Slides de Aula Unidade III Matemática Aplicada

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Profa. Deiby Gouveia
UNIDADE III
Matemática Aplicada
 Uso de funções econômicas na resolução de problemas.
Público-alvo: 
 Administradores e economistas.
Principais funções:
 Demanda e oferta.
 Receita e custo.
 Lucro.
Objetivo:
 Aprofundar seu conhecimento com abordagem em 
aplicações econômicas utilizando funções de 1 e 2
grau, bem como sua interpretação gráfica.
Aplicação econômica
 y = ax + b
 a = coeficiente angular
a > 0  função crescente
a < 0  função decrescente
 b = coeficiente linear
Função 1 grau para modelos econômicos
x y = ax + b
0
0
x
x
x
x
y
y
y
y
0
0
0
0
 Demanda (ou procura)  quantidade de determinado bem ou serviço que os 
consumidores desejam adquirir em um dado período.
 Oferta  é a quantidade de produtos que vendedores desejam e podem produzir 
para vender a diversos níveis de preço.
 Equilíbrio de mercado  quantidades oferecidas de um bem tangível ou 
intangível são iguais às quantidades demandadas.
Demanda oferta e ponto de equilíbrio
 Tok Tok é uma empresa de bijuterias que se preocupa com o bem-estar dos seus 
funcionários e clientes. Por essa razão, ela trabalha efetivamente para oferecer 
bons serviços. Para calcular seus gastos semanais utiliza uma função cuja lei de 
formação é dada por y = ax +b, em que y é a quantidade e x, o preço.
 A empresa sabe que se estabelecer o preço de uma pulseira por R$ 49,00 a 
unidade, ela conseguirá vender 15 pulseiras por semana. Por outro lado, se 
cobrasse R$ 35,00 por unidade, 22 pulseiras seriam vendidas semanalmente.
Exemplo 1: função demanda
Pede-se: 
a) Identifique a função econômica.
b) Obtenha a função, admitindo que ela seja linear.
c) Qual a previsão de venda semanal caso a pulseira passe a custar R$ 43,00?
d) Quanto deve ser cobrado por pulseira para que a empresa consiga vender 30 
unidades por semana?
e) Identificar as condições para que ocorra demanda ou oferta.
f) Representação gráfica. 
g) O que aconteceria com a venda semanal se o preço 
fosse superior a R$ 59,00?
Exemplo 1: função demanda
a) Identifique a função econômica.
“A empresa sabe que se estabelecer o preço de uma pulseira por R$ 49,00 a 
unidade, ela conseguirá vender 15 pulseiras por semana. Por outro lado, se 
cobrasse R$ 35,00 por unidade, 22 pulseiras seriam vendidas semanalmente.”
 Função demanda q = -a p + b.
Exemplo 1: função demanda
Preço Quantidade
49,00 15
35,00 22
b) Determinar a função D = f(p), supondo-a linear (y = ax+b) para x unidades do 
bem a um preço p.
Resolver o sistema:
Exemplo 1: função demanda
Preço Demanda
49,00 15
35,00 22
a.x +b = y
49 . a + b = 15 (I) 
22 . a +b = 35 (II)
Resolver o sistema:
(49, 15) → 49. a + b = 15 (I)
(35, 22) → 35.a + b = 22 (II)
1 passo: método da adição:
49. a + b = 15 (x-1)
35.a + b = 22 
7 = -14.a  a = -0,5
2 passo: substituindo a em (I) 
49.(-0,5) + b = 15
-24,50 + b = 15  b = 39,50
 D = -0,5P+ 39,50
Exemplo 1: função demanda
c) Qual a previsão de venda semanal caso a pulseira passe a custar R$ 43,00?
D = -0,5P+ 39,50
D = -0,5. (43) + 39,50
D = -21,50 + 39,50 
D = 18 pulseiras
 A empresa conseguirá vender 18 pulseiras por semana a um preço de 
R$ 43,00 cada.
Exemplo 1: função demanda
d) Quanto deve ser cobrado por pulseira para que a empresa consiga vender 30 
unidades por semana?
