamento entre as atrações
e as repulsões entre os elétrons e os núcleos
de dois átomos; a repulsão, de curto alcance, é
governada por efeitos quânticos que tendem a
manter os elétrons dos dois átomos afastados.
Na ausência de perturbações externas na dis-
tância de equilíbrio (rO), a força elétrica é nula.
As grandes separações, como ocorre quando
um fio é puxado por uma de suas extremida-
des, são resistidas por forças atrativas de lon-
go alcance, o que fornece a tensão. Inversa-
mente, as pequenas separações, como ocorre
nas compressões, são resistidas por forças
repulsivas de curto alcance, que originam a
força normal.
O fundamento microscópico para a Lei de
Hooke pode ser explicado pelo comporta-
mento linear (reta tangente à curva) entre
força e deslocamento em torno do ponto de
equilíbrio (rO). 
Outros exemplos de forças de contato incluem
as forças existentes numa mola, numa corda,
numa vara, a viscosidade. 
Uma das grandes realizações do século XX foi
a de os físicos terem explicado as descobertas
empíricas dos cientistas do séculos anteriores
em termos das propriedades atômicas da ma-
téria. 
1.2 APLICAÇÃO DAS FORÇAS DE CONTATO
Como examinamos acima, apesar do notável
avanço na compreensão das forças fundamen-
tais, ainda hoje a dedução quantitativa das for-
ças de contato, a partir das forças fundamen-
tais, permanece difícil, e as velhas regras empí-
ricas continuam sendo usadas. Elas foram de-
duzidas pelos cientistas do século XVIII, que
não tinham nenhum conhecimentos das forças
fundamentais da natureza. Essas regras empí-
ricas não passavam de simples sumários dos
seus resultados experimentais.
Um exemplo de Força de Contato é aquela que
exercemos quando empurramos um objeto com
as mãos, ou chutamos uma bola. Tal força é o
resultado do contato direto do objeto com a
mão ou com o pé.
FORÇA ELÁSTICA 
Outra força de grande utilidade no estudo da
Mecânica é a Força Elástica. Ela resulta da de-
formação facilmente observada, por exemplo,
numa mola. Assim, quando se aplica uma for-
ça (F) à extremidade de uma mola, ela se esti-
ca de um determinado comprimento (x). Ces-
sando a aplicação da força, a mola retorna ao
seu comprimento inicial. Dada essa proprie-
dade, dizemos que a Força Elástica é uma for-
ça restauradora. Podemos, portanto, medir a
intensidade da força a partir da deformação da
mola. Experimentalmente, a Força Elástica (F)
é diretamente proporcional à deformação (x)
que ela produz. Em termos matemáticos, essa
relação é conhecida como Lei de Hooke: F =
K.x, onde K é uma constante que depende da
qualidade da mola. Dada essa propriedade, a
Força Elástica pode ser empregada na confec-
ção de dinamômetros (balança de mola), ins-
trumento utilizado para medir forças.
39
Física Fundamental – As Forças Fundamentais da Natureza
1. Relacione pelo menos uma das limitações da
Lei de Hooke
2. Descreva as etapas de uma experiência que
permita determinar a massa desconhecida (M)
de um objeto com ajuda da Lei de Hooke.
3. Como você poderia usar a lei de Hooke para
determinar, experimentalmente, a proporcio-
nalidade entre a massa e a aceleração de um
objeto?
FORÇA NORMAL E A FORÇA DE ATRITO.
As forças de contato são provenientes da ação
direta entre os corpos, como ocorre quando
um livro está sobre a mesa. Um efeito óbvio
das forças de contato é impedir que os corpos
se interpenetrem. À nível macroscópico, uma
forma particularmente conveniente de descre-
ver a força de contato entre duas superfícies
planas de dois sólidos envolve a decomposi-
ção (resolução), de uma força de contato em
duas forças: uma paralela à superfície de con-
tato, chamada de Força de Atrito, e a outra
exercida perpendicularmente pela superfície
sobre o corpo, denominada de Força (ou
Reação) Normal.
A causa das forças de atrito, já mencionadas,
são extremamente complexas. Do ponto de vis-
ta microscópico, as forças de atrito de desliza-
mento surgem das Forças Interatômicas que
soldam durante o deslizamento as incontáveis
rugosidades ou irregularidades que as superfí-
cies de contato apresentam. 
Todavia, do ponto de vista macroscópico, não
se leva em consideração a origem microscópi-
ca da força de atrito, operaremos com elas
como sendo uma força oposta ao movimento
relativo das superfícies de contato. Seu estudo
é feito em laboratório, ou seja, as leis que re-gem o comportamento do atrito são experimen-
tais, isto é, de caráter empírico, e as suas pre-
dições são aproximadas. 
Dessa experiência, constata-se que, dentro de
certos limites, a força de atrito de deslizamen-
to:
1. Depende da natureza das superfícies de con-
tato:
2. Depende das condições em que se encon-
tram as superfícies.
Isso explica, por exemplo, o fato de que a pre-
sença de óleo ou de água no asfalto diminuir o
coeficiente de atrito entre os pneus de um veí-
culo e a estrada.
3. Depende daa força de compressão que as
superfícies de contato exercem perpendicu-
larmente.
4. É independente da área de contato. 
A razão para isso é que, numa escala atômica,
a área de contato é uma fração diminuta da
área total.
A análise experimental detida da força de atrito
indica que a sua intensidade pode ser determi-
nada pela seguinte expressão: fatr ≤ µ.N, em
que (µ) é uma constante de proporcionalidade
chamada de coeficiente de atrito.
O gráfico ilustra o comportamento das forças
de atrito estático e cinético.
FORÇA DE ATRITO DEVIDO A UM FLUIDO.
Quando um objeto sólido, tal como uma pedra,
se move em um fluido (água ou gás), ele exer-
ce uma força de atrito sobre o objeto. O com-
portamento dessa força depende de muitos fa-
tores, inclusive da forma do objeto, da sua ve-
locidade e da própria natureza do fluido.
A propriedade de um fluido responsável pela
força é a viscosidade; por isso é que a força é
denominada de “força viscosa”, “força de arras-
te” ou “força retardadora”. 
Quando um objeto se move, por exemplo, a
baixa velocidade através de um fluido, tal co-
mo um gás ou um líquido, a viscosidade é pro-
porcional à velocidade. Matematicamente, re-
presentamos isso como: FVISC = - K. η. V.
O sinal menos indica que essa força é sempre
oposta à velocidade do objeto. A constante de
proporcionalidade K depende do tamanho e
da forma do objeto, e η é o coeficiente de vis-
cosidade, depende do atrito interno entre as
diferentes camadas do fluido.
Em geral, o cálculo de K é bastante trabalhoso,
mas George Stokes mostrou que, para uma
esfera de raio R, o valor de K valia: K = 6 π.R.
Assim, a força de viscosidade que atua sobre
uma esfera é: F = - 6 π.R. η. V.
Essa relação não é válida para grandes obje-
tos. Nesses casos, a força de atrito viscoso é
proporcional à área da seção transversal multi-
plicada pelo quadrado da velocidade.
1. Uma gota de chuva de 0,05g cai com veloci-
dade constante de 2m/s. Qual a força retar-
dadora que age sobre a gota?
FORÇAS – EMPUXO
2. Quando você esta pescando com um caniço,
quais são as forças que atuam sobre o peixe
no instante em que você o fisga? 
3. Duas esferas A e B estão ligadas por um fio e
encontram-se em equilíbrio, imersas na água
de um recipiente. Determine a força no fio que
liga as esferas.
Dados: 
Esfera A: Volume = 20cm3; Densidade =
5,0g/cm3
Esfera B: massa= 120 g; densidade =
0,6g/cm3
Água: densidade = 1,0g/cm3
TEMA 02
ELETROSTÁTICA
2.1 CARGA ELÉTRICA
A Eletricidade é a parte da Física que estuda os
fenômenos (comportamento e características)
ligados às cargas elétricas.
A principal característica de uma carga elétrica
é a sua capacidade de interagir com outras car-
gas. Na teoria do eletromagnetismo, em que se
estudam as interações elétricas e magnéticas,
essa interação é mediada pelo campo elétrico,
este está sempre presente em torno de uma
carga elétrica. Pode-se entender o campo elé-
trico como sendo uma “aura” em torno de uma
carga elétrica.
A força elétrica entre dois prótons ou entre dois
elétrons é sempre repulsiva, no entanto um elé-
tron e um próton sempre se atraem. Então, há
dois tipos diferentes de carga elétrica, a do
elétron, que caracterizamos: negativa, e a do
próton que caracterizamos: positiva. 
Fenômenos como os relâmpagos sugerem a
vasta quantidade de cargas elétricas positivas
e negativas que está armazenada nos objetos
que nos cercam, que, em grande parte, se can-
celam mutuamente, mantendo uma condição
de neutralidade elétrica nesses objetos. Ape-
nas quando esse equilíbrio elétrico é perturba-
do é que a natureza nos revela os efeitos do
desequilíbrio de cargas positivas e negativas,
produzindo efeitos externos.
Quando definimos um objeto como “carrega-
do”, estamos assumindo que ele tenha um
desequilíbrio de cargas, ou seja, excesso de
cargas positivas (prótons) ou excesso de car-
gas negativas (elétrons).
PROCESSO DE ELETRIZAÇÃO
Essencialmente, podemos dizer que um mate-
rial pode ser eletrizado por meio dos proces-
sos:
• Eletrização por atrito.
• Eletrização por contato.
• Eletrização por indução.
40
UEA – Licenciatura em Matemática
Eletrização por atrito ocorre quando materiais
não condutores são atritados uns contra os ou-
tros. Nesse processo, um dos materiais perde
elétrons e o outro ganha, de modo que um tipo
de material fica positivo e outro fica negativo.
Uma experiência simples consiste em carregar
um pente passando-o várias vezes no cabelo.
A comprovação de que ele ficou carregado é
obtida atraindo-se pequenas partículas, por
exemplo, de pó de giz.
A Figura acima ilustra as etapas essenciais do
processo de eletrização por indução. Na ilus-
tração, tem-se inicialmente um corpo carrega-
do e outro descarregado (para que o processo
seja factível, este corpo deve ser condutor). A
aproximação do corpo positivamente carrega-
do atrai as cargas negativas do corpo eletrica-
mente neutro. A extremidade próxima ao corpo
carregado fica negativa, enquanto a extremi-
dade oposta fica positiva.
Mantendo-se o corpo carregado próximo, liga-
se o corpo eletricamente neutro à terra. Elé-
trons subirão da terra para neutralizar o “exces-
so” de carga positiva. Cortando-se a ligação à
terra, obtém-se um corpo negativamente carre-
gado.
A eletrização por contato tem por característica
a presença de um condutor neutro e um con-
dutor carregado; assim, parte da carga elétrica
do corpo eletrizado passa para o corpo neutro,
e ambos adquirem carga elétrica de mesmo
tipo.
No Sistema Internacional de Unidades (SI), o
nome oficial da grandeza carga elétrica é quan-
tidade de eletricidade. No entanto o costume
consagrou o termo carga elétrica, usado até
em trabalhos científicos.
EXEMPLO
A figura representa uma experiência que utiliza
um bastão carregado positivamente e um ele-
troscópio (detector de carga elétrica).
1. Quando se aproxima o bastão carregado do
eletroscópio, observa-se que a lâmina sofre
uma deflexão; quando se afasta o bastão, a
lâmina volta à posição inicial.
2. Quando o bastão carregado se aproxima
da esfera do eletroscópio e toca-a, observa-
se que a lâmina sofre uma deflexão, que
permanece mesmo quando se afasta o bas-
tão.
Entendendo o que ocorre
1. O bastão carregado próximo ao eletroscó-
pio provoca a separação das cargas do
eletroscópio: a parte superior fica predomi-
nantemente negativa e a inferior, onde está
a lâmina, fica predominantemente positiva.
Por isso, a lâmina é repelida pela placa e
sofre deflexão. Quando se afasta o bastão,
as cargas se redistribuem novamente, e o
eletroscópio volta à situação inicial.
2. Quando o bastão toca o eletroscópio, ocor-
re a eletrização por contato: o eletroscópio
perde elétrons para o bastão, tornando-se
também eletricamente positivo. Por isso, a
lâmina mantém-se defletida. 
41
Física Fundamental – As Forças Fundamentais da Natureza
1. Os elétrons livres de um metal são atraídos
pela força gravitacional da Terra. Então, por que
eles não se acumulam na base de um condu-
tor, tal como a sedimentação de partículas no
fundo do rio? 
2. Como a carga de um elétron difere da de um
próton? 
2.2 A CONSERVAÇÃO E A QUANTIZAÇÃO DA
CARGA
Experimentalmente, sabe-se que as cargas não
podem ser criadas, nem destruídas. Elas po-
dem ser combinadas de formas diferentes,no
entanto a carga total não varia em um sistema
isolado. Ou seja, a carga elétrica total de um sis-
tema permanece constante. Em qualquer pro-
cesso no qual um corpo é carregado, a carga
não pode ser criada nem destruída, ela é mera-
mente transferida de um corpo para outro. 
A experiência mostra-nos que a carga elétrica
obedece ao Princípio da Conservação da
Carga Elétrica. De acordo com esse princípio,
a carga elétrica total de um sistema isolado
permanece constante.
A expressão “sistema isolado”, nesse caso, sig-
nifica que nenhuma carga entra ou sai do sistema.
É um sistema livre de qualquer influência externa.
Várias grandezas, como energia, momento linear
e momento angular, conservam-se em um sis-
tema isolado. Assim, se um dos corpos do sis-
tema perder carga elétrica, certamente ele irá para
outro sistema, de modo que o total de cargas não
se alterará. Ou seja, a soma algébrica de todas as
cargas em um sistema isolado nunca se altera.
Qualquer objeto eletricamente carregado pos-
sui um excesso ou uma deficiência no número
total de elétrons. Os elétrons não podem ser
divididos em frações de si mesmos. Então, além
da conservação, outra propriedade importante
é que a quantidade de carga elétrica dos cor-
pos é uma grandeza física quantizada, pois
aparece como um múltiplo da carga elementar,
que é sua unidade básica. Isso quer dizer que
a carga de todas as partículas observadas em
sua forma livre na natureza é um múltiplo intei-
ro da carga do próton ou da carga do elétron
(fora o sinal). Ele não pode ter uma carga igual
a 5 ou 0,75 elétrons, por exemplo. A carga é
“granulosa”, e cada unidade é denominada
quanta, descrita como “carga quantizada”. Es-
sa propriedade é conhecida como Princípio da
Quantização da carga. O nosso dinheiro é um
exemplo bem inteligível do que é quantização.
Não há valor menor do que um centavo, assim
como nenhuma carga elétrica pode ser dividida
em uma quantidade menor do que a carga de
um próton ou de um elétron (seus módulos).
A experiência da gota de óleo de Millikan veio
comprovar que nenhuma partícula carregada
pode ter carga menor do que a do próton ou
do elétron, que é igual a 1,60 x 10–19 Coulomb,
e é representada por e. Assim, qualquer corpo
carregado, até o momento, pode ter somente
múltiplos inteiros de e. Isto é, Q = n.e, em que:
e é carga elementar (do próton ou do elétron),
tem valor experimental de 1,60217733 x 10–19;
n é um número inteiro positivo ou negativo;
Q é a quantidade de carga .
No Sistema Internacional de Unidades (SI), a
unidade de carga é o coulomb (C). 
EXEMPLO
Um corpo está eletrizado com uma carga elétri-
ca Q = –1,6 x 10–10C.
1. O corpo apresenta falta ou excesso de
elétrons?
2. Qual o numero de elétrons correspondente?
Solução: 
1. Como a carga elétrica do corpo é negativa,
ele apresenta excesso de elétrons.
2. Sendo Q = ne, temos:
–1,6 x 10–10C = n(–1,6 x 10–19C) → n = 109
elétrons
1. Que número de elétrons corresponde a uma
quantidade de carga de –1,0C ?
42
UEA – Licenciatura em Matemática
2. Um corpo eletrizado cedeu 1,0 x 1020 elétrons.
a) O corpo possui carga elétrica positiva ou
negativa?
b) Qual a quantidade de carga elétrica adquiri-
da pelo corpo?
3. Se você esfregar vigorosamente uma moeda
entre seus dedos, ela não parecerá carregar-se
pelo atrito. Por quê?
2.3 CONDUTORES E ISOLANTES
Do ponto de vista da eletrostática, os materiais
possuem dois comportamentos: condutores de
eletricidade e isolantes ou dielétricos. Os con-
dutores são aqueles que apresentam cargas
elétricas móveis em sua estrutura. No caso dos
metais, que contêm um grande número de por-
tadores de carga livres, os elétrons mais exter-
nos dos átomos são influenciados pelos out-
ros átomos próximos, de forma que ficam
livres dentro da estrutura do metal, formando
uma nuvem eletrônica, ou seja, respondem a
campos elétricos quase infinitesimais e contin-
uam a se mover enquanto estão sob a ação de
um campo. Tais portadores livres conduzirão a
corrente elétrica quando um campo esta-
cionário for mantido no condutor por uma
fonte externa de energia.
Além dos metais, também as soluções iônicas
(eletrolíticas), tais como soluções de sais e áci-
dos, são condutores. Nesse tipo de condutor, as
cargas móveis ou portadores são os íons po-
sitivos e negativos.
Os gases rarefeitos podem-se tornar também
condutores sob certas condições, como no ca-
so dos tubos de iluminação. Nos gases ioniza-
dos, os portadores são os elétrons e os íons.
Os materiais isolantes são aqueles nos quais
não existem cargas móveis, por exemplo: a
borracha, o vidro, a madeira, o plástico, etc.
Dielétricas (isolantes) são substâncias em que
todas as partículas carregadas estão ligadas
fortemente às moléculas constituintes. As par-
tículas podem até mudar sua posição em res-
posta a um campo elétrico, porém não se afas-
tam da vizinhança de suas moléculas.
Devemos ressaltar que mesmo os isolantes con-
duzem eletricidade, porém muito lentamente.
Existem alguns materiais, como, por exemplo,
o silício, o carbono e o germânio que estão em
uma terceira categoria, denominada de semi-
condutores, ou seja, materiais que podem se
comportar como condutores ou como isolan-
tes. Esses materiais estão no meio da faixa de
resistividade elétrica.
Em resumo, podemos dizer que, nos materiais
condutores, os elétrons estão fracamente liga-
dos aos núcleos e podem, em geral, mover-se
pelo metal livremente; esses elétrons são
chamados “elétrons livres” ou “de condução”.
Diferentemente, em um material isolante, os
elétrons estão fortemente ligados aos núcleos.
Ou seja, nos metais, há muitos elétrons livres;
nos semicondutores, poucos; e nos isolantes,
quase nenhum. 
A capacidade de os materiais transportarem
eletricidade de um ponto a outro é descrita por
uma propriedade chamada “condutividade elé-
trica”.
Sob esse novo olhar, podemos dizer que um
material isolante oferece grande resistência ao
fluxo de carga elétrica, ao passo que os mate-
riais condutores oferecem pouca resistência.
Mas, a temperaturas suficientemente baixas,
alguns materiais possuem condutividade infini-
ta, ou seja, resistência nula. A esses materiais
chamamos supercondutores.
Nos séculos XVIII e XIX, as técnicas em Física
experimental alcançaram um alto grau de pre-
cisão, possibilitando experiências rigorosas
sobre as interações elétricas entre cargas elé-
tricas. Essas experiências foram imprescin-
díveis para a compreensão das leis básicas do
eletromagnetismo, e só foram possíveis dada a
enorme diferença na condutividade dos mate-
riais, e continua sendo o fenômeno mais im-
portante para a eletrotécnica e a eletrônica,
pois se sabe que a eletricidade flui nos objetos
de forma extremamente sensível à composição
deles. Por exemplo, um fio de cobre é capaz
de conduzir a eletricidade gerada em uma usi-
na por milhares de quilômetros, enquanto que
uma fina camada de esmalte recobrindo esses
fios é capaz de impedir que ela se transfira
para seu exterior. 
1. Uma solução de sulfato de cobre é um condu-
tor. Que partículas servem como as portadoras
de carga nesse caso?
43
Física Fundamental – As Forças Fundamentais da Natureza
TEMA 03
A FORÇA NA HIDROSTÁTICA
3.1 INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS FLUIDOS
Podemos dizer que a mecânica dos fluidos di-
vide-se em duas partes: a hidrostática, que es-
tuda o equilíbrio dos fluidos, e a hidrodinâmica,
que estuda seu movimento.
Compreendem-se os fluidos como os líquidos
e os gases. 
• Os líquidos escoam sob a ação da gravi-
dade até preencherem as regiões mais bai-
xas possíveis dos vasos que os contém. 
• Os gases expandem-se até ocuparem todo
o volume do vaso; isso ocorre devido às
moléculas dos gases não se restringirem
ao movimento dentro do recipiente que os
contém.
Os fluidos representam um papel importante
em nossa vidadiária. Nós os respiramos e be-
bemos, e uma grande quantidade de fluidos
vitais circula em nosso sistema cardiovascular.
Existe também fluido no oceano, na atmosfera
e no interior do núcleo da Terra.
Na Mecânica dos Fluidos, estudamos o movi-
mento do conjunto de partículas, e não o de
cada partícula, como na Mecânica Newtoniana.
Inicialmente, vamos estudar os conceitos de
pressão, densidade e profundidade de um flu-
ido em repouso. Em seguida, vamos analisar o
fluido em movimento, e devido a complexida-
de desse fenômeno, limitar-nos-emos ao estu-
do de fluidos ideais.
3.2 HIDROSTÁTICA 
A hidrostática é o ramo da física que estuda as
propriedades relacionadas aos líquidos em equi-
líbrio estático; essas propriedades podem ser
estendidas aos fluidos de um modo geral.
Consideramos sempre que o líquido é incom-
pressível, com volume definido, sem viscosida-
de e não aderente à superfície do recipiente
que o contenha. 
• Os líquidos têm volume praticamente inva-
riável. Por exemplo, quando se transfere água
de um recipiente para outro, seu volume per-
manece o mesmo.
• Os gases têm volume variável. Por exem-
plo, quando colocamos um gás num recipi-
ente, ele ocupa totalmente o recipiente que
o contém.
3.3 CONCEITO DE DENSIDADE
Se tivermos um corpo de massa m e volume V,
definimos sua densidade ρ através da relação:
A unidade de densidade no Sistema Interna-
cional de Unidades é o kg/m3. No entanto,
usualmente, são utilizados o g/cm3 e o kg/l,
que são unidades equivalentes. Por exemplo, a
densidade da água vale: 
ρ = 1 000 kg/m3 = 1 kg/l = 1 g/cm3.
Se o corpo for homogêneo, podemos usar o
termo massa específica ou densidade absoluta
como sinônimo de densidade.
Tabela 1.1: Densidade de alguns materiais
Materiais Densidade (kg/m3)
ar (20ºC e 1 atm) 1,2 
Gelo 0,92 x 103
Água 1,0 x 103
Alumínio 2,7 x 103 
Ferro 7,6 x 103
Mercúrio 13,6 x 103 
Ouro 19,3 x 103 
Platina 21,4 x 103
Visto que a densidade absoluta ρ de um corpo
de massa m depende do volume V, devemos
lembrar que alterações de temperatura provo-
cam variações no volume, modificando, dessa
forma, a densidade.
O volume dos sólidos e dos líquidos pode ser
alterado de forma sensível devido a variações
de temperatura, o que ocasiona mudanças em
sua densidade. No caso de gases, seu volume
fica sujeito às variações de temperatura e de
pressão existentes; portanto, sempre que nos
referimos à densidade de um gás, deveremos
citar quais as condições de pressão e de tem-
peratura que nos levaram ao valor obtido.
44
UEA – Licenciatura em Matemática
Densidade Relativa
Dadas duas substâncias A e B, de densidades
absolutas ρA e ρB, respectivamente, definimos
densidade da substância A em relação à subs-
tância B por meio da relação:
Observe que o resultado final não pode apre-
sentar unidades, ou seja, a grandeza densida-
de relativa é adimensional e constitui uma for-
ma de compararmos a densidade de duas subs-
tâncias distintas.
1. Sabendo que a densidade do ouro é de 
19,3 g/cm3, determine:
• O volume de uma barra de ouro de massa
igual a 100 gramas.
Solução:
Da definição de densidade, temos o volume:
= 193cm3
• A massa de uma esfera de ouro de raio
igual a 1cm.
m = Vρ= ρ = x 3,14 x 1cm3 x
19,3g/cm3 = 80,8 g
2. Numa experiência de laboratório, os alunos
observaram que uma bola (de massa especial
e flexível) afundava na água. João colocou sal
na água e viu que a bola flutuou. No entanto
Maria conseguiu o mesmo efeito modelando a
massa sob forma de barquinho. Explique, com
argumentos da Física, os efeitos observados
por João e Maria.
Solução:
Sabemos que um corpo flutua sobre um líqui-
do se a densidade do corpo for menor do que
densidade do líquido. Nessa experiência, isso
pode ter ocorrido de duas formas:
• João, ao colocar sal na água, aumentou a
densidade do líquido, logo a bola flutuou,
pois ela tinha a densidade menor que a
água com sal.
• Maria, ao transformar a bola em um barqui-
nho, aumentou o volume do corpo, dimi-
nuindo-lhe a densidade. 
3.4 Conceito de Pressão
Considere a ação de polimento de um automó-
vel; suponha que, nesse caso, esteja sendo apli-
cada uma força constante F, esfregando-se a
palma da mão sobre a superfície do carro.
Imagine, agora, que se deseja eliminar uma
mancha bastante pequena existente no veícu-
lo. Nessa ação, esfregam-se apenas as pontas
dos dedos na região da mancha, a fim de au-
mentar o “poder de remoção”. 
Nos dois casos, a força aplicada é a mesma,
porém os resultados obtidos no trabalho são
diferentes. Isso acontece por que o efeito do
“polimento” depende não apenas da força que
a mão exerce sobre o carro, mas também da
área de aplicação.
A grandeza dada pela relação entre a intensi-
dade da força F que atua perpendicularmente
e a área A em que a mesma se distribui é
denominada pressão p (veja a Figura 1).
Figura 1. Um força de 
intensidade F aplicada numa área A
A unidade de pressão no Sistema Internacional
de Unidade (S.I.) é o newton por metro quadra-
do (N/m2), denominado pascal (Pa). Outras
unidades usadas com freqüência são:
• centímetro de mercúrio: cmHg
• milímetro de mercúrio: mmHg
45
Física Fundamental – As Forças Fundamentais da Natureza
• atmosfera: atm
• milibar: mbar
Devemos observar que o valor da pressão de-
pende não só do valor da força exercida, mas
também da área A na qual essa força está dis-
tribuída. Uma vez fixado o valor de A, a
pressão será, evidentemente, proporcional ao
valor de F. Por outro lado, uma mesma força
poderá produzir pressões diferentes, depen-
dendo da área sobre a qual ela atua. Assim, se
a área A for muito pequena, poderemos obter
grandes pressões, mesmo com pequenas
forças. Por esse motivo, os objetos de corte
(faca, tesoura, enxada, etc.) devem ser bem
afiados, e os objetos de perfuração (prego,
broca, etc.) devem ser pontiagudos. Dessa
maneira, a área na qual atua a força exercida
por esses objetos será muito pequena, acar-
retando uma grande pressão, o que torna
mais fácil obter o efeito desejado.
Em outros casos, quando desejamos obter pe-
quenas pressões, devemos fazer que a força se
distribua sobre grandes áreas. Para caminhar
na neve, uma pessoa usa sapatos especiais,
de grande área de apoio, para diminuir a pres-
são que a impede de afundar.
1. Encontre a pressão aplicada num fluido em
uma seringa quando uma enfermeira aplica
uma força de 43N ao êmbolo da seringa, de
raio 1,1cm.
Solução:
F = 43N
r = 1,1cm = 0,011m
= 113 118,4N/m2 = 1,13 x 105Pa
2. Antigamente, era comum a exibição de faqui-
res, homens que jejuavam cercados de ser-
pentes e deitados numa cama de pregos com
as pontas voltadas para cima. Suponha que um
faquir tenha massa de 50kg e deita-se sobre
uma cama com 100 pregos. Calcule a pressão
exercida no faquir por cada prego. (Suponha
que o peso do faquir distribua-se uniforme-
mente sobre os pregos e que a ponta de cada
prego tenha área de 1mm2 e que g = 9,8m/s2 ).
Solução:
F = P = mg = 50 kg x 9,8 m/s2 = 490N
A = 100 10–6 m2 = 10–4m2
= 4,9 x 106 N/m2
3.5 TEOREMA DE STEVIN
Simon Stevin era matemático e físico, nasceu
na Holanda e realizou importantes trabalhos na
área da hidrostática. Deduziu o teorema que
leva seu nome até hoje.
Consideremos um líquido de densidade ρ, ho-
mogêneo e incompressível em equilíbrio. Para
calcular a diferença de pressão entre dois pon-
tos no interior do líquido, basta imaginar um
volume cilíndrico, cuja altura h seja ao longo da
vertical à superfície com as bases contendo os
pontos 1 e 2, respectivamente (veja a Figura 2).
Figura 2. No cilindro líquido do esquema
F1 age na base superior e F2 na base inferior.
A área das bases pode ser qualquer, desde
que elas estejam dentro do fluido. Como o vo-
lume cilíndrico é estático, a força na base de
baixodeve ser igual à força na base de cima so-
46
UEA – Licenciatura em Matemática
mada à forca peso devido ao volume de água
dentro do cilindro. Ou seja, como a massa do
fluido é dada por ρAh, obtém-se que:
F2 – F1 = (ρAh)g
Dividindo a equação pelo valor da área das ba-
ses, obtém-se que a pressão nos pontos 1 e 2
estão relacionadas pela diferença de altura en-
tre os dois pontos.
p2 = p1 + ρgh
Por meio do teorema de Stevin, pode-se con-
cluir que todos os pontos que estão numa mes-
ma profundidade, num fluido homogêneo em
equilíbrio, estão submetidos à mesma pressão.
Figura 3. Como conseqüência do
teorema de Stevin, pa = pb = pc
Atenção – A pressão efetiva depende somente
da densidade do fluido, da sua altura acima do
ponto e da aceleração gravitacional, e inde-
pende do formato e do tamanho do recipiente.
1. Um mergulhador está a 5m de profundidade,
num lago de densidade 1g/cm3. A pressão
atmosférica é de 105Pa. Sendo g = 9,8m/s2, cal-
cule a pressão absoluta exercida no mergu-
lhador.
Solução:
h = 5m
ρ = 1g/cm3 = 103kg/m3
patm = 105Pa
g = 9,8m/s2
Cálculo da pressão:
p = patm + gρh = 105 + 9,8 x 103 x 5 = 1,49 x
105Pa
2. A figura mostra dois líquidos não-miscíveis en-
tre si, sendo um deles a água, em equilíbrio
num tubo. Calcule a densidade do líquido des-
conhecido, sabendo que a densidade da água
é 1g/cm3, a altura da água é hB = 0,6cm e a
altura do líquido desconhecido é hA = 0,8cm.
Solução:
Na linha que separa os dois líquidos, a pressão
hidrostática é a mesma, portanto:
pA = pB
gρA hA = gρB hB
ρA hA = ρBhB
1 x 0,6 = ρB 0,8
A densidade do líquido desconhecido é,
ρB= 0,75 x 103 g/cm3
1. Uma bailarina de 49kg apóia-se sobre a ponta
de uma de suas sapatilhas, cuja área de conta-
to com o piso é de 6cm2. Calcule a pressão em
pascal que a bailarina exerce sobre o piso.
2. Um recipiente contém um líquido homogêneo,
de densidade 0,8g/cm3. Adotando g = 9,8m/s2,
calcule:
a) a pressão efetiva a 0,6m de profundidade;
b) a diferença de pressão entre dois pontos que
estão a profundidades de 0,7 e 0,5m.
.A .B .C
.A .B .C
A pressão em um ponto situado à profundidade
h, no interior de um líquido em equilíbrio, é dada
pela pressão na superfície, exercida pelo ar, de-
nominada pressão atmosférica, mais a pressão
devida à coluna de líquido situada acima do pon-
to e expressa pelo produto ρAh:
p = patm + ρgh,
expressão que traduz o teorema de Stevin.
47
Física Fundamental – As Forças Fundamentais da Natureza
1. Verificação de níveis
O objetivo desta atividade é determinar se dois
pontos do espaço estão no mesmo nível.
A água, preenchendo, sem bolhas de ar, uma
mangueira, apresenta-se no mesmo nível nas
suas duas extremidades (veja a figura).
Tome um pedaço de mangueira transparente e
encha-o com água. Cuide para que não haja
bolhas de ar no líquido. Agora, saia por aí ve-
rificando o nível.
2. Determinar a densidade de líquidos
O objetivo desta atividade é determinar a den-
sidade de alguns líquidos. 
Consideremos dois líquidos não-miscíveis em
um tubo em U (veja a ilustração seguinte).
Como PA(h1) = PB(h2), temos, pela equação fun-
damental da hidrostática:
ρ1h1 = ρ2h2
Assim, conhecendo-se a densidade de um dos
líquidos e medindo-se as alturas das colunas
no tubo em U, pode-se determinar a densidade
do outro líquido.
Coloque os líquidos em um tubo em U, come-
çando pelo que você estima ser o mais denso.
Ao colocar o segundo líquido, faça-o lentamen-
te pelas paredes do tubo. Meça as alturas das
colunas acima do ponto de separação dos lí-
quidos e, com os números obtidos, calcule a
densidade procurada.
O procedimento acima não pode ser usado
para líquidos miscíveis. Para esses, usa-se um
tubo em Y invertido (veja ilustração abaixo). 
Do mesmo modo que antes:
ρ1h1 = ρ2h2
Tomando dois líquidos diferentes, coloque-os
em recipientes diferentes. Mergulhe o tubo em
Y invertido com cada ramo em um dos recipi-
entes e, usando uma seringa conectada ao ter-
ceiro ramo do tubo por uma mangueira de bor-
racha, aspire o ar deste ramo. Adicione o cor-
respondente líquido no recipiente cujo nível fi-
car mais baixo para nivelá-lo com o líquido do
outro recipiente. Meça as alturas das colunas
acima do nível comum e calcule a densidade
procurada.
48
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 04
ESTÁTICA
A Estática trata do equilíbrio de corpos. Implica
ausência de qualquer movimento e é tipica-
mente aplicada a objeto em repouso nas pro-
ximidades da superfície da Terra.
Como não existe repouso absoluto, uma defini-
ção mais geral de equilíbrio é ausência de ace-
leração, de modo que a soma de todas as for-
ças (resultante) que atuam sobre o corpo é
nula: ΣΣ
→→
F
→→
=0
→→
. Isso nos leva a outra interpretação
para ΣΣF
→
= 0: a de que existem forças, mas elas
se cancelam gerando um somatório nulo. 
Σ(F
→
1 + F
→
2 + F
→
3 + F
→
4 +... + F
→
n) = 0
→
A fim de aplicar a relação ΣΣ F = 0, é necessário
que se conheçam as propriedades dos diver-
sos tipos de forças. Alem da força da gravida-
de, existem as forças que agem por meio de
fios, cabos, correntes, hastes, etc.
Elementos não-rígidos, como um fio, podem so-
mente puxar e nunca empurrar. Essas forças,
chamadas de tração (T), são de grande utilidade
quando desejamos transmitir forças. Assim,
quando puxamos um fio, as forças se trans-
mitem ao longo de seu comprimento até a outra
extremidade e termina sendo aplicada ao corpo. 
1. Uma rede de massa m está presa entre dois
armadores, formando um ângulo com a mes-
ma inclinação sobre ambos os lados. Deter-
mine a intensidade da tensão nos punhos da
rede, quando uma pessoa de peso P deita-se
nela. Discuta as condições para que a rede não
rasque. 
4.1 REGRA DO PARALELOGRAMO
Apesar de o cálculo vetorial ter sido inventado
apenas no século XIX, há muito se sabia que
forças externas, de intensidades e direções
diferentes, atuando sobre um determinado cor-
po podiam ser compostas (adiciondas) para
fornecer uma resultante.
A experiência diária, também ensina que varias
forças podem se combinar para produzir um
efeito resultante. É o que ocorre quando um car-
ro fica “no prego de gasolina ou de bateria”. Ca-
da pessoa aplica, individualmente, suas forças
mas, no geral, o que vale é a combinação, ou
seja, a resultante, para que o carro consiga mo-
ver-se. Em outras palavras, somente Forças ex-
ternas atuando num objeto podem modificar
seu movimento. 
Portanto, tratando-se de um conjunto de for-
ças, um conceito extremamente útil é o de re-
sultante das forças empregada para significar
a soma vetorial de todas as forças individuais
que atuam no sistema. 
Σ(F
→
1 + F
→
2 + F
→
3 +... + F
→
n
Essa propriedade de as forças somarem-se co-
mo vetores é as vezes chamada de Principio
da Superposição. O que significa dizer que ca-
da força exerce individualmente uma ação so-
bre o corpo independente daquela exercida pe-
las demais forças. 
Do ponto de vista Físico, a Força Resultante é
aquela que substitui todas as forças aplicadas
no sistema, isto é, ela faz o mesmo papel de
cada uma das forças aplicada no sistema. 
F
→→
= ΣΣF
→→
EXTERNA
Assim, uma propriedade básica dos vetores é
a indiferença na ordem pelo qual são combina-
dos (somados). Dessa maneira, quando uma
certa quantidade de forças atua no sistema, po-
demos combinar (somar) as forças de muitas
maneiras. O que é essencial para que exista
equilíbrio é que as forças formem um polígono
fechado. Consideremos o caso no qual se en-
contram aplicadas duas forças sobre o corpo
(figura1). Para encontrar a resultante das for-
ças, podemos combiná-las de duas maneiras:
por meio do método da triangulação das for-
ças [figura 2 (F
→
1 + F
→
2); ou figura 3 (F
→
1 + F
→
2)],
ou pelo método doparalelogramo (figura 4).
Qualquer que seja o caso, a resultante é a mes-
ma, o que demonstra que a soma de dois
vetores obedece à propriedade comutativa da
adição, isto é: F
→
1 + F
→
2 = F
→
2 + F
→
1.
49
Física Fundamental – As Forças Fundamentais da Natureza
No caso de três ou mais forças, aplica-se, rei-
teradamente, a regra do paralelogramo, ou en-
tão se constrói o polígono das forças, e o vetor
resultante pode ser ainda encontrado da mes-
ma maneira que foi feito acima, ou seja, adicio-
nando a resultante F’ das forças F1 e F2 à ter-
ceira força F3 que, por sua vez, fornece outro
vetor resultante F’’ que é somado à força F4,
que produz outro vetor resultante F’’’, e assim
sucessivamente. 
