4 Zeros de funcoes 1

Prévia do material em texto

CÁLCULO NUMÉRICO
Profa. Dra. Yara de Souza Tadano yaratadano@utfpr.edu.br
Aula 4
Zeros reais de funções – Parte 109/2014
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 3/60
Objetivo
 Determinar valores aproximados para as soluções (raízes) de 
equações da forma:
sendo f uma função real dada.
  0xf
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 4/60
Motivação
 Você está projetando um tanque esférico para armazenar a
água para uma pequena vila em uma região em
desenvolvimento. O volume de líquido que ele armazena
pode ser calculado por:
onde V é o volume [m3], h é a profundidade da água no tanque
[m], R é o raio do tanque.
3
32 hRhV


Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 5/60
Motivação
Se R = 3 m, até que 
profundidade o 
tanque deve estar 
cheio para que ele 
armazene 30 m3?
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 6/60
Motivação
 A equação a ser resolvida será:
Onde V = 30m3.
Como determinar h ?
  0
3
32 





 VhRhhf

Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 7/60
Motivação
 A solução exata de pode ser encontrada apenas
em alguns casos:
 Polinômios de grau menor ou igual a quatro;
 Algumas funções trigonométricas.
 Mesmo quando a solução analítica está disponível, sua
determinação pode ser “complicada”.
  0xf
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 8/60
 Em alguns casos, por exemplo, de equações polinomiais, os
valores de x que anulam f (x) podem ser reais ou complexos.
 Estamos interessados somente nos zeros reais de f (x).
 Graficamente, os zeros reais são representados pelas
abscissas dos pontos onde uma curva intercepta o eixo x.
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 9/60
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 10/60
 A ideia central dos métodos que iremos aprender é partir de
uma aproximação inicial para a raiz e em seguida refinar
essa aproximação através de um processo iterativo.
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 11/60
 Assim, os métodos constam de duas fases:
 Fase I: Localização ou isolamento das raízes
 Consiste em obter um intervalo que contém a raiz.
 Fase II: Refinamento
 Consiste em, escolhidas aproximações iniciais para o intervalo da
Fase I, melhorá-las sucessivamente até se obter uma
aproximação para a raiz dentro de uma precisão e pré-
estabelecida.
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 12/60
FASE I: Isolamento das Raízes
 Nesta fase é feita uma análise teórica e gráfica da função
f (x).
 O sucesso da Fase II depende fortemente da precisão desta
análise.
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 13/60
Fase I: Isolamento das Raízes
 Na análise teórica, usa-se:
TEOREMA 1
 Seja f (x) uma função contínua em [a, b].
 Se f (a) f (b) < 0, então existe pelo menos um ponto x = ξ
entre a e b que é zero de f (x).
 Esta é uma consequência do Teorema do Valor
Intermediário.
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 14/60
Fase I: Isolamento das Raízes
TEOREMA 1
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 15/60
Fase I: Isolamento das Raízes
TEOREMA 1
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 16/60
Fase I: Isolamento das Raízes
TEOREMA 1
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 17/60
Fase I: Isolamento das Raízes
 Sob as hipóteses do Teorema 1, se f’ (x) existir e preservar
o sinal em ]a, b[, então este intervalo contém um único zero
de f (x).
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 18/60
Fase I: Isolamento das Raízes
f ' x( ) > 0, "xÎ a,b[ ]
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 19/60
Fase I: Isolamento das Raízes
f ' x( ) < 0, "xÎ a,b[ ]
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 20/60
Fase I: Isolamento das Raízes
 Uma forma de isolar as raízes de f (x) usando os conceitos
anteriores é tabelar f (x) para vários valores de x e analisar
as mudanças de sinal de f (x) e o sinal da derivada nos
intervalos em que f (x) mudou de sinal.
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 21/60
Fase I: Isolamento das Raízes
 EXEMPLO 1: Seja f (x) = x3 – 9 x + 3. Vamos analisar o
sinal desta função.
 Construindo uma tabela de valores para f (x) e considerando
apenas os sinais, temos:
x - ∞ -100 -10 -5 -3 -1 0 1 2 3
f(x) - - - - + + + - - +
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 22/60
Fase I: Isolamento das Raízes
 Sabendo que f (x) é contínua para qualquer x real e
observando as variações de sinal, podemos concluir que
cada um dos intervalos I1 = [-5, -3], I2 = [0, 1], I3 = [2, 3],
contém pelo menos um zero de f (x).
 Como f (x) é um polinômio de terceiro grau, podemos
afirmar que cada intervalo contém um único zero de f (x) e,
assim localizamos todas as raízes de f (x) = 0.
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 23/60
Fase I: Isolamento das Raízes
 Se f (a) f (b) > 0, então podemos ter várias situações no
intervalo [a, b], conforme mostram os gráficos a seguir.
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 24/60
Fase I: Isolamento das Raízes
raiz Nenhuma
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 25/60
Fase I: Isolamento das Raízes
raízes Várias
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 26/60
Fase I: Isolamento das Raízes
raiz única Uma
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 27/60
Fase I: Isolamento das Raízes
 A análise gráfica da função f (x) ou da equação f (x) = 0 é
fundamental para se obter aproximações para a raiz.
 Temos três processos de análise de gráficos.
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 28/60
Processos Gráficos
 ESBOÇAR O GRÁFICO: Análise do comportamento da
função, que envolve: domínio da função, pontos de
descontinuidade, intervalos de crescimento e decrescimento,
pontos de máximo e mínimo, concavidade, ponto de inflexão e
assíntotas da função.
 Através da EQUAÇÃO EQUIVALENTE g (x) = h (x):
A partir da equação f (x) = 0, obter a equação equivalente
g (x) = h (x), esboçar os gráficos das funções g (x) e h (x) no
mesmo eixo cartesiano e localizar os pontos x onde as duas curvas
se interceptam, pois neste caso:
f ( x ) = 0  g ( x ) = h ( x ).
 GRÁFICOS COMPUTACIONAIS.
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 29/60
Equação Equivalente g(x) = h(x) 
 EXEMPLO 2: Suponha f (x) = x log x – 1, então queremos
encontrar x tal que:
 Chamando:
e
x
xxx
1
log01log 
  xxg log
 