D = -0,5P+ 39,50
30 = -0,5. P + 39,50
0,5. P = 39,50 - 30 
P = 9,50 / 0,5  p = R$ 19,00
 A empresa deve cobrar R$ 19,00 por pulseira.
Exemplo 1: função demanda
e) Identificar as condições para que ocorra demanda.
 Para que ocorra demanda D > 0 e P > 0
 Se D > 0
-0,5. P + 39,50 > 0
39,50 > 0,5 . P
39,50 / 0,5 > P
P < R$ 79,00
 Portanto: 0 < P < R$ 79,00 e 0 < D < 40
Exemplo 1: função demanda
 D = -0,5.P + 39,50
0,5 .P = 39,50 - D
P = (39,50 - D) / 0,5
 Se P > 0
(39,50 - D) / 0,5 > 0
39,50 – D > 0 . 0,5
39,50 – D > 0
39,50 > D ou D < ~ 40
 Nada impede que a quantidade (x) não seja um número inteiro.
 A “unidade” do produto depende do tipo do produto que a empresa fabrica.
Variáveis discretas:
 ex.: móveis ou eletrodomésticos  esses produtos são compatíveis com 
quantidades inteiras.
Variável contínua:
 ex.: a empresa pode fabricar um produto líquido (52,5 
litros) ou em pó (2,75 kg) e assim por diante  esses 
produtos são compatíveis com quantidades decimais.
Observação
f) Representação gráfica
 D = -0,5.P + 39,50
Exemplo 1: função demanda
P (R$) D
0,00 39,50
79,00 0
0
Preço: R$
Demanda: q
40
79,00
g) O que aconteceria com a venda semanal se o preço fosse superior a R$ 59,00?
 D = -0,5.P + 39,50  P = (39,50 – D) / 0,5
 Se P > R$ 59,00
(39,50 – D) / 0,5 > 59
(39,50 – D) > 59 . 0,5
39,50 – D > 29,50
39,50 – 29,50 > D  D < 10 unidades
 Se o preço for superior a R$ 59,00; a demanda cai para 
10 unidades.
 Lembrete: função demanda: GIP (grandeza inversamente 
proporcional):
 Aumenta o preço  diminui a demanda.
Exemplo 1: função demanda
 As funções oferta e demanda para uma filmadora são, respectivamente:
S = 5P – 40 e D = -3,33P + 673,33
Considerando que o preço é dado em dólar, pede-se:
a) Condição inicial para que ocorra demanda e oferta.
b) Determinar o preço para uma oferta superior a 600 filmadoras. 
c) Quanto será a demanda ao preço unitário de U$ 121,12?
d) Determinar o preço e a quantidade de equilíbrio.
e) Representar graficamente as funções.
f) Se o preço for abaixo do preço de equilíbrio, o que 
acontecerá com a demanda e a oferta?
Exemplo 2: função demanda, oferta e PE
a) Identificar as condições para que ocorra demanda.
 Função demanda: D = -3,33.P + 673,33
 Para que ocorra demanda: D > 0 e P > 0
 Portanto: 
0 < P < U$ 202,20 
0 < D < 673
Exemplo 2: função demanda, oferta e PE
P (U$) D
0,00
0
P (U$) D
0,00 673
202,20 0
a) Identificar as condições para que ocorra oferta.
 Função oferta: S = 5P - 40
 Para que ocorra oferta: S > 0 e P > 0
 Portanto: 
P > U$ 8,00
S > 0
Exemplo 2: função demanda, oferta e PE
P (U$) S
0,00
0
P (U$) S
0,00 -40
8,00 0
b) Determinar o preço para uma oferta superior a 600 filmadoras.
 S > 600 filmadoras
5P – 40 > 600
5P > 600 - 40
5P > 560
P > 560 / 5
P > U$ 112,00
 Lembrete:
Função oferta: GDP (grandeza diretamente proporcional)
Aumenta a oferta  aumenta o preço
Exemplo 2: função demanda, oferta e PE
c) Quanto será a demanda de filmadoras ao preço unitário de U$ 121,12?