Suponhamos que sobre um corpo atuem duas
forças F1 e F2, que formam entre si um ângulo
è. Podemos determinar vetorialmente a força
resultante utilizando a Lei dos Co-senos. Pode-
mos determinar a intensidade de 
, 
enquanto a direção de F vale:
Outra maneira bastante simples de se encontrar
a força resultante F, para qualquer quantidade de
forças atuando sobre a partícula, é decompor
cada uma das forças em suas componentes
retangulares ao longo dos eixos, cartesianos. 
Para ilustrar esse método, vamos supor que
queiramos determinar a força resultante de um
sistema submetido à ação de três forças F1, F2
e F3, que todas estejam no mesmo plano e que
formem com os eixos cartesianos os ângulos
α, β e θ respectivamente.
Sabendo-se que a força resultante F é dada
pela soma de suas componentes FX e FY, isto
é, , basta que determinemos os
valores de FX e FY. Assim, para determinar a
intensidade da componente FX e FY, decom-
põe-se cada força ao longo dos eixos cartesi-
anos X e Y e, em seguida, somam-se os va-
lores encontrados em cada um dos eixos, de
tal modo que: 
ΣFX = F1 coss α + F2 coss β + F3 coss θ
ΣFY = F1 sen α + F2 sen β + F3 sen θ
Reescrevendo as relações acima de forma abre-
viada, temos:
ΣFX = ΣFi.coss θ’; onde θ’ é o ângulo que a
força faz com o eixo do X
ΣFY = ΣFi.sen θ’; onde θ’ é o ângulo que a
força faz com o eixo do Y
A direção da força resultante F pode ser obtida 
pela seguinte relação:
4.2 O TORQUE
O estado de equilíbrio de um corpo não signifi-
ca necessariamente repouso. Freqüentemen-
te, encontram-se casos nos quais mesmo que
a resultante das forças externas seja nula, o cor-
po tende a girar. É o que acontece, por exem-
plo, numa gangorra, onde duas crianças A e B,
de mesmo peso, estão sentadas em diferentes
pontos da barra. Como se pode facilmente cons-
tatar, ainda que as forças aplicadas (os pesos
das crianças) em suas extremidades sejam
iguais e opostas, a gangorra gira em torno do
ponto de apoio (eixo de rotação).
Nessas situações, para que um o corpo fique
em completo equilíbrio, tem-se de evitar as
rotações, mas para isso é necessário especi-
ficar algumas condições. No caso da gangorra,
a tendência para que ela gire depende não
apenas do peso da criança, mas também da
distancia que se encontra a criança ao ponto
de apoio. 
Para expressar essa tendência de uma força
produzir uma rotação, definimos uma grande-
za denominada de Torque (τ), determinada
pelo produto da força pela distância ao eixo
de rotação. Matematicamente, o torque é o
produto vetorial de r e F: τ = r x F, isto é, o
Torque é um vetor perpendicular ao plano de
r e F
→→
, ou, em outras palavras, ao longo do
eixo de rotação. 
Para impedir que o objeto entre em rotação, é
necessário que a soma dos momentos ou tor-
que de todas as forças aplicada ao corpo seja
nula: Σ τ = 0. 
50
UEA – Licenciatura em Matemática
→
→
Para situações mais gerais, em que a força (F)
aplicada tem uma direção qualquer θ com o
eixo de rotação, a distância D deve ser tal que:
D = r. sen θθ, onde r é o vetor posição.
ττ = F . D
ττ = F . r. sen θ
Essa expressão pode ser reescrita como: 
ττ = r. F. sem θ, onde o vetor r é denominado de
braço da alavanca, ou seja, ele serve para situ-
ar o ponto de aplicação da força em relação ao
eixo de rotação.
Do ponto de vista matemático, expressa um pro-
duto vetorial entre r e F. 
Isso implica uma definição mais geral para o
Torque, como: 
ττ = r . F
Por essa definição, o vetor Torque é perpendi-
cular ao plano formado pelos vetores r e F.
Por definição, a direção do vetor torque (τ
→
) é
perpendicular ao plano formado por r e F, ou
seja, na direção do eixo de rotação.
Quanto à intensidade ou ao módulo do torque,
este é dado por τ = r. F.senθ ou τ = F. r.senθ,
em que o ângulo θ é o ângulo entre os vetores
r e F. 
Ocorre que r . senθ é a distância perpendicular
entre a linha de ação da força e o eixo de rota-
ção, distância comumente denominada, de “bra-
ço da alavanca”.
Portanto, para que o torque se torna mais efe-
tivo, a força deve ser perpendicular ao “braço
da alavanca”. 
Eis a razão por que um borracheiro, quando se
depara com um parafuso da roda de um carro
emperrado, acrescenta um cano à chave de ro-
da para aumentar o efeito de rotação sobre o
parafuso. 
Retornando ao caso da gangorra, podemos ve-
rificar agora que a condição de equilíbrio
TORQUE produzido pela força: ττ = F . d,
onde d é a distância perpendicular entre a
linha de ação da força e o eixo de rotação.
Por mera conveniência, define-se o torque
no sentido horário como positivo. De modo
que a Força F1 faz que a gangorra gire no
sentido horário, enquanto que F2 tende a pro-
duzir uma rotação no sentido anti-horário.
Essas duas tendências se equilibram ou se
cancelam, de modo que podemos escre-
ver, matematicamente, esse resultado como:
F1.D – F2d = 0
51
Física Fundamental – As Forças Fundamentais da Natureza
requer que os Torques produzido sejam nulos
(τ = 0), ou seja, o torque produzido no sentido
horário pela criança A, seja contrabalançado
pelo Torque produzido no sentido anti-horário
pela criança B
Finalmente, após termos reconhecido o papel
das Forças Externas e dos Torques que atuam
sobre um dado corpo, podemos dizer que as
condições necessárias e suficientes para que
um corpo rígido esteja em equilíbrio são as se-
guintes: ΣΣ F = 0 e ΣΣττ = 0
1. Determine a intensidade e a posição da resul-
tante do sistema de forças ilustrado na figura
abaixo, observando-se a escala dada no pro-
blema.
2. Numa obra, um bloco de concreto de 100N é
mantido parado sobre uma rampa de 3m de
altura por 5m de comprimento por meio de
uma parede. Determine a força exercida pelo
loco sobre o plano e sobre a parede. 
R = 80N e 60N.
3. Uma esfera pesando P = 50 N está apoiada
numa parede sem atrito, e mantida nessa po-
sição por uma rampa sem atrito que forma um
ângulo de 60o com o plano horizontal. Quanto
vale a intensidade das forças N e F?
4. Uma escada de peso P está em equilíbrio,
apoiada contra uma parede. Faça um esque-
ma das forças que atuam sobre a escada.
5. Indique, num esquema, as forças que atuam
sobre a prancha de madeira na figura abaixo.
6. Três esferas X, Y, e Z, cujos pesos são 1ON, 15N
e 8N respectivamente, estão suspensas por
um arame extremamente fino.
a) Identifique, num esquema, as forças que
atuam sobre cada esfera.
b) A intensidade da força que o fio suporta
entre X e Y. 
3
52
UEA – Licenciatura em Matemática
7. Um bloco de peso P está suspenso por dois
fios presos a paredes nos pontos A e B.
Quanto vale o módulo das forças exercidas
pelos fios nos pontos A e B (despreze as mas-
sas dos fios)?
8. Um peso de 20N está suspenso por duas cor-
das A e B, conforme mostra a figura abaixo.
Admitindo o sistema em equilíbrio, determinar
as trações nos fios.
9. Uma barra homogênea de 2,0kg está apoiada
nos seus extremos, distanciados de 1,0m. A
2,0m da extremidade B foi colocada uma
massa de 2,0kg. Quais os módulos das forças
que os apoios A e B exercem sobre a barra?
10. Suponhaque você tenha 80kg e queira erguer
um objeto usando uma alavanca cujos braços
valem 1,0m e 3,0m.
a) Qual a maior peso que você poderá erguer
usando o seu próprio peso? 
TEMA 05
FORÇAS
5.1 LEI DE COULOMB
As interações eletrostáticas são baseadas no
comportamento dual da carga elétrica, ou seja,
cada carga elétrica pode exercer força sobre
outra e sentir a força exercida pela outra. Cada
carga cria um campo elétrico, e a força asso-
ciada à interação é percebida quando uma
outra carga está imersa no campo da primeira.
Então, o campo elétrico de uma carga está as-
sociado à sua capacidade de exercer força elé-
trica sobre outras cargas elétricas.
Charles Augustin de Coulomb (1736–1806) es-
tudou a força de interação entre partículas car-
regadas em 1784. A balança de torção foi o ins-
trumento utilizado, que permitiu a verificação
experimental da lei quantitativa das interações
entre cargas elétricas.
O uso da balança de torção por Coulomb mar-
ca o início das pesquisas quantitativas na ele-
tricidade e no magnetismo. Trata-se de um ins-
trumento para verificação experimental das for-
ças elétricas para cargas puntiformes, ou seja,
para corpos carregados separados por uma
distância r muito maior do que os respectivos
tamanhos. 
53
Física Fundamental – As Forças Fundamentais da Natureza
A balança de torção é constituída por uma
caixa de vidro cilíndrica fechada por uma tam-
pa, também de vidro, aonde se acopla um tubo
com um disco metálico na extremidade opos-
ta. Um fio suspenso no centro do disco metáli-
co atravessa o interior do tubo, sustentando
uma agulha horizontal. Essa agulha tem, numa
das extremidades, um pequeno disco vertical
de latão e, na outra, uma esfera de medula de
sabugueiro. A altura da agulha é regulada por
meio de uma manivela, que faz girar um eixo
horizontal, onde o fio está enrolado. Esse eixo
está montado sobre um disco giratório, em
que há uma escala dividida em graus. Essa
escala avança em relação a uma marca de
referência, fixa na coluna do vidro, de modo
que se possam medir os deslocamentos angu-
lares. A marca zero do aparelho é obtida pelo
alinhamento visual do fio com o zero da escala.
Balança semelhante foi usada treze anos mais
tarde por Cavendish para estudar a força de
interação gravitacional, que é muito mais fraca
do que a elétrica. Cavendish substituiu as es-
feras carregadas por massas.
Coulomb verificou que, eletrizando as esferas
com cargas iguais, a esfera móvel afasta-se da
fixa de um determinado ângulo, dando uma
torção no fio, que aplica uma força restaurado-
ra tentando fazer que a agulha volte à posição
inicial. Pode-se concluir que a força restau-
radora é proporcional ao ângulo no qual a
agulha da balança de torção gira. Coulomb fez
assim a comparação entre a força de torção e
o ângulo de desvio. Repetiu a experiência com
cargas diferentes e ainda, variando as distân-
cias entre elas, o que permitiu estabelecer as
regularidades que determinaram a lei quantita-
tiva da força elétrica. Para cargas puntiformes,
Coulomb verificou que a força elétrica entre
eles é proporcional a 1/r² . Ou seja, quando a
distância r dobra, a força se reduz a 1/4 do seu
valor inicial; quando a distância se reduz à
metade, a força se torna quatro vezes maior
que seu valor inicial.
A força elétrica entre dois corpos depende da
carga existente em cada corpo, que chamare-
mos q ou Q. Coulomb dividiu uma carga em
duas partes iguais, colocando um pequeno
condutor esférico carregado de outro idêntico
descarregado; por simetria, as cargas são divi-
didas igualmente entre as esferas (lei da con-
servação das cargas). Assim, ele obtinha uma
carga igual à metade da carga inicial, um quar-
to da carga inicial, e assim por diante. Então,
ele verificou que a força elétrica entre as duas
cargas q1e q2 é proporcional a cada uma das
cargas e, portanto proporcional ao produto (q1.
q2) das duas cargas.
Dessa maneira, Coulomb estabeleceu, em 1785,
a denominada lei de Coulomb, enunciada a
seguir:
O módulo da força elétrica (as forças de
atração e repulsão elétricas) entre duas cargas
puntiformes é diretamente proporcional ao pro-
duto das cargas e inversamente proporcionais
ao quadrado da distância entre elas. 
A relação matemática que descreve a intera-
ção elétrica ou força eletrostática, entre duas
cargas pontuais q1 e q2, separadas por uma
distância r, o módulo da força que qualquer
uma das cargas exerce sobre a outra é dada
pela relação:
Onde k é uma constante de proporcionalidade
denominada constante eletrostática, cujo valor
no SI é 8,98 x 109N.m²/C². 
As barras verticais que indicam valor absoluto
são justificadas porque as cargas q1 e q2
podem ser positivas ou negativas, enquanto o
módulo da força F é sempre positivo.
A direção das forças que qualquer uma das
cargas exerce sobre a outra é sempre ao longo
da reta que passa pelas cargas. As duas forças
obedecem à terceira lei de Newton: possuem
sempre o mesmo módulo e sentidos contrá-
rios, mesmo quando as cargas não são iguais.
Escrevendo a lei de Coulomb em termos da
unidade de corrente elétrica (carga por unida-
de de tempo), ou seja, o ampère, que é igual a
um coulomb por segundo, escreve-se:
As constantes: 
epsilon zero (ε0) = 8,854 x 10(–12)C²/N.m² 
e 
= k = 8,988 x 109 N.m²/C².
54
UEA – Licenciatura em Matemática
Como já dissemos, a unidade mais fundamen-
tal de carga elétrica é o módulo da carga de
um próton ou de um elétron, que será designa-
do por e, cujo valor é:
e = 1,60217733 x 10–19C,
1 (um) coulomb é o módulo da carga elétrica
equivalente à carga total existente aproximada-
mente em 6 x 1018 elétrons. Por exemplo, cerca
de 1019 elétrons passam através do filamento
luminoso de uma lâmpada incandescente a
cada segundo.
EXEMPLO
1. Uma partícula á (alfa) o núcleo do átomo de
hélio. Ela possui massa m = 6,64 x 10–27kg e
carga q = +2e = 3,2 x 10–19C. Compare a força
de repulsão elétrica entre duas partículas α
com a força de atração gravitacional entre elas.
Solução: 
O módulo F da força de repulsão elétrica é da-
do pela equação: 
Fe = ,
e o módulo F da força gravitacional é dado pe-
la equação:
.
Para comparar os módulos, dividimos membro
a membro as duas relações anteriores:
Esse número mostra o quanto a força gravita-
cional é ínfima em relação à força elétrica
quando se trata de interações entre partículas
atômicas e subatômicas. 
1. Duas cargas puntiformes, q1= +25 nC e
q2= –75nC estão separadas por uma distância
de 3,0cm. Determine o módulo, a direção e o
sentido:
a) da força elétrica que q1 exerce sobre q2;
b) da força elétrica que q2 exerce sobre q1.
2. Se os elétrons, em um metal como o cobre,
são livres para vagar, devem, com freqüência,
encontrar-se a caminho da superfície do metal.
Por que eles não continuam e deixam o metal? 
3. Explique o significado da afirmação de que as
forças eletrostáticas obedecem ao principio da
superposição. 
4. Que semelhanças existem entre a força elétrica
e a força gravitacional? Quais são as diferen-
ças mais relevantes entre essas forças?
5.2 FORÇA MAGNÉTICA
Para calcularmos a intensidade do campo mag-
nético, vamos retomar alguns conceitos bási-
cos estudados em campo elétrico:
• Cargas elétricas em repouso criam um cam-
po elétrico E
→
no espaço à sua volta.
• O campo elétrico provoca uma força F
→
= q. E
→
sobre qualquer carga q imersa no campo.
Fazendo uma analogia, podemos conceituar as
interações magnéticas:
• Cargas elétricas móveis ou uma corrente
elétrica criam, além do campo elétrico, um
campo magnético em suas vizinhanças.
• O campo magnético provoca uma força F
→
sobre qualquer outra corrente ou carga que
se mova no interior do campo.
Então, a força magnética atua específica e so-
mente sobre uma partícula carregada e em
movimento, com uma velocidade v.Como cam-
po magnético é uma grandeza vetorial, asso-
ciada a cada ponto do espaço, a relação entre
a intensidade do campo magnético B
→
, com a
intensidade da força magnética F
→
mag, que atua
sobre a partícula de carga elétrica q, movimen-
tando-se com velocidade v, é dada por: 
Ou seja, a força magnética:
• Depende da velocidade da partícula (lem-
bre que para a força elétrica a carga pode
estar em repouso ou em movimento).
55
Física Fundamental – As Forças Fundamentais da Natureza
• É ortogonal à direção do campo magnético.
• É ortogonal à velocidade v da partícula. 
• É proporcional a v e a sen è.
No SI, a unidade de campo magnético é cha-
mada de tesla, definida como:
1 tesla (T) = 1
Podendo ser escrito assim:
1 tesla (T) = 1
Ou seja, 1T = 1N/A.m
Outra unidade usada para medida de campo
magnético é o gauss (G). A relação entre tesla
e gauss é:
1gauss = 10–4tesla
Matematicamente falando, o produto vetorial
(V
→ 
x B
→
) é definido como o produto das duas
grandezas multiplicado pelo ângulo formado
entre elas (velocidade e campo magnético), ou
seja:
(V
→ 
x B
→
)= v. B. senθ
Então, a intensidade de força magnética pode
ser escrita da seguinte forma:
F
→
mag = q.v.B.senθ
Portanto podemos concluir que a força mag-
nética (F
→
mag) que atua sobre uma partícula ele-
tricamente carregada e que se movimenta com
uma velocidade (v
→ 
), em um campo magnético
(B
→
), é sempre perpendicular a essas gran-
dezas, v
→ 
e B
→
.
A regra prática, conhecida como “regra da mão
direita”, funciona como o sistema de coorde-
nadas x,y,z, que formam ângulos retos entre si;
a rotação do eixo x para o eixo y é equivalente
ao giro de um parafuso na direção de z. Pro-
curamos dispor o polegar, o indicador e o dedo
médio como mostra a figura acima.
Se uma partícula carregada está submetida,
simultaneamente, a um campo elétrico e mag-
nético, essa partícula sofre a ação dos dois
campos. A força resultante será a soma vetorial
da força elétrica e da força magnética, ou seja:
F
→ 
= F
→
e + F
→
mag ⇔ F
→
+ q. [ E
→
+ ( v
→ 
x B
→
)]
EXEMPLO
Considere um elétron em movimento num tubo
de um aparelho de televisão, deslocando-se a
uma velocidade de 8,0 x 106m/s ao longo do
eixo x. O tubo de imagem gera um campo
magnético no plano xy de 0,025 T, fazendo um
ângulo de 60° com o eixo x. Determine a força
magnética sobre o elétron e a sua aceleração. 
Solução:
A força magnética pode ser calculada a partir
da relação:
F
→
mag = q.v.B.senθ, sabendo que a carga do elé-
tron vale 1,6 x 10–19C, apenas substituiremos os
valores:
F
→
mag = (1,6 x 10–19C).(8,0 x 106).(0,025).(sen60o) =
= 2,8 x 10–14N 
Para o cálculo da aceleração do elétron, pode-
se usar a 2.a lei de Newton, sabendo que a
massa do elétron é de 9,1x 10–31 kg e de posse
do valor da força magnética:
F
→
mag = m.a ⇔
a = 3,1 x 1016m/s2
1. Em um campo magnético de intensidade 10² T,
uma partícula com carga 2,0 x10–14C é lançada
com velocidade de 2,0x105m/s, em uma
direção que forma um ângulo de 30° com a
direção do campo magnético. A intensidade da
força que atua sobre a partícula é:
56
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 06
HIDROSTÁTICA
6.1 PRESSÃO ATMOSFÉRICA
Em torno da Terra, há uma camada de ar de-
nominada atmosfera. Ela é constituída por uma
mistura gasosa cujos principais componentes
são o oxigênio e o nitrogênio. Aproximadamen-
te 90% de todo o ar existente encontra-se abai-
xo de 18 000 metros.
Essa massa de ar exerce pressões sobre todos
os corpos no seu interior, pressão esta deno-
minada atmosférica. Observe os exemplos que
comprovam a existência dessa pressão.
6.1.1 Experiência de Torricelli
No início do século XVII, um problema foi apre-
sentado a Galileu Galilei: por que as bombas
aspirantes não conseguem elevar água acima
de 18 braças (10,3 metros)?
Galileu não chegou à solução do problema,
porém supôs que essa altura máxima depen-
dia do líquido: quanto mais denso fosse, me-
nor seria a altura alcançada.
Um discípulo de Galileu, Evangelista Torricelli,
resolveu fazer a experiência com um líquido
muito denso: o mercúrio. Tomou um tubo de vi-
dro de 1,30m de comprimento, fechado em uma
extremidade, encheu-o completamente com
mercúrio e, tampando a extremidade aberta,
emborcou-o num recipiente contendo mercú-
rio também. Ao destampar o tubo, Torricelli ve-
rificou que a coluna de mercúrio no tubo des-
cia até o nível de aproximadamente 76cm aci-
ma do nível do mercúrio do recipiente, forman-
do-se vácuo na parte superior do tubo (na ver-
dade, esse espaço fica preenchido com vapor
de mercúrio, mas esse fato não é relevante
para a experiência).
Figura 7. Experiência de Torricelli
Torricelli concluiu que a coluna de mercúrio era
equilibrada pela atmosfera através de sua pres-
são. Ao nível do mar, num local onde 
g = 9,8m/s2, a 0ºC, a coluna de mercúrio tem a
altura de 76cm ou 760mm. Então, a pressão
atmosférica, ao nível do mar, é:
Patm = ρ. g . h = 13,6 . 103(kg/m3) . 9,8(m/s2) . 0,76 (m)
logo Patm = 1,013 . 105N/m2
Então, por convenção, dizemos que: 
1atm = 1,013 . 105Pa = 760 mmHg
6.1.2 Os hemisférios de Magdeburgo
A primeira bomba de vácuo foi construída por
Von Guericke, em Magdeburgo, na Alemanha,
permitindo que ele realizasse a famosa expe-
riência dos “hemisférios de Magdeburgo”. To-
mando dois hemisférios, bem adaptados um
ao outro, formando, assim, uma esfera oca
de cerca de 50cm de diâmetro, Von Guericke
extraiu o ar do interior dessa esfera. Como a
pressão interna foi muito reduzida, a pressão
externa (pressão atmosférica) forçou um he-
misfério tão fortemente contra o outro que
foram necessários 16 fortes cavalos para
separá-los.
57
Física Fundamental – As Forças Fundamentais da Natureza
Contribuição da experiência de Torricelli
• Primeira vez que o vácuo foi obtido em la-
boratório;
• Construiu-se o primeiro barômetro (instru-
mento usado para medir a pressão
atmosférica);
• A pressão atmosférica, ao nível do mar,
numa latitude de 45o é patm = 760 mmHg.
Figura 5. Experiência da Bomba de Magdeburg.
6.1.3 Exemplos
I. Com uma bomba de vácuo, podemos extrair
grande parte do ar do interior de uma lata
vazia. Se fizermos isto, a lata será esmagada
pela pressão atmosférica. Antes da retirada do
ar, isso não acontecia porque a pressão atmos-
férica estava atuando tanto no interior quanto
no exterior da lata (Figura a). Ao ser ligada a
bomba de vácuo, a pressão interna torna-se
bem menor do que a externa, e a lata é esma-
gada (Figura b).
Figura 4. Aplicação da pressão atmosférica
II. É também graças à força exercida pela atmos-
fera que você consegue tomar refresco com
um canudinho. Quando você chupa na extre-
midade do canudo, você provoca uma redu-
ção na pressão do ar no interior do canudo. A
pressão atmosférica, atuando na superfície do
líquido, faz que ele suba no canudinho. Algu-
mas bombas, para elevação de água, têm seu
funcionamento baseado nesse mesmo princí-
pio.
Figura 6. Aplicação da pressão atmosférica
6.2 Princípio de Pascal
Quando é exercida uma pressão num ponto de
um líquido, essa se transmite a todos os pon-
tos do líquido. É o que ocorre, por exemplo, no
freio hidráulico de um automóvel, cuja pressão
exercida pelo motorista no pedal se transmite
até as rodas através de um líquido (fluido de
freio). Este fato é conhecido como “princípio
de Pascal”:
Figura 8. Princípio de Pascal aplicado 
num elevador hidráulico.
A Figura 3 mostra o Princípio de Pascal como
a base de funcionamento de um elevador
hidráulico. Seja uma força externa de módulo
F1 exercida sobre o lado esquerdo (ou entrada)
do pistão, cuja área é A1. Para manter o sis-
tema em equilíbrio, um peso externo exerce
uma força de módulo F2 sobreo lado direito
(ou saída) do pistão, cuja área é A2. Pode-se
escrever para a variação da pressão associada
a essas forças:
∆p1 = ∆p2 
Logo, 
Em que a força na saída é maior que na entra-
da, pois A2 > A1.
Os acréscimos de pressão sofridos por
um ponto de um líquido em equilíbrio são
transmitidos integralmente a todos os
pontos do líquido e nas paredes do reci-
piente onde está contido.
58
UEA – Licenciatura em Matemática
Observação – A prensa hidráulica é um dis-
positivo que multiplica a intensidade de forças,
e, apesar da verificação do aumento ou da di-
minuição na intensidade de forças, a prensa
hidráulica não pode modificar a quantidade de
energia envolvida, pois deve obedecer ao prin-
cípio da conservação de energia.
1. Num elevador hidráulico, um automóvel de
1200kg de massa está apoiado num pistão
cuja área é de 800cm2. Qual é a força que deve
ser aplicada no pistão de 20cm2 de área para
erguer o automóvel?
Solução:
F2 = mg = 1200 kg x 9,8 m/s2 x
F2 = 294N
Não houve necessidade de transformar as uni-
dades das áreas, pois elas, estando na mesma
unidade, cancelam-se. 
Portanto deve ser aplicada uma força maior
que 294N para erguer o carro.
6.3 EMPUXO
Quando mergulhamos um corpo num líquido,
seu peso aparentemente diminui, chegando às
vezes a parecer totalmente anulado (quando o
corpo flutua). Esse fato se deve à existência de
uma força vertical de baixo para cima, exercida
no corpo pelo líquido, a qual recebe o nome de
empuxo.
O empuxo se deve à diferença das pressões
exercidas pelo fluido nas superfícies inferior e
superior do corpo. Sendo as forças aplicadas
pelo fluido à parte inferior maiores que as exer-
cidas na parte superior, a resultante dessas
forças fornece uma força vertical de baixo para
cima, que é o empuxo.
6.3.1 Princípio de Arquimedes:
“Todo corpo imerso, total ou parcialmente, num
fluido em equilíbrio, dentro de um campo gra-
vitacional, fica sob a ação de uma força verti-
cal, com sentido ascendente, aplicada pelo
fluido. Essa força é denominada empuxo (E
→
),
cuja intensidade é igual ao peso do líquido des-
locado pelo corpo.”
E = Pfluido = mfluido . g
E = ρfluido . Vdes . g
E = ρ . V . g
onde ρ é a densidade do fluido, e V é o volu-
me do fluido deslocado.
observação – O valor do empuxo não depen-
de da densidade do corpo imerso no fluido; a
densidade do corpo (ρc) é importante para se
saber se o corpo afunda ou não no fluido.
• ρc < ρf ⇒ O corpo pode flutuar na superfí-
cie do fluido (no caso de líquido).
• ρc = ρf ⇒ O corpo fica em equilíbrio no
interior do fluido (com o corpo totalmente
imerso).
• ρc > ρf ⇒ O corpo afunda no fluido.
1. Se a experiência de Torricelli fosse feita ao nível
do mar, com água (ρ = 103kg/m3) e (g = 9,8
m/s2), qual seria a altura da coluna líquida de
água?
2. No freio hidráulico da figura temos, A1 = 1 cm2
e A2 = 10 cm2, que são as áreas dos êmbolos.
Se o motorista aplica uma força de 20N ao
pedal, determine a força que as lonas exercem
nas rodas.
3. Um corpo de peso igual a 5N aparenta ter so-
mente 2N de peso quando completamente
59
Física Fundamental – As Forças Fundamentais da Natureza
mergulhado na água, cuja densidade é de
1g/cm3. Determine:
a) o empuxo recebido pelo corpo;
b) o volume do corpo;
c) a densidade do corpo.
1. PRESSÃO ATMOSFÉRICA
a) COM MERCÚRIO 
O objetivo desta atividade é medir a pres-
são atmosférica com o procedimento de
Torricelli, usando mercúrio e água. 
Anote a temperatura ambiente.
Encha um tubo de vidro com cerca de 1m
de comprimento com mercúrio. Atenção: o
mercúrio é muito nocivo à saúde. Proteja
suas mãos com luvas de borracha, use más-
cara e, se possível, trabalhe perto de um
exaustor. 
Tampando a saída do tubo, emborque-o
numa proveta contendo também mercúrio.
Liberte a saída do tubo e deixe o sistema
atingir o equilíbrio. Meça a altura da coluna
de mercúrio dentro do tubo.
b) COM ÁGUA
Encha uma mangueira com 13m de compri-
mento com água. Feche uma das extremi-
dades e eleve-a verticalmente, colocando a
outra extremidade em um copo com água.
Meça a altura da coluna de água após o
equilíbrio ter sido alcançado. 
2. DETERMINAÇÃO DA DENSIDADE DE UM
CORPO
O objetivo desta atividade é determinar a den-
sidade de um corpo sólido.
Suspenda uma mola de constante elástica
conhecida em um suporte (Fig.16). Meça o
comprimento de equilíbrio da mola (y0).
Suspenda o corpo cuja densidade deseja
determinar na outra extremidade da mola e
meça o comprimento de equilíbrio (y1). Encha
uma proveta com água e mergulhe o corpo em
questão no líquido. Quando o equilíbrio for
atingido, meça o comprimento da mola (y2). 
O peso do corpo é PC = ρCVg = k(y1 – y0) e o
peso da água deslocada, PA = ρAVg = k(y1 –
y0), de modo que a densidade do corpo pode
ser escrita: 
Com os valores numéricos obtidos e conside-
rando a densidade da água como sendo 1kg
m–3, calcule c.
60
UEA – Licenciatura em Matemática
UNIDADE III
O Estudo dos Movimentos
63
Física Fundamental – O Estudo dos Movimentos
TEMA 01 
ANÁLISE DO MOVIMENTO
INTRODUÇÃO
Uma das características mais notável do nosso
Universo, o fenômeno que primeiro chama a
atenção, é o movimento. Neste instante, por
exemplo, muito embora não se ouça o vento
assobiar, você encontra-se se movendo com
uma velocidade de cerca de 108.000km/h ao
redor do sol e girando por volta de 160Km/h . As
moléculas de ar que estão caoticamente se
movimentando ao seu redor, colidem contra seu
corpo com uma velocidade maior do que uma
bala de revolver. Os raios luminosos refletem
contra a parede num tempo “bilhonesimamente”
curto. Cada átomo desta folha de papel está exe-
cutando milhões de vibrações. Alguns movimen-
tos podem ser simples outros extremamente
complexos; alguns bastante familiar, quase evi-
dentes, outros até impossível de acreditar. 
O estudo do movimento foi, sem dúvida, de
todas as lutas intelectuais que a mente humana
já se defrontou, aquela que exigiu durante sécu-
los maior esforço de compreensão. Tal dis-
cussão que trata da descrição do movimento,
sem levar em consideração o que causa do
movimento é denominada de Cinemática. A
Cinemática. apenas descreve e classifica geo-
metricamente os movimentos. Neste campo da
Física, qualquer descrição precisa do movimen-
to, depende, essencialmente, dos conceitos de
posição e tempo. De maneira que, um objeto
em movimento experimenta uma mudança con-
tínua de sua posição com o tempo. Nosso obje-
tivo, portanto, neste capitulo é estabelecermos
os conceitos de velocidade e aceleração de
modo a interpretar e explicar grande parte dos
movimentos que nos rodeia. 
1.1 OS ELEMENTOS PRELIMINARES PARA A
DESCRIÇÃO DOS MOVIMENTOS
Semelhante a um grupo perdido de turista numa
floresta que precisam abrir picadas para avançar
rumo a sobrevivência, o ser humano para alcan-
çar a compreensão dos movimentos precisou
desenvolver alguns conceitos e princípios básicos
para analise e compreensão dos movimentos. 
Para descrição minuciosa do movimento, capaz
de determinar onde objetos macroscópicos se
encontra (móvel) ou predizer onde estará e quão
rápido está se movendo em qualquer instante de
tempo, emprega-se o conceito de ponto materi-
al, de referencial e de trajetória. Assim, sempre
que as distâncias envolvidas forem muito grande
podemos desprezar o tamanho do móvel, quer
seja um planeta, uma carreta ou uma bicicleta e
passamos a tratar o móvel como se fosse uma
partícula ou ponto material.
O Referencial ou Sistema de Referência é, por
sua vez, algo em relação ao qual o movimento
esta sendo descrito ou estudado. Caso você
diga, por exemplo, que “aquele carro está se
movendo”, o que você está descrevendo,
muito certamente, é o movimento do carro em
relação a superfície da Terra, a um edifício, ou
a você mesmo. A escolhado referencial é uma
questão inteiramente de gosto e conveniência.
Entretanto, torna-se mais vantajoso empregar
um Sistema de Referencia por meio do qual a
descrição seja o mais simples possível. 
Para um passageiro, por exemplo, que se
movimenta dentro de um barco que navega a
noite pelo rio Amazonas, pouco importa se o
referencial é a “beirada do rio” ou o cruzeiro do
sul. Todavia, para o prático o movimento do
barco em relação a “beirada” é extremamente
importante para tornar a navegação segura. 
Na Física, movimento e repouso são conceitos
relativos, que estes conceitos dependem do ref-
erencial adotado. Você, por exemplo, está em
repouso em relação à Terra mas, em movimento
em relação ao Sol. Não existe, portanto, movi-
mento ou repouso absoluto. Estes conceitos são
relativos, pois dependem do referencial escolhi-
do. Dentro de um ônibus você está, por exemp-
lo, em repouso ao cobrador, mas em movimento,
em relação a uma pessoa parada na esquina
esperando o momento certo de atravessar a rua.
1. Considere a seguinte afirmação:
“Todo movimento é relativo. Então, podemos di-
zer que em relação a um mesmo referencial que:
64
UEA – Licenciatura em Matemática
I. Se A está em movimento em relação a B e
B está em movimento em relação a C, então
A está em movimento em relação a C;
II. Se A está parado em relação a B e B está
parado em relação a C, então A está para-
do em relação a C;
III. Se A se move com velocidade V
→ 
em relação
a B, então B se move com a mesma veloci-
dade vetorial V
→ 
em relação a A”
Examine atentamente as afirmações e
indique qual (ais) dela (s) é (são) verdadeira
(s) ou falsa(s). Explique sua resposta. 
Outro importante conceito da Cinemática, e que
depende também do Referencial, é a de Traje-
tória. Quando uma partícula se movimenta a sua
posição varia de instante para instante. O conjun-
to dessas posições, no decorrer do tempo é o que
chamamos de trajetória. Podemos, assim dizer,
que a trajetória representa o caminho descrito
pelo móvel em relação ao referencial adotado.
Deste modo a descrição do movimento de um
ponto da periferia de uma roda de uma bicicle-
ta depende do referencial escolhido.
A figura abaixo ilustra as trajetórias de vários
pontos de uma roda que rola sobre uma super-
fície plana e horizontal. 
Observe que em relação à superfície, o ponto
central da roda (eixo) descreve uma trajetória
retilínea, enquanto que um ponto da periferia
descreve uma trajetória curvilínea (no caso, uma
Ciclóide). Por outro lado, em relação ao eixo, a
trajetória de um ponto da periferia é circular. 
Em relação ao solo, a trajetória do ponto será
uma ciclóide, enquanto que para uma pessoa
na bicicleta, a trajetória do ponto será circular.
Como se vê, nem sempre um referencial situa-
do na Terra fornece uma descrição mais sim-
ples. Foi o que Copérnico procurou ressaltar
em relação ao movimento planetário quando se
admite o sol como o centro do sistema solar.
Um outro exemplo muito interessante á a de
uma bola de ferro que é deixada cair do toldo
de um barco de linha enquanto navega
suavemente pelas tranqüilas e paradisíacas
águas do lago do Puraquequara.
Para um passageiro, dentro do barco, a tra-
jetória da bola é uma linha reta vertical, enquan-
to que para um turista, parado na margem do
lago, a bola descreve uma trajetória parabólica.
Uma vez que todo movimento esta associado
a noção de tempo, não podemos nos esque-
cer que na interpretação de um evento, o con-
ceito de tempo depende, também, do referen-
cial escolhido.
No caso das Leis da Mecânica, o tempo é
absoluto. O tempo, não se dilata e nem se con-
trai, transcorre sempre da mesma maneira
independente do referencial escolhido. Caso
você disponha de relógios idênticos (sincro-
nizados), o intervalo de tempo que um corpo
demora a cair será o mesmo, quer você esteja
em repouso ou em movimento uniforme. É
independente do referencial.
A grande sacada genial de Einstein ao elaborar
a sua Teoria da Relatividade Restrita foi a de que
o conceito de tempo também não tem nada de
absoluto, isto é não tem existência própria, mas
depende do referencial em que é medido.
65
Física Fundamental – O Estudo dos Movimentos
1.2 ANÁLISE DO MOVIMENTO
Um dos problemas fundamentais da Física é a
analise do movimento. Para simplificar e facilitar
a compreensão dos conceitos de velocidade e
aceleração, vamos considerar o movimento de
uma partícula numa só dimensão. Por exemplo,
o movimento de um automóvel em linha reta.
Para descrever o movimento precisamos
definir um referencial, que no nosso caso, será
a origem (ponto O). Desse modo, a posição da
partícula, num determinado instante (t), será
descrito pela abscissa correspondente [X(t)].
A partir dessa base teórica podemos filmar ou
tirar fotografias estroboscópicas do movimento
da partícula como uma estratégia para “conge-
lar” sua posição em determinados instante. Em
seguida constrói-se uma tabela da posição em
função do tempo ou o gráfico do movimento.
A situação mais simples é aquela na qual,
durante um mesmo intervalo de tempo (∆t), a
posição da partícula (∆X) varia sempre da
mesma maneira. Neste caso dizemos que o
Movimento é Uniforme. Assim sendo, podemos 
definir a velocidade da partícula por .