x
xh
1

Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 30/60
Equação Equivalente g(x) = h(x) 
h(x)y
x
g(x)
x1 2 3 4 5 6
x2 3
Verificou-se que x  [2, 3]
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 31/60
Gráficos computacionais
 EXEMPLO 3: Os gráficos computacionais podem tornar
mais rápidos e melhores seus esforços para localizar as
raízes de equações. A função:
tem diversas raízes no intervalo de x = 0 a x = 5. Use gráficos
computacionais para adquirir percepção do comportamento
dessa função.
     xxsenxf 3cos10 
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 32/60
Fase II: Refinamento
 Veremos vários métodos de refinamento de raízes. A forma
como se efetua o refinamento é que diferencia os métodos.
 Um método iterativo consiste em uma sequência de
instruções que são executadas passo a passo, algumas das
quais são repetidas em ciclos.
 Os métodos iterativos para refinamento da aproximaçãoinicial para a raiz exata podem ser colocados em um
diagrama de fluxo.
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 33/60
Início
Dados Iniciais
Cálculo Iniciais
k = 1
Calcular a nova 
aproximação
Cálculos Intermediários
Cálculos 
Finais
Fim
k = k+1
Essa aproximação 
está próxima o 
suficiente da raiz 
exata?
Sim
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 34/60
Critério de Parada
 TESTE: xk está suficientemente próximo da raiz exata?
 Existem duas interpretações para raiz aproximada que nem 
sempre levam ao mesmo resultado:
 é raiz aproximada com precisão e se:
 i)
 ii)
x
ouex x
  exf
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 35/60
Critério de Parada
 Como efetuar o teste (i) se não conhecemos o valor exato da 
raiz x ?
 Usamos frequentemente os conhecimentos de erro absoluto 
e erro relativo para determinarmos o critério de parada.
 ERRO ABSOLUTO:
 ERRO RELATIVO: 
e 1kk xx
e
 