 D = -3,33 P + 673,33
D = -3,33 (121,12) + 673,33
D = -403,33 + 673,33
D = 270 filmadoras
Exemplo 2: função demanda, oferta e PE
d) Determinar o preço e a quantidade de equilíbrio  Ponto de Equilíbrio (PE)
 D = S
-3,33P + 673,33 = 5P - 40
40 + 673,33 = 3,33P + 5P
713,33 = 8,33P
713,33 / 8,33 = P  P = U$ 85,63 (PE)
 Determinando QE
S = 5.P - 40
S = 5.(85,63) - 40
S = 428,15 – 40  S = 388 filmadoras (QE)
Exemplo 2: função demanda, oferta e PE
e) Representação gráfica
Exemplo 2: função demanda, oferta e PE
P (U$) D = -3,33P + 673,33 
0,00 673
202,20 0
P (U$) S = 5P - 40
0,00 -40
8,00 0
D e S
673
80 202,20 P(U$)85,63
388
f) Se o preço for abaixo do preço de equilíbrio, o que acontecerá com a demanda 
e a oferta?
Exemplo 2: função demanda, oferta e PE
D e S
673
80 202,20 P(U$)85,63
388
Excesso Demanda
Escassez de Oferta
Considere a função D = -2P + 3200. Para que preço a demanda é inferior a 
500 unidades?
a) P > R$ 1350,00.
b) P < R$ 1350,00.c) P > R$ 1850,00.
d) P < R$ 1850,00.
e) P > R$ 1600,00.
Interatividade
 Receita  quantia total que a firma recebe pela venda de uma quantidade 
de produtos.
R = p.x (“p” pode ser ou não fixo) 
 Custo  quantia que a empresa gasta pagando pelos insumos de produção
CT = CF + CV
 Lucro  Receita – Custo
 Ponto de nivelamento  equilíbrio entre as funções receita e custo.
Função receita, custo e lucro
 O dono de uma barraca de doces verificou que a receita total diária para a venda 
de bolos em um dia de quermesse é de R$ 300,00. Sabendo que o preço de 
venda por unidade é de R$ 20,00 e ele não quer ultrapassar a venda em 25 
unidades, quantos bolos a mais ele precisa vender para aumentar sua receita 
total diária em 40%? Represente a função receita total.
 RT = p. q  RT = 20.q 0  q  25 (p é fixo)
 Para aumentar a receita diária em 40% 
RTinicial = R$ 300,00  RT40% = R$ 420,00
 Cálculo da quantidade para RT40%
RT40%= 20.q 
420 = 20.q  420 / 20 = q 
q = 21 unidades
Exemplo 3 
 Cálculo da quantidade inicial de bolos
 RT = p. q  RT = 20.q
 RTinicial = R$ 300,00  Substituir na função receita
300 = 20.q  300 / 20 = q
qinicial =15 unidades
 Quantidade adicional de bolos: 21 – 15 = 6 bolos
 Precisa vender mais 6 bolos para aumentar em 40% sua receita diária.
Exemplo 3 
 Representação gráfica
 RT = 20.q 0  q  25
Exemplo 3 
q (quantidade)
RT (R$)
500
25
q (unid) R = 20.q (R$)
0 0,00
25 500,00
0
 Sabe-se que o custo mensal fixo de uma pequena empresa é de R$ 4.800,00. 
Seu custo variável é de R$ 10,00 por peça produzida e o preço de venda é de 
R$ 90,00 por peça.
a) Quantas peças devem ser produzidas/vendidas mensalmente para a empresa 
ter lucro positivo?
b) Represente graficamente as funções receita e custo no mesmo plano cartesiano 
e faça análise econômica.
Exemplo 4
a) Quantas peças devem ser produzidas/vendidas mensalmente para a empresa 
ter lucro positivo?
 Função receita: R = 90q
 Função custo: CT = 4800 + 10q
 Determinação da quantidade de peças produzidas/vendidas para a empresa ter 
lucro positivo.
Opções: 
1) Ponto de nivelamento.
2) Função lucro.