Uma vez que, em intervalos de tempos iguais,
as variações das posições também variam em 
intervalos de tempos iguais, a razão dará
sempre o mesmo valor, ou seja a velocidade
será sempre a mesma, isto é, será constante. 
1. A Galáxia mais próxima da Terra é a Galáxia de
Andrômeda, que dista cerca 1,8 x 109km.
Suponha que um observatório em Andrômeda
tenha tirado uma fotografia desta Galáxia e
tenha remetido a Terra com a velocidade da
luz. Há quantos anos corresponderia o aspec-
to da Galáxia de Andrômeda nesta foto?
(Considere que um ano tenha 3 x 107s.)
2. Um velocista consegue fazer 100m finais de
uma corrida em 10s. se durante esse tempo
ele deu passadas constantes de 2,0m, qual foi
a freqüência de suas passadas? 
A partir do gráfico [X=f(t)] interpretação geo-
métrica da velocidade é bastante simples, é
representada pelo coeficiente angular da reta,
ou seja: V = tgθ.
Na pratica, quando se esta dirigindo, manter
sempre a mesma velocidade é algo impossível
de se obter, pois em determinados trechos da
estrada aumentamos a velocidade, ora pre-
cisamos frear, em algumas situações dar mar-
cha-ré, em outras, ficar parados. De tal modo
que, na prática, a velocidade do carro esta
sempre variando.
Nestas circunstâncias, para avaliar o movimen-
to global desenvolvido pelo carro costuma-se
empregar o conceito de velocidade média 
. Assim, se o carro, por exemplo, per-
corre uma distancia de 100km em 2 horas, a
velocidade média desenvolvida foi de 50km/h.
Resultado, evidentemente, extremamente impre-
ciso, pois informa muito pouco sobre o que
aconteceu durante aquele percurso. O carro
pode ter parado durante o trajeto, em alguns
intervalo de tempo, a velocidade ter sido bas-
tante superior, etc. 
Uma maneira concisa, bastante eficiente de
visualizar o movimento é através do gráfico da
posição (X) em função do tempo (t). O gráfico
retrata resultado do movimento descrito acima.
66
UEA – Licenciatura em Matemática
Analisando o gráfico podemos tirar algumas
conclusões:
1 – o móvel percorreu distâncias iguais (∆X)
em tempos iguais (∆t) ou seja: sempre 50
Km em 1,0 hora. 
2 – a razão pode ser medida pela tangente
do ângulo θ.
3 – a velocidade média permaneceu constante. 
Deste modo que a expressão 
pode ser rescrita como: ∆X = V.∆t ou
X = X0 + V.t
4 – a partir do gráfico da posição (X) podemos
encontrar o gráfico da velocidade (V) em
função do tempo (t).
5 – a partir do gráfico da velocidade pode-se
obter a distância percorrida pelo móvel.
Para isso utiliza-se a área da figura entre o
eixo do tempo e acurva obtida.
Observe que a figura obtida é um retângulo, de
modo que: 
∆X = área do retângulo 
∆X = base X altura. 
Substituindo os valores da base e da altura,
temos que: 
∆X = 2,0 h X 50 km/h. Portanto: 
∆X = 100 km. 
Evidentemente que outro veículo pode fazer o
mesmo percurso no mesmo tempo de 2,0 horas.
Entretanto, o modo como vai percorrer distancia
de 100km será, com certeza, completamente di-
ferente do caso anterior. O motorista pode, por
exemplo, após ter percorrido 40km em 15 minu-
tos, tirar uma soneca de 20 minutos. Depois, de
voltar a dirigir 30km em 30min, resolver parar 45
minutos para almoçar. Voltar a dirigir, ininterrup-
tamente, e, ainda, chegar ao seu destino no
tempo previsto. Certamente, que as velocidades
médias desenvolvidas nas duas situações foram
idênticas, mas o que aconteceu durante o mes-
mo intervalo de tempo difere completamente
nos dois casos. 
Como se pode verificar, o simples cálculo da
velocidade escalar média não nos fornece
todos os detalhes do movimento como conse-
qüência, a qualidade da informação obtida fica
extremamente comprometida. 
A velocidade escalar média é, pois um cálculo
estimativo para o movimento admitindo-se
que, durante todo o trajeto, o móvel mantenha
a velocidade constante. 
Caso queiramos obter uma precisão do que
acontece realmente durante todo o movimen-
to, isto é, a maneira pela qual a posição do
móvel mudou com o tempo é indispensável
definir o conceito de velocidade instantânea. 
Uma maneira de representar o complexo movi-
mento do carro sem cometer erro em demasia, é
fragmentando o trajeto percorrido em pequenos
trechos e, em seguida, determinar a velocidade
média em cada um deles.
Analisando-se a tabela 1 abaixo constata-se
que no limite, quando o intervalo de tempo
torna-se extremamente pequeno, tendendo a
zero, a velocidade média se estabiliza em torno
de um determinado valor. 
Fica claro pela tabela que, a medida que a rela-
ção tende para um valor limite de 7,1 cm/s. 
Esta técnica de tornar razão extremamente
pequeno corresponde ao processo matemático
denominado de “passagem ao limite”, que
implica em calcular a taxa de variação da
posição com relação ao tempo. 
Matematicamente, representa-se esta “pas-
sagem ao limite” por: 
67
Física Fundamental – O Estudo dos Movimentos
. 
Em termos geométrico a velocidade instan-
tânea em cada instante do movimento é repre-
sentada geometricamente no gráfico [X = f(t)]
uma tangente, cuja inclinação representa um
valor particular da velocidade instantânea do
móvel, ou seja V = tgθ. 
. 
1. Um móvel se movimenta sobre o eixo X, com
aceleração constante, de acordo com a
seguinte equação horária: X = 2 + 2t – 2t2,
onde t é dado em segundos e X em metros. 
a) Qual a velocidade media do móvel entre os
instantes t=0 e t=2s? 
b) Qual a velocidade instantânea do móvel no
instante t=2 s? 
1.3 VELOCIDADE RELATIVA E MOVIMENTO
RELATIVO.
Na discussão acima enfatizamos o quanto a
escolha do referencial é de suma importância
na analise do movimento. Analisemos, agora,
uma situação prática. 
Suponhamos que você esteja parado numa
calçada da sua casa observando o movimento
de uma moto (Vm) tentando ultrapassar um
automóvel (Va) que se encontra a sua frente,
enquanto um caminhão (Vc) se desloca no
sentido oposto ao do motoqueiro. Admitindo
que as velocidades (Vm, Va e Vc) dos três
móveis são constante, a velocidade relativa
entre os móveis vai depender do referencial
escolhido. Assim, se o referencial for o carro a
velocidade do motoqueiro em relação ao carro
será: Vmoto/carro = Vmoto – Vcarro. 
Entretanto, caso o referencial seja o caminhão,
a velocidade do motoqueiro em relação ao
caminhão será Vmoto/caminhão = Vmoto + Vcaminhão
Essa descrição do movimento relativo não é
válida quando se estuda sistemas que se
TABELA 1
68
UEA – Licenciatura em Matemática
movem com a velocidade da luz. 
A Teoria da Relatividade Restrita corrige a
descrição do movimento relativo, empregando 
a seguinte expressão: 
1. Suponha que você esteja dirigindo numa estra-
da reta seu carro como uma velocidades con-
stantes de 100Km/h e, na sua frente, no mesmo
sentido encontra-se um ônibus movem-se tam-
bém, com velocidade constante de 80 Km/h. 
a) Qual a velocidade do ônibus em relação a
você? 
b) Se num determinado momento, o ônibus
estiver a 600m à sua frente. Quanto tempo
decorrerá ate que você encontre o ônibus?
2. Um avião desloca-se de uma cidade A para
outra cidade B com uma velocidade e 300Km/h
em relação ao ar, é atingido por um tufão que
sopra a 60Km/h numa direção de 60° em
relação ao curso do avião. Determine a veloci-
dade do avião em relação ao solo. 
3. Um avião voa em relação ao solo com veloci-
dade constante de 1000 Km/h, tendo direção e
sentido de Leste para Oeste. O vento sopra
dirigido e com sentido Norte para o Sul com
velocidade constante de 200Km/h. Qual a
direção e o sentido da velocidade do avião em
relação vento. 
4. Um ônibus com MRU, com direção e sentido
Leste para Oeste, em relação ao solo. No inte-
rior do ônibus, um assaltante dispara seu
revólver e a bala segue a direção e sentido
Norte para Sul, em relação ao ônibus. Em que
direção, um passageiro, sentado dentro do
ônibus, verá a bala caminhar? 
5. O centro de um pneu que rola sem escorregar
desloca-se com velocidade constante de 5,0
m/s. Qual o módulo da velocidade no ponto B
no instante em que o diâmetro AB do pneu
está paralelo a pista. (Considere o raio do pneu
sendo 20 cm) 
1.4 MOVIMENTOS ACELERADOS
Evidentemente, o que observa-se com muita
freqüência no cotidiano, é que a velocidade
instantânea de um móvel não se mantém con-
stante, ora ela aumenta quando a pista está
livre; ora diminui quando se percebe um
obstáculo. Às vezes, se é obrigado a parar.
Existe, portanto, um conjunto de fatores que
obrigam a velocidade instantânea variar no
decorrer de um determinado percurso. 
Em razão da velocidade instantânea variar com
o tempo durante o movimento, podemos agora
definir para qualquer movimento não-uniforme
o conceito de aceleração como a grandeza físi-
ca que mede a “rapidez” com que a velocidade
instantânea de um móvel varia com o tempo é
a aceleração. Definimos a Aceleração
Escalar Média de um móvel a razão entre a
variação de velocidade (∆V) pelo correspon-
dente intervalo de tempo (∆t). 
Matematicamente: . Do mes-
mo modo que foi possível determinar pelo
“processo do limite” a velocidade Instantânea,
podemos definir, por analogia, a Aceleração
Instantânea como sendo: a = lim∆t→ 0am, ou 
ainda .
Para o caso do movimento uniformemente vari-
ado, a variação de velocidade com o tempo 
é constante, temos que a aceleração
instantânea do movimento é constante 
. 
69
Física Fundamental – O Estudo dos Movimentos
Caso a velocidade do móvel varie uniformemente,
por exemplo, de 10 m/s, de 1,0 em 1,0 segundo,
a aceleração é constante. Neste caso, o movi-
mento é denominado de Uniformemente Variado.
Para que você possa entender estes conceitos,
considere a tabela abaixo, no qual a veloci-
dade varia da seguinte maneira.
Observe que a partir da análise do gráfico
podemos tirar algumas conclusões:
1. o móvel variou sua velocidade (∆V) sempre
de 10,0 m/s em cada 2,0 segundos (∆t). 
2. a razão pode ser medida pela tangente
do ângulo θ.
3. a aceleração escalar média permaneceu
constante. Deste modo que a expressão 
am = pode ser rescrita como:
∆V = a.∆t. Deste modo a relação fica:
Vf = Vi + a.t
4. a partir do gráfico da velocidade (V)
podemos encontrar o gráfico da aceleração
(a) em função do tempo (t).
5. a partir do gráfico da velocidade pode-se
obter a variação de velocidade por meio da
área da figura.
1. Perguntado sobre alguns movimentos com
aceleração constante, um aluno forneceu os
seguintes exemplos:I. queda de uma folha seca de uma árvore
II. queda de uma manga do seu quintal
III. viagem de um avião entre Manaus - São
Paulo de Olivença.
IV. movimento inicial de um atleta durante uma
corrida de 100 m
Você concorda com as sugestões? Quais você
discorda? Explique por que.
Uma situação que frequentemente ocorre na
Cinemática é a determinação da variação da
posição (∆X) a partir da velocidade instan-
tânea. A partir do gráfico da velocidade pode-
se obter a distância percorrida pelo móvel.
Para isso utiliza-se a área da figura entre o eixo
do tempo e a curva obtida.
70
UEA – Licenciatura em Matemática
Observe que a figura obtida é um trapézio, de
modo que: 
∆X = Área do Trapézio.
∆X = 120m
Generalizando o cálculo feito acima pode-se
demonstrar que a função horária da posição
em função do tempo do MUV é dada por: 
, Como a função horária
obtida é do 2º grau, o gráfico será uma parábo-
la (vide a figura abaixo).
Caso deseje exprimir a velocidade em função da
posição, isole o termo (t) na equação (1) e (2) do
Movimento Uniformemente Variado, para obter a
denominada de Equação de Torricelli (3).
1 - V = V0 + a.t 
2 -
3 -
Diariamente presenciamos situações em que
um corpo varia rapidamente sua velocidade
em intervalos de tempo extremamente curtos.
Podem ocorrer, por exemplo, elevadas aceler-
ações quando:
i) um projétil é disparado por uma arma
ii) uma bola é chutada 
iii) no lançamento de um foguete
iv) na arrancada de um beija-flor.
1. Um corredor de curta distancia, partindo do
repouso, consegue imprimir a si próprio uma
aceleração constante de 5,0m/s2 durante 2,0 s
e, depois, percorre o resto do percurso, com a
mesma velocidade adquirida no final do perío-
do de aceleração.
a) esboce o gráfico da V = f(t) desse atleta. 
b) qual a distancia total que ele percorre nessa
corrida? 
2. Dois motoboys partem simultaneamente de dois
postes, afastados em linha reta de uma distancia
D, com velocidades constantes de 72Km/h e
54Km/h, respectivamente em direção ao ginásio
que fica na mesma avenida. Os motoboys
chegam, no mesmo instante ao ginásio 10 min-
utos depois. Com base nestas informações,
quanto vale a distancia D entre os dois postos. 
3. Um carro viaja em MRU com velocidade de 10
m/s até o instante (t). A partir desse instante o
carro adquire uma aceleração constante de
2,0m/s2. Que distancia o carro percorre
durante 20 segundos após o instante (t)? 
4. avenida movimentada, para se dirigir com
segurança recomenda-se manter o veículo da
frente a uma distancia mínima de um carro
(≈ 4,0 m) para cada 16Km/h.
a) Seguindo esta recomendação, qual deveria
71
Física Fundamental – O Estudo dos Movimentos
ser a distancia mínima que você dirigindo
seu carro a 108 Km/h deve manter-se afas-
tado de um caminhão que vai a sua frente? 
b) Mesmo que seu reflexo seja extremamente
ágil (≈0,50s) demonstre que, caso você
esteja afastado 10 m do caminhão, você
não conseguirá evitar a colisão.
5. Um automóvel parte do repouso com uma
aceleração constante de 9m/s2 em um percur-
so de 72m. Depois, seu movimento passa a ser
uniforme durante 20s, após o que é freado em
3s. Qual a aceleração media de freamento e a
distancia percorrida ate o inicio da freada? 
6. Uma partícula parte do repouso e percorre
uma trajetória retilínea, de tal forma que, em
cada intervalo de tempo de 1 s, a distancia por
ela percorrida é igual ao dobro da percorrida
no segundo anterior. Sabe-se que, a contar do
inicio do movimento, a partícula leva 4 s para
percorrer 30 m. 
a) Qual a velocidade media da partícula entre
os instantes t=2s e t=3s 
b) pode-se afirmar que a partícula está em
MRUV? Por que? 
7. Admita que você inicia uma corrida de bicicle-
ta a partir do repouso, acelerando 0.50m/s2.
Nesse instante passa por você, no mesmo sen-
tido, outro ciclista com velocidade constante
de 5,0 m/s. 
a) Quanto tempo, após a largada você
alcançara o outro competidor. 
b) No momento da ultrapassagem, quanto
valerá sua velocidade? 
1.5 O ESTUDO DA QUEDA LIVRE
Dentre os movimentos que a humanidade
levou séculos para resolver, o problema da
queda de um corpo, se constitui num dos mais
importante. Ele está ligado concepção cos-
mológica do Universo. O Modelo Copernicano
(heliocêntrico), gera sérias e marcantes ques-
tionamentos na explicação do movimento da
queda de um corpo numa Terra imóvel. 
Compreender e explicar a queda de um corpo
com a percepção armada por outro ponto de
vista, exige uma profunda alteração nas expli-
cações e nas imagens mentais retratada cos-
tumeiramente segundo o quadro prevalecente
do Universo. Este desafio e a luta intelectual
necessitava do desenvolvimento radical da
abstração humana, sem a qual, a nova visão
de mundo não se impunha. 
Nesta caminhada, que se inicia na Grécia antiga
com Aristóteles e nos leva até Einstein, não foram
poucos aqueles e, nem pequenos, seus trabalhos
na tentativa de tentar encontrar uma explicação
para o problema da queda de um corpo nas prox-
imidades da superfície da Terra em movimento.
1. Por volta de 150 dC, Cláudio Ptolomeu de
Alexandria, seguindo os ensinamentos de
Aristóteles, reforçou a crença de que a Terra
encontra-se imóvel no centro do Universo. Se-
gundo Ptolomeu. se a Terra girasse, as nuvens,
as aves e todos os objetos no ar seriam deixa-
dos para trás.
Comente este argumento de Ptolomeu.
Justifique sua posição.
Para Aristóteles, a variável fundamental na queda
de um corpo era o peso. A observação cotidiana
demonstra que quanto maior o peso de um
corpo mais rápido atinge o solo. Evidentemente
que, ainda no Mundo Antigo, alguns discor-
davam desta explicação, entre os quais,
podemos citar João Filoponos, no século VI. 
Com o passar dos anos outras explicações
foram aparecendo fazendo com que a propos-
ta original de Aristóteles perdesse um pouco
da sua força. Por volta do século XIV, surgiram
as primeiras tentativas de geometrizar o prob-
lema e a empregar, a partir do século XV, anti-
gas e bem conhecidas regras numéricas para
explicar a variação da posição durante a queda
de um corpo. 
72
UEA – Licenciatura em Matemática
Apesar destes avanços, importantes mestres
das universidades francesas e italianas,
durante o século XVI, continuavam apegados
as explicações físicas aristotélicas-escolásticas
para o movimento dos corpos.
Nicolau Copérnico
Neste processo de liberação das amarras do
sistema cosmológico tradicional defendido
pelos escolásticos, um jovem cônego polonês,
Nicolau Copérnico (1473-1543), talentoso
astrônomo e matemático, elaborou um modelo
planetário centrado no Sol, o que colidia fron-
talmente contra a tradição e a percepção
humana. Evidentemente que a idéia de
Copérnico, era difícil de ser aceita, pois car-
regava em seu interior ilações perigosas e
ameaçadoras que colocavam em cheque a fé
religiosa, tão abalada na Europa daqueles
anos. Tanto que em1616, a Inquisição coloca
no Índex dos Livros proibidos, a obra de
Copérnico, como “falso e de todo contrário às
Santas Escrituras”
1. Na sua opinião qual dos sistemas de referên-
cia, o de Ptolomeu ou o de Copérnico, é mais
valido de um ponto de vista moderno?
Justifique suas respostas.
É imerso nesta atmosfera cultural, treinado e
bebendo cientificamente desta tradição que
Galileu (1564-1642) vai iniciar seus estudos
como estudante de medicina na Universidade
de Pisa.
Os ensinamentos aí ministrados estavam pro-
fundamente impregnados pelos comentários
escolásticos, fundamentados na Física de
Aristóteles.
Dada esta realidade Galileo estava convicto de
que, disputar contra uma doutrina tão firme-
mente estabelecida, exigia muito mais do que
atirar pesos da Torre Inclinada de Pisa. Era pre-
ciso construir uma nova Física.
Determinado a sustentar a Teoria de Copér-
nico, pôs-se Galileo a idealizar argumentosfavoráveis ao movimento de rotação da Terra.
Dentre estes, aquele cuja solução vinha se
arrastando há séculos: o de que, se uma pedra
caísse do alto de uma torre, ela não atingiria o
solo junto a base da torre, pois não poderia
acompanhar o movimento da Terra. Em sín-
tese, se a Terra girasse, a pedra seria deixada
para trás. Entretanto, não é isto o que se obser-
va ao nosso redor: a pedra cai ao pé da torre. 
1. Admita que a velocidade tangencial de um
ponto do equador da Terra seja aproximada-
mente de 450 m/s e que uma pedra seja deixa-
da cair do alto de uma torre de 45 m. Segundo
a teoria de Aristotélica-Escolástica a quantos
metros do “pé” da torre a pedra atingiria o solo?
a) Sua solução apóia, a qual das teorias? 
b) Apoiado em seus conhecimentos de Física,
como você explica esta contradição?
2. Você seria capaz de justificar experimental-
mente que a Terra gira? Explique. 
73
Física Fundamental – O Estudo dos Movimentos
Armado com suas descobertas astronômicas,
Galileo passou a se dedicar em estabelecer
novos princípios gerais para o movimento a
partir do estudo do comportamento dos cor-
pos caindo sobre uma Terra em movimento.
Isto o levou a meditar sobre os seguintes prob-
lemas profundamente interligadas: elaboração
das leis da queda livre, sistemas de referencias
e inércia para a explicação dos movimentos
em uma Terra em movimento. 
Com relação ao problema da queda livre
Galileo havia apreendido que o núcleo da expli-
cação da queda dos corpos residia na veloci-
dade. Isso vai deslocar o foco da explicação
para o papel da aceleração do movimento. 
1. O desenho abaixo representa as posições
sucessivas de uma partícula, a partir do
repouso, livre de forças dissipativas. 
Apoiado na análise dessa figura, você pode afir-
mar com segurança que o movimento da partícu-
la é de Queda Livre? Justifique sua resposta.
Inicialmente, Galileu assume que a velocidade
é proporcional a distância. Todavia, à medida
que suas idéias vão amadurecendo, ao revisar
seus argumentos, Galileu descobre a incor-
reção daquela proposição e passa a buscar
uma explicação adequada em termos físicos. 
Somente em 1638, na sua obra, “Discorsi
dimostrazioni matematiche intorno à due
nuove Scienze”, é que ele apresenta publica-
mente, em sua versão final, a formulação cor-
reta para a queda de um corpo. 
Galileu começa a construção racional para o
“movimento naturalmente acelerado, tal como é o
efetuado pelos corpos pesados em queda” pos-
tulando que “a velocidade é proporcional ao
tempo”, pois esta é a maneira mais simples para
o comportamento da natureza já que, “pela adi-
ção repetida de uma mesma parcela” em iguais
intervalos de tempo, ocorrerá o mesmo efeito. 
A partir dessa premissa Galileu parte para o estu-
do quantitativo do movimento uniformemente
acelerado, definindo que: “um objeto é dito ser
uniformemente acelerado quando, partindo do
repouso, sua velocidade recebe iguais incre-
mentos em intervalos de tempos iguais”. Em ou-
tras palavras: ∆V ∞ ∆t; ou ∆V = a. ∆t.
Prosseguindo, Galileu aplica uma conhecidíssi-
ma a regra geométrica que trata o movimento
uniformemente acelerado como se fosse um
movimento uniforme. Galileu, chega a con-
clusão que as distancias percorridas durante o
mesmo intervalo de tempo é proporcional a
seqüência dos números primos (1,3, 5, 7, 9, ...).
O golpe de mestre de Galileu foi ter compreen-
dido que a queda dos corpos era a chave para
a consolidação da nova cosmologia coperni-
cana. Embora todos parecessem concordar
que a queda de uma pedra sobre uma Terra
em movimento, comportava-se exatamente da
mesma maneira quando ela caia do mastro de
um navio em movimento.
O que se viu, entretanto, com o desenrolar da
história de vida de Galileu, foi algo completamente
diferente. Ele foi condenado, morto e sepultado
por tentar ajudar a suportar tamanha “heresia”.
1. Um corpo é deixado cair, a partir do repouso,
de uma certa altura H. Se no último minuto da
queda ele percorre 25m, qual o valor da altura.
2. Uma pedra é lançada verticalmente para cima,
com velocidade de 3,0 m/s de uma posição 2,0
m acima do solo. Quanto tempo decorrerá
desde o instante de lançamento ate o instante
da pedra chegar ao solo? 
3. Uma torneira mal fechada pinga em intervalos
de tempos iguais. No instante em que o 3º
pingo está se soltando, o 1º pingo caiu uma
distancia X e o 2º pingo uma distancia Y.
Quanto vale a relação X/Y? (considere g ≅
10m/s2 e despreze a resistência do ar).
74
UEA – Licenciatura em Matemática
4. Uma partícula é lançada verticalmente para cima,
com velocidade de 10 m/s. Dois décimos de
segundo depois, do mesmo ponto, outra partícu-
la é lançada, em idênticas condições. Nestas
condições, ocorrerá a colisão entre as partículas?
Caso ocorra, determine o instante e localize a
posição onde ocorrerá a colisão. (Despreze a
resistência do ar e considere g ≅ 10m/s2) 
5. Uma bolinha de gude é lançada verticalmente
para cima com velocidade de 2,0 m/s, vindo
atingir novamente o solo. (a) Qual foi a veloci-
dade média da bolinha? R = zero. (b) qual o
espaço total percorrido pela bolinha?
6. Um chuveiro defeituoso pinga água com freqüên-
cia constante. Uma fotografia instantânea mostra
que as distancias entre três pingos consecutivos
são respectivamente 30 cm e 50 cm. Despre-
zando a resistência do ar, a que distancia encon-
tra-se a o pingo que caiu antes do primeiro. 
7. Três bolinhas de gude, A, B e C, são largadas
com velocidade inicial nula e percorrem a
mesma distancia D até atingirem o solo.
Coloque na ordem de chegada ao solo as
bolinhas. R = tA > tC > tB.
1.6 – ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE
É uma constatação que, desde que nos enten-
demos no mundo, todos os corpos abandona-
dos de uma certa altura caem. No entanto,
durante a queda, devido a existência do ar, o
corpo pode cair mais devagar. Fazendo-se cer-
tas idealizações, tais como o corpo ser
extremamente pesado, altura de queda não
muito grande, o movimento pode ser consider-
ada aproximadamente uma queda livre. 
Na época de Galileu admitir a existência do vácuo
ou vazio era um contra-senso. Entretanto, com o
desenvolvimento da tecnologia de construção de
bombas de vácuo, constatou-se que todos os
corpos caem, no vácuo, com a mesma acelera-
ção, denominada de aceleração da gravidade(g). 
Durante uma viagem, em 1973, da missão
Apolo XV a Lua, o astronauta David Scott
deixou cair contra o solo lunar uma pena de fal-
cão e um martelo, constatando que apesar da
diferença de peso, ambos os corpos
chegavam ao solo no mesmo tempo.
O valor de (g) pode ser obtido experimental-
mente com grande precisão. Todavia, para
efeito de simplificação de cálculo, vamos
empregar um valor aproximado para (g) como
sendo de: g ≅ 10m/s2.
A aceleração da gravidade para pontos próxi-
mo da superfície de um planeta depende
essencialmente de sua massa e do raio, segun-
do a expressão , onde G é uma cons-
tante obtida experimentalmente. No entanto,
dada a heterogeneidade do material que con-
stitui a Terra, medidas das variações da gravi-
dade pelos geofísicos podem indicar a pre-
sença de campos petrolíferos, depósitos sub-
terrâneos de gás, jazidas, etc. 
75
Física Fundamental – O Estudo dos Movimentos
1.7 VELOCIDADE E ACELERAÇÃO VETORIAL
Até agora, temos considerado apenas o papel
da direção da velocidade, o que fica bastante
evidenciado na analise dos movimentos curvilí-
neos. Um caso típico, por exemplo, é o caso do
movimento circular uniforme, onde a partícula,
embora se move sempre com a mesmo valor
para a velocidade, a direção muda constante-
mente. Como a velocidade instantânea é repre-
sentada geometricamente por uma tangente, a
analise do MCU revela que no ponto A direção
da tangente é horizontal, no ponto B é vertical e
no C é inclinada, o que demonstra que a
direção da velocidade esta mudando.Dada estas circunstancias, e conveniente rep-
resentar geometricamente a mudança do vetor
velocidade pelo vetor aceleração média, que
representa as variações do vetor velocidade 
instantânea: ou ainda, 
A partir disso, pode-se calcular facilmente que
vetor aceleração, que representa as variações
do vetor velocidade instantânea aponta para o
centro da curva de raio R. Esta aceleração se
denomina de Aceleração Centrípeta, que é 
dado por: 
, o que implica que ou 
.
No caso do MCU, a velocidade (V) pode ser
expressa em função da velocidade de rotação
(ω), denominada de velocidade angular, dada
por V = ωr. A velocidade angular, também esta
associada a um vetor na mesma direção do
eixo de rotação cujo sentido é dado pela regra
da mão direita.
1. Dois atletas percorrem uma pista de corrida cir-
cular, de raio R, no mesmo sentido, com veloci-
dades tangenciais constantes iguais a V e 3V.
Quanto tempo decorre entre dois encontros
sucessivos entre eles?
TEMA 02
CAMPOS 
2.1 LINHAS DE FORÇA DO CAMPO ELÉTRICO
Linha de força do campo elétrico é uma linha
reta ou curva imaginária de maneira que sua
tangente, em cada um de seus pontos, forneça
a direção e o sentido do vetor representativo
do campo. Quando as linhas de força são retas
e paralelas o campo é dito uniforme. Por con-
venção as linhas de força saem dos corpos
positivamente eletrizados e em caso contrário,
convergem para ele.
As imagens mostram as formas das linhas de
força elétrica (a) de uma placa carregada - lin-
has de força paralelas e (b) dos fios com car-
gas iguais e opostas.
O conjunto das linhas de força que atravessam
uma determinada área, constitui o fluxo de força. 
Podemos concluir que as linhas de campo
elétrico fornecem uma representação gráfica
do campo elétrico. A tangente à linha, fornece
em qualquer ponto de uma linha de campo, a
direção e o sentido de E
→
no ponto considera-
do. O valor do campo é maior onde houver
maior concentração das linhas de campo e,
consequentemente menor, nos locais onde
estiverem mais espaçadas. 
2.2 CAMPO ELÉTRICO
Na Mecânica, ao falarmos sobre campo gravita-
cional dizemos que a região do espaço que
envolve cada planeta sofre uma alteração, pois
nele surge um campo de força gravitacional e
que qualquer corpo que possui massa, colocado
nessa região, fica sujeito a uma força de atração
exercida pelo planeta. Essa é a propriedade fun-
damental dos campos gravitacionais.
Por exemplo, a evidência mais comum do
campo gravitacional é a força peso. Se tomar-
mos um objeto qualquer, seu peso próximo ao
chão, no alto de um edifício ou dentro de um
avião será o mesmo, o que sugere que o
campo é uniforme em todos os pontos e ele
existe independentemente de haver ou não
corpos ocupando um determinado espaço.
Por analogia, em Eletrostática, podemos afir-
mar que o espaço que envolve uma carga
elétrica também está modificado, pois surge
nele um campo de forças elétrico, o que com-
preende que qualquer partícula eletrizada que
for inserida nessa região, fica sujeita a uma
força elétrica de atração ou de repulsão, depen-
dendo dos sinais das cargas em questão.
Estas, não são forças de contato, mas forças
que atuam a distância.
O mecanismo dessas forças foi explicado por
Michael Faraday, no início do século XIX, intro-
duzindo o conceito de campo. No caso dos
corpos celestes, é a idéia de campo de gravi-
dade onde esses corpos interagem e, no caso
da eletrostática, surgiu a idéia de um campo
elétrico envolvendo a partícula eletrizada.
Compare estas figuras para uma melhor com-
preensão das representações de linhas de
76
UEA – Licenciatura em Matemática
força de um campo elétrico. Temos linhas de
força do campo elétrico entre duas cargas
elétricas de sinais contrários e ação de um ímã
sobre limalha de ferro (campo magnético). 
É importante observarmos que comparação
entre os campos gravitacional e elétrico nos foi
conveniente ante a necessidade de compreen-
são do que é campo. No entanto, além da
natureza diferente, a interação gravitacional é
apenas atrativa enquanto que a interação elétri-
ca vem a ser atrativa e repulsiva. Em comum,
podemos dizer que os dois campos são regiões
em que se produzem interações que variam
com o quadrado da distância entre os corpos
sob influência mútua. Ou seja, em torno de uma
carga elétrica sempre haverá um campo elétrico
e para detectar a existência de um campo elétri-
co em uma região do espaço, basta colocarmos
nela uma carga de prova, que significa uma
carga com um valor minúsculo o suficiente para
que sua presença não desloque as cargas cujo
campo está sendo medido.
É importante esclarecer que, o campo gravita-
cional atua sobre a massa do corpo de prova,
ao passo que o campo elétrico atua sobre a
carga elétrica do corpo de prova.
No campo gravitacional assim como no campo
elétrico, quer o corpo de prova esteja em
repouso ou em movimento, surgirá nele uma
força de campo E
→
.
A força é uma grandeza vetorial, assim sendo
o campo também é. Logo, ela deve ser carac-
terizada por uma intensidade, uma direção e
um sentido e todas as operações com o vetor
campo devem seguir as regras vetoriais. A
direção é a mesma da força elétrica que age
sobre a carga de prova. A intensidade é inver-
samente proporcional à distância, ou seja,
aumenta nas proximidades da carga e diminui
à medida que dela se afasta.
definimos o campo elétrico E
→ 
em um ponto
como a força elétrica F
→ 
que atua sobre uma
carga q nesse ponto, dividida pela carga q.
Então o campo elétrico em um dado ponto é
igual à força elétrica por unidade de carga que
atua sobre uma carga situada nesse ponto:
Usando unidades SI, para as quais a unidade
de força é 1N e a unidade de carga é 1C, então
a unidade de campo é:
O sinal da carga Q, geradora do campo elétri-
co, é quem defini o sentido do campo, por
definição:
• Se Q < 0 (negativa), o sentido converge, de
fora para dentro.
• Se Q > 0 (positiva), o sentido diverge, de
dentro para fora da carga.
Falando em termos da força F
→ 
:
• quando Q > 0 (positiva), a força F
→ 
que atua
sobre a carga terá o mesmo sentido de E
→
; 
• quando Q < 0 (negativa), F
→ 
e E
→
terão sen-
tidos contrários.
Para cálculos práticos da força elétrica e do
campo elétrico, se colocar uma carga teste
pequena q no ponto do campo P a uma distân-
cia r do ponto da fonte, o módulo F será dado
pela lei de Coulomb:
e da equação do campo elétrico, o módulo E
no ponto P é dado por:
Outra situação fácil de se encontrar o campo
elétrico é o caso do interior de um condutor.
Caso existisse campo elétrico no interior de um
condutor, o campo exerceria uma força sobre
cada carga existente em seu interior, o que pro-
duziria um movimento das cargas livres. Por
definição não há movimento efetivo em uma
77
Física Fundamental – O Estudo dos Movimentos
situação eletrostática. De onde se conclui que
na eletrostática o campo elétrico deve ser igual
a zero em todos os pontos do interior de um
condutor.
EXEMPLO
Calcule o módulo do campo elétrico de uma
carga puntiforme q = 4,0nC em um ponto do
campo situado a uma distância de 2,0m da
carga (a carga puntiforme pode ser qualquer
objeto pequeno carregado com a carga q,
desde que as dimensões do objeto sejam
muito pequenas em comparação com a distân-
cia entre o objeto e ao ponto do campo.). 
Solução:
Usando a equação para o módulo do campo
elétrico de uma carga puntiforme: 
=
1. Um próton é colocado num campo elétrico E.
Quais devem ser a magnitude, a direção e o
sentido desse campo, sabendo-se que a força
eletrostática que atua sobre o próton equilibra
seu peso? 
2. A figura mostra uma carga de q1 = +1,5µC e
uma carga q2 = 2,3L = 13 cm. Em que ponto P
ao longo de x o campo é igual a zero? 
2.3 MAGNETISMO
O estudo da eletricidade e domagnetismo foi
através de um conjunto de descobertas experi-
mentais e generalizações de teorias que sempre
se renovavam com as “mais recentes descober-
tas”. Passaram-se séculos até que se pudesse
“unificar” o magnetismo e a eletricidade, até então
estudados separadamente. Esse vínculo foi esta-
belecido a partir das medições precisas das
forças magnéticas feitas por André Marie Ampère
que descobriu o magnetismo criado por uma cor-
rente elétrica e a influência que esta sofre por essa
magnetização. Essa influência foi descrita por
Michael Faraday como “linhas de forças”, estas
saiam do pólo norte de um ímã em direção ao seu
pólo sul. E assim, surgiu a idéia de campo. Com
essa “novidade”, as explicações da maneira
como as forças eletromagnéticas podem atuar a
longas distâncias ganharam consistência. 
Até aqui estudamos alguns tópicos básicos
sobre eletricidade e forças elétricas, agora estu-
daremos as forças magnéticas e para isso vere-
mos alguns conceitos básicos sobre o magnet-
ismo, que estuda os fenômenos associados aos
ímãs, e sobre o eletromagnetismo, que estuda os
fenômenos causados pelas correntes elétricas.
A propriedade de alguns corpos atraírem o
ferro foi observada, há muito tempo, com um
minério da região de Magnésia, na Ásia, con-
hecido como óxido magnético de ferro (Fe3O4);
daí o nome magnetita dado ao minério e de
magnetismo a propriedade nele observada.
Podemos enumerar algumas ações magnéti-
cas, tais como:
• São capazes de atrair algumas substâncias
(níquel, aço e outras).
• Dependendo de como aproximá-los a força
de interação entre os ímãs pode ser de
atração ou repulsão.
• Os ímãs não agem sobre cargas elétricas
em repouso, que por sua vez, não exercem
força sobre os ímãs.
• Um ímã em forma de barra suspenso pelo seu
centro de gravidade de modo que possa girar
livremente, orienta-se sempre da mesma
78
UEA – Licenciatura em Matemática
maneira num determinado local, em relação à
direção Norte-Sul geográficos: Região polar
Norte magnética do ímã(N) – voltada para o
Norte geográfico e Região polar Sul magnéti-
ca do ímã(S) – voltada para o Sul geográfico.
• Os pólos magnéticos são inseparáveis, isto é,
se cortarmos um ímã ao meio, obteremos dois
novos ímãs, cada qual com N e S magnéticos.
A magnetita é um ímã natural, mas para uso
prático, se utilizam materiais com característi-
cas magnéticas mais acentuadas e favoráveis
(ligas de alumínio, níquel e cobalto) para fazer
ímãs artificiais de formas as mais variadas, de
acordo com a conveniência da aplicação.
Os ímãs podem conservar as propriedades
magnéticas por muito tempo, ímãs perma-
nentes, ou perdê-la, assim que cesse a iman-
tação, ímãs temporários ou transitórios.
1. O pólo A de um ímã atrai o pólo B de outro ímã,
que repele o pólo C de um terceiro ímã, cujo
pólo oposto atrai A. Esta afirmativa é correta?