Exemplo 4
1) Ponto de nivelamento
 R = C
90q = 4800 + 10q
80q = 4800
q = 60 peças
 Para que a empresa comece a dar lucro:
q > 60 peças
Exemplo 4
Análise: 
q = 60 peças  R = C  não tem lucro nem prejuízo
q < 60 peças  C > R  prejuízo
q > 60 peças  C < R  lucro 
2) Função lucro
 LT= R – C
LT = 90q – (4800 + 10q)
LT = 90q – 4800 – 10q
LT = 90q – 4800
 Para que a empresa comece a dar lucro:
q > 60 peças
Exemplo 4
 LT > 0
90q – 4800 > 0
90q = 4800
q = 4800 / 90
q > 60 peças
b) Represente graficamente as funções receita e custo no mesmo plano cartesiano 
e faça análise econômica.
Exemplo 4
q R = 90.q 
0 0,00
q CT = 4800.q+10.q 
0 4.800
q (quantidade)
RT, CT
0
4800
60
5400
Análise: 
q = 60 peças  R = C
q < 60 peças  C > R
q > 60 peças  C < R
 A empresa Eletronics S&A trabalha no ramos da eletrônica há 3 anos com 
produção de cabo genérico para celular e tablet. Nesse segmento, ela tem um 
custo fixo de produção de R$ 15.000 por mês. 
a) Se cada peça produzida tiver um custo de R$ 6,00 e o preço de venda for de 
R$ 10,00 por peça, quantas peças a empresa deve vender para ter um lucro de 
R$ 30.0000,00?
b) Determine a mínima quantidade de peças a ser vendida para que a empresa não 
tenha prejuízo.
c) Representar graficamente a função lucro e fazer 
análise econômica
d) Qual o custo médio de produção de cada peça, se forem 
produzidas 4200 unidades?
Exemplo 5 
 A empresa Eletronics S&A trabalha no ramos da eletrônica há 3 anos com 
produção de cabo genérico para celular e tablet. Nesse segmento, ela tem um 
custo fixo de produção de R$ 15.000 por mês. 
a) Se cada peça produzida tiver um custo de R$ 6,00 e o preço de venda for de 
R$ 10,00 por peça, quantas peças a empresa deve vender para ter um lucro de 
R$ 30.0000,00?
 Função custo: CT = CF + CV  CT = 15000 + 6.q
 Função receita: RT = p.q  RT = 10.q
Exemplo 5 
 Função custo: CT = CF + CV  CT = 15.000 + 6.q
 Função receita: RT = p.q  RT = 10.q
 L = R – C
L = 10q – (15.000 + 6.q)
L = 4q – 15.000
 Para ter um lucro de R$ 30.000, temos
 L = 4q – 15.000
30.000 = 4q – 15.000
30.000 + 15.000 = 4q
45.000 = 4q
q = 11250 unidades
Exemplo 5 
b) Determine a mínima quantidade de peças a serem vendidas para que a 
empresa não tenha prejuízo.
 Prejuízo significa lucro negativo.
 Desejamos que LT > 0
 L = 4q – 15.000
 4q – 15.000 > 0
 4q > 15.000  q > 3750
 A empresa tem que vender acima de 3750 peças
Exemplo 5
 Lembrete!
LT < 0  prejuízo
LT > 0  lucro
LT = 0  R = C
c) Representar graficamente a função lucro e fazer análise econômica.
Análise econômica
Q < 3750  Prejuízo
Q = 3750  L =0
Q > 3750  Lucro
Exemplo 5 
q LT = 4q - 15000
0 -15.000
3750 0
LT
0
-
+
3750 q
-15.000
d) Qual o custo médio de produção de cada peça, se forem produzidas 
4200 unidades?
Função custo: CT = 15000 + 6.q
Função custo médio: Cme = CT / q
Para q = 4200, temos:
Cme = 15.000 + 6. (4200)  Cme = R$ 9,57
4200
Logo, o custo de produção de cada peça, em média, 
é de R$ 9,57. 
Exemplo 5
Trimestralmente, a indústria Secadores S&A produz secadores de 2ª linha, que são 
vendidos a R$ 85,00. O custo fixo mensal é de R$ 13.978,00 e o custo variável é de 
R$ 56,00. A quantidade que deverá ser produzida e vendida para que a empresa 
tenha um lucro trimestral de R$ 14.442,00 é de:
a) 464.
b) 16.
c) 980.
d) 482.
e) 895.