Justifique. 
2. como sabemos uma agulha magnética (bússola)
se orienta numa direção preferencial sobre a Ter-
ra. Na tentativa de explicar tal fenômeno, o cien-
tista inglês W. Gilbert apresentou a seguinte idéia:
“[...] a orientação da agulha magnética se deve
ao fato de a Terra se comportar como um
grande ímã. Segundo Gilbert, o pólo geográfico
da Terra seria também um pólo magnético que
atrai a extremidade norte da agulha magnética.
De modo semelhante, o pólo sul geográfico da
Terra se comporta como um pólo magnético
que atrai o pólo sul da agulha magnética.” 
Em vista da explicação apresentada, é correto afir-
mar que as linhas de indução do campo magnéti-
co da Terra se orientam externamente no sentido:
a) leste – oeste
b) sul – norte
c) oeste – leste
d) norte – sul
e) para o centro da Terra
2.4 CAMPO MAGNÉTICO
O campo magnético, da mesma forma que o
campo elétrico, pode ser representado através
de linhas de força ou linhas de campo.
Podemos facilmente ver essas linhas de
campo ao espalhar em torno de um ímã, limal-
ha de ferro. Os pequenos fragmentos orien-
tam-se como se fossem bússolas. Ou seja, em
resposta ao campo magnético produzido pelo
ímã, os pequenos fragmentos de ferro se alin-
ham com a direção do campo magnético.
As linhas de campo são de tal maneira que, em
cada ponto, o vetor campo magnético B
→ 
é tan-
gente à linha de campo. O espaçamento entre as
linhas de campo representa a sua intensidade,
verificando-se que esta será mais intensa nos
pontos em que as linhas de campo estão mais
próximas e menos intensa no caso contrário. 
2.4.1 DIREÇÃO E SENTIDO DO CAMPO
MAGNÉTICO
Quando queremos representar a direção de B
→
,
em um ponto, colocamos nesse ponto uma
bússola (onde seu eixo de giro será colocado
sobre o ponto). A direção de B
→ 
é por definição,
a direção em que a agulha da bússola fica em
equilíbrio, esta mostra o campo magnético tan-
gente a linha de campo naquele ponto.
Assim, em cada ponto em torno do ímã, o sen-
tido de B
→ 
é tal que se afasta do pólo norte e se
aproxima do pólo sul.
Observando as figuras vemos a região entre os
79
Física Fundamental – O Estudo dos Movimentos
braços do U em que as linhas de campo são
quase paralelas. Isso significa que, em toda essa
região, o vetor B
→ 
tem, aproximadamente, a
mesma direção e o mesmo sentido. Se as linhas
estiverem exatamente paralelas, definimos o
campo como uniforme e neste caso, todos os
ponto do campo B
→ 
possui a mesma intensidade.
Quando submetemos um ímã em forma de barra
a uma região com campo uniforme, o ímã fica
sujeito a duas forças de mesma intensidade F
→ 
e
– F
→
. A resultante das forças é nula. Isso significa
que o ímã não será acelerado para nenhum dos
lados, podendo apenas girar (posição de equi-
líbrio), enquanto que se submetido a um campo
não uniforme, as forças em cada pólo são difer-
entes, logo a resultante será diferente de zero,
podendo provocar uma aceleração do ímã.
1. A figura indica quatro bússolas que se encon-
tram próximas a um fio condutor, percorrido
por uma intensa corrente elétrica. 
a) Represente, na figura, a posição do condu-
tor e o sentido da corrente.
b) Caso a corrente cesse de fluir, qual será a
configuração das bússolas? Faça a figura
correspondente.
2. Imagine um plano com área de 3,0cm² em um
campo magnético uniforme. Sabendo que o
vetor área A
→ 
forma com B
→ 
um ângulo de 60° e
que o fluxo magnético através da área é igual a
0,90 mWb, calcule o módulo do campo mag-
nético e determine a direção e o sentido do
vetor área. 
3. Raios cósmicos são partículas de grande veloci-
dade que, provenientes do espaço, atingem a
Terra de todas as direções. Sua origem é, atual-
mente, objeto de estudos. A Terá possui um
campo magnético semelhante ao criado por um
ímã em forma de uma barra cilíndrica, cujo eixo
coincide com o eixo magnético da Terra. Uma
partícula cósmica P com carga elétrica positiva,
quando ainda longe da Terra, aproxima-se per-
correndo uma reta que coincide com o eixo
magnético da Terra.
Desprezando a atração gravitacional, podemos
afirmar que a partícula, ao se aproximar da Terra:
a) Aumenta sua velocidade e não se desvia de
sua trajetória retilínea.
b) Diminui sua velocidade e não se desvia de
sua trajetória retilínea.
c) Tem sua trajetória desviada para o leste.
d) Tem sua trajetória desviada para o oeste.
e) Não altera sua velocidade nem se desvia de
sua trajetória.
80
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 03
FLUIDOS EM MOVIMENTO
3.1 INTRODUÇÃO AO MOVIMENTO DE UM FLUIDO
A hidrodinâmica trata dos problemas rela-
cionados a fluidos (líquidos e gases) em movi-
mento, tais como o escoamento da água ao
longo de um tubo ou de um rio, o sangue que
circula nas veias de uma, a fumaça de uma
chaminé ou de um cigarro. 
O movimento de um fluido real é complicado e
ainda não é bem compreendido, e um dos
modos de descrever o movimentode um fluido
é dividi-lo em elementos de volume infinitesi-
mais, que podem ser chamados de partículas
do fluido, e acompanhar o movimento de cada
partícula. Conhecendo-se as forças que atuam
sobre cada uma das partículas pode-se, em
princípio, obter as velocidades e as coorde-
nadas em função do tempo. Este método, que
é uma generalização direta da mecânica da
partícula, foi desenvolvido por Joseph Louis
Lagrange (1736-1813). Como o número de
partículas do fluido é em geral grande, o uso
deste método implica a resolução de um prob-
lema matemático de enorme complexidade.
Existe um tratamento diferente desenvolvido por
Leonhard Euler (1707-1783), que é mais conve-
niente para muitas aplicações. Ao utilizar este
método, não é necessário especificar a trajetória
de cada partícula do fluido e sim, especificar a
densidade e a velocidade do fluido em cada
ponto do espaço e em cada instante. Este é o
método que será utilizado aqui. Além disso, será
discutido o movimento de um fluido ideal que é
mais simples de tratar matematicamente. Apesar
dos resultados não concordarem totalmente com
o comportamento dos fluidos reais, a diferença é
desprezível em algumas situações práticas.
a) Escoamento estacionário:
Num escoamento estacionário (ou escoa-
mento permanente) a velocidade do fluido
em movimento, num dado ponto, não varia
no decorrer do tempo, nem em módulo,
nem em sentido.
b) Escoamento incompressível:
Tal como foi admitido no estudo do equi-
líbrio de fluidos, é suposto que o escoa-
mento de um fluido ideal seja incompressí-
vel, ou seja, sua densidade permanece
sempre constante.
c) Escoamento ideal:
A viscosidade num fluido é semelhante ao
atrito de um sólido. Em ambos os casos, a
energia cinética do corpo que se move pode
transformar-se em energia térmica. Na
ausência de atrito, um objeto movendo-se
no seio de um fluido ideal (sem viscosidade)
não deve sofrer a ação de nenhuma força de
arraste devido ao atrito viscoso.
d) Escoamento irrotacional:
Neste tipo de escoamento, um corpo de
teste colocado dentro do fluido não gira em
torno de nenhum eixo passando pelo seu
centro de massa.
3.2 LINHAS DE CORRENTE E A EQUAÇÃO DA
CONTINUIDADE
Figura 9. Um tubo de escoamento é definido 
pelas linhas de corrente que delimitam suas 
fronteiras. A vazão do fluido deve ser a mesma em 
todas as seções retas do tubo de escoamento.
A Figura 9 mostra duas seções transversais de
áreas A1 e A2 ao longo de um tubo de escoa-
mento fino. Observando num intervalo de
tempo t o movimento do fluido em P tem-se
que uma partícula do fluido percorrerá uma
distância v1t varrendo um volume de fluido V
dado por:
V = A1 v1t . 
Sendo o fluido incompressível e não havendo
fontes ou sorvedouros na região considerada
na Figura 9, tem-se que o mesmo volume de
fluido deve passar em Q ou seja,
81
Física Fundamental – O Estudo dos Movimentos
V = A1 v1t = V = A2 v2t .
Portanto, podemos escrever para qualquer
ponto ao longo do tubo de escoamento:
R = A v = constante,
ou 
R =
onde R é chamada vazão volumétrica, e sua
unidade no SI é dada em m3/s.
Multiplicando a vazão volumétrica pela densi-
dade (constante) do fluido, obtemos a quanti-
dade:
Av ρ = const,
denominada vazão mássica. Também é con-
hecida como equação da continuidade, e
expressa a conservação da massa em mecâni-
ca dos fluidos.
1. Um líquido escoando pelo tubo indicado na
figura, atravessa a seção 1, com velocidade de
3 m/s2. Encontre a velocidade que passa na
seção 2, sabendo-se a área da seção 1 corre-
sponde a 3 x 10–2 m e da seção 2 é 1,5 x 10–2 m.
Solução:
Aplicando a equação da continuidade, temos
A1 . v1 = A2 . v2
3 x 10–2 x 3 = 1,4 x 10–2 v2
A velocidade na seção 2 é 6,4 m/s2.
3.3 EQUAÇÃO DE BERNOULLI
A equação de Bernoulli, inicialmente desen-
volvida por Daniel Bernoulli em 1738, não é um
princípio básico, mas sim uma proposição
decorrente da lei de conservação da energia
adaptada para problemas que envolvem flui-
dos. Ela é dada por:
onde o último termo da soma no primeiro
membro representa a pressão devida à veloci-
dade do escoamento.
Se a altura y for constante, de modo que o flu-
ido não mude de nível enquanto escoa, então
obtemos
a qual nos diz que se a velocidade de uma
partícula do fluido aumenta enquanto ela se
escoa ao longo de uma linha de corrente1, a
pressão do fluido deve deminuir e vice-versa.
1. Um tanque de grande área é cheio de água a
uma profundidade de 0,30m. Um buraco de
área A = 6,5cm2 no fundo do tanque permite
que a água escoe. Determine a que taxa a
água flui pelo buraco. 
Solução:
D = 0,30 m
A = 6,5 cm2 = 6,5 x 10–4 m2
Vamos usar a Equação de Bernoulli, para
encontrar a velocidade com que á água sai no
buraco do fundo do tanque:
nos pontos 1 na superfície da água dentro do tan-
que e o ponto 2 no buraco no fundo do tanque:
82
UEA – Licenciatura em Matemática
Considerando o buraco no fundo do tanque pe-
queno, a velocidade na superfície 1 é aproxima-
damente zero (v1 ≅ 0), e também D = y2 – y1,
temos:
.
Os pontos 1 e 2 estão em contato com a
atmosfera, logo p1 = p2 = patm, então obtemos
a velocidade,
v2 = = 2,4 m/s.
O fluxo de água, ou seja a vazão é dada por,
R = Av = 1,58 m3/s.
1. Em duas regiões distintas do leito de um rio:
uma larga A com área de seção transversal de
200 m3, e outra estreita B, com 40m2 de área
seção transversal. A velocidade do rio na região
A tem módulo igual 1 m/s. De acordo com a
equação da continuidade aplicada ao fluxo de
água, calcule a a velocidade do rio na região B. 
2. O sangue circula a 30 cm/s numa aorta com 9
mm de raio. Calcule a vazão do sangue em
litros por minuto.
1. DETERMINAR A VAZÃO
O objetivo desta atividade é determinar a vazão
de um líquido.
Deixe escorrer na proveta um certo volume de
líquido, anotando o tempo correspondente. A
razão entre o volume acumulado e o intervalo
de tempo é a vazão. Usando a equação da
continuidade, calcule a velocidade da água na
mangueira.
2. SOPRO SOBRE UMA FOLHA DE PAPEL
Segure uma folha de papel na posição horizon-
tal, na altura da boca, e sopre fortemente sobre
a folha. Observe e tente explicar o ocorrido.
3. FLUXO DE AR ENTRE DUAS BOLINHAS DE
PING-PONG
Suspenda duas bolinhas de pingue-pongue,
separadas por cerca de 3 cm, por fios de
mesmo comprimento e sopre entre elas.
• Sopre suavemente entre elas. 
• Observe e tente explicar o que acontece.
83
Física Fundamental – O Estudo dos Movimentos
TEMA 04
ALGUNS TIPOS DE MOVIMENTOS
4.1 MOVIMENTO AO LONGO DE UM PLANO
INCLINADO
Um corpo em queda livre, a partir do repouso,
percorre em 1,0 segundo cerca de 5,0 metros,
o que serve para dar uma medida do grau da
dificuldade de se determinar experimental-
mente, por exemplo, o tempo de queda para
pequenas alturas. Em vista disso, Galileu utili-
zou um plano inclinado para controlar a distan-
cia a ser percorrida e o tempo do movimento
durante a queda de um objeto.
A mesma situação ocorre no caso de um
Pêndulo Simples, onde cada elemento infinitesi-
mal da curva traçada durante seu movimento,
pode ser considerado um micro-plano inclinado.
O pendulo simples é um sistema idealizado, con-
stituído de um ponto de massa (m) localizado na
extremidade de um fio inextensível e sem massa
de comprimento (L) (vide a figura abaixo). O prob-
lema do pendulo é essencialmente bidimensional
embora seu movimento real seja especificado
completamente somente por um angulo θ.
1. O telhado da casa da dona Dorva tem a forma
da figura abaixo e que, Afrânio, seu neto, faça
com que um tijolo deslize pelo telhado, atinja o
solo no ponto C.
Determine:
a) O módulo da aceleração adquirida pelo tijo-
lo ao longo do telhado. 
b) As componentes da velocidade do tijolo no
instante em queixa o beiral (ponto C) 
c) A velocidade com que o tijolo atingeo solo 
4.2 VELOCIDADE TERMINAL
Como já foi dito, a presença do ar é um fator
que reduz a velocidade de queda dos corpos.
Se assim não fosse, uma gota de chuva esma-
garia a sua cabeça. Na realidade, o que ocorre
é que a gota durante a queda alcança uma
velocidade limitadora que impede que veloci-
dade cresça indefinidamente. Chamamos esta
velocidade de Velocidade Terminal. 
Este efeito de retardamento pode ser observa-
do no caso de uma bolinha de gude que cai,
por exemplo, dentro de um recipiente com
glicerina, a força de atrito viscoso se opõe ao
peso, aumentado linearmente sua intensidade
fazendo com que a força resultante diminua. 
Quando a força de atrito viscoso equilibra a
força da gravidade, a velocidade tende para
um valor limite chamada de Velocidade
Terminal, como se vê no gráfico abaixo. 
84
UEA – Licenciatura em Matemática
Deste modo podemos determinar a Velocidade
Limite ou Velocidade Terminal (VL) quando
fvis = Peso, donde se obtém a seguinte expressão
para velocidade terminal: VL = P/FViscoso.
1. Uma conseqüência superinteressante da
velocidade terminal ser proporcional ao peso
do objeto, se relaciona com a explicação de
Aristóteles de que os corpos mais pesados
caem mais rápido que os mais leve. Sendo
assim, o nosso mundo é, então, Aristotélico?!
Por sua vez, se em nosso mundo a resistência
do ar está sempre presente, porque Galileu
preferiu ignorar no seu estudo da queda livre.
2. Uma gota de chuva de 0,05 g cai com veloci-
dade constante de 2 m/s. qual a força retar-
dadora que age sobre a gota?
4.3 AS LEIS DE KEPLER
As Leis de Kepler, no sentido moderno, são
consideradas pelos físicos como uma das
primeiras “Leis Naturais”: afirmações precisas,
verificáveis, sobre relações universais gover-
nando fenômenos particulares, expressas em
termos matemáticos.
Entretanto, a maneira como Kepler chegou a
elas é fascinante. Para adentrar no mundo
de Kepler não podemos nos esquecer as
fortes influências que ele recebeu. Kepler foi
astrólogo, místico, matemático, pastor luter-
ano, etc.
Apesar destas idéias serem consideradas,
atualmente, muito estranhas para quem estuda
Física, elas não as foram para Kepler. Sua ado-
ração, por exemplo, pelo o Sol forneceu-lhe,
em grande medida, a motivação de sua vida,
do seu trabalho e, as razões pelas quais ado-
tou a teoria de Copérnico quando raros eram
aqueles que tinham suficiente coragem para
defender esta teoria, vindo a se tornar, em seu
coração, partidário da nova astronomia 
O seu entusiasmo pelo copernicismo, também
esta arraigada ao apego de Kepler a tradição
platônica-pitagórica, o levaram em 1602, a desco-
berta da Lei correta, conhecida como a Segunda
Lei de Kepler, embora tivesse sido a primeira!!
Além de verificar que a órbita de Marte não é
circular, Kepler também percebeu também que
o movimento do planeta ao longo da órbita não
é uniforme ou seja: a velocidade é maior quan-
do ele está mais próximo do Sol. 
A Segunda Lei de Kepler, conhecida como Lei
das Áreas, demonstra que um planeta quando
está mais próximo do sol a área é mais curta e
larga, e quando se encontra longe, a área é
mais comprida e estreita. Entretanto, as duas
áreas, para um mesmo intervalo de tempo, são
surpreendentemente iguais. 
Lei Áreas: “O raio vetor que liga um planeta ao
Sol descreve áreas iguais em tempos iguais”.
Tendo descoberto esta relação entre a veloci-
dade e a posição de um planeta, Kepler retoma
a questão da órbita planetária. 
Após três anos lutando incansavelmente com
este problema, em que varias vezes esteve
com a solução às mãos, mas deixava escapar,
por não reconhecer a elipse como uma figura
perfeita. Tendo que recomeçar tudo de movo e,
novamente, ..., e novamente,... Kepler desco-
bre, em 1605, sua segunda Lei do Movimento
Planetário, mas que denominamos de Primeira
Lei de Kepler, ou Lei das Órbitas. 
85
Física Fundamental – O Estudo dos Movimentos
Lei das Órbitas : As órbitas descritas pelos
planetas em redor do Sol são elipses com o
Sol num dos focos.
Se a é o semi-eixo maior de uma elipse e c a
semi-distância focal (vide a figura abaixo), a
razão e = c/a chama-se excentricidade da
elipse. Para e = 0, a elipse degenera num círcu-
lo; quanto maior for e, mais “achatada” a elipse. 
F e F’= focos; P = planeta
Entretanto, essas duas Leis não o acalmaram e
nem o satisfaziam plenamente, faltava-lhe
descobrir a ordem pelo qual Deus organizou o
Mundo. Kepler, acreditava e perseguia obses-
sivamente desde a juventude, a Harmonia que
deveria existir no universo. 
Finalmente, em 1619, Kepler, descobre a Lei
Harmônica. Esta lei relaciona o período de
movimento de cada planeta em relação a sua
distancia médias ao sol.
Lei dos Períodos, estabelece que: “Os
quadrados dos períodos de revolução de
dois planetas quaisquer estão entre si como
os cubos de suas distâncias médias ao Sol”.
Se T1 e T2 são períodos de revolução de dois
planetas cujas órbitas têm raios médios R1 e
R2 respectivamente, a 3ª lei afirma que
(T1/ T2)2 = (R1/R2)3
4.4 O MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES
Este é sem duvida alguma é um dos mais
importante movimento no estudo da Física.
Ainda que tão diversos em aparências, o uni-
verso esta repleto de osciladores harmônicos
simples, tais como: molas oscilando, átomos
vibrando, circuitos elétricos, pêndulos. Todos
tem em comum a presença de uma força
restauradora linear.
Movimento periódico ou movimento harmôni-
co, é um movimento que se repete em interva-
los de tempos iguais. Vamos explorar esse tipo
de movimento, para o caso de uma partícula
que descreve um movimento circular uniforme
no plano vertical.
Um boa aproximação deste movimento é dada
pelo movimento de vai-e-vem da sombra da
partícula que se repete periodicamente ao
longo do eixo X. Um objeto que se move numa
mesma trajetória num movimento harmônico,
dizemos que ele está oscilando. Muitos efeitos
na Natureza são periódicos; por exemplo: as
batidas cardíacas, as estações do ano, as
oscilações de um pendulo simples, as
vibrações dos átomos num sólido, a corrente
elétrica numa lâmpada; as oscilações das
moléculas do ar numa onda sonora, etc.
Existe uma relação básica entre o MHS e o MCU,
que pode ser visualizado de maneira bem sim-
ples pelo movimento de uma partícula se move
numa trajetória circular de raio (A), ao redor de
um eixo vertical que passa pelo centro do circu-
lo, com uma velocidade angular (w) em rad/seg. 
Se nos concentrarmos na sombra da partícula
ao longo de um plano horizontal verificaremos
que ela se move para frente e para trás.
Podemos, portanto, considerar a projeção do
movimento de uma partícula em M.C.U. execu-
tando um M.H.S. 
86
UEA – Licenciatura em Matemática
Outra característica bem marcante de todo
movimento harmônico é o Período (T), ao final
do qual o movimento se repete, reproduzindo
exatamente, seu deslocamento e velocidade.
O valor do Período (T), se obtém facilmente,
observando que o movimento ao executar um 
ciclo completo, . Tal propriedade é o que
possibilidade que um oscilador possa ser usado
como um cronômetro.
Nestes casos, pode-se empregar o período do
movimento de um pêndulo simples pode ser 
facilmente determinado por: . Por-
tanto, num dado planeta, a freqüência de um
pendulo simples não depende da massa mas
somente de seu comprimento.
, que quando comparada com
a = (–ω2).X, obtém-se .
TEMA 05
ONDAS
5.1 MOVIMENTO ONDULATÓRIO: O QUE É
UMA ONDA?
O conceito de onda permeia todo o universo:
escutamos onda, vemos onda, sentimos onda e,
quando descrevemos átomos e moléculas,
imaginamos ondas. A característica mais extra-
ordinária de um movimento ondulatório: seja
qual for as circunstâncias uma onda transporta
energia, quantidade de movimento e informação
a uma hiper-longínqua região sem transportar o
meio e com poucas perdas. Um terremoto ou
um tsunami(ondas de grande amplitude, uma
pororoca gigantesca) pode se propagar por
quilômetros destruindo tudo que encontra pela
frente. O sol emite radiação (ondas) eletromag-
nética responsável pelo clima da Terra.
Conceitos relativos á Ondulatória.
Na experiência cotidiana, é possível percebermos
alguns fenômenos que, inicialmente, poderemos
chamar de simples perturbações, como por
exemplo, uma pedra caindo em um lago. Após a
pedra cair, na superfície aparece pequenas ondu-
lações contínuas, que demonstra que o meio ma-
terial sofreu uma perturbação que se propagou.
Assim, podemos dizer que uma onda se forma
a partir de uma série de pulsos, distúrbios
que se propagam através de um meio, sem
que haja transporte de matéria.
87
Física Fundamental – O Estudo dos Movimentos
Quanto á natureza, as ondas podem ser:
MECÂNICAS, quando necessitam de um meio
material para sua propagação; exemplos: as
ondas que se formam na superfície da água,
em cordas balançando etc.
ELETROMAGNÉTICAS, originadas por
vibrações eletromagnéticas que não necessi-
tam de meio material para sua propagação. É
o caso das ondas luminosas.
Uma onda é qualquer sinal que se transmite de
um ponto a outro de um meio com velocidade
definida sem transportar matéria. É por isso
que quando deixamos a cortiça num certo
lugar, ela sobe e desce, mas não sai do lugar. 
Para cada tipo de distúrbio (onda), existe uma
maneira especial de analisar o que causa a alter-
ação na sua vizinhança. Neste sentido, devemos
diferenciar a onda longitudinal da onda trans-
versal. No primeiro caso, as partículas do meio
movem-se na mesma direção da propagação da
onda, enquanto que no segundo, as partículas se
movem perpendicularmente a direção de propa-
gação. Vamos exemplificar cada um destes tipos
de propagação analisando dois fenômenos natu-
rais bastante conhecidos: o som e a luz.
Na primeira e na segunda foto, de cima para
baixo, exemplo de ondas transversais e, na últi-
ma, exemplo de onda longitudinal.
Num movimento periódico, além do período,
zuma observação importante é verificar quan-
tas vezes o movimento se repete. A grandeza
física responsável por isso é freqüência, que
se define como o número de vezes que um
fenômeno se repete. A medida da distância
entre duas cristas ou dois vales consecutivos
determina o comprimento de onda (λλ).
Outro importante conceito é o da Frente de
Onda, que se define como o conjunto de todos
os pontos do meio que, em determinado
instante, são atingidos pela onda que se propa-
ga. Vale frisar que a frente de onda separa a
região perturbada da região ainda não pertur-
bada. Cada ponto de uma frente de onda no
instante inicial zero pode ser considerado como
uma fonte de ondas secundárias. A nova frente
de onda é a superfície que tangencia essas
ondas secundárias. As ondas possuem ainda
capacidade de reflexão, refração e difração. 
88
UEA – Licenciatura em Matemática
No primeiro caso, as ondas podem, ao incidir
numa superfície sofrer uma reflexão, de tal
maneira que o ângulo de incidência é igual ao
ângulo de reflexão. O fenômeno da refração con-
siste no fato de que, uma onda ao se propagar de
um meio material para outro altera sua velocidade
de propagação. Difração é o fenômeno o qual as
ondas conseguem contornar obstáculos e seus
raios sofrem encurvamento. É tanto mais acentu-
ado quanto maior o comprimento de onda. Por
isso, a difração sonora é mais acentuada e mais
facilmente perceptível que a difração luminosa.
A polarização é outro fenômeno ondulatório
característico das ondas transversais, como as
ondas luminosas. Por esse fenômeno, a luz nat-
ural, cujas ondas vibram em todas as direções,
pode ser filtrada num único plano de vibração.
5.2 VELOCIDADE DO SOM
Um dos fenômenos naturais que tem impres-
sionado desde os primórdios o Homem, dado
ao misto de espetáculo e de medo que o acom-
panha, são as tempestades. Ao relâmpago
segue uma intensa trovoada, cujo som parece
indicar que o “céu esta desabando”. A obser-
vação de um terremoto, também, deve ter sido
algo apavorante. O que não dizer dos maremo-
tos e os Tsunami cujo som é ensurdecedor. 
O som, entretanto, depende das condições do
meio no qual se propaga ou seja, da densidade,
pressão e temperatura do meio. Nos sólidos é
bem maior do que nos líquidos que, por sua vez,
é maior do que nos gases. O som, entretanto,
nada mais é do que uma perturbação ou distúr-
bio que se propaga longitudinalmente num movi-
mento vibratório através da matéria. Assim, quan-
do você fala, grita, canta e ouve um barulho, uma
série de ondas de compressão se propagam
continuamente através do meio. Apenas por con-
veniência, vamos admitir que uma onda longitu-
dinal esteja se propagando num meio homogê-
neo, isotrópico e elástico. Considerando a densi-
dade do meio por (ñ), vamos imaginar uma
porção deste meio como um tubo rígido de com-
primento infinito, tendo numa das extremidades
um pistão. Caso o pistão seja subitamente impul-
sionado para frente ele aplica uma compressão
no meio originando-se um pulso (uma pertur-
bação ou distúrbio) que se propaga com veloci-
dade (V) através do meio.
Laplace, demonstrou matematicamente, que a
expressão geral de uma onda sonora, através
de um processo adiabático (por causa de que
as vibrações do ar são tão rápidas que a tem-
peratura produzida não tempo para se
equalizarem), é dada pela seguinte expressão 
. Todavia levando-se em conta a e-
quação de estado de um gás ideal e a
definição de densidade, a equação pode ser 
re-escrita como: , onde M é o peso
molecular de um gás. A partir desta equação
podemos concluir que a velocidade do som
num gás ideal depende somente do tipo de
gás e da temperatura; ou seja, é completa-
mente independente da pressão.
Contrariamente, velocidade do som num sóli-
do é dada por: . 
89
Física Fundamental – O Estudo dos Movimentos
No ar a velocidade do som é de aproximada-
mente 341m/s ou seja: 1227Km/h. 
A tabela abaixo fornece alguns valores da
velocidade de propagação do som em difer-
entes materiais:
Aviões supersônicos podem voar com veloci-
dade maior que a do som. Entretanto, para
conseguir tal proeza, o bico do avião deve ser
capaz de furar as ondas de pressão que se
acumulam a sua frente. Essa espécie de
“muralha de ar” é denominada de barreira do
som. De modo que quando o avião consegue
derrubar esta barreira, ouve-se um estrondo. 
5.3 VELOCIDADE DA LUZ
As origens da Óptica remonta a Antiguidade. É
muito difícil imaginar nosso mundo envolto em
eterna obscuridade. Por isso não é difícil de
surpreender que a óptica tenha surgido como
uma dos primeiros ramos da ciência natural.
Não apenas o homem tem sido atraído pelos
fenômenos luminosos, que despertavam
grande curiosidade, mas também lhe propor-
cionava uma grande variedade de benefícios
práticos: espelhos, lentes e prismas. 
Os matemáticos gregos, também se preocu-
param com os aspectos geométricos envolvi-
dos nos fenômenos luminosos, tais como a
propagação retilínea da luz, e a igualdade dos
ângulos de incidência e de reflexão. Eviden-
temente, que desde a antiguidade o homem
observara formação de sombras, eclipses, mi-
ragem e que o tempo de propagação da luz
entre dois pontos é mínimo. 
A “câmara escura”, conhecida desde a An-
tiguidade serve para demonstrar a propagação
retilínea da luz na formação de imagens é a
chamada "Câmara Escura". A imagem que se
observa é invertida.
A propagação retilínea da luz permite explicar
a formação de regiões de sombra, de penum-
bra e os eclipses. 
Quando uma fonte luminosa de grandes
dimensões (fonte extensa) projeta um feixe de
luz sobre uma tela e se interpor um corpo
opaco entre a fonte se observam três regiões:
luz, sombra e penumbra.
O ECLÍPSE, pode ser definido como una ocul-
tação total ou parcial de um corpo celeste por
outro. Existem vários tiposde eclipses: Lunar,
Solar e Anular. Um eclipse Lunar é aquele dev-
ido a interposição da Terra entre o Sol e a Lua, a
qual impede que os raios solares possam chegar
até a superfície desta. O eclipse Solar, se deve
a interposição da Lua entre o Sol e a Terra,
impedindo a visão total ou parcial do disco solar.
No eclipse anular a situação é a mesma na qual
a Lua se interpõe entre o Sol e a Terra. A difer-
ença é que ela somente cobre sua parte central e
não de maneira total, ficando assim descoberto
uma coroa circular. Os eclipses mais conheci-
dos popularmente são o Lunar e o Solar.
ECLÍPSE TOTAL O SOL
ECLÍPSE LUNAR
90
UEA – Licenciatura em Matemática
Quanto a velocidade da luz os antigos também
acreditavam que a luz se propagava instan-
táneamente. Entretanto, está parece não ter
sido a opinião do sábio árabe Ibn al Haytam,
conhecido pelo nome latinizado de Alhazen
(965 - 1039), o primeiro a sustentar que a luz se
movia com uma enorme velocidade, mas finita.
Todavia, o que prevalecia até o século XVII,
entre a grande maioria dos cientistas, era uma
disputa quanto à velocidade da luz: se era fini-
ta ou infinita. Cada grupo buscando encontrar
um experimento que confirmasse suas idéias. 
Galileu tentou elucidar essa questão, utilizando
dois homens posicionados no alto de duas col-
inas, cada qual com uma lanterna e um
anteparo para servia para cobrir e descobri-la,
assim que cada um deles visse a luz emitida
pelo outro. Infelizmente Galileu não conseguiu
determinar, por meio desta experiência, qual-
quer valor para a velocidade da luz. 
Seu contemporâneo, Descartes, sugeriu que atra-
vés de observações astronômicas do eclipses da
Lua, o experimento poderia se tornar exeqüível. 
A criação do Observatório de Paris proporcio-
nou ao físico dinamarquês Ole Römer ou
Roemer (1644-1710) estruturar uma maneira
de determinar a velocidade da luz através do
eclipse dos satélites de Júpiter, que haviam
sido descobertos por Galileu. 
O eclipse ocorre quando um dos satélites de
Júpiter cruza o plano da órbita do planeta, se
ocultando. Neste caso, é possível determinar com
precisão o momento em que começa e termina o
eclipse, devido ao intenso brilho do satélite.
Para um observador situado em T1 o satélite
(S1) de Júpiter está oculto, pois Júpiter se
interpõe na sua linha de visão. O eclipse para
o observador situado em T2, pois ele não vê o
satélite (S2) já que ele se encontra dentro da
sombra projetada por Júpiter, isto é, o satélite
se eclipsou. Enquanto isso, o observador situ-
ado em T3, acompanha o transito do satélite
(S3) na frente do planeta. 
Para Roemer, o que interessava era observar o
eclipse, daí ter se interessado em acompanhar
durante o eclipse o movimento de Io (o satélite
de Júpiter mais interno). Roemer descobriu
que o período entre dois eclipses sucessivos
era cerca de 42,5 h. entretanto, quando fazia
as medições um semestre depois o período
apresentava uma diferença de 15 segundos
em relação ao tempo esperado. Roemer
atribuiu esta discrepância como prova de que
a velocidade da luz não era infinita, pois neces-
sitava de mais tempo (exatamente os 15
segundos) para percorrer uma distância igual
ao diâmetro da órbita da Terra. Apesar de não
ter conseguido determinar o valor, Roemer
chega a conclusão de que a velocidade da luz
é finita ou seja, ela não se propaga instanta-
neamente como muitos acreditavam. 
1. Posição da Terra um semestre depois. Observe que a
distancia L’ aumentou um diâmetro da órbita terrestre.
De modo que o tempo decorrido para que o obser-
vador veja o eclipse vai, também, aumen-
tar de .
Como conseqüência .
2. Tempo transcorrido para que um observador na Terra 
veja o eclipse .
3. Eclípse - região de sombra.
4. Satélite de Júpiter.
A tabela abaixo resume alguns dados impor-
tantes sobre os satélites de Júpiter. 
91
Física Fundamental – O Estudo dos Movimentos
1. Ao observar os satélites de Júpiter pela primeira
vez, Galileu fez diversas anotações e tirou impor-
tantes conclusões sobre a estrutura de nosso
universo. A figura abaixo reproduz uma anotação
de Galileu referente a Júpiter e seus satélites. 
De acordo com essa representação e com os
dados da tabela acima, os pontos indicados por
1, 2, 3 e 4 correspondem, respectivamente, a: 
a) Io, Europa,Ganimedes e Calisto.
b) Ganimedes, Io, Europa e Calisto
c) Europa, Calisto, Ganimedes e Io
d) Calisto, Ganimedes, Io e Europa
e) Calisto, Io, Europa e Ganimedes
Em 1725, o astrônomo James Bradley ao tentar
medir a distância de uma estrela, em duas difer-
entes épocas do ano, confirmou que a teoria de
Romer era correta: a velocidade da luz é finita. 
A primeira determinação terrestre com sucesso
da velocidade da luz foi realizada, em 1849, pelo
fisico francês Fizeau onde obteve a medida de
315.300km/s. Seu colega Leon Foucault, em
1850, num comunicado a Academia de Ciências
de Paris, defendeu a tese de que a velocidade
da luz na água é menor do que no ar, abrindo
outra fonte de pesquisa. Para a velocidade da
luz no ar, Foucault, encontrou 296.796Km/s.
Outras medidas, empregando outros métodos
foram realizadas para a velocidade da luz. O
valor, atualmente aceito, para a velocidade da
luz é de aproximadamente 300.000 Km/s. 
Enquanto as novidades aconteciam no campo
da óptica, Maxwell em seus os estudos de eletri-
cidade e magnetismo ia gestando a conclusão
de que o campo eletromagnético poderia se
propagar como uma onda transversal no éter
luminífero. Resolvendo suas equações, Maxwell,
chegou teoricamente à conclusão de que a luz
era uma onda eletromagnética. Com esta
descoberta a Óptica se incorporava ao eletro-
magnetismo, ramos da Árvore da Física, que ha-
viam se desenvolvido independentemente. 
A figura abaixo ilustra a geração de uma onda
eletromagnética devido à oscilação mutua-
mente perpendiculares do campo elétrico e do
campo magnético.
A confirmação experimental da teoria de
Maxwell foi obtida, em 1888, pelo Físico alemão
Heinrich Hertz, resultado que consolidou e
tornou aceito a existência do éter pela comu-
nidade científica. Atualmente, o que chamamos
de espectro eletromagnético, inclui uma
enorme variedade de radiações que diferem
somente em comprimento de onda ou freqüên-
cia. Apesar dos diversos nomes dados ás
diversas regiões do espectro as ondas são
descritas por relações funcionais idênticas, que
obedecem ao mesmo conjunto de equações.
A partir da confirmação experimental de Hertz
os físicos começaram a empreender um
esforço na tentativa de determinarem a
natureza física do éter. Em face deste desafio
Michelson e Morley se propuseram a realizar
uma experimento extremamente preciso para
medir o efeito do movimento da Terra através
do éter. Todavia, seu resultado foi inconclusivo:
não conseguiram medir absolutamente nada! 
Na tentativa de “salvar o fenômeno, Fitz Gerald,
Lorentz, Poincaré e outros começaram a fazer
remendos na teoria do éter. Foi, por esta época
que Einstein também, tornou-se interessado no
éter, sem que houvesse qualquer filiação com o
trabalho experimental de Michelson. Em 1905,
Einstein, publica o trabalho sobre: "A Eletrodi-
nâmica dos Corpos em Movimento", que veio se
tornar conhecido, posteriormente, como a Teoria
da Relatividade Restrita. Nele, Einstein descarta o
éter luminífero apenas por não ser essencial para
o resultados que almeja alcançar com aquele tra-
balho. Posteriormente, no entanto, Einstein
voltou a acreditar na existência do éter.
92
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 06
ÓPTICA
A natureza da luz é algo que instiga a curiosidade
do homem desde as mais remotas épocas. O
que é luz? Como se propaga? Como é gerada?
Buscando essas respostas, ao longo dos sécu-
los, algumas explicações se mostraram corre-
tas , outras infelizmente são erradas. Mas esse
jogo de “tentativas e erros” nas explicações
perduram atéhoje: após a observação do
fenômeno, se dá início às experiências bus-
cando uma conclusão que é chamada lei
experimental, onde se lança as hipóteses que
explica e relaciona as causas e efeitos de um
fenômeno. Daí surge as teorias e modelos para
que possamos entender melhor os fenô-
menos. Esse caminho vale para a construção
da ciência de modo geral e contribuiu muito
para o desenvolvimento da óptica.