Interatividade
 y = ax2 + bx + c
 a = coeficiente angular
a < 0  função CVB
a > 0  função CVC
Função 2 grau para modelos econômicos
x
y
0
x
y
0
 y = ax2 + bx + c
 Determinação das raízes: y = 0
ax2 + bx + c = 0 
 Báskara
∆= 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐
𝑥 =
−𝑏± ∆
2.𝑎
x’ e x’’
 Ponto máximo/mínimo
Xv = -b
2.a
Yv = -
4.a 
Função 2 grau para modelos econômicos
x x
y
00
y PM
Pm
Dona Mercedes, dona de uma fábrica de uma barraca de pastéis em uma feira no 
centro da cidade de São Paulo, constatou que a quantidade diária (x) de pastéis 
vendidos aos domingos variava de acordo com o preço unitário de venda (p). 
Considerando que a relação quantitativa entre as variáveis pode ser dada por 
D = -2p2-4P+160, em que P é o preço por unidade e D é a demanda ou procura de 
mercado correspondente, pede-se: 
Função 2 grau para modelos econômicos
a) A quantidade de pastéis vendidos se o preço for de R$ 6,00.
b) O preço máximo que pode ser estabelecido para a venda dos pastéis.
c) Representar graficamente a função demanda D = -2P2 -4P + 160.
d) Quantidade máxima de pastéis que poderão ser vendidos por dia.
Exemplo 7
a) A quantidade de pastéis vendidos se o preço for de R$ 6,00.
 Para P = R$ 6,00
D = -2P2 -4P + 160
D = -2(6)2 -4(6) + 160 
D = 64
 Serão vendidos 64 pastéis se o preço for R$ 6,00.
Exemplo 7
b) O preço máximo que pode ser estabelecido para a venda dos pastéis.
 Condição de existência da demanda: P > 0
-2P2 -4P + 160 > 0 (a = -2, b = -4, c = 160) 
Báskara
∆= (−4)2−4. −2 . 160   = 1296
𝑃 =
−(−4)± 1296
2(−2)
 𝑃 =
−(−4)± 1296
2(−2)
p’ = 8 e p’’ = -10
 Preço máximo de R$ 8,00 
Exemplo 7
c) Representação gráfica
 D = -2P2 -4P + 160
 Determinação coordenadas do PM (xv, yv)
 𝑥𝑣 =
−(−4)
2(−2)
→ 𝑥𝑣 = −1
 𝑦𝑣 =
−1296
4(−2)
→ 𝑦𝑣 = 162
Exemplo7
P D
0
0
P D
0 160
P = 8
P = -10
0
D
P0 810 -1
162
160
PM
d) Quantidade máxima de pastéis que poderão ser vendidos por dia.
 Condição de existência da demanda: D > 0.
Observação:
 Nem sempre quando determinamos o PM da função o valor do Yv é a quantidade 
máxima a ser utilizada.
 No gráfico, é possível observar, no eixo da quantidade, que a região de interesse 
econômico está compreendida entre zero e 160 unidades e não entre zero e 
162 unidades.
 Logo, a quantidade máxima de pastéis a ser vendida por 
dia é de 160 unidades.
Exemplo 7
 D = -2P2 -4P + 160
Exemplo 7
D
P0 810 -1
162
160
PM
 A empresária Maria Fulô é dona de uma confecção de roupas infantis. Com a 
ajuda de uma consultoria, ela verificou que poderia ofertar um dos seus produtos, 
shorts e bermudas masculinas, por meio da função S = 2P2 – 2450 e estabeleceu 
que o preço dos produtos não poderia ultrapassar R$ 75,00.
a) Determine o menor preço que deve ser estabelecido para a empresária iniciar 
sua oferta.
b) A que preço a oferta será inferior a 122 unidades?
c) Represente graficamente a função oferta, indicando o intervalo de variação.
Exemplo 8
a) Determine o menor preço que deve ser estabelecido para a empresária iniciar 
sua oferta.
 Sabemos que haverá oferta quando S > 0
2P2 – 2450 > 0
2P2 > 2450
P2 > 2450 / 2  P2 > 1225  P > 1225 P > R$ 35,00
 Logo, P > R$ 35,00
Exemplo 8
b) A que preço a oferta será inferior a 122 unidades?
 S < 122
2P2 – 2450 < 122
2P2 < 122 + 2450
2P2 < 2572
P2 < 2572 / 2
P < 2572 P <  R$ 50,71
 Logo, P < R$ 50,71
Lembrete:
 Função oferta: GDP (grandeza diretamente proporcional)
 Aumenta a oferta  aumenta o preço
Exemplo 8
c) Representação gráfica
 S = 2P2 – 2450, 0< P < 75,00
Exemplo 8
P S
0
35,00
75,00
S
P
0
35 75
-2450
8800
P S
0 -2450
35,00 0
75,00 8800
 Dada as funções D = 81 – P2 e S = P2 – P – 6. 
a) Determinar o preço e a quantidade de equilíbrio.
b) Representar graficamente as funções indicando o PE.
Exemplo 8
 Dada as funções D = 81 – P2 e S = P2 – P – 6. 
a) Determinar o preço e a quantidade de equilíbrio.
 Ponto de equilíbrio: D = S
81 – P2 = P2 – P – 6
81 – P2 – P2 + P + 6 = 0
– 2P2 + P + 87 = 0 
 Substituindo P = R$ 6,35 na função demanda ou oferta
D = 81 – P2
D = 81 – (6,35)2 D  41 unidades
Exemplo 8
∆= (1)2−4. −2 . 87
 = 697
𝑃 =
−(1)± 697
2(−2)
 𝑃 =
1±26,40
−4
P’= -6,85 e P’’= 6,35
c) Representar graficamente as funções indicando o PE.
 D = 81 - P2
 S = P2 – P – 6
Exemplo 8
P D = 81 - P2
0
0
P S = P2 – P – 6
0
0
P D = 81 - P2
0 81
-9 e 9 0
P S = P2 – P – 6
0 -6
-2 e 3 0
c) Representação gráfica
Exemplo 8
D,S
P0
35 75
81P D = 81 - P2
0 81
-9 e 9 0
P S = P2 – P – 6
0 -6
-2 e 3 0
3
41
P.E = R$ 6,35
Oferta
Demanda
Dada a função D = 256 – P2, a que preço a demanda será superior a 
162 unidades?
a) P > R$ 9,70.
b) P < R$ 9,70.
c) P > R$ 20,44.
d) P < R$ 20,44.
e) P < R$ 25,98.
Interatividade
 Suponha que a receita total para a venda de “q” unidades de um tênis em uma 
loja de departamento esportivo seja R(q) = -2q2 + 1000q.
a) Qual será o valor da receita se forem vendidos 100 unidades de tênis? 
b) Quantos tênis devem ser vendidos para que a loja tenha uma receita máxima?
c) Determine a receita máxima.
d) Calcule o preço que deve ser colocado no tênis para que a loja obtenha 
receita máxima.
e) Represente graficamente a função receita.
Exemplo 9
a) Qual será o valor da receita se forem vendidos 100 unidades de tênis? 
Função dada: R(q) = -2q2 + 1000q.
Para q = 50 unidades
RT = -2(50)2 + 1000(100)
RT = - 5.000 + 50.000,00
RT = R$ 45.000,00
 Se forem vendidos 10 unidades de tênis, a loja terá uma 
RT = R$ 45.000,00
Exemplo 9
b) Quantos tênis devem ser vendidos para que a loja tenha uma receita máxima?
 Função dada: R(q) = -2q2 + 1000q (a = -2 b = 1000 e c = 0)
 Para determinar a quantidade que torna a receita máxima  xv
𝑥𝑣 =
−𝑏
2𝑎
𝑞 =
−1000
2(−2)
→ 𝑞 = 250 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
 Devem ser vendidos x 250 tênis para a receita ser máxima.