Óptica – do grego optiké e do latim optice – é a
parte da física que estuda a propagação e o
comportamento da luz, bem como os fenô-
menos da visão. A historia da óptica começou na
Índia, em torno de 2000 a.C., com uma teoria
que procurava explicar a natureza corpuscular
da luz, ou seja, que a luz era formada por minús-
culas partículas, denominada corpúsculos, emi-
tidas por corpos luminosos (que emitem luz
própria) lembrando a atual teoria quântica. 
No século III a.C. o geômetra grego Euclides
afirmava que “o olho emite raios visuais que se
propagam em linha reta e com grande veloci-
dade” e que “um objeto só se pode ser visto
depois de varrido pelos olhos”. Para Platão, a
imagem era formada pela superposição de dois
raios, um emitido pelo olho e outro emitido pelo
objeto em observação. Hoje se sabe que o olho
é um receptor e não um emissor de raios de
luz, ao contrário do que pensava Euclides.
Na Escola Pitagórica, discípulos de Pitágoras
(581 – 497 a.C.), acreditava-se na existência de
um fluxo visual, resultado da incidência de um
raio de luz, que provinha do próprio olho.
O matemático e astrônomo egípcio Cláudio
Ptolomeu, que viveu no século II d.C., ampliou
a teoria de Euclides, admitindo que os raios
visuais atingiam os objetos próximos mais rap-
idamente. Foi ele quem iniciou os estudos da
reflexão e da refração da luz.
O cientista italiano Leonardo da Vinci (1452 –
1519), realizou estudos a respeito do funciona-
mento do corpo humano e construiu uma
câmara escura, comparando seu princípio de
funcionamento com o do olho. No mesmo
século (XIII) surgiram as lentes usadas na cor-
reção de defeitos da visão. Na seqüência foram
inventados aparelhos ópticos com o objetivo de
ampliar a capacidade da visão do ser humano:
o microscópio, para observação de objetos
minúsculos, e luneta e telescópio para a visual-
ização de objetos muito distantes, como os
planetas e as estrelas. Esses aparelhos foram
aperfeiçoados ao longo do tempo, buscando
obter imagens cada vez mais nítidas.
No início do século XVI foi construído um
microscópio com o espelho côncavo (sistema
convergente de imagem). Em 1590 surgiu a
primeira luneta com uma lente ocular conver-
gente, e foi aperfeiçoada na Holanda a partir
de 1604. No início do século XVII a construção
de lentes, microscópios e lunetas astronômi-
cas contribuíram para um grande progresso no
estudo da óptica.
Em1610, o italiano Galileu Galilei construiu
uma luneta astronômica, com a qual observou
as luas de júpiter.
As imagens obtidas com os primeiros
microscópios com lentes (1615) eram menos
nítidas do que as obtidas com microscópios
com espelhos côncavos. Isto, porque os raios
luminosos de cores diferentes eram desviados
em direções diferentes, além da má qualidade
do vidro utilizado em sua fabricação. As novas
técnicas de polimento permitiram melhorar o
desempenho dos microscópios com lentes.
Em 1665, o cientista inglês Robert Hooke,
observou pela primeira vez as células de cor-
tiça usando microscópio composto, com uma
lente ocular e uma objetiva (a objetiva fornece
uma imagem real ampliada e a ocular, usando
essa imagem como objeto, dela conjuga uma
imagem final virtual). 
No final do século XVII o microscópio ganhou
93
Física Fundamental – O Estudo dos Movimentos
novos acessórios como o suporte e a platina.
Em 1666 o cientista inglês Isaac Newton usou
um prisma para fazer a decomposição da luz
branca nas sete cores do espectro que com-
põe o arco-íris. A partir dessa decomposição
formulou uma teoria que dizia ser a luz forma-
da por partículas que se propagavam a
grandes velocidades. As idéias de Newton
sobre a natureza da luz foram contestadas
pelo holandês Christian Huygens e por Hooke,
que afirmava ser a luz composta por ondas. Na
atualidade compreende-se que tanto Newton
quanto Huygens tinham razão.
Em 1877 o físico alemão Ernest Karl Abbe
escreveu o princípio da óptica, o que possibili-
tou o aperfeiçoamento rápido do microscópio.
Por isso é considerado seu verdadeiro inventor.
Max Planck (1900), físico alemão, formulou a teo-
ria quântica, segundo a qual a energia só pode
ser emitida ou absorvida pela matéria em peque-
nos pacotes de energia, denominados quanta.
Em 1905 o físico norte americano, nascido
alemão, Albert Einstein propôs que, em certas
circunstâncias, a luz poderia ser considerada
como composta por pequenas partículas de
energia luminosa que chamamos de fótons.
Segundo a teoria proposta por Einstein, a luz,
por ser uma forma de energia, não é emitida
continuamente, mas em pacotes separados de
energia ou quanta. Inicialmente essa teoria não
foi aceita pela comunidade científica. Uma
década depois, o físico norte americano Robert
Andrews Millikan demonstrou, por meio de
experiências que Einstein estava correto.
Atualmente, dependendo do fenômeno que se
estuda, a ciência considera que a luz tem duas
naturezas: ondulatória e corpuscular em outras
palavras, a luz se comporta como onda ou
como propagação de partículas.
A Teoria corpuscular diz que a luz era consid-
erada como um feixe de partículas emitidas por
uma fonte de luz que atinge o olho, estimulan-
do a visão. 
A Teoria ondulatória diz que a luz é uma modali-
dade de energia radiante que se propagam por
meio de ondas eletromagnéticas, assim como o
calor radiado, os raios x e as ondas de rádio. As
ondas eletromagnéticas são ondas de energia
produzidas pela oscilação ou aceleração de
elétrons. As que podem ser percebidas por nos-
sos olhos são denominadas ondas luminosas ou
luz. Essa teoria permite compreender fenômenos
como a propagação, a reflexão e a refração da
luz, sendo utilizada no estudo das cores.
O estudo da óptica é dividido em duas grandes
partes: óptica geométrica – estuda a propa-
gação retilínea da luz; os espelhos, lentes e
prismas; a reflexão e a refração da luz; os
instrumentos ópticos; o fenômeno da visão e
etc., enquanto que a óptica física – estuda a
natureza da luz, ou seja, a luz como resultado
de um movimento vibratório, a sua velocidade
de propagação nos diversos meios transpar-
entes, a sua polarização, a decomposição da
luz branca, as cores, a intensidade luminosa,
os fenômenos de interferência, a difração, etc.
6.1 OS PRINCÍPIOS DA ÓTICA GEOMÉTRICA
1. Princípio da propagação retilínea da luz:
quando a luz se propaga em meios trans-
parentes e homogêneos, seu caminho é
uma linha reta.
2. Princípio da independência dos raios de
luz: os raios de luz ao se interceptarem,
cada um seguem seu caminho, sem sofrer
interferência um do outro.
3. Princípio da reversibilidade do raio de luz: a
trajetória de um raio de luz não depende do
sentido de propagação, ou seja, se permu-
tamos a posição da fonte com a do obser-
vador, a trajetória não se modifica.
1. Represente cada um dos princípios da ótica
geométrica por meio de desenhos ou por
recortes de jornais ou revistas.
Agora será apresentada uma síntese dos fenô-
menos luminosos. É importante você perceber
que em todos considera-se uma superfície de
separação entre os meios e um feixe de raios
paralelos que se propaga de um meio para outro.
94
UEA – Licenciatura em Matemática
6.2 A REFRAÇÃO DA LUZ
A refração costuma ser definida como sendo a
mudança da velocidade da luz quando esta
passa de um meio transparente homogêneo
para um outro meio diferente, também transpar-
ente e homogêneo, quase sempre seguida de
desvio na sua direção de propagação. Por
exemplo, quando a luz passado ar para a água.
Quando um feixe luz proveniente de um meio
incide numa superfície de separação com o outro
meio e se propaga através deste, os seguintes
fenômenos acontecem: parte da luz se reflete no
primeiro meio; parte penetra no segundo meio e
muda sua velocidade, além de sofrer, quase sem-
pre, um desvio na sua direção de propagação.
Nos meios mais densos como a água, a veloci-
dade de propagação da luz é menor do que nos
meios menos densos, como o ar. Dizemos
então que a água é mais refringente do que o ar.
O par de meios transparentes à luz constitui
um dioptro. Assim, o dioptro pode ser formado
por ar + água, ar + vidro, água + vidro, óleo
+ água, etc.
Se a incidência do raio de luz for perpendicular
à superfície de separação dos meios haverá
mudança da velocidade de propagação da luz
no segundo meio, mas não se observará
desvio em sua direção de propagação, embo-
ra a refração aconteça.
6.3 ÍNDICE DE REFRAÇÃO ABSOLUTO
A relação entre a velocidade de propagação da
luz no vácuo e a velocidade de propagação da luz
no meio considerado é conhecida como Índice
de refração absoluto (n), e pode ser definido:
sendo:
c é a velocidade da luz no vácuo.
v é a velocidade da luz propagada no meio
considerado.
Observe que o valor de n equivale a quantas
vezes a velocidade da luz no vácuo é maior
que a velocidade da luz no meio considerado.
Por exemplo, o índice de refração da água é
n=1,33. Isso significa que a luz se propaga no
vácuo a uma velocidade 1,33 maior do que na
água. É devido à refração que um lápis parece
estar quebrado quando parte dele é mergulha-
do na água ou quando em uma piscina parece
que nossa perna encolheu. 
6.4 REFLEXÃO DA LUZ
Quando um feixe luz proveniente de um meio
incide numa superfície de separação com o
outro meio e muda de direção sem atravessar
a superfície é chamado reflexão da luz. 
A reflexão obedece a seguinte lei: o ângulo de
reflexão é igual ao ângulo de incidência ( r^ = i^ ). 
A reflexão, caso ocorra numa superfície lisa
(polida) denomina-se regular ou especular.
Neste tipo de reflexão, os raios são refletidos
com uniformidade. Por exemplo, se os raios
incidentes forem paralelos, os refletidos tam-
bém serão paralelos. Porém, se a superfície for
irregular ou rugosa, os raios refletidos espal-
ham-se desordenadamente em todas as
direções. No entanto, em cada ponto desta
superfície, as leis da reflexão são verificadas. 
Considere o dioptro constituído pelos meios 1
e 2, sendo n1 < n2. Por exemplo, ar e água.
Uma fonte de luz é colocada no meio 2 e emite
raios luminosos. À medida que os ângulos de
95
Física Fundamental – O Estudo dos Movimentos
incidência desses raios aumentam, os respec-
tivos ângulos de refração aumentam propor-
cionalmente até atingirem seu valor máximo de
90°. Ou seja, quando i = 90°, o valor de r é o
maior possível para o ângulo de refração,
denominado ângulo limite de refração (L).
Para um ângulo de incidência maior que o
ângulo limite, o raio luminoso sofrerá reflexão
total , quando o raio volta para o mesmo meio.
Um exemplo de aplicação da reflexão total é o
caso das fibras ópticas, usadas na tecnologia
moderna. As fibras ópticas são tubos finíssimos
de materiais transparentes e dielétricos, capazes
de conduzir luz por sucessivas reflexões em seu
interior por centenas de quilômetros sem que
haja necessidade de se regenerar o sinal.
Considerações importantes:
• O raio incidente, o raio refletido, o raio
refratado e a normal à superfície estão
sobre o mesmo plano.
• O ângulo de reflexão é igual ao ângulo de
incidência para todos os comprimentos de
onda e para qualquer par de materiais.
r^ = i^ ou θr = θa (lei da reflexão)
• Para luz monocromática e para um dado
par de materiais, a e b, separados pela
interface, a razão entre o seno do ângulo θa
e o seno do ângulo θb, onde esses ângulos
são medidos a partir da normal à superfície,
é igual ao inverso da razão entre os dois
índices de refração:
, (lei da refração ou lei de Snell).
6.5 ABSORÇÃO
O feixe de raios paralelos se propaga no meio 1
até atingir a superfície e ser por ela absorvido.
Nessa situação, a superfície é escura e alta-
mente absorvedora de energia. Nesse fenô-
meno ocorre um aquecimento da superfície.
Podemos observar esses fenômenos simultanea-
mente, apesar de um deles sempre ser mais evi-
dente. Por exemplo, em uma piscina, num dia de
sol, temos os raios paralelos; vemos a água da
piscina, reflexão difusa; vemos nossa imagem na
água, reflexa;, também podemos ver objetos ou
pessoas dentro (imersas) da água, refração; e ao
mergulhar na água, senti-la aquecida, absorção.
6.6 DIFRAÇÃO
Quando a luz emitida por uma fonte luminosa
puntiforme passa pelo orifício de um anteparo,
observamos a propagação em linha reta da luz,
de maneira que passado o anteparo vemos um
feixe de luz (cônico) com vértice na fonte.
Contudo, se esse orifício é muito pequeno, os
raios de luz sofrem um desvio ao passarem pelo
orifício, e então, a luz “invade” a região fora do
cone. A esse fenômeno chamamos Difração.
O fenômeno da difração depende da relação
entre o diâmetro do orifício e o comprimento
de onda da luz. Só conseguimos observar o
efeito da difração quando o orifício é muito
pequeno, menor que o comprimento de onda
da luz emitida.
1. Um raio de luz incide verticalmente sobre um
espelho plano inclinado de 10° em relação a
um plano horizontal. Pode-se afirmar, que:
a) o raio refletido também é vertical.
96
UEA – Licenciatura em Matemática
b) o raio refletido forma um ângulo de 5° com
o raio incidente.
c) o raio refletido forma um ângulo de 10° com
o raio incidente.
d) o raio refletido forma um ângulo de 20° com
o raio incidente.
2. Na figura, S e S’ são superfícies de separação
de meios transparentes. A trajetória do raio de
luz apresentado representa que a luz:
a) se reflete em S e em S’,
b) se refrata em S e em S’,
c) sofre apenas uma refração em S’,
d) se reflete em S e se refrata em S’,
e) se refrata em S e se reflete em S’.
.
S
97
Física Fundamental – O Estudo dos Movimentos
UNIDADE IV
Universo Mecânico: o Universo como uma máquina
101
Física Fundamental – Universo Mecânico: o Universo como uma máquina
TEMA 01
O MOMENTO LINEAR 
O século XVII foi a época no qual a ciência
assumiu a sua forma moderna e o espírito cien-
tífico contagiou a Europa. 
René Descartes
Um dos expoentes mais significante e influente da
Filosofia Natural desta época foi René Descartes
(1596-1650), que desde jovem se rebelou contra
a tradição na qual havia sido educado. No entan-
to, a atmosfera carregada de medo e de insegu-
rança advinda da condenação de Galileo por
defender o sistema copernicano, fez com que
Descartes, para fugir de possível perseguição reli-
giosa, fosse levado a desenvolver outro modelo
para o Universo semelhante a um gigantesco reló-
gio. Nesta construção, segundo Descartes, basta-
va apenas matéria e movimento, que, por ação de
contato, geravam inumeráveis vórtices no espaço
celeste que impeliam ao seu redor os planetas do
sistema solar. 
1. Dê algumas razões porque a teoria do movi-
mento planetário de Descartes poderia ter sido
“uma boa idéia útil”.
Sua concepção de Universo apresentava, con-
tudo, um sério e profundo problema religioso
pois para que seu imenso Relógio Mecânico
pudesse seguir seu curso inexoravelmente,
Deus era obrigado a lhe dar corda de vez em
quando, o que significava admitir que a obra
de Deus era imperfeita. 
Para evitar problemas, Descartes vai se refugiar
na crença Metafísica, da indestrutibilidade do
movimento. Com esta tese, Descartes, passa a
defender abertamente, a concepção de que
Deus, no momento da criação, dotou o Universo
de movimento, e que se mantém constante-
mente. Consequentemente, se umadas partícu-
las deste Universo Mecânico diminui a sua
velocidade, outra partícula deve aumentar de
velocidade para que a quantidade de movimen-
to (p
→ 
= m.v
→ 
) do Universo permaneça constante. 
Assim, num Universo Mecânico, ainda que a
quantidade de movimento individual de cada
partícula possa mudar, a quantidade de movi-
mento total do sistema de partículas per-
manece constante. Diz ele:
“É perfeitamente razoável admitir que Deus, ao
criar a matéria deu diferentes movimentos às
suas partes, preserve toda a matéria nas mes-
mas condições em que a criou, portanto pre-
serve nela a mesma quantidade de movimento” 
Definindo a quantidade de movimento (ou
momento linear) total de um sistema de
partículas por meio da soma dos momentos
individuais de cada partículas do sistema,
temos que: m1. v1 + m2.v2 + m3. v3 + m4.v4 +
m5. v5 + m6.v6 +...+ mi. vi , o que é o mesmo
que escrever p1 + p2 + p3 + p4 + p5 + p6 +...+
pi.. Em síntese, a quantidade de movimento
total do Universo é PTOTAL = Σpi = constante. 
Guiado por sua convicção na Conservação da
Quantidade de Movimento, as Leis da Colisão se
converteu no principal tema da investigação cien-
tífica. No entanto, para que as Leis da Colisão fos-
sem consideradas em pormenor e de maneira
razoavelmente precisa, Descartes, discordava da
compreensão de movimento inercial formulado
por Galileu. Para Descartes, o movimento inercial
devia retilíneo em qualquer direção.
1. Demonstre que, para um sistema de duas
102
UEA – Licenciatura em Matemática
partículas de massa m1 e m2, que colidem ao
longo de uma reta com velocidades V1i e V2i a
conservação do momentum é dado por: m1
V1i + m2 V2i = m1 V1f + m2 V2f .
A partir da definição de Descartes para a quan-
tidade de movimento de um objeto Newton
definiu matematicamente o conceito de Força
como sendo “A quantidade de movimento se
mede pela velocidade e quantidade de
matéria tomadas conjuntamente (isto é,
fazendo-se o produto)”. O que implica dizer
que a Força é diretamente proporcional a vari-
ação da quantidade de movimento durante 
certo intervalo de tempo, isto é: .
1.1 AÇÃO E REAÇÃO E MOMENTO LINEAR
Durante a interação entre um par isolado de
partículas, a quantidade de movimento de
duas partículas varia em virtude das respecti-
vas forças exercidas entre elas. De acordo com
a conservação da quantidade de movimento
(ou momento linear) temos que: p1 + p2=
Constante. Entretanto, pela definição de força,
temos que F1 + F2 = 0; ou seja: F1 = – F2 
O que significa dizer que dois corpos ao inter-
agirem as ações mutuas entre eles sejam
iguais e opostas. Este par de forças (F1 e F2),
denominado de par ação e reação, foi assinal-
ada por Newton da seguinte maneira: “A qual-
quer ação se opõe uma reação igual: ou
ainda, as ações mútuas de dois corpos são
sempre iguais e se exercem em sentidos
opostos”
1. A tabela abaixo apresenta os módulos das
velocidades V, em diversos instantes de
tempo t, dos corpos I, II, III, e IV, todos de
massas constantes e iguais. Os corpos se
movem sobre linhas retas, todos na mesma
direção e sentido.
a) Em qual dos corpos atuou a força media
cujo o módulo aumentou nos intervalos
sucessivos de tempo? 
b) Qual dos corpos apresentou a maior vari-
ação, em módulo, da quantidade de movi-
mento linear, entre 0 e 4 segundos? 
1.2 DUAS ESPÉCIES DE MASSAS.
Sabemos pela nossa experiência cotidiana que
existe certa dificuldade para se colocar um
determinado corpo em movimento. Empurrar
um caderno não é a mesma coisa que empurrar
um armário. O caderno requer menos esforço.
Tal dificuldade provém, na realidade, da quanti-
dade de matéria que eles contém. Essa quanti-
dade de matéria é o que denominamos de
massa inercial ou seja, a medida da dificuldade
de se acelerar um determinado corpo.
A relação F1 = - F2, permite que definamos
operacionalmente o conceito de massa iner-
cial. Assim, a partir da relação ∆p1 = –∆p2
chega-se a seguinte igualdade: m1/m2 = a2/a1.
A experiência não pode fornecer o valor da
massa inercial de um dos discos, ela fornece
apenas a razão entre suas massas m1/m2 =
a2/a1. No entanto, a partir do momento que
podemos comparar, podemos medir. Para
isso, basta escolher um corpo padrão e con-
vencionar que sua massa inercial (m0) será a
unidade. Por conseguinte, a massa inercial (m)
desconhecida pode ser obtida pela relação: 
. 
Entretanto, devemos nos acautelar quanto essa
definição de massa, pois será que ela serve
também para descrever o movimento de obje-
tos nas proximidades da superfície da Terra? De
acordo com a experiência realizada por Galileu,
quando deixamos cair dois corpos de massas
103
Física Fundamental – Universo Mecânico: o Universo como uma máquina
inerciais diferentes próximo a superfície da terra,
a experiência mostra que, desprezando-se os
efeitos da resistência do ar, eles caem com a
mesma aceleração. Neste caso, o que a massa
inercial tem a ver com a massa gravitacional?
Certamente que estes dois diferentes aspectos
da massa, a coincidência entre a massa inercial
e gravitacional, se constitui, talvez, num dos
maiores mistério da Mecânica Clássica.
Curiosamente, no entanto, Newton parece ter
compreendido essa coincidência entre as mas-
sas pois ele fornece uma definição de massa,
na qual: “A quantidade de matéria se mede
pela densidade e volume conjuntamente”,
que não passa de um circulo vicioso. 
1.3 IMPULSO
Quando duas partículas colidem, cada uma 
delas experimenta uma força dada por .
Mesmo que o intervalo de tempo no qual a
força age seja extremamente pequeno, a força
atuando sobre um objeto durante a colisão
transfere momento à partícula. Vamos agora
relacionar estas forças de interação com as
variações das quantidades de movimento dos
corpos que colidem. 
Para qualquer força que aja durante um interva-
lo de tempo bastante curto temos: F
→ 
.∆t = ∆p
→
.
O produto F
→ 
.∆t se denomina de Impulso (I) de
uma força, que se define pela variação da quan-
tidade de movimento. Dessa maneira, podemos
focalizar nossa atenção no que está ocorrendo
com apenas uma partícula e, dizer que sobre a
partícula atua uma Força Impulsiva.
Com base nesta definição, gera-se um impulso
I = F
→ 
.∆t quando uma força atua durante um
curto intervalo de tempo numa colisão entre dois
corpos. De modo que a intensidade da força
varia desde zero, no exato momento do contato,
alcança um valor máximo durante o tempo em
que os corpos ficam em contato, e depois cai
novamente a zero no exato momento em que
ocorre a separação (vide a figura abaixo). 
No caso da força variar com o tempo, cabe
definir uma Força Média (FMÉD) dada por: I
= <F>. ∆t. Desse modo, a aplicação de uma
força média, desde que permaneça constante,
produz o mesmo impulso.
1. Um móvel de 4 kg tem uma velocidade de 30
m/s no instante t = 0 em que se lhe aplica uma
força na mesma direção da velocidade, de
intensidade representada no gráfico. Nestas
condições, qual a velocidade do corpo no
instante t = 6,0s? 
2. Um objeto de 20Kg está inicialmente em
repouso sujeito a ação de duas forças ortogo-
nais de 6,0N e 8,0N respectivamente. Se estas
forças atuarem durante 4,0s (a) qual a veloci-
dade final do objeto R = 2,0 m/s. (b) qual o tra-
balho realizado pela resultante das forças?
3. Uma nave espacial de 103kg se movimenta,
livre de quais quer forças, com velocidade con-
104
UEA – Licenciatura em Matemática
stante de 1,0m/s em relação a um referencial
inercial. Necessitando parar, o centro de cont-
role decide acionar um dos motores auxiliares,
que fornece uma força constante de 200N na
mesma direção, mas em sentido contrario ao
do movimento. Este motor deverá ser progra-
mado para funcionar durante quanto tempo? 
4. Uma metralhadora dispara (n) balas por
segundo. Cada bala tem uma massa (m) e
uma velocidadeescalar (V). As balas atingem
um alvo fixo, onde ficam encravadas. Qual a
força média exercida sobre o alvo?
Sendo o impulso igual a variação da quanti-
dade de movimento de cada bala, que vale
exatamente m.V, ou seja, cada bala exerce um
impulso m.V sobre o alvo. Como o numero de
balas que atinge o alvo igual a n.∆t, o impulso
total exercido é I = Numerototaldebalas . ∆p = n∆tmV.
Sendo I = F.∆t, temos que a força média será:
F = nmV, que pelo principio da ação e reação,
corresponde a intensidade da força media
exercido pelas balas sobre a arma durante o
disparo. A figura abaixo ilustra a diferença
entre a força instantânea e a força média exer-
cidas pelas balas.
1. Num intervalo de 1,0 segundo, 300 partículas,
cada uma de 10 g e com velocidade de 10m/s,
colidem elasticamente e perpendicularmente
contra uma parede de área igual a 1m2. Qual a
pressão media exercida na parede durante
esse intervalo de tempo. 
Este resultado simples, pode ser ilustrado por
números exemplos cotidianos como, por exem-
plo, o do jogador de tênis que para transmitir o
máximo de quantidade de movimento a bola,
ele a impulsiona com um movimento do corpo. 
Pode acontecer, também de o intervalo de
tempo da colisão ser extremamente curto e a
força ser bastante intensa. Este é o caso, por
exemplo, do que ocorre quando uma pessoa
chuta uma bola, causando um considerável
impulso a bola.
O mesmo acontece quando um lutador de
caratê quebra uma pilha de tijolos com a mão.
Ele procura atingir os tijolos com uma grande
velocidade, de modo que a sua mão não pare
na superfície, mas em algum dentro da telha.
Sendo o tempo de contato extremamente
curto, a força torna-se extremamente intensa.
Portanto, durante uma colisão para que a força
exercida sobre um objeto torne-se máxima, de
modo a criar uma variação de momento linear
máximo, é necessário tornar o intervalo de
tempo o mais curto possível.
Estas são as razões pelas quais, os modernos
automóveis são construídos com materiais que
possam ser facilmente deformáveis, aumen-
tando o intervalo de tempo de colisão, de
modo a reduzir ao máximo a força de impacto
e a desaceleração.
Algumas vezes, no entanto, ocorre de quer-
ermos variar o momento linear de um objeto
com uma força pequena. Por exemplo, quando
você pula de um muro/janela. Instintivamente,
dobramos o joelho ao tocarmos o chão. 
Este simples ato aumenta o tempo de colisão
entre o corpo e o solo, reduzindo a força exer-
cida sobre você pelo solo.
Porque os lutadores de boxe procuram movi-
mentar a cabeça ao longo do soco. 
Este movimento estende o tempo de contato
com a luva do adversário, reduzindo a força de
impacto necessário para parar o soco, evitan-
do que o maxilar quebre. 
1.4 LEI DA CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LI-
NEAR
Na analise da colisão entre duas partículas cada
um dos corpos exerce uma força externa sobre
o outro, num intervalo de tempo tão pequeno.
105
Física Fundamental – Universo Mecânico: o Universo como uma máquina
Assim, se durante uma colisão unidimensional,
a partícula 1 exerce uma força (F
→ 
12) sobre a
partícula 2 esta, por sua vez, exerce uma força
(F
→
21) sobre a partícula 1 (vide figura abaixo). 
Sendo F
→ 
12 = –F
→
21 e, como estas forças tem a
mesma duração, obtemos que: ∆p
→
1 = –∆p
→
2 ou
seja: ∆p
→
1 + ∆p
→
2 = 0 que expressa a Lei da
Conservação da Quantidade de Movimento. 
Generalizando a expressão ∆p
→
1 + ∆p
→
2 = 0
temos que: p
→
1i + p
→
2i = p
→
1f + p
→
2f, onde os índices
i e f é empregado para denotar os valores da
quantidade de movimentos das esferas 1 e 2,
antes e depois da colisão. 
O resultado acima pode ser representado veto-
rialmente por meio da figura abaixo.
Esta é uma generalização muito poderosa,
pois se aplica a uma variedade de colisões,
independente do grau de dureza e elasticidade
do material que constitui as esferas. Aliás, foi
utilizando a relação entre as velocidades relati-
vas depois e antes da colisão, que se definia o
grau de elasticidade dos materiais, que era
denominado de Coeficiente de Restituição,
cujo o símbolo é a letra minúscula (e), que se
determina pela seguinte relação: 
.
Assim, com base neste critério era possível clas-
sificar o tipo de colisão. Quando (e = 0) a col-
isão era considerada elástica ou perfeitamente
elástica, isto é: quando o rebote é quase per-
feito como no caso da colisão entre duas
esferas de aço, de marfim, vidro, etc,. Se (e = 1)
a colisão se chamava completamente inelásti-
ca, pois não há rebote, como ocorre no caso
da colisão entre duas esferas de massa de
vidraceiro. Quando (0<e<1) a colisão era con-
siderada parcialmente elástica. 
Ainda que tenhamos considerado a Lei da
Conservação da Quantidade de Movimento
para duas partículas, ela é validada, também,
para um numero qualquer de partículas que
constituem um sistema isolado, isto é vale para
partículas sujeitas apenas as interações mutuas,
sem interações com outras partes do Universo. 
Portanto em sua forma geral, a Lei da
Conservação da Quantidade de Movimento
tem o seguinte enunciado: “num sistema físi-
co isolado a quantidade de movimento é
constante”, isto é: se F
→ 
= 0 então ∆p
→ 
= con-
stante, o que significa dizer que: ∆p
→
1 – ∆p
→
f.
EXEMPLOS
I – Quando uma granada ou uma bomba, por
exemplo, explode em vôo, a quantidade total
de todos fragmentos, imediatamente após a
explosão, deve ser igual ao valor da quan-
tidade de movimento da granada ou da
bomba, imediatamente antes da explosão.
II – De modo semelhante quando um núcleo se
desintegra, emitindo um elétron e um neu-
trino, a quantidade de movimento total do
elétron, do neutrino e do núcleo resultante
deve ser nula, desde que, inicialmente, o
sistema estava em repouso em relação ao
laboratório.
III – Outro exemplo, é o recuo de um canhão.
Inicialmente, o sistema (arma + projétil) esta
em repouso, e a quantidade de movimento
total é nulo. Quando a arma é disparada, o
canhão recua para compensar a quantidade
de movimento adquirido pelo projétil em seu
movimento. 
1. Um tronco de 50kg desde o rio madeira leva-
do por ma correnteza com velocidade con-
stante de 2,0m/s. Um marreco de 10Kg, voan-
do a 2,0m/s rio acima, procura pousar no tron-
co. O marreco escorrega de uma extremidade
a outra sem conseguir permanecer obre o tron-
co, saindo com velocidade de 0,5 m/s.
106
UEA – Licenciatura em Matemática
Desprezando-se o atrito com a água, qual a
velocidade final do tronco, assim que o mar-
reco o abandona? (Considere todas as veloci-
dades em relação às margens do rio madeira) 
2. Um garoto de 20 Kg corre por cima de uma
tora da madeira de 80 Kg tora de madeira que
se encontra boiando n’água. Despreze o atrito
entre a tora de madeira e a superfície d’água.
Se o garoto corre com uma velocidade con-
stante de 1 m/s em relação tora. 
a) qual o sentido do movimento da tora em
relação a superfície d’ água?
b) Qual a velocidade do garoto em relação a
superfície d’água? 
3. Adryelle e suas amigas Ariane e Ágata, alunas
de Física querendo determinar a massa de um
carrinho, montaram o seguinte experimento.
Prenderam uma mola de massa desprezível
entre o seu carrinho e um outro cuja a massa
M era conhecida. Em seguida comprimiram
uma mola entre os carros e, para que os carrin-
hos ficassem em repouso sobre uma superfície
plana e extremamente lisa, amarraram os car-
rinhos com um barbante. Ao cortar o barbante,
elas constaram que a velocidade do seu carrin-
ho era 3 vezes menor que a do outro. Qual a
massa do carrinho da Adryelle? 
4. Durante as compras num supermercado, Ângelo
empurra um carrinho de 10Kg, contendo 15Kg de
mercadorias, com velocidade constante de 0,1
m/s, num piso horizontal, com atrito desprezível.
Em dado momento, Ângelo esquece o carro que
continua seu MRU.Sua mãe, preocupada com a
situação retira, verticalmente, do carrinho um pa-
cote de açúcar de 5Kg. Qual a velocidade do car-
rinho após a mãe ter retirado o pacote de açúcar?
5. Uma espaçonave de massa M, desloca-se com
velocidade V. Em determinado instante, os tripu-
lantes desprendem o compartimento de “lixo
espacial” (M/2) do módulo de comando um
compartimento (M/2) que passam a viajar na
mesma e no mesmo sentido. Admitindo-se que
o módulo de comando adquiriu uma velocidade
que é o dobro do compartimento da lixeira, qual
o modulo das suas velocidades finais? 
1.5 COLISÃO INELÁSTICA
Ocorre quando duas partículas, após a colisão,
permaneçam juntas. Mesmo neste caso, a lei
da conservação da quantidade de movimento
continua válida. Desse modo, caso uma das
partículas esteja em repouso, a velocidade
com que o sistema se move após a colisão é 
1. tentar medir a velocidade da uma bala, um
bloco de madeira foi colocada na beira de uma
mesa plana e lisa de 0,80 m de altura. Quando
a bala foi disparada horizontalmente contra o
bloco, ela alojou-se nele, vindo o conjunto atin-
gir o solo a 1,20 da beira da mesa. Determine
a velocidade V da bala. 
1.6 COLISÃO OBLÍQUA
Resulta do fato dos centros de duas esferas
que estão se movendo não estarem na mesma
direção. Assim, o vetor quantidade de movi-
mento após o impacto pode ser decomposto
em duas componentes: um na direção da linha
que atravessa o centro do impacto e a outra na
direção perpendicular a esta linha. 
Considere, por exemplo, a seguinte situação: uma
esfera se move horizontalmente e, após colidir
contra outra esfera em repouso, se observa que
suas trajetórias se desviam de um ângulo α e β. 
A determinação do comportamento final das
duas esferas, pode ser esclarecida utilizando-
se a equação vetorial p
→
1i + p
→
2i = p
→
1f + p
→
2f con-
forme mostra a figura abaixo.
107
Física Fundamental – Universo Mecânico: o Universo como uma máquina
A figura abaixo é uma fotografia na qual uma
partícula alfa (núcleo de hélio) incidindo contra
um átomo de hidrogênio, inicialmente em
repouso. A fotografia mostra que a partícula
alfa é desviada da sua direção original e o
átomo de hidrogênio é posto em movimento.
Por meio do diagrama das quantidades de
movimento é possível determinar, por exemplo,
o ângulo de espalhamento entre as partículas.
1.7 COLISÃO: CASO GERAL
No capitulo anterior apresentamos a aplicação
da Lei da Conservação da Quantidade de
Movimento para vários tipos de colisões, o que
implica em se conhecer as massas e as veloci-
dades envolvidas, antes e após a colisão.
Dada a diversidade de variáveis envolvidas, a
aplicação sozinha da relação acima não con-
segue oferecer uma resposta completa ao
problema. Neste caso, é indispensável que se
estabeleça outra relação entre as velocidade
através da Energia Cinética.
A partir do estabelecimento das Leis de Conser-
vação da Quantidade de Movimento e da Conser-
vação de Energia podemos obter, de uma ma-
neira geral, as velocidades finais das duas esferas
durante uma colisão elástica unidimensional. 
A partir destas relações vejamos alguns casos
especiais de colisões elásticas unidimension-
ais que merecem destaque:
1º CASO: Partículas de mesmas massas
(m1 = m2) com velocidades iniciais.
Após a colisão as partículas trocam de veloci-
dades. A velocidade final de uma e a veloci-
dade inicial da outra.
2º CASO: A partícula-alvo (m2) está em
repouso e é muito maior que a partícula-projétil
(m1), ou seja: m2>>m1.
Após a colisão a velocidade da partícula leve
se inverte e a partícula-alvo se mantém pratica-
mente em repouso.
3º CASO: A partícula-projétil (m1) é muito mais
maciça que a partícula-alvo (m2), isto é: m1<<m2.
Após a colisão, a partícula-alvo passa a ter o
dobro da velocidade da partícula-projétil.
Quanto a partícula-projétil, mantém pratica-
mente sua velocidade inicial.
1. Num jogo de bilhar uma bola preta, de massa
M e velocidade V colide frontalmente contra
uma bola vermelha, idêntica, parada. Após a
colisão, qual a velocidade da bola preta? 
2. Uma esfera A, de 6,0Kg, desloca-se com uma
velocidade de 8,0m/s quando colide contra
outra esfera B, de 4,0Kg, que se encontra para-
da. Após a colisão, quais as velocidades da
esfera A e da esfera B? 
3. Uma esfera de massa M, com velocidade V,
colide frontalmente contra outra esfera de
massa 2M inicialmente em repouso. Após o
choque quais as velocidades, respectivas, de
cada esfera? 
1.8 A EXTRAPOLAÇÃO DO CONCEITO DE
IMPULSO DISCRETO AO CONTINUO
A extrapolação do principio da ação e reação a
partir da colisão entre duas partículas para cor-
pos afastados gera alguns embaraços conceitu-
ais quanto a aplicação das forças. No caso das
partículas estarem em contato, é muito fácil
108
UEA – Licenciatura em Matemática
imaginar que a transmissão da força é instan-
tânea. Entretanto, se as partículas estiverem sep-
aradas, surge a seguinte questão: como uma
partícula pode transmitir instantaneamente
através do espaço a ação para a outra partícula? 
Uma vez que na definição da quantidade de
movimento p
→ 
= m. V
→ 
existe a dependência do
valor da velocidade, torna-se difícil de aceitar
que a transmissão do momento linear de uma
partícula a outra ocorra instantaneamente. A
luz, por exemplo, demora cerca de 8 minutos
para percorrer a distância do Sol a Terra. 
Michael Faraday, século XIX, tentou superar esta
dificuldade admitindo que a quantidade de movi-
mento é transportado mediante a existência de
um campo que se estabelece no espaço. Newton
percebeu que esta questão da “ação à distância”
constituía-se numa falha de sua Teoria da Gravita-
ção, contornou o problema postulando a existên-
cia de um meio material, extremamente sutil, im-
ponderável, chamado de éter. Ele acreditava que
a atração entre os corpos devia-se uma sucessão
de pequenos impulsos sobre a Terra dirigido sem-
pre para o mesmo ponto (centro de forças).
Em vista disso, ele imaginou que um objeto
deslocando-se ao longo de AB, recebia um
pequeno impulso sempre dirigido para o ponto
S (centro das forças). Como resultado, o obje-
to passava a se mover ao longo da reta Bc, ao
invés de Bc. Impulsos similares levam o objeto
as posições D, E e F.
No limite, quando os intervalos de tempo entre
cada uma das colisões se tornarem extrema-
mente pequenos, tanto a linha poligonal quanto
a série de forças impulsivas discreta e simultâ-
neas, se tornam continuas. Tal como ocorre du-
rante uma rajada intermitente da balas dispara-
das por uma metralhadora. 
1. Quando um meteorito passa próximo a Terra,
devido a interação gravitacional desvia sua tra-
jetória e, as vezes escapa, sem colidir com a
Terra. Considerando que o módulo das veloci-
dades inicia e final do meteorito sejam as mes-
mas, determine a direção e o sentido da quan-
tidade de movimento adquirido pelo meteorito
e pela Terra. 
109
Física Fundamental – Universo Mecânico: o Universo como uma máquina
TEMA 02
A LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL
O interesse de Newton pelo desenvolvimento de
uma dinâmica para o movimento planetário, na
segunda metade do século XVIII, é uma peque-
na amostra das discussões que se realizavam
durante os encontros da Royal Society. Por
exemplo, um grupo de respeitáveis cavalheiros,
entre os quais se destacam Edmond Halley
(famoso astrônomo), Christopher Wren (ex-
presidente da Royal Society, astrônomo,
geômetra, físico e arquiteto) e Robert Hooke
(exímio físico experimental e conceituado
astrônomo), debatiam, entre outras coisas, qual
deveria ser a Lei de Força necessária para que
um planeta se movesse numa órbita elíptica,
conforme havia sido estabelecido por Kepler. 
Nestas discussões, as idéias eram impregnada
pela teoria do filósofo francês René Descartes
(1596-1650), segunda a qual o espaço estava
cheio de um fluido sutile invisível (Éter), que
transportava os planetas através de gigan-
tescos redemoinhos em torno do Sol. Aliás,
mesmo depois de Newton ter publicado sua
teoria, físicos e astrônomos continuaram
empregando ta explicação. 
1. Em que difere a concepção de força conjec-
turada por Kepler com a de Newton?
2. tem alguma idéia do porque a Teoria de
Descartes era considerada útil pelos cientistas
da época? 
3. Qual é atualmente a importância da obra de
Newton? Somente histórica? ou ela ainda é
realmente útil para a Ciência? Explique seu
ponto de vista.
Apesar de tudo, aquele grupo de estudiosos
não descartaram completamente as expli-
cações de Kepler, de que a Força emanada do
Sol deveria diminuir com o quadrado da dis-
tância ao Sol. O próprio Hooke gabou-se a
Halley de tê-la determinado. 
1. Explique que implicações essa relação encontra-
da por Halley pode ter no cálculo da aceleração
da gravidade? e para o peso de um objeto?
Entretanto, a despeito dos insistentes pedidos
de Halley e Wrem para que Hooke apresen-
tasse publicamente a solução, ele não o fez.
Cansados de esperar, Halley, em agosto de
1684, decidiu ir à luta, foi até Cambridge con-
sultar Newton. Qual não foi sua surpresa, ao
saber que Newton, a partir de que a gravidade
diminua com o quadrado da distância, já havia
até calculado que a curva descrita por um
planeta era uma elípse.
Após insistentes apelos, Halley, conseguiu
convencer a Newton que publicasse, em 1687,
sua obra “Philosophiae Naturalis Principia
Mathematica”, vindo se revelar no maior fenô-
meno de público e de vendas, como também
de críticas desde aquela época. 
1. Qual a idéia central da Teoria de Newton ? Em
que ela difere da de Descartes?
No Principia, Newton aplica sua teoria dinâmica
para a explicação da Máquina do Mundo, ou seja,
como as mesmas leis gerais do movimento ter-
restre podiam ser aplicadas tanto aos planetas e
seus satélites, quanto aos fenômenos terrestres.
1. Sugira uma maneira bem simples pela qual
Newton podia demonstrar as Leis de Kepler.
110
UEA – Licenciatura em Matemática
O golpe de mestre de Newton consistiu em ter
se conscientizado de que a gravidade estende-
se até órbita da lua. De modo que guiado por
esta idéia comparou a distancias percorridas
pela maçã e pela “queda” da lua ao afastar-se
de seu movimento inercial em 1,0 segundo, 
Newton constatou que a relação era de .
Sabedor de que a Lua está 60 vezes mais
longe do centro da Terra que uma maçã, seus
cálculos revelavam maravilhosamente que a
força era proporcional o inverso do quadrado
da distancia. Newton demonstra, portanto, que
a força que mantém a lua em órbita é a mesma
que atua sobre uma maça puxando para a
Terra. Força da Gravidade. 
Foi esta arrojada e brilhante conjectura que lhe
permitiu unificar os movimentos dos corpos
próximos à superfície terrestre e os movimen-
tos celestes. 
Em resumo, foi em termos da força centrípeta,
em conjunto, com as Leis de Kepler que Newton
constituiu o núcleo central de sua Teoria da
Gravitação Universal.
Conforme ele mesmo fez questão de contar,
esta descoberta foi realizada, em 1665, aos 23
anos, durante os anos da Peste Negra que
assolou Londres. Como a Universidade foi
fechada, Newton refugio-se em sua casa,
levando em sua bagagem um caderno onde
constavam 22 questões que havia proposto a
si mesmo que ia desde as descobertas de
Galileu da queda dos corpos e das leis do
movimento planetário estabelecido por Kepler. 
Newton sabia que para a Lua se manter em
órbita, alguma coisa tinha que atrair a Lua, pois
de acordo com o Principio da Inércia ela tende-
ria a se mover em MRU. Dispondo dos valores
da excentricidade da órbita elíptica para diver-
sos planetas, como se pode constatar pela
tabela 1, considerou como uma aproximação
muito boa que o movimento orbital da lua
fosse um MCU e, se perguntou, então, como
age a força que atua sobre a lua?
Sabendo que num MCU a aceleração é centrípe-
ta e, uma vez entendido que a força que mantém
a Lua na sua órbita é a mesma que faz uma
maçã cair, Newton cunhou a expressão Força
Centrípeta para qualquer força que esteja dirigi-
da para o centro da curva descrita pelo objeto.
Fundamentado na 3ª Lei de Kepler, Newton
deduziu que a Lei da Atração Gravitacional,
além de variar na razão inversa do quadrado
da distancia deveria ser proporcional à massa
do planeta. Newton, foi assim levado à con-
clusão que não somente a Terra atrai uma
maçã e também a Lua, mas que qualquer
corpo do universo atrai todos os outros. 
Esta descoberta era apenas o começo, pois os
problemas teóricos que ele precisava vencer
eram enormes. Se comparar-mos o período da
descoberta, por volta de 1665 e a publicação
da sua obra cientifica, o Principia, publicado
em 1687, verificaremos que mais de 20 anos
se passaram. O que teria levado Newton a
aguardar tantos anos antes de publicar os
seus resultados? 
A dificuldade principal residia em encontrar
resposta matematicamente correta e convincente
a suposição de que o cálculo da força de atração
que a Terra exerce sobre um corpúsculo situado
fora dela, podia ser feito admitindo que toda a
massa da Terra estava concentrada no seu cen-
tro. Esta conjectura audaciosa foi o que levou
Newton a criar um instrumento matemático que
ele não dispunha na época: o cálculo integral.
A construção e o desenvolvimento destas idéias
serve como parâmetro para avaliar a capacidade
intelectual de Newton. Foi, portanto, a elabo-
ração das demonstrações matemáticas que jus-
tificassem aquela suposição que levaram mais
de vinte anos. Somente por volta de 1685 é que
Newton conseguiu demonstrar que, para uma
força central inversamente proporcional ao
quadrado da distância (aliás, isto só vale para
uma tal força!), a atração exercida por uma
esfera por uma partícula externa é como se toda
a massa da esfera estivesse concentrada em seu
centro, o que está muito longe de ser óbvio. 
1. Demonstre a seguinte proposição de Newton:
“... que um corpúsculo situado fora de uma esfera
111
Física Fundamental – Universo Mecânico: o Universo como uma máquina
é atraído com uma força inversamente propor-
cional ao quadrado de sua distancia ao centro.”
Entretanto, Newton resolveu o problema por
meio de uma explicação surpreendente bastante
simples. Considerou que uma reta qualquer que
passa pelo ponto P interno à camada, cortando
a esfera nos pontos A e B (figura abaixo). 
Um cone infinitésimo de vértice P e eixo AB
intercepta a esfera em duas áreas infinitésimas
∆A e ∆B, cujas projeções no plano da figura
são A’A” e B’B”. Os triângulos infinitésimos
PA’A” e PB’B” são semelhantes, pela igualdade
dos ângulos correspondentes, de modo que
A’A” = PA”. 
Portanto, uma casca esférica, uniforme, de
matéria atrai uma partícula que está fora dela,
como se toda a sua massa estivesse concen-
trada no seu centro. Assim sendo, podemos
imaginar a Terra como uma superposição de
cascas esféricas, cada uma atraindo uma
partícula exterior ao planeta, como se a sua
massa estivesse no centro dela. 
A partir desse resultado Newton generaliza
para o caso de uma esfera maciça. Na
solução, Newton aplicou o Principio da
Superposição, o que lhe permitiu que pudesse
dividir mentalmente a esfera numa coleção de
finas camadas concêntricas, de modo que
atuando individualmente pudessem ser
tratadas como se fossem partículas.
1. graficamente o comportamento da força gravita-
cional para (a) uma esfera oca e para (b) uma
esfera maciça exercem sobre um corpúsculo.
Newton, em seguida, estende seus resultados
e aos demais planetas do sistema solar e, final-
mente, estabelece sua extraordinária síntese: a
Lei da Gravitação Universal.
“Que existe uma potencia de gravidade que
pertence a todos os corpos e é proporcional
a diferente quantidade de matéria que cada
um deles contém. [Porque] já demon-
stramos que todosos planetas gravitam um
para o outro, e que a força da gravidade
para cada um deles, considerada separada-
mente, é inversamente proporcional ao
quadrado da distância ao centro do planeta.
E portanto segue que a gravidade que tende
para todos os planetas é proporcional a
matéria que contem.”
Se traduzirmos “potencia de gravidade” como
a força pelos quais os corpos se atraem, e
“quantidades de matéria” pela massa,
podemos estabelecer formalmente a Lei da
Gravitação Universal da maneira como é atual-
mente entendida: É a força com que cada
objeto no Universo atrai conjuntamente outro
objeto, sendo diretamente proporcional ao
produto de suas massas e inversamente pro-
porcional ao quadrado da distancia entre eles.
Matematicamente, podemos expressar a Força 
de Atração Gravitacional por: ,
onde M1 e M2 são as massas dos dois corpos,
r é a distancia entre eles e G é uma universal
constante da natureza, denominada de cons-
tante gravitacional.
Como as forças de atração, F e –F entre as
duas partículas dependem apenas da sepa-
ração entre elas, diz-se que elas estão sujeitas
a força central numa dada região do espaço.
Uma força central [F
→ 
= f(r) r^ ] tem, portanto,
tem as seguintes propriedades:
112
UEA – Licenciatura em Matemática
i) Está dirigida segundo a linha que liga a
partícula a um ponto fixo, chamado centro
de forças.
ii) O valor da força só depende da distância r
ao centro de forças. Logo, o valor de F tem
o mesmo valor em todos os pontos de uma
esfera de raio r.
2.1 O VALOR DE G e a MASSA DA TERRA
Deve-se evitar confundir a constante G, que
não é uma constante universal, com a aceler-
ação da gravidade (g), cujo valor depende do
local onde deve ser determinadas. Newton,
tentou obtê-la no “Principia”, através da densi-
dade media (ρT) da Terra. 
O problema técnico da determinação do valor
de G foi resolvido por Henry Cavendish, após
71 anos após a morte de Newton, que utilizan-
do uma balança de torção, obteve um valor
para Gque é bastante próximo do valor atual-
mente aceito: 
G = 6,67x10–11N.m2/kg2. Esta experiencia
Cavendish denominou de “pesagem da Terra”. 
1. Empregando a Força de Atração Gravitacional
dada acima, determine o valor da aceleração
da gravidade (g) de uma massa (m) na super-
fície da Terra. Sendo M massa da Terra.
Do ponto de vista, por exemplo, de uma maçã,
a Terra se comporta como uma partícula, tendo
a sua massa localizada no centro.
A maçã puxa a Terra para cima com a mesma
intensidade que é puxada pela Terra para
baixo.
Suponha, de acordo com a figura, que a Terra
puxe a maçã para baixo com uma força de 0,80
N. Então, a maçã deve atrair a Terra para cima
com uma força de mesmo módulo, que vamos
considerar no centro do planeta. Embora
sejam iguais em módulo, essas forças pro-
duzem acelerações diferentes, quando deix-
amos a maçã cair. Para a maça, a aceleração é
cerca de 9,8 m/s2, a conhecida aceleração da
gravidade perto da superfície da Terra.
Este resultado nos leva a três implicações cru-
ciais: 
I. a de que, desprezando-se a resistência do
ar, a aceleração adquirida por todos os
objetos, independente de suas massas (m)
ou de seus pesos (P) caem livremente,
próximo a superfície da Terra, é constante.
Tal como postulada por Galileu. 
Como se pode verificar, o valor desta acel-
eração (g) depende essencialmente das
características do planeta: sua massa, raio,
constante gravitacional G, volume, constitu-
ição física, etc. 
Em particular, na superfície da Terra, próxi-
mo ao nível do mar a uma latitude de 45º e,
desprezando-se a resistência do ar, o valor
calculada para aceleração da gravidade (g)
vale: g = 9,8665 m/s2
II. A segunda conseqüência é a de que, den-
tro da mecânica newtoniana a equivalência
entre a massa inercial e a massa gravita-
cional é uma pura coincidência experimen-
tal, conforme ele mesmo expressou. 
III. Finalmente, como dissemos acima, a 2ª lei
de Kepler, desvela a existência do conceito,
até então insuspeito, associado ao movi-
mento rotacional, de Momento Angular e
sua conservação. 
1. As observações astronômicas realizadas com
a luneta, por Galileo, em 1610, o levou a
descoberta das “luas” de Júpiter (pequenos
satélites) girando em torno dele, em uma órbi-
ta circular de raio r e período T. 
Diz ele: “... percebi que ao lado do planeta
113
Física Fundamental – Universo Mecânico: o Universo como uma máquina
havia três pequenas estrelinhas, pequenas,
mas muito brilhantes ...”
Tendo por base unicamente estas infor-
mações, qual(ais) da(s) medida(s) abaixo pode
ser determinada? Justifique sua resposta.
a) a massa de Júpiter
b) o valor g para numa das “luas”
c) o valor de na superfície de Júpiter
d) a força gravitacional sobre uma das “luas”.
2. Analise e comente a seguinte afirmação: “a
força com que o Sol atrai a Terra e a força
que faz um pedaço de pão cair no chão são
de mesma natureza”
3. A massa do Sol é cerca de 27.000.000 vezes
maior que a da Lua; o Sol está cerca de 400
vezes mais distante da Terra que da Lua.
Compare as forças gravitacionais exercida
pelo sol e pela Lua sobre a Terra. 
4. Júpiter, o maior planeta do sistema solar, tem
diâmetro 11 vezes maior do que a Terra e massa
320 vezes maior que a terrestre. Sabendo-se
que na Terra o peso de um astronauta com todo
o seu equipamento é de 120 N, quanto ele cor-
responderá na superfície de Júpiter?
5. Devido a rotação da Terra em torno de seu
eixo, o peso de um corpo é diferente nos diver-
sos pontos da Terra. Considere a Terra como
uma esfera de raio R e, como se a sua massa
M fosse homogênea. Indique a direção das
forças que atuam sobre o seu corpo no
Equador e no Pólo Norte da Terra. Estabeleça
para esses casos uma relação para a intensi-
dade da aceleração da gravidade local
6. Quando você está assistindo um programa de TV
isto só é possível, porque os satélites artificiais
usados em telecomunicação, capta o sinal eletro-
magnético da estação transmissora, amplifica e
emite para o local que deve receber a transmis-
são. Este satélites geralmente são colocados em
órbita circulares no plano equatorial da Terra.
a) porque estes satélites são denominados de
Estacionários ?
b) porque eles não caem sobre a Terra?
c) Qual a relação entre a velocidade angular e
a velocidade tangencial do satélite?
6. Pretende-se colocar, a uma altitude de 800km aci-
ma da superfície, um satélite artificial de 1,0 tone-
lada em órbita circular ao redor da Terra. Determi-
ne: (a) A velocidade tangencial para se obter a ór-
bita desejada. (b) O numero de voltas que o saté-
lite dará por dia em volta da Terra. (c) O peso do
satélite naquela altura. (d) A Energia total do saté-
lite em função da sua distancia ao centro da Terra.
Considere: 
G = 6,67 x 10–11N.m2.kg–2
M = 6,67 x 1024kg 
R = 6,67 x 103km
7. Suponha que exista um planeta que tem o trip-
lo da massa da Terra e o seu raio é o dobro do
raio da Terra. Quanto valerá, na superfície deste
planeta, o peso de uma massa de 20Kg? 
8. Suponha que a velocidade de rotação da Terra
aumentasse até que o peso de um objeto
sobre o equador ficasse nulo. De quanto deve-
ria ser o período de rotação da Terra em torno
de seu próprio eixo? (Considere o raio da Terra
de 6 400Km e g = 10m/s2) 
9. Antes do astronauta entrar na nave espacial que
o conduzirá até Júpiter, seu peso é de 1000N.
Sabendo-se que o raio de Júpiter é 11 vezes
maior que o da Terra e que sua massa 320
vezes maior que a da Terra (a) quanto valerá a
massa e o peso do astronauta em Júpiter?
10. Duas estrelas duplas, de massas M e 2M, sep-
aradas por uma distancia D executam movi-
mentos circulares em torno do centro de
massa comum. Nessas condições, qual a mín-
ima quantidade de energia necessária para
separar completamente as duas estrelas? 
11. Na sua opinião, porque a Lua não de encontro
a Terra?12. Afrânio cresceu tomando banho no cacimbão
pulando do galho de uma mangueira de 6,0 m
de altura. Após concluir seu curso de
matemática, virou astronauta e foi pular no Mar
da Tranqüilidade na Lua. De que altura Afrânio
deve cair na Lua para adquirir a mesma veloci-
dade com que atingia a água do cacimbão?
114
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 03
A LEI DE GAUSS 
Um dos maiores matemáticos de todos os tem-
pos, Sr. Carl Friedrich Gauss (1777-1855), para
expressar a relação entre carga elétrica e
campo elétrico, formulou a denominada lei de
Gauss. Essa lei foi formulada em termos do
conceito de fluxo do campo elétrico através de
uma superfície fechada.
Friedrich Gauss
Conversando com um guarda de trânsito acer-
ca da quantidade de carros que passam numa
determinada via de um bairro em Manaus num
dado intervalo de tempo, estaremos exatamente
considerando o fluxo de veículos que passam
naquele lugar. Pronto, já temos a idéia de fluxo.
Agora vamos pensar em como calculá-lo.
Para determinar o fluxo do campo elétrico
através de uma superfície precisamos dividi-la
em pedacinhos de área ∆Si, calcular o fluxo
através de cada pedacinho e por fim, somar as
contribuições de todos os pedacinhos. O fluxo
do campo elétrico através de um elemento de
área ∆Si é em geral dado por:
Φ∆Si= Ei∆Sicosθi
Onde θi é o ângulo entre os vetores que repre-
sentam o campo elétrico e a normal N
→ 
à super-
fície ∆Si.
Então podemos determinar o fluxo do campo
elétrico de uma carga puntiforme Q através de
uma superfície fechada que envolve essa carga.
Observando a figura (a) temos a normal saindo
da superfície irregular forma um ângulo φ com
o vetor campo elétrico. Na figura (b) temos a
projeção do elemento de área dA sobre a
superfície esférica.
Por questão de ser mais fácil escolheremos
uma superfície esférica de raio r e com a carga
exatamente em seu centro.
Observe que a escolha da superfície gaussiana
deve sempre satisfazer a condição de simetria,
sendo assim, poderíamos usar também uma
superfície cilíndrica ou até mesmo cúbica. O
importante é saber que no uso da Lei de Gauss,
a questão não é usar a simetria apenas para
facilitar a solução, a aplicação dessa lei de-
pende fundamentalmente da simetria e se não
pudermos usar a simetria não podemos usar a
lei de Gauss para obter a solução.
omo podemos observar, o vetor campo elétrico
E
→
i e a normal N
→
i são paralelos de modo que
cosθi= 1 e
Φtotal = Ei∆Si
Usando a lei de Coulomb, onde ,
podemos escrever:
∆Si
Onde ri corresponde à distância entre as car-
gas e ponto em que se quer medir o campo.
A lei de Coulomb e a lei de Gauss elétrica estab-
elecem uma relação entre o campo elétrico e as
cargas elétricas que são fontes desse campo.
115
Física Fundamental – Universo Mecânico: o Universo como uma máquina
Neste caso em que a carga se encontra posi-
cionada no centro de esfera, a distância para
qualquer elemento de área é igual ao raio r da
esfera, então nossa equação fica assim:
Φtotal = ∆Si
O valor da somatória dos elementos de área ∆Si
para uma esfera de raio r é igual à área da super-
fície esférica, é dado matematicamente por:
∆Si = Stotal = 4πr², o que corresponde a área
da superfície esférica escolhida.
Daí, Φtotal = 4πr² = , ou seja, o fluxo
elétrico é independente do raio da esfera. Ele
depende apenas da carga Q existente no inte-
rior da esfera.
Logo, podemos concluir que a expressão:
Φtotal = representa a lei de Gauss e podemos
descrevê-la assim: 
“o fluxo total do campo elétrico através de uma
superfície fechada é proporcional às cargas
elétricas situadas no interior dessa superfície
dividida por ε0”. 
A lei de Gauss nos dá uma nova visão para os
campos e para as cargas elétricas. Uma con-
seqüência dessa lei é a constatação de que as
cargas de um condutor se distribuem sobre
sua superfície e não em seu interior.
Bem, se pararmos para pensar em algumas apli-
cações tecnológicas que derivam das forças
elétricas, podemos nos lembrar do tubo de raios
catódicos de uma televisão; monitores de com-
putador; osciloscópio, que mostra a variação de
um sinal elétrico em um dado intervalo de tempo
através de visualização gráfica (também usado
no diagnóstico de peças defeituosas em equipa-
mentos eletrônicos, regulagem de equipamentos
de som, etc.). E se tomarmos como exemplo a
luz que vem de uma estrela distante, veremos
que o conceito de campo elétrico não é mera-
mente ilustrativo. O campo elétrico é uma enti-
dade física real, o que fica bem evidente ao anal-
isarmos as ondas eletromagnéticas (será estuda-
do mais adiante, aguardem!). O campo elétrico
transportado pela onda é capaz de carregar ener-
gia, momento linear e momento angular.
EXEMPLO
A figura abaixo indica o campo elétrico pro-
duzido por duas cargas puntiformes de mesmo
módulo e sinais diferentes q e –q (um dipolo
elétrico). Determine o fluxo elétrico através das
superfícies fechadas 
A, B, C e D.
Solução:
Pela definição de fluxo elétrico teríamos que
usar a seguinte integral para esse cálculo: 
No entanto, a lei de Gauss nos diz que o fluxo
total através de qualquer superfície fechada é
igual ao valor da carga elétrica total no interior
da superfície, dividido por ε0.
Sendo assim:
• a superfície A engloba a carga positiva;
então, Q = +q;
• a superfície B engloba a carga negativa;
então, Q = –q;
• a superfície C engloba ambas as carga;
então, Q = +q +(–q)=0;
• a superfície D não possui nenhuma carga
em seu interior; então, Q = 0.
Com esse artifício fica claro a conveniência em
aplicar a lei de Gauss. E podemos concluir que 
• o fluxo elétrico total para a superfície A é 
dado por ΦE = +
• o fluxo elétrico total para a superfície B é 
dado por ΦE = –
• o fluxo elétrico total para as superfícies C e
D é dado por ΦE = 0.
Observe que esses resultados só dependem
das cargas existentes no interior da superfície
gaussiana.
1. Pode-se afirmar que, numa placa condutora plana
infinita e eletricamente carregada, as cargas elétri-
cas se distribuem uniformemente por simetria.
Como conseqüência a densidade superficial de
carga é uniforme, as linhas de força são perpen-
diculares à superfície e o vetor campo elétrico ge-
rado por essa carga é constante em qualquer
ponto. Podemos considerar a placa infinita ao re-
lacionar a distancia do ponto à placa como muito
menor que a área da placa que esta a sua volta.
Supondo que a placa esteja carregada positi-
vamente.
Calcule o fluxo do campo elétrico que atraves-
sa o cilindro da figura.
2. Está representada na figura uma partícula de
massa m = 5,0 x 10–4kg, com carga elétrica posi-
tiva q = 2,0 x 10–9C, flutuando acima de uma placa
condutora positivamente carregada, no vácuo, na
superfície da terra. Utilizando os valores de ε0 =
8,9 x 10–12C2/N.m2 e g = 10N/kg. Determine:
a) o modulo do vetor campo elétrico gerado
por essa placa;
b) a densidade superficial de cargas da placa.
3.2 CAMPO ELÉTRICO NUMA ESFERA OCA E
MACIÇA
A lei de Gauss e a lei de Coulomb são formas di-
ferentes de abordar o mesmo problema. Portanto,
o cálculo do campo elétrico para determinada dis-
tribuição de carga fornece o mesmo resultado,
quer seja realizado através de uma ou outra lei.
Então, quando e por que usar uma ou outra
lei? Como regra, o uso de uma ou outra lei é
determinado pelas seguintes circunstâncias:
• Distribuição de cargas com alta simetria
Lei de Gauss 
• Distribuição de cargas com baixa simetria
Lei de Coulomb
CAMPO DE UMA CARGA PUNTIFORME
Por argumentos de simetria, é fácil chegar à
conclusão de que o campo de uma carga pun-
tiforme deve ter simetria esférica. Isto é, o valor
do campo é o mesmo para qualquer ponto
sobre uma esfera. Mais do que isso, o campo
deve ser normal a esta esfera.
Portanto, a melhor Gaussiana para calcular ocampo a uma distância r de uma carga pun-
tiforme é uma esfera de raio r.
Em qualquer ponto sobre a Gaussiana, o pro-
duto escalar será simplesmente EdS. Então,
tendo em conta que E é constante, teremos
A integral fechada sobre a superfície corre-
sponde à área da esfera, 4πr2. Portanto, o
campo de uma carga puntiforme, q, a uma dis-
tância r, é dado por
Como era de se esperar, essa expressão é igual à
expressão, obtida com o uso da lei de Coulomb.
116
UEA – Licenciatura em Matemática
117
Física Fundamental – Universo Mecânico: o Universo como uma máquina
DISTRIBUIÇÃO ESFERICAMENTE
SIMÉTRICA
Um condutor em equilíbrio eletrostático sem-
pre apresentará campo nulo em seu interior.
Grosso modo, num material não-condutor a
carga fica onde a colocamos.
No caso de uma distribuição de cargas com
simetria esférica, convém distinguir algumas
situações. Em primeiro lugar, dependendo do
material o tratamento será bem diferente:
Material condutor - Já sabemos que quando
certa quantidade de carga elétrica é colocada
num material condutor, ela se distribuirá de
modo a manter o campo nulo no interior do
material. Numa esfera a carga ficará uniforme-
mente distribuída na sua superfície. Portanto,
para um material condutor não há diferença
entre uma esfera e uma casca esférica. Em
ambos os casos, a carga elétrica se distribuirá
uniformemente na superfície externa.
Material dielétrico - Quando o material é não-
condutor, a situação é bem diferente. A carga
não se distribui como no caso do condutor;
grosso modo, ela fica onde a colocamos. Para
esse tipo de material não é suficiente con-
hecermos a quantidade de carga, há que se
saber a forma como ela está sendo distribuída.
Isto é, necessitamos conhecer a densidade de
carga no interior do material. Portanto, em ter-
mos de cálculo de campo elétrico e uso da lei
de Gauss, uma esfera dielétrica pode ser bas-
tante diferente de uma casca esférica.
ESFERA CONDUTORA
Já vimos acima que no caso de material con-
dutor, pouco importa se temos uma esfera
maciça, oca ou se temos uma simples casca
esférica; qualquer que seja o objeto, o campo
interno sempre será nulo.
De modo análogo ao caso da carga puntiforme,
argumentos de simetria nos levam à conclusão
de que o campo de uma esfera condutora tem
simetria esférica, de modo que a melhor Gaus-
siana será uma esfera concêntrica com a distribui-
ção de cargas. O campo é igual ao de uma carga
puntiforme, dado na equação acima descrita.
Portanto, uma esfera condutora de raio R compor-
ta-se, para pontos externos, r > R, como se toda
sua carga estivesse concentrada no seu centro.
ESFERA DIELÉTRICA
Vamos considerar o caso em que a distribuição
de cargas é uniforme. Isto é, a densidade ρ,
dada em C/m3, é constante. Poderíamos ter
uma distribuição mais complexa, na qual a den-
sidade variasse com a distância ao centro.
• Região I , onde r > R (Raio da distribuição).
O cálculo é análogo ao do campo de uma
carga puntiforme. O resultado tem a mesma
forma apresentada na equação: 
Se a carga total, Q, for conhecida, basta co-
locá-la no lugar de q. 
Se ao invés disso, conhecermos a densi-
dade, ρ, então a carga será dada pelo pro-
duto da densidade pelo volume da esfera,
Q = 4πR3ρ/3, resultando
118
UEA – Licenciatura em Matemática
• Região II, onde r < R 
A carga que aparece na lei de Gauss
é aquela envolvida pela superfície Gaussiana,
isto é, a carga no interior do volume 4πr3/3. 
Se conhecermos a densidade de carga, ter-
emos Q= 4πρr3/3. O campo no interior da
esfera será dado por
r
A variação do campo, em função do raio, é
representada na figura abaixo.
Veja que a variação para r > R é válida para
qualquer distribuição de cargas de simetria
esférica, enquanto que a variação para r < R é
válida apenas para uma distribuição uniforme.
3.3 BLINDAGEM ELETROSTÁTICA
Quando eletrizamos um condutor as cargas se
distribuem pela sua superfície devido à repul-
são, ou seja, as cargas podem movimentar-se
facilmente através deles. Portanto, todo corpo
metálico comporta-se como um condutor elétri-
co. Quando esse movimento cessa, dizemos
que o corpo atingiu o equilíbrio eletrostático. 
Então, se nenhuma corrente elétrica se move
através de um metal, o campo elétrico em seu
interior é nulo, mesmo que fora o campo elétri-
co seja diferente de zero.
Podemos definir: no interior de um condutor
eletrizado e em equilíbrio eletrostático, quer seja
oco ou maciço, o campo elétrico é sempre nulo.
Ocorre que os elétrons se distribuem sobre
sua superfície externa, mas em seu interior o
campo elétrico é nulo. Esse fenômeno é con-
hecido como gaiola de Faraday. 
O material condutor que constitui a gaiola de Fa-
raday pode assumir as mais variadas formas geo-
métricas. Se essa forma for esférica, a distribuição
de carga em sua superfície é uniforme. Se não for
esférica, a distribuição de carga elétrica não é uni-
forme e se acumula nos vértices (ou nas protube-
râncias) do condutor por se repelirem mutuamen-
te para essa posição. Neste ultimo caso, o campo
elétrico junto às pontas do condutor e distribuição
de carga, é muito maior do que no restante do
condutor, dando origem a um fenômeno conheci-
do como poder das pontas. Esse fenômeno foi
utilizado na construção dos pára-raios.
A gaiola de Faraday, nos laboratórios de testes
de aparelhos elétricos, é de extrema importân-
cia caso você queira proteger um instrumento
eletrônico muito sensível da ação de possíveis
campos elétricos que interfeririam na leitura do
instrumento. 
O mesmo princípio físico se aplica à proteção
durante uma tempestade na qual há relâmpa-
gos, o ideal seria estarmos dentro de nossas
casas ou prédios, ou no interior de um veículo,
pois todos esses lugares constituem uma gaio-
la de Faraday. 
Com o princípio da gaiola de Faraday podemos
blindar o campo elétrico e com isso diferencia-lo
mais uma vez do campo gravitacional, pois não
há maneira conhecida de se blindar a gravidade.
119
Física Fundamental – Universo Mecânico: o Universo como uma máquina
1. Analise cada afirmativa como verdadeira (V) ou
falsa (F):
a) Uma ponta sempre se eletriza mais facilmente
do que uma região não pontiaguda. ( )
b) A intensidade de um campo elétrico dentro
da esfera é zero. ( )
c) Em qualquer ponto P, fora da esfera, o
campo elétrico é inversamente proporcional
ao quadrado da distância entre esse ponto
e o centro da esfera. ( )
d) As cargas elétricas em um condutor elet-
rostático distribuem-se em sua superfície
exterior. ( )
e) Se um corpo já está eletrizado, uma ponta
perde mais carga elétrica do que as regiões
não pontiagudas; por isso é difícil manter
eletrizado um corpo que possua pontas. ( )
2. Marque aplicação tecnológica do conceito apre-
sentado por Faraday, no século XIX, na exper-
iência conhecida como gaiola de Faraday.
a) Isolamento térmico nas garrafas térmicas.
b) Atração dos raios nas tempestades por
pára-raios.
c) Isolamento elétrico promovido pelas bor-
rachas dos pneus de veículos.
d) Recobrimento com material isolante em cabos
utilizados para transporte de energia elétrica.
e) Bloqueio para chamadas de telefones celu-
lares em penitenciárias.
3. A ausência de cargas eletrostáticas no interior
de um condutor elétrico, quaisquer que sejam
suas formas, está relacionada ao fato de que:
a) O potencial elétrico é nulo no interior de
condutores.
b) A densidade superficial de cargas é constante.
c) O campo elétrico é nulo no interior de condu-
tores.
d) As cargas elétricas não se deslocam facil-
mente em condutores.
e) Não é possível isolar completamente um
condutor.
4. Por que é possível blindar uma sala contra
forças elétricas, mas não é possível contra
forças gravitacionais?
UNIDADE V
As Leis do Movimento
123
Física Fundamental – As Leis doMovimento
TEMA 01
AS LEIS DE NEWTON
INTRODUÇÃO
Como foi exposto, Newton, menciona insisten-
temente no “Principia”, que sua teorização
matemática se devia a familiaridade com o
conhecimento cientifico da época e com as
técnicas experimentas empregadas, frutos dos
resultados das pesquisas desenvolvidas pelos
membros da Royal Society. Diz Newton: 
“Ate aqui tenho exposto os princípios tal como
tem sido aceitos na época pelos matemáticos,
e que são amplamente confirmados pelos
experimentos.”
Newton
Numa carta a Hooke, Newton volta a declarar
textualmente, seu débito para com seus prede-
cessores, ao mencionar que: “Se vi mais longe
foi porque vi desde os ombros de gigantes” 
Hooke
É surpreendente observar tais reconhecimen-
tos por parte de Newton pois, como é sabido,
ele se envolveu em batalhas ferrenhas contra
Leibniz, Robert Hooke, Flamsteed pela priori-
dade sobre certas descobertas que defendia
ferozmente, com unhas e dentes, como sendo
de sua autoria. 
Nesta constelação de predecessores, Newton,
no entanto, esquece deliberadamente de
acrescentar explicitamente as contribuições
de Descartes, enfatizando principalmente os
nomes de Galileo por ter "descoberto que a
queda dos corpos varia com o quadrado do
tempo, e que o movimento dos projéteis
seguem uma trajetória parabólica, e os experi-
mentos assim o confirmam ... Sir Cristopher
Wren, o Dr Wallis, o Sr Huygens que são os
maiores astrônomos de nossos dias, determi-
naram as regrasdo impacto e da reflexão dos
corpos rígidos, e comunicaram aproximada-
mente ao mesmo tempo seus descobrimentos
a Royal Society..." 
1.1 AS LEIS ENUNCIADAS POR NEWTON PARA
O MOVIMENTO DE UM CORPO
Fica, pois, perfeitamente evidente a partir
destas manifestações laudatórias o quanto
Newton estava a par da tradição da pesquisa
em Física levada a efeito na Royal Society as
quais possibilitaram a Newton obter suas Leis
do Movimento.
A essência do estudo do movimento por Newton
consiste, portanto, em analisar o movimento de
um dado objeto em função das interações a qual
está submetidas devidas sua vizinhança. 
Assim é que, logo no prefácio de sua obra
prima, o “Principia”, Newton expõe com
clareza o papel preponderante do conceito de
força na construção de sua teoria. Escreve ele:
“A tarefa da filosofia parece consistir nisso:
124
UEA – Licenciatura em Matemática
investigar as forças da natureza a partir dos
fenômenos dos movimentos, e logo, a partir
destas forças, demonstrar os restantes fenô-
menos. As proposições gerais contidas no
primeiro e no segundo livro estão dirigidos a
este propósito. No terceiro livro dou um exemp-
lo disto na explicação de Sistema de Mundo ...”
Embora a idéia de força seja um conceito fun-
damental para Newton, sua forma de atacar o
problema será empregando essencialmente a
mudança da quantidade de movimento das
partículas em interação.
Desde que os conceitos, os princípios, leis que
expostos no “Principia” constituem, essencial-
mente a base que fundamenta a Mecânica
Clássica é inadmissível que não façamos, pelo
menos, uma menção as ricas e prolíferas expli-
cações físicas e aos resultados obtidos por
Newton. Para tanto, vamos examinar breve-
mente sua estrutura lógica e as evidencias de
sua relação com a Visão Mecanicista do
Mundo prevalecente na época.
O “Principia” está estruturado em 3 Livros. No
Livro I, Newton examina abstratamente a
dinâmica isto é, a noção de ponto de massa
sob condições especificas; no Livro II, ele con-
sidera o movimento dos objetos em meios
resistivos enquanto que o Livro III, denominado
por ele de “Sistema do Mundo” é uma apli-
cação dos dois primeiros livros ao movimento
dos planetas, lua, cometas e marés. 
Apesar de Newton ter inventado o cálculo difer-
encial e integral ele não os emprega no
“Principia”, mas tem como modelo os
“Elementos” de Euclides. Dessa maneira
Newton estrutura sua teoria através de um con-
junto de definições e axiomas, corolários, etc .