Exemplo 9
q
RT
xv
yv
c) Determine a receita máxima
 Função dada: R(q) = -2q2 + 1000q (a = -2 b = 1000 e c = 0)
 Para determinar a receita máxima  yv
𝑦𝑣 =
−∆
4𝑎
Rmáx =
−( 1000 2−4. −2 .0)
4.(−2)
→ 𝑅𝑚á𝑥 = 𝑅$ 125.000
Exemplo 9
q
RT
xv
yv
d) Calcule o preço que deve ser colocado no tênis para que a loja obtenha 
receita máxima
 Substituir xv e yv na função R = p.q
 xv = q = 250 unidades
 Yv = Rmáx = R$ 125.000
 R = p.q
125.000 = p. 250  p = 125.000 / 250  p = R$ 500,00
Exemplo 9
q
RT
xv
yv
 Uma oficina que fabrica um tipo de suporte para TV tem custo fixo de R$ 640,00 
por mês, e o custo de produção de cada suporte é de R$ 6,00. A demanda para 
esse tipo de suporte é calculada pela função D = 58 – P. 
a) Determine a quantidade de suportes que a oficina precisa vender para atingir 
receita máxima.
b) Determine a receita máxima.
c) O intervalo em que o lucro é positivo.
d) Determinar o lucro máximo.
e) Representar graficamente as funções receita e lucro 
e interpretar.
Exemplo 10
a) Determine a quantidade de suportes que a oficina precisa vender para atingir 
receita máxima.
 Para maximizar a Receita Total  RT = p. D
 Função demanda: D = 58 – P
1. Reescrever a função P = f(D)
D = 58 – P
P = 58 – D
2. Substituir em RT = P. D
RT = P. D
RT = (58 – D) . D
RT = -D2 + 58D
Exemplo 10
3) Cálculo da quantidade de suportes para maximizar a receita.
 RT = -D2 + 58D (a = -1, b = 58 e c = 0)
xv = -b / (2.a)
xv = - 58 / (2.-1)
xv = 29 
 A oficina precisa vender 29 suportes para TV para atingir Rmáx.
Exemplo 10
 Representação gráfica: RT = -D2 + 58D 
Exemplo 10
29 58 q
841
RT = -D2 + 58D
0 0
0 e 58 0
b) O intervalo em que o lucro é positivo.
“Uma oficina que fabrica um tipo de suporte para TV tem custo fixo de R$ 640,00 
por mês, e o custo de produção de cada suporte é de R$ 6,00.”
 Função custo total: CT = 6q + 640
 Função Receita Total: RT = -D2 + 58 D
Observação: trocando D por q, temos: 
 Função Receita Total: RT = -q2 + 58q
Função lucro:
LT= R – C
LT = (-q2 + 58q) – (6q + 640)
LT= -q2 + 52q -640
Exemplo 10
 LT= -q2 + 52q -640 (eq. do 2º grau)
 Considerar L = 0
-q2 + 52q -640 = 0, (a= -1, b = 52 e c = -640)
 = b² – 4 · a · c
 = (52)² – 4·(–1) · (–640) = 144
q‘ = 22,5 e q”” = 29,5
23 < q < 30 é a região em que o lucro é positivo.
Exemplo 10
𝑞 =
−52 ± 144
2. (−1)
 RT = -D2 + 58D
 LT= -q2 + 52q -640
Interpretação das funções receita e lucro
I. Quando a empresa consegue obter receita 
máxima, de R$ 4.800, que ocorre para uma 
produção e venda de 400 unidades, seu lucro 
é de R$ 1.125,00.
II. O lucro máximo é obtido com 350 unidades e é 
igual a R$ 1.200,00.
III. Quando a empresa consegue obter o lucro 
máximo, de R$ 1.200,00, que ocorre para uma 
produção e venda de 350 unidades, sua 
receita é de R$ 4.725,00.
Interpretação das funções receita e lucro
IV. Produzir e vender mais de 550 unidades, 
embora gere receita, resulta em prejuízo.
V. A empresa também terá prejuízo se vender 
menos de 150 unidades.
Interpretação das funções receita e lucro
Dada as funções RT= -0,02q2 + 24,4q e LT= -0,02q2 + 22,2q – 3.196q, em que q é 
quantidade de peças produzidas e vendidas. É incorreto afirmar: 
a) Lucromáximo é obtido quando a receita for de R$ 7.381,50.
b) Só haverá lucro quando 220 < q < 890.
c) Para atingir receita máxima é necessário vender 610 unidades.
d) Acima de 610 peças vendidas, o lucro será negativo.
e) É possível vender uma quantidade inferior a 1220 unidades.
Interatividade
ATÉ A PRÓXIMA!