Newton começa, assim, definindo e explicando
oito termos tal como ele quer que sejam enten-
didos ao longo de sua obra. Na linguagem da
Física atual, estas definições correspondem
aos conceitos de massa, momentum ou quan-
tidade de movimento, inércia e força. 
Newton, inicia pela noção de massa definindo-
a da seguinte maneira: 
A quantidade de matéria é a medida da mesma,
que se obtém conjuntamente de sua densidade
e seu volume”.
Apesar de atualmente denominarmos de
massa a esta “quantidade de matéria”, Newton
prefere definir a massa a partir da densidade
de um corpo. 
Entretanto, como ele não define o que seja a
densidade sua definição de massa se perde
nesta circularidade. Além disso, Newton
empregar indistintamente os conceitos de
massa inercial e massa gravitacional.
Sinteticamente, apesar de, aos nossos olhos,
Newton ter cometido certas incoerências na
sua definição de massa, o importante disso
tudo é que ele tem consciência e assinala com
clareza que todos os corpos tem uma pro-
priedade fundamental característica, que difere
de seu peso e que determina seu movimento.
É esta propriedade que ele chama de massa. 
Conforme verificamos podemos definir opera-
cionalmente a massa (m) de um corpo qualquer
a partir da eleição arbitrária de um corpo padrão
(mo) escolhido como unidade de medida.
Feito estes esclarecimentos a respeito da
massa Newton define um conceito que é cen-
tral para sua Física: a quantidade de movimen-
to ou momento linear.
“A quantidade de movimento é a medida do
mesmo que se obtém conjuntamente da veloci-
dade e da quantidade de matéria”
Empregando a linguagem da Física atual dize-
mos que a quantidade de movimento (p
→
) é
igual a ao produto escalar da massa pela
velocidade: p
→ 
= m.v
→
. Trata-se de uma gran-
deza vetorial sujeita as regras da operação
vetorial. Portanto, o momento linear varia quan-
do aceleramos, freamos ou quando variamos a
direção do movimento.
Desde que para Descartes, o estado de movi-
125
Física Fundamental – As Leis do Movimento
mento de um objeto, na ausência de influen-
cias externas era, hipoteticamente, de contin-
uar seu movimento, a análise de Newton se
volta para a definição de Inércia. 
“A força inata da matéria, é um poder de resis-
tir, mediante a qual cada corpo, no que
depende dele, continua em seu estado pre-
sente, quer seja este de repouso ou de movi-
mento uniforme para frente em linha reta”.
Por esta definição, a inércia de um corpo é a
sua tendência de continuar em seu estado de
repouso ou de movimento retilíneo uniforme e
é proporcional a sua massa.
Dando mais um passo na determinação das
Leis do Movimento, Newton define outro con-
ceito fundamental: o de força 
“Uma força aplicada é uma ação exercida
sobre um corpo a fim de modificar seu estado,
quer seja de repouso ou de movimento uni-
forme em linha reta.”. 
No entanto, segundo Newton, uma força
“Consiste somente na ação, e não permanece
no corpo quando termina a ação. Porque um
corpo mantém cada novo estado que adquire,
devido somente a sua inércia”
Quanto aos tipos de forças que podem ser apli-
cadas ao corpo Newton assinala as seguintes:
“O choque, pressão, força centrípeta”. 
Entretanto, ele define somente a ultima, uma vez
que as duas primeiras são bem conhecidas.
Percebe-se pois, por essas definições, como
Newton, antes de semear foi preparando o ter-
reno para o desenvolvimento e fortalecimento
de suas idéias, de maneira que suas Leis para
o movimento se encadeassem e se encaixas-
sem perfeitamente bem numa estrutura lógica,
consistente com este conjunto de definições,
axiomas, etc. Estes axiomas são os seguintes: 
I. “Cada corpo continua em seu estado de
repouso, ou de movimento uniforme numa
linha reta, a menos que seja compelido a
modificar tais estados por forças impressas
nele”
II. “A mudança de movimentoé proporcional a
força motriz impressa; e é feita na direção
da linha reta na qual a força é imprimida. 
III. “A cada ação existe sempre oposta uma
reação igual; ou, a ação mutua de dois cor-
pos, um sobre o outro, é sempre igual e
dirigido para as partes contrarias.”
Vamos examinar cada um destas “Leis” sepa-
radamente.
1.2 A LEI DA INÉRCIA
O conceito de movimento persistente, chamado
de Inércia, não foi inventado por Newton. Como
temos ressaltado, tal idéia vinha sendo amadure-
cida e retrabalhada por muitos pensadores antes
dele. Contrariamente a concepção de que o
repouso é o estado natural dos corpos e o movi-
mento algo passageiro, Newton inverte este
raciocínio, justificando que tanto o repouso,
quanto o movimento, são estados dinâmicos. 
Este 1ª axioma pode ser considerado como
um critério para se verificar se existe ou não
uma força resultante externa atuando sobre um
corpo. Portanto, contrário a concepção de
Galileo, para quem o movimento orbital de um
planeta era considerado natural, para Newton,
qualquer corpo que se mova num círculo,
exige a presença constante de uma força exter-
na atuando sobre o mesmo. 
Observa-se também, que o enunciado da Lei
da Inércia, pressupõe obviamente a existência
de um sistema de referencia em relação ao
qual a mesma se mantenha válida. Tais referen-
ciais, são denominados de Referenciais
Inerciais ou seja, sistemas de referencia que
estão em repouso ou que se movem em MRU,
um em relação a outro.
O LANÇAMENTO DE PROJÉTIL
O interesse despertado por este problema
nasceu, também, da necessidade de Galileo
126
UEA – Licenciatura em Matemática
rebater os argumentos lançados contra ele pelos
opositores da teoria copernicana. Em defesa da
Teoria de Copérnico, Galileo, estrategicamente,
contra-atacava seus adversários com as mes-
mas armas argumentos que lançavam.
Para Galileo, a argumentação dos escolásticos
não se constituía numa prova irrefutável de que
a Terra estivesse parada. 
Segundo Galileo, se a Terra estivesse se
movendo com movimento uniforme, obter-se-
ia o mesmo resultado, ou seja: a pedra contin-
uaria alcançando a base da torre.
Como justificativa, Galileo empregou o
Principio da Independência do Movimento,
segundo o qual os movimento horizontal e ver-
tical, apesar de ocorrerem simultaneamente
são independentes uma da outra, ou seja:
atuam separadamente e não interferem um no
movimento do outro. Em resumo, o movimen-
to da pedra caindo sobre uma Terra em movi-
mento se comporta exatamente da mesma
maneira do que numa Terra imóvel.
1. Um gato de 1,0Kg, dá um pulo, atingindo a
altura de 1,25m e caindo a uma distancia de
1,5m do local do pulo. Qual o valor da veloci-
dade com que o gato pulou? 
2. Durante um treinamento de morteiro, enquanto
o recruta Ângelo lançava do alto de uma colina
os torpedos, o recruta Aroldo se responsabi-
lizava palas medições e pelos cálculos.com os
projeteis atingiam o solo. Sabendo que Ângelo
fez três disparos:
O primeiro horizontalmente, com velocidade
inicial V.
O segundo horizontalmente, com velocidade
inicial 3V.
O terceiro obliquamente para cima com veloci-
dade V formando um ângulo de 30° com a hor-
izontal
Desprezando a resistência do ar, você concor-
da que o tempo encontrado pelo Aroldo foi o
mesmo nos três lançamentos? Se você discor-
dar, indique o que está errado e explique
porque? 
3. Suponha que você esteja dentro de um táxi,
quando o motorista por frear bruscamente,
você acaba batendo sua cabeça contra o para-
brisa. Dentro do carro trava-se o seguinte
“bate-boca”.
Taxista: “Perdão! não tive culpa. A culpa foi
toda sua, por não está usando o cinto de segu-
rança”. 
Você (passando a mão na testa):
“Vaiii...(impublicável)!! Eu só continuei em
movimento porque você não apenas vinha cor-
rendo muito como freou bruscamente o carro”.
Taxista: “Isso não é verdade! A culpa foi toda
sua!, pois o carro foi freado, mas você continu-
ou seu movimento”.
Você: “Vai te .... (impublicável)!! Eu podia está
amarrado no banco dessa carroça e, ainda
assim, o banco continuaria me empurrando
para frente no momento da freada”.
Taxista (rindo): “Há! Essa é boa! Vou mandar pro
Faustão. Quer dizer, então, que o meu carro é um
referencial onde não vale as Leis de Newton”. 
Você: “É isso mesmo! Mas vamos deixar para
esclarecer tudo isso, agora, na presença da
policia”
De acordo com o diálogo imaginário acima,
qual(ais) explicação(ões) acima você consid-
era correta? Explique porque.
4. Ao terminar de explicar o Principio da Inércia, o
professor perguntou para seus alunos o que
127
Física Fundamental – As Leis do Movimento
eles tinham compreendido. Três alunos
forneceram, então, as seguintes explicações:
I – Se nenhuma força externa atuar sobre um
ponto material, com certeza ele estará m
equilíbrio estático ou dinâmico.
II – Só é possível a um ponto material estar em
equilíbrio se ele estiver em estado de repouso.
III – A inércia é a propriedade da matéria de
resistir à variação de seu estado de repouso
ou movimento.
Com base nestas explicações qual(ais) você
considera correta? Justifique sua resposta.
5. Um objeto é observado no espaço movimen-
tando-se com velocidade constante. Se a tra-
jetória do objeto deixa o rastro conforme
mostra a figura abaixo, indique a força resul-
tante que atua sobre o objeto.
Galileo, de modo a solidificar definitivamente
seu argumento, oferece como exemplo, uma
experiência pensada na qual um objeto é deix-
ado cair do mastro de um barco. Para ele, quer
o barco esteja ancorado ou navegando em
MRU, a pedra tocará o convés, junto ao “pé”
do mastro. Uma importante conclusão desta
idéia é a impossibilidade de se escolher um
sistema de referencia como autêntico; um ref-
erencial que esteja, por exemplo, em repouso
absoluto. A generalização desta conclusão nos
leva ao Principio da Relatividade de Galileo, no
qual todas as leis da Mecânica Clássica per-
manecem validas. 
1.3 A SEGUNDA LEI
O objetivo de Newton com este axioma é quan-
tificar a intensidade da força resultante a partir
de seus efeitos durante o movimento. Para
tanto, ele estabelece que: 
“A mudança de movimento é proporcional a
força motriz impressa; e é feita na direção da
linha reta na qual a força é imprimida.”
Segundo a terminologia atual, o que Newton
está indicando é que a “taxa de variação da
quantidade de movimento” deve ser propor-
cional à força motriz impressa, ou seja: 
ou, melhor dizendo .
Assim, uma vez admitida a existência de uma
força resultante atuando sobre o objeto,
podemos determinar a intensidade desta força
a partir dos efeitos observados na variação da 
quantidade de movimento, isto é: .
Euler
Considerando-se a massa constante, temos que: 
. 
Entretanto, como nada mais é do que a
definição de aceleração, a 2ª Lei de Newton
que pode ser re-escrita na forma estabelecida
por Euler: ΣF
→ 
= m.a
→ 
.
Esta re-definição coloquial da 2ª Lei pode ser
estabelecida da seguinte forma:
“Quando uma força externa é aplicada a um
objeto, ele acelera na direção da força e, quan-
to mais intensa a força, maior a aceleração
adquirida pelo objeto.”
No caso de um objeto em queda livre, dada a
massa (m) do corpo podemos determinar a 
variação da velocidade do mesmo ( ) a par-
tir da 2ª Lei como .
128
UEA – Licenciatura em Matemática
Uma vez que a aceleração, como postulada
por Galileo, é constante, a razão entre a força 
e a massa ( ) deve ser a mesma para todos
os corpos.
A FORÇA CENTRÍPETA
INTRODUÇÃO
A busca de uma identidade entre os movimen-
tos terrestre e celeste constitui-se num dos
mais importantes momentos da História do
Pensamento Cientifico. Ele nos leva ao núcleo
e ao coroamento do trabalho de Newton.
Apesar da enorme relevância e dos frutíferos
avanços colhidos das descobertas deGalileo
para a Física, ele nada diz sobre qual a causa
para o processo de incremento da velocidade
durante a queda livre.
No entanto, o desenvolvimento de uma Dinâmica
exigia uma explicação para a causa física. 
Kepler
Nesta busca Kepler (1571-1630) admite que
alguma espécie de força ou “emanação” devia
provir do sol que os guiava em suas órbitas.
Posteriormente, altera sua explicação para
forças magnéticas originárias do sol. 
1. Em que difere a concepção de força de Kepler
com a de Newton?
Embora a concepção de força de Kepler não
se revelasse correta, a idéia de que existia uma
força única que controla os movimentos de
todos os planetas ficou para a posteridade. 
Outro cientista que muito contribuiu para esta-
belecer esta relação,destaca-se Christiann
Huygens (1629-95), Filósofo Natural,de
nacionalidade holandesa e membro consagra-
do da Academia Francesa de Ciência.
Huygens havia demonstrado que, de acordo
com o conceito de Inércia, deveria existir, para
qualquer corpo em MCU, uma força resultante
(arrancando-a de seu curso inercial) dirigida
para o centro de um círculo. 
Tal força produziria uma a aceleração, dada 
por , onde V é a velocidade do corpo e
R é o raio de sua órbita. 
Newton sabia, entretanto, até onde seu con-
temporâneo e rival tinha chegado pois, a seus
olhos, a questão central permanecia sem
resposta, ou seja: como a força centrípeta se
relaciona com variação do momentum num
certo intervalo de tempo.
Para um claro entendimento destas questões,
é oportuno relembrar a definição e a discussão
estabelecida por Newton a respeito da Força
Centrípeta.
Desde sua época de estudante universitário,
Newton vinha tentando descobrir uma difer-
ente e engenhosa maneira de provar matemati-
camente a força centrípeta que chegasse aos
mesmos resultados obtidos por Huygens. 
Na época em que escreveu o “Principia” a
129
Física Fundamental – As Leis do Movimento
força centrípeta havia se convertido num con-
ceito de extrema importância para suas idéias
a respeito do movimento planetário. Tanto que,
ao exemplificar, por exemplo, alguns tipos de
forças, Newton preferiu se preocupar em
definir apenas a força centrípeta, da seguinte
maneira:
“Uma força centrípeta é aquela devido a qual
os corpos são atraídos ou impelidos, ou de
alguma maneira tendem para um ponto como
para um centro.”
Newton apresenta como exemplo o movimen-
to de uma pedra presa por um barbante posta
a girar pela mão de uma pessoa. 
A força centrípeta é fornecida pela tensão do
barbante. Caso a corda arrebente, a pedra sai
pela tangente exatamente no ponto onde o
barbante arrebentou. Entretanto, para os seus
propósitos, Newton menciona o exemplo da
Lua, onde a atração gravitacional da Terra
sobre a Lua fornece a força centrípeta
necessária para mantê-la em órbita.
1. Outro exemplo da presença da força centrípe-
ta para a explicação do movimento curvilíneo,
ocorre quando carro realiza uma curva. 
No caso de uma curva plana, a força centrípe-
ta é fornecida pela força de atrito entre os
pneus e a pista. 
Ainda assim, a força de atrito é incapaz de
manter, por exemplo, um carro de corrida
presa a curva se a pista estiver molhada. 
Para evitar que o carro venha a se desgov-
ernar, os engenheiros para aumentar a segu-
rança, inclinam a curva para dentro. A incli-
nação da estrada é escolhida de tal modo que,
obedecendo-se à velocidade escalar para qual
foi projetada, não haja necessidade de o carro
ter atrito com o piso para efetuar a curva.
Demonstre que este ângulo de inclinação é 
dado por .
2. No caso do movimento em loop, tal como
acontece com os movimentos numa montanha
russa ou nas exibições no Globo da Morte,
para que seus ocupantes se divirtam com
segurança ao passar pelo ponto mais alto,
demonstre que a velocidade mínima que o
motociclista deve ter para passar pelo ponto
mais alto da trajetória, de modo que a moto
não desgrude do Globo da Morte é dada por 
.
Newton, entretanto, para deixar bastante clara
seu conceito de força centrípeta, apresenta outro
exemplo em que, dependendo da direção e da
intensidade da velocidade inicial de uma bala de
canhão, a órbita exata é uma cônica: um círculo,
uma elipse, uma hipérbole ou uma parábola: 
“Se uma bola de chumbo, projetada desde o alto
130
UEA – Licenciatura em Matemática
de uma montanha pela força da pólvora com uma
velocidade dada em direção paralela ao horizonte,
se move ao longo de uma curva ate cair no solo a
uma distancia de duas milhas, se não existisse a
resistência do ar e se a sua velocidade se duplicas-
se ou se decuplicasse, recorreria uma distancia
dupla ou dez vezes maior. E aumentando a veloci-
dade poderíamos aumentar a distancia quanto
quiséssemos, e diminuir a curvatura da linha que
poderia descrever, de modo que por último pode-
ria cair a distancia de 10, 30 ou 90 graus, ou ainda
poderia dar uma volta ao redor da terra antes de
cair, ou, finalmente, podia não voltar jamais a cair a
terra, mas que se moveria para os espaços celesti-
ais e prosseguiria seu movimento in infinitum.”
É impressionante a atualidade desta reflexão
especulativa de Newton tendo em vista as via-
gens espaciais a partir do século XX. Perceba
que o único requisito necessário para que um
satélite entre em órbita ao redor da Terra é que
o satélite tenha uma velocidade inicial mínima
de lançamento dada por , onde R é o
raio do planeta de onde o satélite esta sendo
lançado. Caso contrario, o satélite cairá de
volta ao solo ao longo de uma parábola ou
escapará da Terra ao longo de uma trajetória
hiperbólica, se perdendo na imensidão do uni-
verso. A velocidade de escape é dada por
. No caso da Terra esta velocidade
é de aproximadamente 11Km/s. 
1. Deduza a expressão para a força de atração
gravitacional para manter a Lua em MCU em
torno da Terra.
2. Consiga duas apostilas e as coloque uma
sobre a outra e, em seguida, as apóie sobre a
palma da sua mão. Em seguida, movimente-as
verticalmente para cima, a partir do repouso.
Admita que cada apostila tenha em media 500g
e que a aceleração tenha sido de 1,0m/s2. 
a) Qual a intensidade da força que a palma da
mão exerceu sobre a apostila que está em
contato com ela. 
b) Qual a intensidade da força que uma apos-
tila exerce sobre a outra. 
3. Uma pessoa está pescando com uma linha
que pode suportar no máximo 40N. Ela fisga
um peixe de 2Kg que pode exercer uma força
de 60N durante alguns segundos. Qual a acel-
eração mínima com que ela deve soltar a linha,
durante esse intervalo de tempo, para que a
linha não arrebente? 
4. Suponha que você esteja dirigindo tranquila-
mente seu carro numa pista reta, a uma veloci-
dade de 100km/h, quando inesperadamente
vê outro carro cruzar sua frente. Você então pi-
sa com toda força no freio travando as rodas,
fazendo o carro deslizar cerca de 10 m na pista
até parar. Desprezando os demais fontes de
atrito qual o coeficiente de atrito entre o pneus
do carro e a pista? 
5. A figura representa uma mola presa a um
bloco de massa M. Quando a mola é esticada,
seu comprimento varia de Xcm, e o bloco
adquire uma aceleração a. qual será a aceler-
ação que essa mesma mola produzirá num
corpo de massa igual a 2M, quando seu com-
primento variar 2 X cm?
6. No gráfico abaixo está representado a veloci-
dade escalar de uma partícula em função do
tempo, que se desloca numa trajetória
retilínea. A partir do gráfico V=f(t), construa o
gráfico da força resultante em função do tempo
que atua sobre a partícula.
131
Física Fundamental – As Leis do Movimento
7. Um bloco B de 20 Kg esta apoiado sobre uma
placa P de 60 Kg, que encontra-se em repouso
sobre uma superfície horizontal sem atrito. Os
valores dos coeficiente de atrito estático e
cinético entre B e P são, respectivamente 0,4 e
0,3. Qual a aceleração do bloco ao ser aplica-
do umaforça horizontal de 120N? 
8. Um professor, comumente, ao apagar a lousa
pressiona o apagador de 0,1Kg contra o qua-
dro. Admitindo-se que ele exerça uma força
perpendicular de 5N e que o coeficiente de atri-
to cinético seja de 0,4. Qual a intensidade da
força de atrito quando o apagador é movido
horizontalmente. 
9. Uma caixa vazia, pesando 10N é colocada
sobre uma superfície horizontal. Ao ser aplicada
uma força horizontal ela começa a se mover
quando a intensidade da força atinge 5N.
Todavia, quando a caixa está cheia de areia ela
só começa a se mover quando a intensidade da
força atinge 50N. Qual a quantidade de areia? 
10. Suponha que você, ao acabar de comer,
empurra seu prato sobre uma mesa horizontal
com uma certa velocidade inicial, e que ele
desliza aproximadamente 1m sobre a mesa até
parar. Se a massa do prato for duplicada e
você voltasse a repetir a “falta de educação”
com a mesma velocidade inicial, qual a distan-
cia que o prato deslizaria até parar? 
11. Ao sair para sua tradicional pescaria, seu
Aroldinho atrelou a sua camionete de massa M
um vagão de massa 2M. Considerando o coe-
ficiente de atrito estático igual a µ, qual a máx-
ima aceleração que ele pode imprimir ao sis-
tema para que as rodas não deslizem.
(Considere a pista horizontal e todos as
demais fontes de atrito desprezíveis)
1.4 A TERCEIRA LEI
Indubitavelmente, esta foi a mais engenhosa
contribuição de Newton no seu empenho de
axiomatizar Mecânica. 
Este axioma, freqüentemente referido como a
Lei da Ação e Reação, estabelece que durante
a interação entre dois corpos, as forças ocor-
rem sempre aos pares na Natureza.
Assim, se um corpo A exerce uma força sobre
um corpo B, este corpo B exerce uma força de
mesma intensidade, mas de sentido oposta,
sobre o corpo A. 
Como exemplo, Newton cita os seguintes
casos: “Se você pressiona uma pedra com seu
dedo, seu dedo também é pressionado pela
pedra. Se um cavalo arrasta uma pedra amarra-
da com uma corda, o cavalo (se me permite a
expressão) será igualmente arrastado para a
pedra; porque a corda estendida, por seu
próprio esforço para desenrolar-se, atrairá o
cavalo, e obstruirá o progresso de um como
promove o do outro”
No exemplo do cavalo, Newton parece sugerir
que o cavalo não arrasta a pedra. A falácia
envolvida nesta argumentação ilustra bem a
dificuldade usual para se entender a Lei da
Ação e da Reação. Comumente, está baseada
na desatenção quanto ao isolamento dos cor-
pos envolvido no problema. 
1. Há milhões de anos atrás, quando os bichos
falavam, um fazendeiro “pediu” para um cavalo
puxar sua carroça, mas o cavalo recusou lhe
atender. Em sua defesa, se apoiou na 3ª Lei de
Newton: “se eu puxar a carroça, a carroça vai
me puxar igualmente para trás. Desse modo
nunca nos movimentaremos. Além disso, jamais
poderei exercer uma força tão intensa sobre a
carroça que ela não possa exercer sobre mim.
Portanto, sinto muito, mas não posso atender
seu pedido. Estou impedido pela lei da Física
de iniciar o movimento da carroça”.
Baseados nos seus conhecimentos das Leis de
Newton, que conselhos você daria ao fazen-
deiro para que ele se defenda destes argumen-
tos e convença o cavalo a puxar a carroça?
Em seus acréscimos, após a 3ª Lei, Newton
comenta o caso de mais de uma força atuar sobre
o corpo, Ele estabelece, através da Regra do
Paralelogramo, os efeitos de diversas forças agin-
do simultaneamente sobre uma partícula. Como
já foi visto, uma característica de grande importân-
cia, implícita na Regra do Paralelogramo, é o esta-
belecimento da independência dos efeitos de
cada força ao atuarem conjuntamente. 
É o que ocorre, por exemplo, no caso de um
corpo suspenso por uma corda. Sobre o corpo
atuam duas forças, o peso e a força exercida
pela corda. Se a corda for cortada, esta força
desaparece, mas o peso continua agindo fazen-
do com que o corpo caia com uma aceleração.
1. Duas forças de 3N e 4N atuam perpendicular-
mente sobre um corpo de 1 Kg. Determine a
aceleração do corpo? 
2. Demonstre que: “Num sistema isolado de
forças externas, o momento linear de qualquer
sistema é conservado” isto é, a quantidade de
movimento de qualquer sistema é constante.
3. Uma das mais interessante aplicação da Lei da
Ação e Reação é o sistema de propulsão de
um foguete. Um foguete ejeta numa direção
uma massa de gás em altíssima velocidade, e
é acelerado de pela reação na direção oposta.
Considere a velocidade dos gases em relação
ao foguete sendo Vr e (v – Vr) em relação a
Terra e admita que em vez do foguete emitir
continuamente gás sobre um determinado
período de tempo, o gás seja emitido que nem
as balas de uma arma de fogo. 
a) Mostre a relação que existe entre massa ini-
cial (m0) e a massa final mf do foguete, para
que sua velocidade passe de v0 à vf. 
b) Determine a velocidade do foguete em
função do tempo e da massa. 
4. Diz o dito popular que: “toda ação corre-
sponde uma reação”. Se assim fosse, a reação
anularia a ação e não existiria movimento.
Enuncie corretamente o Principio da ação e
Reação e discuta a afirmação anterior.
5. Durante uma aula o professor solicitou ao
aluno que identificasse as forças de ação e
reação existentes num livro em repouso sobre
a mesa. O aluno respondeu que: “o peso e a
normal constituem um par ação-reação pois, as
intensidades destas são forças são iguais em
módulos”. Comente a resposta do aluno.
6. A figura abaixo representa as forças atuantes
sobre um corpo suspenso por fio. Identifique
as forças que constituem um par ação-reação.
132
UEA – Licenciatura em Matemática
Um objeto, inicialmente em repouso, explode
em duas partes, A e B, com massas M e 3M,
respectivamente. Num determinado instante t,
após a explosão, a parte B está a 6,0 m do
local da explosão. Nestas circunstancias, qual
a distancia entre A e B no instante t?
1.5 QUAL A VERDADEIRA MEDIDA DE UMA
FORÇA?
Durante séculos, o modelo de explicação pa-
ra os fenômenos naturais se baseou na idéia
de FORÇA, pois parecia intuitivamente corre-
ta a concepção de que um corpo é dotado de
certa “alma”, “Virtudes”, “Potências” ou “Prin-
cípios Ativos”. 
Ainda hoje é bastante ouvir-se expressões do
tipo; “fulano tem força”; “a força do amor”;
“casa de força” etc. Assim, a primeira vista, a
idéia de que também existe no Universo uma
“força”, uma espécie de constituinte imaterial
parece ser uma idéia bastante simples, até
auto-evidente. 
Perseguindo historicamente na busca da
essência do conceito de energia verifica-se
que desde o século XVII, os cientistas procu-
ravam refinar a nossa conhecidíssima noção
de força que, comumente, associamos ao
esforço muscular de puxar ou de empurrar. 
Na época de Newton uma questão que, por
exemplo, era bastante debatido dizia respeito
sobre o que é Força? Procurava-se saber
porque é que quando a força é impressa ao
corpo ela o impede de continuar seu estado de
repouso ou de MRU ? Como medi-la? etc.
Para muitos a equação F = m.a parece bas-
tante simples, ou seja: tem-se a impressão de
que a equação F = m.a é uma definição de
força, de modo que conhecendo a massa de
um objeto, e medindo a sua aceleração, a força
externa aplicada pode ser encontrada. A princi-
pio, conhecendo-se a força que atua sobre a
partícula, a abordagem newtoniana é suficiente
para descrever seu movimento. Através da
Segunda Lei, podemos obter a aceleração e,
por integração, encontrar a velocidade e a
posição. Tudo parece ser muito simples, não é
verdade?! Parece não existir neste tratamento
qualquer problema. Porem, para os físicos, o
essencial não reside na aplicação matemática
da força, expresso por F = m.a, mas no signifi-
cado físico da Força, pois na Física o que inter-
essa é interação entre sistemas. 
Nestes casos, as abordagens Lagrangeana e o
Hamiltoniana tornam-se mais eficaz pois, ao
invés de empregar o conceito de FORÇA,uti-
liza-se o conceito de ENERGIA como conceito
fundamental. 
Para que possamos obter um entendimento da
relação existente entre força e movimento apre-
sentaremos uma breve visão histórica de como
as controvertidas questões mencionadas acima
geraram, a partir do século XVII, o refinamento
conceitual de Força que resultaram no desen-
volvimento do conceito de Energia.
1.6 UMA QUASE HISTÓRIA DA EVOLUÇÃO DO
CONCEITO DE ENERGIA
A história completa da evolução dos conceitos
de trabalho, de energia e do principio da con-
servação de energia é lenta e sinuosa. Suas
raízes encontram-se nas tentativas de se
responder a seguinte questão: como medir o
efeito de uma força? Como se poderiam com-
parar os efeitos de duas forças diferentes? que
espécies de variações ocorrem durante o
movimento de um corpo quando ele colide
contra outro? por que razão a variação do
momento deve ser tomado como medida de
força? Não nos parece, que o movimento está
mais ligado ao módulo da velocidade do que
da sua direção? 
Por exemplo, Galileu havia demonstrado que
se o corpo desloca-se ao longo de um plano
inclinado e sobe por outro (vide figura abaixo),
o que determina a altura (h) que o corpo
alcançará, depende do valor absoluto da
velocidade e não da sua direção. 
Descartes, como já examinamos, ao procurar
133
Física Fundamental – As Leis do Movimento
responder a velha questão sobre qual a ver-
dadeira medida de uma força, por meio de
seus estudos da colisão entre corpo, defend-
eu a idéia de que a chave do problema é a
quantidade de movimento,que se mantém
constante. 
Leibniz contesta esta explicação ao defender
que o que se conservava no movimento era a
‘vis viva” (força viva), pois é ela que expressa
a capacidade de movimento de um objeto. A
partir daí, como não poderia deixar de ser,
desencadeia uma briga entre eles e seus par-
tidários por mais de meio século que, no
entanto, foi crucial para o desenvolvimento
dos conceitos de energia cinética e potencial.
Antes de prosseguir, é preciso que se escla-
reça que, na linguagem do século XVII, o ter-
mo vis era comumente empregado no sentido
de resistência, força, vigor.
Ao analisar as experiências de queda livre real-
izada por Galileu, nas quais todos os corpos
caem com a mesma velocidade, não importan-
do o tamanho ou o peso que possam ter,
Leibniz se perguntava sobre qual dos corpos
produziria maior estrago ao atingir o solo: um
de 100 gramas ou de uma tonelada?
Para tanto, Leibniz realiza uma demonstração
na qual compara a força necessária para
erguer dois corpos, um de 4 varas e outro de 1
varas (aproximadamente 1,10cm), sendo que
um dos corpos é quatro vezes maior que o
outro. Leibniz mostra que a força necessária é
a mesma. Entretanto, a força de depende de
dois fatores: o peso e a altura da queda. A con-
jugação destas duas grandezas, segundo
Leibniz, poderia servir perfeitamente bem para
medir a força.
Pressionado por outros sábios a responder
onde entra a altura quando um corpo se movi-
menta num plano horizontal, Leibniz realiza
outra demonstração, na qual um corpo caindo
de uma dada altura, adquire “força” suficiente
para retornar a mesma altura. Empregando os
resultados da 1ª demonstração, mostra que as
“forças” são iguais, no entanto, a quantidade
de movimentos é diferente.
Em face destes novos resultados, Leibniz
muda sua explicação e passa argumentar que
o importante não era a altura em o quanto rap-
idamente o objeto se movimenta (cai ou
sobe). Por conseguinte, passou a defender
que a medida da força era o peso do corpo e
a sua velocidade. Em resumo, para Leibniz a
“vis viva” (“força viva”), que expressava pela
relação m.v2, era uma qualidade intrínseca de
um corpo que lhe permitia causar dano a
outro objeto. 
As controvérsias sobre a medida da força em
termos de mv (Descartes) ou mv² (Leibniz) per-
maneceu mesmo após a publicação do tratado
sobre a dinâmica de D’Alembert (1743), de
maneira que até a metade do século XIX, o
termo “kraft” (força) era usado para o conceito
de energia. 
A expressão ENERGIA, foi proposta em 1807,
o médico e físico inglês, Thomas Young para a
descrição dos fenômenos originalmente
atribuído a “vis viva” (mv²). Este termo, que
originariamente em grego significa Trabalho,
ficou imortalizada no vocabulário técnico–cien-
tífico devido principalmente os trabalhos de
William Thomson (Lord Kelvin) e Rankine. A
partir, de então, passou-se a identificar a força
como o agente que transporta, através de uma
certa distância, energia.
Para facilitar a compreensão do conceito de
Energia, retornemos a experiência realizada
por Galileo mencionada acima. Ele observou
que independente da inclinação dos planos,
a bola alcançava uma posição momentânea
de repouso, sempre na mesma altura que
havia sido solta do primeiro plano (vide a
figura acima)
Em seguida, utilizando um pêndulo simples o
procedimento era análogo ao movimento no
plano inclinado. Mesmo quando colocava um
obstáculo na trajetória do pendulo, a experiên-
cia confirmar suas suspeitas de que a massa
deixada cai de uma mesma altura adquiria uma
velocidade suficiente para levar-lhe de novo
para cima, ainda que durante seu movimento
encontrasse um obstáculo. Esta descoberta
parecia-lhe bastante intrigante, pois lhe parecia
que a bola parecia ser dotada de uma certa
“memória”, pois ela sempre se lembrava de
que altura havia sido largada.
134
UEA – Licenciatura em Matemática
Analisando-se o experimento percebe-se que,
para a bola alcançar sempre a mesma altura,
“algo” deve estar associada a velocidade que
ele adquire durante ao longo de sua trajetória.
Atualmente, relacionamos ao movimento da
esfera, um tipo de energia que denominamos
de ENERGIA CINÈTICA (Ec), que se expressa 
pela seguinte relação .
TEMA 02
FORÇAS EM SISTEMAS DE REFERENCIAS
INERCIAIS
O estudo do movimento, conforme verificamos
ao examinar o 1ª axioma ou Lei da Inércia,
pressupõe, obviamente, a existência de um
sistema de referencia em relação ao qual as
Leis do Movimento se mantenha válida. Tais
referenciais, são denominados de Referenciais
Inerciais pois estão em repouso ou que se
movem em MRU, um em relação a outro. Isto
implica que não se tem nenhuma maneira de
determinar a partir do próprio referencial iner-
cial se um corpo está em repouso ou se move.
1. Imagine-se viajando dentro de um avião isola-
do acusticamente,com as janelas lacradas e
sem turbulência. Admita que você observa
uma bola rolando pelo no piso do avião. O que
você pode dizer do movimento avião?
Justifique sua resposta. 
Vimos, também, que foi empregando estrategi-
camente este argumento que Galileo consegui
contra-atacar os opositores da teoria coperni-
cana a respeito do movimento da Terra.
Utilizando um experimento pensado o argu-
mento do barco, Galileo contra argumenta que
quando observamos um corpo cair vertical-
mente, é porque nos encontramos no mesmo
referencial do objeto. Caso estivéssemos nos
movimentando em MRU, perpendicularmente,
em relação à direção da gravidade veríamos
uma parábola. Foi exatamente este problema
que Galileo precisou enfrentar em defesa do
sistema copernicano. 
Assim, através deste experimento pensado,
Galileo comprova a impossibilidade de se
escolher um sistema de referencia como
autêntico, algo que esteja, por exemplo, em
135
Física Fundamental – As Leis do Movimento
repouso absoluto. Consequentemente, a Terra
não precisa estar estacionária no centro do
universo para explicar a queda de um corpo. 
A generalização desta conclusão nos leva ao
Principio da Relatividade de Galileo, no qual
todas as leis da Mecânica Clássica per-
manecem validas. 
Galileu não forneceu, contudo, uma clara
estrutura dinâmica a partir da qual pudesse
derivar suas idéias. São obscuras suas idéias a
respeito de como tratar o movimento num sis-
tema de referencial quer sejainercial ou aceler-
ado em relação aquele. 
As Leis de Newton, pelo contrário permite tais
descrições. O tratamento, por exemplo, do
movimento circular, visto por um observador
situado num referencial acelerado permite que
se explique as incontestáveis sensações senti-
das por ele. Ao mesmo tempo que, outro
observador localizado num referencial inercial
oferece uma distinta observação.
Para que possamos compreender estas
aparentes contradições, vamos iniciar con-
siderando uma situação bem simples mas,
muito importante, no qual um observador este-
ja se deslocando com velocidade constante
em relação ao outro. Em tal caso, utilizando
como pressuposto que “qualquer sistema de
referencia que se desloque com velocidade
constante em relação a um Sistema de
Referencia Inercial é também um Sistema de
Referencia Inercial”, nos certificaremos como
é que se explicam os movimentos comportam
as Leis de Newton em dois diferentes sistemas
de referencia inerciais que se movimentam em
translação pura.
2.1 O PRINCIPIO DA RELATIVIDADE DE GALILEO
AS TRANSFORMAÇÕES DE GALILEO
A descrição do movimento a partir de dois
sistemas de referencias inerciais é o que
chamamos de Transformação de Galileo.
Fisicamente, as transformações de Galileo
representam a relação entre as medidas
espaciais e temporais que são feitas por dois
observadores que estão em movimentos uni-
formes relativos.
Consideremos por exemplo, um casal de
namorados, que estejam em movimentos uni-
formes relativos. Suponhamos que o “curu-
mim” esteja, situado dentro do compartimento
de carga de um caminhão-baú que se move
em MRU, cujas paredes sejam de vidros
extremamente transparentes. 
Vamos admitir que quando o “curumim”
passa pela “cunhantã”, para se exibir, joga
uma bola verticalmente para cima.
Evidentemente, que o “casal de pombinho”
concordarão que a bola deixou e voltou a mão
do sujeito. O que eles provavelmente não
concordarão é sobre a trajetória realizada pela
bola. Estes dois referenciais inerciais, estão
mostrados na figura abaixo. 
X = L + X', de modo que X = (V.t) + X'. POR-
TANTO. X' = X − V.t
Vamos admitir, por simplicidade, que os eixos
do X estejam alinhados para direita na mesma
direção do movimento relativo dos sistemas de
referencias inerciais. Um, pode ser associado
ao “curumim” e outro, a “cunhantã”. 
Admitamos, também, que no instante t = t’ =
0, a origem do sistema de referencia localizado
no carro-baú está afastado de uma distancia L
= v.t da origem do referencial da “cunhantã”.
A relação entre estes dois sistemas de coorde-
nadas, num determinado instante (t), é dado
pelo seguinte conjunto de equações:
X’= X – V.t
Y’ = Y
Z’ = Z
t’ = t
Note, que em relação ao “curumim”, sua
namorada está se movendo com velocidade
(–V). Quanto a trajetória da bola, enquanto o
“curumim” vê a bola se movimentar numa linha
reta vertical, a “cunhantã” vê uma parábola,
136
UEA – Licenciatura em Matemática
cujo a forma exata vai depender da velocidade
com que os sistemas de referencia que estão se
movendo relativamente um em relação a outro. 
Uma importante característica das Transfor-
mações de Galileo é a de que o tempo é um
parâmetro invariante, ou seja: o intervalo de
tempo gasto no evento é o mesmo em qualquer
sistema de referencia ou seja, o tempo é inde-
pendente do sistema de referência escolhido.
Um dispositivo empregado nos Laboratórios de
Física consiste de um carrinho que contem no
seu centro uma cavidade na qual uma esfera de
aço mantém comprimida uma mola. Quando a
mola é liberada, ela impulsiona a esfera vertical-
mente para cima em relação ao carro. 
A experiência consiste em colocar o carrinho
em movimento com velocidade Vx sobre um
trilho horizontal constante quando, depois de
alguns segundo, a mola é liberada e a bola é
projetada em seu movimento. Utilizando as
Transformações de Coordenadas de Galileo,
determine matematicamente a forma da tra-
jetória da bolinha para um observador localiza-
do no Laboratório.
A adição clássica das velocidades é outra con-
seqüência direta das transformações de
Galileu. Caso desejarmos determinar a veloci-
dade (V’) de um corpo, num determinado
instante (t), em relação a ambos sistema de ref-
erencia, obteremos: V’ = U – V. Onde (V’) é a
medida da velocidade do evento no referencial
S’ que se move com velocidade (V), enquanto
(U) é a medida da velocidade no referencial S. 
1. Suponha que o nosso caminhão-baú esteja se
movendo a uma velocidade de 108 Km/h em
relação ao solo e o “curumin” atire do fundo do
caminhão-baú para frente, uma bola com uma
velocidade de 2Km/h. Para a “cunhantã”, para-
da na calçada, quanto corresponde a veloci-
dade da bola?
Outra importante conseqüência especial da
equação acima é que um corpo, quando
observado movendo-se com velocidade em
relação a outro Sistema de Referencia Inercial,
sua velocidade ainda é constante. Assim, para
obtermos as transformações da aceleração,
basta lembrarmos que, sendo a velocidade
constante, qualquer mudança de velocidade,
implicara numa mesma variação para ambos
observadores. 
Consequentemente, as medidas feitas simul-
taneamente pelos observadores serão idênti-
cas: a=a’. Deste modo que cada um dos “pom-
binhos” mede a mesma aceleração a’ = a. 
Portanto, a passagem de um referencial para
outro referencial em translação retilínea e uni-
forme em relação ao primeiro, as posições e as
velocidades podem mudar, mas as aceler-
ações não se alteram. 
1. Por exemplo, considere um carrinho que con-
tem um dispositivo que atira bolas vertical-
mente para cima. Quando carro encontra-se
parado em relação ao solo, dispara-se a bolin-
ha. O mesmo ocorre quando o carro move-se
horizontalmente com velocidade constante
para a direita. Determine o movimento da bola
quando vista por dois observadores (a) um
postado carro e (b) outro localizado no solo. 
Assim, a aceleração de uma pedra que cai ou
a de um projétil é a mesma nos dois sistemas
de referencia inercial. Conseqüentemente, as
Leis do Movimento são as mesmas em ambos
os sistemas de referencia inerciais, em suma:
elas permanecem invariantes com respeito as
transformações de coordenadas. Esta invari-
ança das Leis do Movimento é chamada de
Principio da Relatividade de Galileu. 
Este principio é conseqüência da experiência
imaginária de Galileo, na qual examina o movi-
mento de queda em relação ao barco e em
relação ao Sol. Daí Galileu ter descoberto que,
considerando-se insignificante a resistência do
137
Física Fundamental – As Leis do Movimento
ar durante a experiência, tanto faz deixar cair um
corpo em relação a Terra, quanto a um barco
em MRU, eles caem com a mesma aceleração. 
Na Mecânica Clássica, a massa também, não é
afetada pelo movimento do sistema de referen-
cia, por conseguinte, o produto (m.a) será o
mesmo para todos os observadores inerciais.
Todavia, sendo a relação (m.a) é tomado como
a definição de força, cada observador obtém a
mesma medida para cada força, ou seja: F’ = F
em todos os sistemas inerciais. Deste modo,
um observador em qualquer sistema de refer-
encia inercial deduz sempre as mesmas Leis
do movimento. 
Uma importante conseqüência da invariança
das Leis da Física é a de que nenhum experi-
mento mecânico, realizado inteiramente num
sistema inercial, pode dizer ao observador qual
o movimento daquele sistema em relação a
qualquer outro sistema inercial. 
Assim, imaginemos que o “curumim” se mude
para um caminhão-baú que tem suas paredes
perfeitamente isolada visualmente, acusticamente
e dos mais contatos com o mundo exterior. Para
o “curumim”, que trafega por uma rua ideal, sem
saber que está em MRU, vê uma bola, também,
mover-se em MRU pelo o assoalho do veículo.
Apenas observando o movimento da bola, o
“curumim” nada pode dizer sobre o movimen-
to do caminhão-baú com relação ao solo pois
nenhum sistema inercialé preferido sobre qual-
quer outro. Não há como dizer se o “curumim”
está se movendo uniformemente ou parado. 
Vamos imaginar uma outra situação, na qual o
caminhão-baú se move milagrosamente com a
velocidade da luz. Se o “curumim” olhar para
a parede do fundo, ele não verá nada. Neste
caso, o “curumim” dispõe agora de um meio
seguro para saber se está se movendo ou não!
Ocorre que, como vimos, pela Teoria da
Relatividade de Galileu isto é impossível!!
Desconcertante, não é mesmo!! Esta experiên-
cia pensada parece violar a Teoria da
Relatividade de Galileu.
Foi exatamente uma situação semelhante a
esta, que levou Einstein a criar a sua Teoria da
Relatividade Restrita. 
Segundo conta, quando tinha 16 anos, ele se
perguntou sobre o que aconteceria se pudesse
acompanhar o movimento de um raio luminoso.
Einstein
Foi por meio desta experiência mental, que
Einstein, se deu conta que algo devia estar, de
alguma forma, errado com as explicações
eletromagnéticas. 
Entretanto, foram precisos 10 anos para que
Einstein conseguisse resolver estes paradoxos.
2.2 FORÇAS EM SISTEMA DE REFERÊNCIA
NÃO-INERCIAL.
Existem situações nas quais o sistema de ref-
erencia move-se com aceleração. Neste caso
como ficam as leis de Newton? Nestes casos
será que elas ainda continuam valendo?
Para que possamos examinar o entendimento
da natureza física da força, da aceleração e
das Leis da Física, é conveniente, portanto, uti-
lizar Sistemas de Referência Não-Inercial. 
Vamos admitir que tenhamos um sistema de
referência não-inercial que translada em movi-
mento uniformemente acelerado com respeito
a um sistema inercial. 
1. Considere um corpo suspenso por um fio
preso ao retrovisor de um carro acelerado.
Explique o comportamento deste corpo para
um observador no carro e outro na calçada.
Para não confundir os símbolos empregado
anteriormente, admitiremos que o sistema de ref-
erencia não-inercial seja representado por (S’’). 
138
UEA – Licenciatura em Matemática
Vamos supor também, que o sistema (S’’)
tenha uma aceleração (a’) em relação a um
sistema inercial (S). 
Neste caso, teremos: a’’ = a – a’ (1), onde a’ é
aceleração de S’’, medida a partir de S 
De acordo com a 2ª Lei de Newton, a força
experimentada pelo corpo em relação a S é
F= ma enquanto que no sistema acelerado a
força aparente é: F’’=m.a’’.
Substituindo o valor de a’’, obtemos: 
F’’ = ma – ma’. (2)
Onde (–ma’) é denominada de força de inércia
ou fictícia. 
Assim: Fficticia = –ma’ (3), cuja origem da força
fictícia se deve, pois a aceleração do sistema
de referencia e não a interação entre os cor-
pos, como acontece com a força gravitacional.
Portanto a equação (2) torna-se F’’ = ma +
Fficticia, ou seja: 
F’’aparente = Freal + Fficticia. De maneira que,
quando a”=0, a F’’aparente = Freal
1. Um corpo cai dentro de um carro-baú em
MRUV. Descreva como será a trajetória do
corpo para um observador localizado dentro
do carro-baú e para um observador inercial. 
2. Um elevador de massa M sobe com uma acel-
eração constante (a0). Dentro do elevador, uma
pessoa de massa m, se encontra em pé sobre
sob uma balança de molas colocada no piso
do elevador. Qual a força aparente que reg-
istrada pela balança?
3. Admita que sua massa seja de 60Kg e que
você esteja em pé sobre uma balança, dentro
de um elevador. (a) Se a indicação que você lê
na balança for de 420N, o que você pode dizer
a respeito do movimento do elevador? (b)
Caso você leia 600N o que você pode dizer a
respeito do movimento do elevador? 
4. Para determinar a aceleração de um carro,
Ângelo, pendurou no teto um pendulo. Ele
constatou que quando o carro acelera o pen-
dulo sofre uma inclinação de 45º. (a) Indique
as forças que atuam no pendulo vista por
Ângelo e por sua amiga, Ariane, que se encon-
tra sentada na calçada. (b) A intensidade da
aceleração do carro 
5. Admita que uma bola seja lançada no piso ho-
rizontal de um avião perpendicularmente à
direção do movimento do avião. Caso o avião
esteja sendo acelerado faça um esboço de
como será a trajetória da bola.
6. Enquanto andava de skate, André, querendo
testar o Principio da Relatividade de Galileu
lançou cerca de 80 cm uma laranja vertical-
mente para cima e apanhou na volta e exam-
inou o que acontecia em três situações. 
I – situação: com o skate parado em relação a
seu irmão, Adelino Jr, que se encontrava
sentado na calçada o tempo de permanên-
cia no ar da laranja era de 0,8 s e a forma da
trajetória era uma linha reta. 
II – situação: com o skate em MRU com uma
velocidade de 2,5 m/s, André não mais con-
seguia apanhar a laranja, no entanto a tra-
jetória da laranja para seu irmão continuava
uma linha reta.
III – situação: André e Adelino Jr, ambos se
movendo em MRU com a mesma veloci-
dade de 2,5 m/s. A diferença e´que o skate
do Adelino Jr se move no sentido oposto ao
de André. Neste caso, eles não observavam
mais o movimento da laranja. Para ambos
os irmão, a laranja parecia ficar parada no
ar, como se flutuasse.
Desprezando a resistência do ar, você concor-
da com os resultados das experiências real-
izadas por André? Se você discordar, indique o
que está errado e explique porque? 
7. Uma balança de braços iguais está presa ao
teto de um elevador. Quando o elevador está
139
Física Fundamental – As Leis do Movimento
parado, a balança fica equilibrada indicando
um valor P para o peso de um objeto. Caso o
elevador desça com aceleração constante (a)
que peso a balança indicará? 
Denominamos, pois de Peso Aparente, a
força de reação normal exercida para cima
pela balança. Caso o elevador estivesse em
queda livre, ele experimentaria uma aceleração
a0 = g relativa ao referencial inercial. Desse
modo, a força F’’ que atua sobre o corpo em
relação ao elevador será nula ou seja, o corpo
não teria peso em relação ao elevador. 
Esta falta de peso (ou imponderabilidade)
não ocorre apenas dentro de um elevador em
queda livre, mas também dentro de uma nave
espacial em órbita. 
Num sistema de referencia localizada dentro
da nave espacial, os astronautas e tudo mais
que estiver dentro dela estão sem peso. Este
efeito da ausência de peso aparente, dá-se de
forma concreta ao visualizarmos astronautas,
canetas, maçãs “flutuado” dentro da nave.
Entretanto, em relação a um sistema de refer-
encia localizado na Terra, tanto o astronauta
como tudo que vai dentro dela tem peso. 
Para observadores situados na Terra, o astro-
nauta, canetas, maçãs que parecem “flutua-
do” dentro da nave porque eles estão caindo
na mesma taxa que a nave espacial durante a
sua órbita. Caso o astronauta desejasse medir
o seu peso aparente, ele não conseguiria; pois
ele não exercer nenhuma força de com-
pressão sobre a balança, uma vez que ela tam-
bém esta caindo em direção a Terra. Desse
modo, a balança registraria zero. 
2.3 OS EFEITOS DA ROTAÇÃO NUM SISTEMA
DE REFERENCIA EM M.C.U.
Um importante caso de forças inercial ocorre
quando o Sistema de Referencia gira em MCU
em relação a um Sistema de Referencia
Inercial. Exemplos desse tipo, incluem a Terra,
carrossel, e muitos outros sistemas familiares. 
Em tais sistemas, o observador tem a sen-
sação de que uma força lhe empurra radial-
mente para fora do círculo. A esta força
denominamos de Força Centrífuga. 
Uma importante conseqüência devido ao efeito
de rotação da Terra e o desvio da trajetória de
um móvel que cai verticalmente em razão da
presença da Força de Coriolis. Esta força se
deve ao fato da partícula está se deslocando
com uma velocidade relativamente ao
Referencial Não-Inercial. 
De maneira que, neste referencial, como a
Terra, a trajetória de um móvel seguirá uma tra-
jetória curva, no sentido contrario ao da
rotação do referencial Do ponto de vista de um
Sistema de Referencia Inercial, o desvio deve-
se a presença da Força de Coriolis,de inten-
sidade é dado por FCORIOLIS = 2mwv
1. Cite alguns efeitos devidos à rotação da Terra.
140
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 03
INDUÇÃO MAGNÉTICA
31 LEI DA INDUÇÃO DE FARADAY
Não é necessário justificar a enorme relevância
dos motores elétricos. Poderíamos enumerar
as discussões ambientais, já que as reservas
de combustíveis estão contadas, e as
máquinas a vapor, tão importantes na
Revolução Industrial, apresentavam sérios
problemas, por exemplo, a energia não podia
ser transportada e isso sem falar da poluição
com a fumaça que chegava a cobrir cidades
inteiras. Então logo se viu os benefícios devido
ao baixo custo, fácil construção, facilidade no
transporte e, ainda, baixíssimo índice de
poluição. Daí, as atenções terem se voltado
para a produção de energia elétrica em larga
escala com a invenção dos geradores eletro-
magnéticos de corrente elétrica. Esses ger-
adores produzem energia de grande intensi-
dade, podem ser distribuídas a longas distân-
cias através de fios metálicos que alimentam
as indústrias e nossas casas. 
Mas, qual será a física por trás da produção de
quase toda energia que consumimos?
Já determinamos o campo elétrico gerado por
uma carga elétrica em repouso e o campo mag-
nético produzido por uma determinada corrente
elétrica constante. Michael Faraday mostrou que
uma corrente elétrica pode ser induzida em um
circuito por um campo magnético variável, o que
significa que uma corrente elétrica é produzida
em um fio enquanto ele atravessa um campo
magnético. Fenômeno conhecido como indução
eletromagnética. Em outras palavras, quando o
fluxo magnético varia através de um circuito,
ocorre a indução de uma fem( força eletro motriz)
e de uma corrente no circuito.
À corrente elétrica assim gerada denominamos
corrente induzidas.
3.2 INDUÇÃO MAGNÉTICA 
Colocado num campo magnético, um circuito
fechado é percorrido por uma corrente, cada
vez que o fluxo que o atravessa experimenta
qualquer variação. A esse fenômeno
chamamos indução magnética; o fluxo mag-
nético que varia através de um circuito e provo-
ca a indução de uma força eletromotriz (fem)
necessária para produzir a corrente é a fem
induzida; a corrente elétrica no circuito é
chamada de corrente de indução.
O fenômeno comum em todos os efeitos de
indução é a variação do fluxo magnético
através do circuito. Para um elemento de área
infinitesimal ∆A
→
em um campo magnético B
→
, o
fluxo magnético ΦB através da área é dado por:
ΦB = B. Acosθ
• Para o caso de B
→
perpendicular a superfí-
cie,a expressão fica: 
θ = ⇒ cosθ = 1 ⇒ ΦB = B.A
• Para o caso de B
→
paralelo a superfície,a
expressão fica:
θ = 90º ⇒ cosθ = 0 ⇒ ΦB = B.A.cos90º = 0
No SI, a unidade de fluxo magnético é definida:
1weber (Wb) = 1 tesla(T). metro quadrado (m²)
Enunciando a lei de Faraday da indução: 
A fem induzida em uma espira fechada é dada
pela taxa de variação do fluxo magnético, com
o sinal negativo, através da área delimitada
pela espira:
Onde o sinal negativo diz respeito ao sentido
da corrente, que foi induzida no sistema. Para
o caso particular de n espiras concêntricas e
idênticas a fem induzida será a soma da fem
induzida em cada espira:
A lei de Faraday-Lenz enuncia que a força
eletromotriz induzida num circuito elétrico é
igual a variação do fluxo magnético concatena-
do ao circuito. É importante notar que um
campo magnético constante não dá origem ao
fenômeno da indução. Por esta razão, não é
possível colocar um magneto no interior de um
solenoide e obter energia elétrica. É neces-
sário que o magneto ou o solenóide movam-
se, consumindo energia mecânica. Por esse
141
Física Fundamental – As Leis do Movimento
motivo que um transformador só funciona com
corrente alternada. A lei é de natureza relativís-
tica, portanto o seu efeito é resultado do movi-
mento do circuito em relação ao campo mag-
nético.
1. Um trilho isolante em forma de U suporta uma
barra AB metálica e se encontra imerso num
campo magnético como na figura. Quando
movimentamos a barra, surge nela uma força
eletromotriz (fem) induzida.
a) Sendo a distância entre as hastes do trilho
de 1 m, e que a barra é puxada com veloci-
dade de 5 m/s e que o campo magnético
tem intensidade de 8,0 x 10–2T, calcule a fem
induzida na barra.
b) Se o material isolante do trilho for substituí-
do por um material condutor, qual será o
sentido da corrente induzida?
142
UEA – Licenciatura em Matemática
UNIDADE VI
Lei da Conservação da Energia
TEMA 01
TRABALHO - ENERGIA
INTRODUÇÃO
O Físico holandês H.A.Kramers disse uma vez
que “Minha idéia favorita é que geralmente o
mundo do pensamento humano, e particu-
larmente na ciência física, os conceitos
mais importante e mais frutíferos são aque-
les aos quais é impossível associar um sig-
nificado bem definido”.
Nada se aplica melhor a este comentário do que
os conceitos de trabalho e energia. Quando se
tenta compreender seus significados, é que se
percebe o quanto é difícil fornecer certas defi-
nições em física. 
1.1 DEFINIÇÃO DE TRABALHO
No nosso cotidiano, trabalho refere-se frequente-
mente a qualquer esforço exercido durante
algum intervalo de tempo, pelo qual, às vezes,
você imagina que vai ficar rico. Um carregador
“trabalha” quando transporta objetos pesados,
cansando-se. Um vigia “trabalha” sentado,
observando as pessoas que entram e saem de
uma casa. Um segurança “trabalha” quando
transporta uma mala de dinheiro. Você “traba-
lha” quando resolve um problema de física.
Na Física, entretanto, a expressão “trabalho”
significa algo mais preciso. É empregada para
expressar a medida da transferência de energia
de um sistema para outro, por meio da apli-
cação de uma força em certa distancia. Neste
caso, uma criança “trabalha” quando puxa um
brinquedo. Todavia, o carregador “não trabal-
ha” enquanto carrega um saco de batatas no
ombro. O operário “trabalha” quando levanta
uma lata de concreto. Entretanto, você “não tra-
balha” quando apóia a mão no queixo ao tentar
resolver o exercício de física. Um elefante “tra-
balha” quando ergue uma tora de madeira do
chão. Mas, seu professor “quase não trabalha”
quando vira as páginas destas Notas de Aula. 
O conceito de trabalho empregado na Física se
originou por volta da Revolução Industrial, quan-
do máquinas a vapor começaram a ser empre-
gadas como força motriz para retirar água das
minas de carvão que se encontravam alagadas.
Matematicamente, define-se o Trabalho (ττ)
realizado por uma força constante, de intensi-
dade (F), paralela ao deslocamento (d) de um
objeto, como sendo o produto escalar entre a
força e o deslocamento, isto é: ττ = F.d. O tra-
balho, portanto, é uma grandeza escalar, cujo
o resultado é um número, que pode ser positi-
vo, negativo ou nulo. A unidade tanto do trabal-
ho quanto da energia no SI é o Joule (J)
Caso você exerça uma força de 20 N para
deslocar um carrinho de supermercado de
8 m. O trabalho realizado sobre o carrinho será
de: τ = (10 N) x (8 m) = 80 J 
1. Uma formiga caminha com velocidade média
de 0,20cm/s. Qual o trabalho que ela realiza
para transportar uma folha de 0,2g de uma
altura de 8,0m? 
1.2 O CONCEITO DE ENERGIA
Embora seja difícil associar uma definição bas-
tante clara do que seja energia, todos nós temos
uma idéia intuitiva do que seja energia e o que ela
representa para a Humanidade. Sabemos, por
exemplo, que os alimentos contem alguma espé-
cie de energia armazenada, pois o funcionamen-
to e a capacidade da “máquina humana” de
realizar trabalho depende da sua ingestão. 
A tabela abaixo ilustra o consumo de Energia
empregado em algumas atividades por parte
de uma pessoa saudável, jovem, de constitu-
ição e metabolismos médios desenvolvido no
decorrer do dia
145
Física Fundamental – Lei da Conservação da Energia
O mesmoprocesso de funcionamento da
“máquina humana” ocorre num automóvel. Para
movimentá-lo, precisamos abastece-lo com um
determinado combustível (gasolina, óleo Diesel
ou álcool). Caso o gás de cozinha acaba e você
ainda pode dispor de lenha ou de carvão, para
preparar o “peteco” (feijão com arroz”), cozinhar
os outros os alimentos ou fazer aquele churras-
co. Mais ainda, se todas as luzes de nossas
casas se apagam repentinamente, a primeira
coisa que imediatamente procuramos saber é
porque é que “a luz foi embora”? Rápido desco-
brimos que para que uma residência “tenha luz”
é preciso que as lâmpadas (e as tomadas) dis-
ponham de uma quantidade de energia elétrica
proveniente ou do combustível, ou do nível
d’água da represa de Balbina, ou que a “conta
da luz” tenha sido paga. 
A “Energia é, portanto, uma espécie de
moeda Universal” com a qual pagamos as
coisas que desejamos realizar. Cada gota de
suor, de gasolina ou de álcool; cada m3 de
gás, cada Kwh de eletricidade; cada “colhera-
da” de comida representam de uma forma ou
de outra aquilo que é necessário para realizar
o que chamamos de TRABALHO. 
O objetivo neste capitulo, é bastante modesto,
pois resume-se em entender cuidadosamente,
analisar e aplicar o conceito de Energia
Mecânica a fenômenos físicos e situações
cotidianas. Partiremos da compreensão intuiti-
va e dos argumentos experimentais apresenta-
do por Galileu, de modo que possamos analis-
ar as grandezas cruciais envolvidas no con-
ceito de ENERGIA.
1.3 O TRABALHO DO PESO
Para facilitar a compreensão da relação entre
Trabalho-Energia suponha, por exemplo, que
você suspenda um corpo de tal maneira que
ele não acelere. Neste caso, a força (F) deve se
igualar ao peso (P) do corpo. Sabendo, por
sua vez, que o peso de um corpo nas proximi-
dades da superfície da Terra é constante, o tra-
balho executado para mover o peso até uma
certa altura (h) será: ττ = P. h.
De acordo com esta definição, você poderia
imaginar que o trabalho executado contra a
gravidade dependa, por exemplo, da maneira
pela qual se ergue o peso entre dois andar de
uma construção: se, por uma polia; por através
de uma rampa; por meio de um pêndulo ou
através de uma escada. 
1. Suponha que sua mochila pese 80N e que
você esteja transportando ela presa às suas
costas. Ao tentar subir ao 4º andar de um pré-
dio, você dispõe de três alternativas: 
I - uma escada
II –uma rampa
III – um elevador
Calcule o trabalho realizado por você para
cada uma dessas opções. Explique porque as
pessoas preferem ir de elevador.
CONCLUSÃO:
TRABALHO DA FORÇA GRAVITACIONAL NÃO
DEPENDE DO CAMINHO
É fácil perceber na vida diária que um peso
suspenso contém uma certa quantidade de
energia devido a sua posição, pois se um
ouriço de castanha cair, ele pode realizar um
certo Trabalho como, por exemplo, “achatar” a
lataria de um carro. 
Usando a definição de trabalho, ττ = F.d , onde
(F) é o Peso do corpo e (d) é a altura, dizemos
que ττ = P. h ou ττ = m.g.h
Fisicamente, pode-se compreender essa
146
UEA – Licenciatura em Matemática
relação admitindo-se que a força aplicada (F)
realizou um trabalho sobre o objeto ou, alterna-
tivamente, que a força realizou um trabalho
contra a força da gravidade. Em síntese, o que
tem que ficar claro, é que o trabalho, como já
foi dito, representa uma transferência da ener-
gia armazenada no ouriço que pode vir ser
usada em qualquer instante. 
Esta energia devido a sua posição, em relação
ao chão, é o que se denomina de ENERGIA
POTENCIAL (Ep). Portanto, W = Ep = m.g.h 
Como a Energia Potencial depende da altura, o
seu valor sempre depende da escolha de um
nível de referência escolhido arbitrariamente.
Na prática, o nível escolhido é aquele no qual
a força resultante é nula. Neste nível a energia
potencial é nula.
1. Um helicóptero é usado para recolher, por
meio de um cabo inextensível e de massa
desprezível, um astronauta de 72kg, através de
15m, verticalmente, a partir da superfície do
oceano. Suponha que, num determinado
instante, a tensão no cabo seja de 1200N. 
a) Determine, neste instante, o sentido e o
modulo do vetor aceleração 
b) É possível saber se, neste instante, o heli-
cóptero esta subindo ou descendo? Justifi-
que sua resposta.
c) Qual o trabalho realizado pelo helicóptero
sobre o astronauta?
d) Qual o trabalho realizado pela força gravita-
cional sobre o astronauta?
e) Qual a energia cinética e a velocidade do
astronauta, imediatamente antes, de chegar
ao helicóptero?
1.4 RELAÇÃO GERAL ENTRE TRABALHO E
ENERGIA
Podemos agora generalizar os resultados já
obtidos. Para tanto, considere, por exemplo,
uma partícula se movendo do ponto A até o B
ao longo da seguinte trajetória submetida a
ação de uma força constante (F). 
Lembrando que um objeto em movimento pos-
sui determinada quantidade de Energia Cinética
podendo realizar trabalho, isto se expressa por
Ec= τ. 
Reescrevendo essa relação na forma Ec= F.d,
obtém-se a seguinte relação: (τba = E
f
C – E
i
C);
resultado que é conhecido pela denominação
de Teorema do Trabalho-Energia.
Igualmente, podemos obter uma relação entre
o trabalho e a Energia Potencial, que se
expressa por τba = – (E
i
p – E
f
p) = –∆Ep
1. Um carrinho de mão, cheio de pedras, inicial-
mente em repouso, tem aproximadamente
120Kg. Para que o carrinho se mova um operário
aplica uma força constante horizontal de 240N.
Desprezando-se os atritos, qual a energia cinéti-
ca do carrinho após ter percorrido 5,0 m?
Até agora, temos definido o conceito de trabalho
a partir de situações cotidianas bem simples
onde, por exemplo, a força gravitacional (o Peso)
era constante para pequenas variações de altura. 
Uma expressiva classe de problemas em
Física envolve situações onde a força que atua
sobre a partícula varia tanto em direção quan-
to em intensidade. Desse modo para calcular o
trabalho devemos conhecer como a força varia
em função do tempo, ao longo da trajetória da
partícula (vide a figura abaixo). 
Nestas situações, o trabalho total realizado por
(F) para deslocar a partícula desde o ponto A 
147
Física Fundamental – Lei da Conservação da Energia
até o B pode ser expresso como: ,
onde dr é um deslocamento infinitesimal ao
longo da trajetória. 
1.5 TRABALHO DA FORÇA ELÁSTICA
Consideremos agora o trabalho realizado para
distender uma mola. Experimentalmente, sabe-
se que para se distender uma mola, sem acel-
eração, de uma pequena distância (X), é
necessário aplicar-se uma força igual e oposta
aquela produzida pela mola, dada pela Lei de
Hooke, ou seja: F = k.X. 
Uma propriedade muito importante da Força
Elástica é que ela é uma Força Restauradora.
Assim, toda vez que se tenta distender uma a
mola, ela reage opondo-se a este deslocamento,
tendendo retornar a sua posição de equilíbrio. 
O trabalho realizado sobre a mola pode ser
facilmente determinado a através do gráfico do
comportamento da força aplicada contra a
mola. A área do triângulo fornece a medida do
trabalho realizado.
1. Uma mola, presa a uma parede rígida, é com-
primida por um bloco de 0,40Kg. Quando o
bloco é liberado ele adquire uma velocidade
de 2,0m/s. Determine o trabalho da força exer-
cida pela mola sobre o bloco. 
2. Uma mola elástica é comprimida 10 cm por
uma força de 10N. Se a mola se distender, para
empurrar um carrinho de 1Kg, com que veloci-
dade ele iniciará o movimento?
TEMA 02
A ENERGIA MECÂNICA
INTRODUÇÃO
O resultado encontrado para o trabalho para
transportar um peso, próximo a superfície da
Terra, demonstra que ele depende apenas da
altura que se deseja elevar o corpo ou seja, da
posição inicial e final. Deste modo, podemos
erguer um corpo por diferentes trajetórias que
o resultado será o mesmo, o implica dizer que
se requer sempre a mesma quantidade de tra-
balho para erguer um peso. Portanto, o trabal-ho da força gravitacional não depende do cam-
inho a ser percorrido pelo objeto. 
2.1 FORÇAS CONSERVATIVAS
Imaginemos que uma partícula se mova desde
o ponto A até o ponto B ao longo da trajetória
1, retornando para A ao longo da trajetória 2.
varias forças podem agir na partícula durante
seu percurso. Separando-se cada uma dessas
forças, se a força for conservativa, o trabalho
por ela realizado sobre a partícula, em um per-
curso fechado, deve ser nulo.
Sendo o resultado independente da trajetória, a
isto é: τAB(1) = τAB(2), a força que obedece esta
propriedade é denominada de Força Conser-
vativa. De modo que, o trabalho realizado pela
força conservativa (vide a figura acima) ao longo
de uma trajetória fechada é nula, ou seja:
τAB(1) + τAB(2) = τAB(1) – τAB(2) = 0
1. Suponha que a força que age sobre uma partícu-
la dependa de velocidade com que o trajeto é
percorrido. Pode tal força ser conservativa? 
148
UEA – Licenciatura em Matemática
Nos casos onde a Força é Conservativa é pos-
sível sempre associar uma Energia Potencial.
Como as interações fundamentais em Física
dependem da posição podemos associar a
cada força desse tipo uma energia armazena-
da no sistema que pode vir, ao ser liberada,
realizar um determinado trabalho. Por exemp-
lo, pregar um prego, disparar uma flecha, etc .
No caso da força gravitacional associa-se uma
ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL, en-
quanto que no caso de uma mola, associa-se
a força elástica uma ENERGIA POTENCIAL
ELÁSTICA.
Existem outras formas de Energia Potencial,
que estão associadas a outros tipos de forças.
Por exemplo, num átomo, se o elétron for afas-
tado do núcleo por uma força externa, a ener-
gia potencial elétrica aumentará. O mesmo
acontece no caso de dois imãs.
Ainda que a Energia Potencial possa parecer
como pertencente somente ao corpo, não
podemos nos esquecer que é o sistema como
um todo que determina a Energia Potencial.
Desse modo, a Energia Potencial Gravitacional,
que surge devido, por exemplo, ter sido erguido
uma mochila, não esta localizada somente na
mochila, mas sim em todos os corpos que con-
stituem o sistema e que estão interagindo.
Assim, a Energia Potencial, surge da realização
do trabalho, que aumenta a energia total do sis-
tema, no caso, da Terra-mochila.
2.2 TRABALHO REALIZADO PELO ATRITO
Um objeto quando desliza sobre uma superfície,
normalmente, atua sobre ele uma força de atrito
na direção contraria ao do seu movimento. 
Pela definição de trabalho τ = F
→ 
. r
→
a força de
atrito realiza um trabalho sempre negativo
sobre o objeto durante todo o seu movimento.
Assim, o trabalho realizado num percurso de
ida-e-volta, é diferente de zero. Portanto a força
de atrito não é conservativa
1. Um corpo de 10 Kg cai, a partir do repouso, de
uma altura de 100 m e chega ao solo com uma
velocidade de 40 m/s. sabendo-se que a acel-
eração da gravidade e a força de resistência do
ar são praticamente constante, qual o trabalho
realizado pela força de resistência do ar? 
2. De acordo com o depoimento de um certo
nadador, numa prova de 100m, se dispende
cerca de 280000J em 60 segundos. Admitamos
que 3/4 desta energia sejam liberados, direta-
mente, sob forma de calor, e o restante seja dis-
sipado por suas mãos e pernas em trabalho
mecânico. Com base nestas informações qual a
força media que se opõe a seu movimento? 
3. Um corpo de massa M gira em MCU sobre uma
mesa presa num fio de comprimento R. Admita
que o coeficiente de atrito entre o corpo e a mesa
seja µ e que, num determinado instante, o módu-
lo da velocidade tangencial do corpo seja V. 
a) Qual deve ser o valor de V para que o corpo
pare após duas voltas completas. 
b) Qual o trabalho realizado pela força de atri-
to durante a última volta. 
4. Normalmente, num frigorífico, o operário dis-
põe de uma rampa por onde desliza os blocos
de gelos (≈80kg), a partir do repouso. Medidas
efetuadas numa rampa de 1,8m indica que os
blocos de gelo chegam na sua base com uma
velocidade de aproximadamente 4,0 m/s. Qual
a quantidade de energia dissipada pelo atrito. 
2.3 A LEI DE CONSERVAÇÃO DA ENERGIA
A Lei de Conservação da Energia é um dos mais
profundos, robustos e resistentes pilares do
Edifício da Física e de toda atividade cientifica.
Contudo, sua formulação explicita como um dos
aspectos fundamental da presença de uma or-
dem no Universo é recente, data da segunda me-
tade do século XIX. Ela constitui-se numa des-
coberta que custou milhares de anos de trabalho
mental para se chegar a formulação correta. 
Para facilitar a compreensão da Lei da
Conservação da Energia, podemos novamente
retornar ao experimento de Galileo com o
plano inclinado e com pêndulos em termos da
transformação da energia cinética em da ener-
gia potencial, e vice versa. 
149
Física Fundamental – Lei da Conservação da Energia
Assim, a partir do instante que a bola parte de
sua posição inicial, começa existir uma troca ou
uma transformação de energia potencial para a
energia cinética, uma vez que a bola perde
altura mas, em compensação, ganha/adquire
velocidade. Este processo de transformação de
energia se inverte quando a bola sobe pelo
segundo plano inclinado. Pelo fato de na subi-
da a velocidade da bola ir diminuindo, sua
energia cinética diminui, enquanto sua energia
potencial vai crescendo, devido a altura da bola
em relação a mesa, ir aumentando. 
Desse modo quando a bola alcança nova-
mente sua posição de repouso momentâneo,
toda a energia cinética da bola foi transforma-
da em energia potencial e, a altura alcançada
pela bola é precisamente a mesma que ela
tinha no começo da experiência.
Assim, podemos descrever o movimento da
bola entre dois pontos A e B ao longo do plano
inclinado da seguinte forma:
EAP + E
A
C = E
B
P + E
B
C, isto implica que a ENERGIA
é conservada. Em resumo, a Lei da
Conservação da Energia estabelece que:
EP = EC = Cte
1. No rótulo de uma lata de leite em pó, você pode
ler “valor energético: 1509KJ por 100g (361Kcal)”.
Caso toda a energia armazenada numa lata con-
tendo 400g de leite fosse utilizado para levantar
um objeto de 10Kg, que altura ele atingiria? 
2. Um bate-estaca consta de um corpo pesado
(P) que, depois de levantado a certa altura H, é
abandonado, vindo colidir inelasticamente
contra a cabeça de uma estaca de massa (m).
Se a estaca penetra no solo uma profundidade
(h) determine a força média de resistência
exercida pelo solo. 
3. Um menino de 50Kg desce, a partir do repouso,
por um tubo-água de 4,0m de altura. Ao escorre-
gar ele cai dentro de uma piscina a uma distancia
de 1,5m, medido a partir da extremidade mais
baixa do tubo-água. Sabendo-se que a extremi-
dade mais baixa do tubo-água encontra-se a
1,25m do nível da água da piscina, encontre: 
a) a velocidade com que o menino deixa o tubo-
água. 
b) a perda de energia mecânica da criança
durante a descida no tubo-água. 
4. Um bloco de 5,0Kg desliza a partir do repouso
por uma rampa, colidindo inelasticamente com
outro bloco idêntico que estava parado no
plano horizontal. Até que altura o conjunto
poderá subir na rampa seguinte. 
5. Um peso P cai de uma altura H sobre uma
mola de comprimento Y e constante elástica K.
Demonstre matematicamente que a velocidade
do bloco ao sofrer uma deformação X é dada 
pela seguinte relação: 
150
UEA – Licenciatura em Matemática
6. Um pendulo, inicialmente, em repouso é posto
para oscilar entre os pontos A e B. Indique as
forças que atuam sobre ele, no instante em
que passa pelo pontos X, Y, e Z. Demonstre
que a a intensidade da força aplicada no fio
quando o pendulo passa pela posição Y é o
triplo do que quando ele está em repouso.
7. Uma bolinha de aço cai de uma altura de 1,0 m
sobre uma placa de mármore. A bola repica
sobre a placa varias vezes. Em cada colisão, a
bolinha perde 20%