k
kk
x
xx 1
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 36/60
Critério de Parada
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 37/60
 Nem sempre é possível ter as exigências (i) e (ii) satisfeitas
simultaneamente.
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 38/60
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 39/60
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 40/60
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 41/60
 Em programas computacionais, além do teste de parada
usado para cada método, deve-se ter o cuidado de estipular
um número máximo de iterações, para se evitar que o
programa entre em “looping”.
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 42/60
Métodos Iterativos
 Métodos iterativos para a obtenção de zeros reais de 
funções:
 Bissecção;
 Falsa posição;
 Ponto fixo;
 Newton-Raphson;
 Secante.
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 43/60
Método da Bissecção
 Suponha que f (x) seja uma função contínua definida em [a,b],
tal que f (a) f (b) < 0.
 De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, existe um
número c em ]a, b[ para o qual f (c) = 0.
 Vamos supor, para simplificar, que ]a, b[ contenha uma única
raiz da equação f (x) = 0.
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 44/60
Método da Bissecção
 O objetivo deste método é reduzir a amplitude do intervalo
que contém a raiz até se atingir a precisão requerida:
(b – a) < e ou usando, para isto, a sucessiva divisão
de [a, b] ao meio.
  exf
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 45/60
Método da Bissecção
 Graficamente:
x
a = a0 x
f(x)
b = b0
x0 = (a + b)/2
x0
f(x)
x
a = a1
x
x0 = b1
x1 = (a + x0)/2
x1
Repete-se o processo até que o valor
de x atenda às condições de parada.
x
x
f(x)
x0=b2
x2 = (x1 + x0)/2
x1=a2
x2
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 46/60
Método da Bissecção
 As iterações são realizadas da seguinte forma:
 
 
 
 



















11
01
10
1
0
0
00
1
,
0
0
0
2
xb
aa
xa
xf
bf
af
ba
x
x
 
 
 
 



















12
22
12
2
1
1
11
2
,
0
0
0
2
bb
xa
bx
xf
bf
af
ba
x
x
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 47/60
EXEMPLO 4
Considerando o método da bissecção com e = 0,002 e
adotando [2 , 3] como intervalo inicial, obtenha uma
aproximação para a função:     1log  xxxf
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 48/60
EXEMPLO 4
h(x)y
x
g(x)
x1 2 3 4 5 6
x2 3
Verificou-se que x  [2, 3]
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 49/60
EXEMPLO 4
k ak bk f(ak) f(bk) xk+1 f(xk+1)
0 2,00000 3,00000 -0,39794 0,43136 2,50000 -0,00515
1 2,50000 3,00000 -0,00515 0,43136 2,75000 0,20816
2 2,50000 2,75000 -0,00515 0,20816 2,62500 0,10021
3 2,50000 2,62500 -0,00515 0,10021 2,56250 0,04720
4 2,50000 2,56250 -0,00515 0,04720 2,53125 0,02094
5 2,50000 2,53125 -0,00515 0,02094 2,51563 0,00788
6 2,50000 2,51563 -0,00515 0,00788 2,50781 0,00136
|f(x)| < e = 0,002|b - a| = 0,0156
> e = 0,002
50781,2x
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 50/60
EXEMPLO 4
7 2,5000 2,50781 -0,00515 0,00136 2,50391 -0,00189
8 2,50391 2,50781 -0,00189 0,00136 2,50586 -0,00027
9 2,50586 2,50781 -0,00027 0,00136 2,50684 0,00055
k ak bk f(ak) f(bk) xk+1 f(xk+1)
0 2,00000 3,00000 -0,39794 0,43136 2,50000 -0,00515
1 2,50000 3,00000 -0,00515 0,43136 2,75000 0,20816
2 2,50000 2,75000 -0,00515 0,20816 2,62500 0,10021
3 2,50000 2,62500 -0,00515 0,10021 2,56250 0,04720
4 2,50000 2,56250 -0,00515 0,04720 2,53125 0,02094
5 2,50000 2,53125 -0,00515 0,02094 2,51563 0,00788
6 2,50000 2,51563 -0,00515 0,00788 2,50781 0,00136
|b - a| = 0,0008 < e =0,002
50684,2x
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 51/60
Método da Bissecção
 ESTIMATIVA DO NÚMERO DE ITERAÇÕES:
Dada uma precisão e e um intervalo inicial [a, b], vamos
determinar quantas iterações serão efetuadas pelo método da
bissecção até bk – ak < e.
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 52/60
Método da Bissecção
a0 b0
a1 b1
b2a2
2
00
11
ab
ab


2
0011
22
22
abab
ab




3
0022
33
22
abab
ab




b3a3
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 53/60
Método da Bissecção
 Então temos que:
 Devemos obter o valor de k tal que , ou seja: 
e

k
ab
2
00
k
kk
kk
abab
ab
22
0011 

 
e kk ab
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 54/60
Método da Bissecção
 Portanto, se k satisfaz a relação anterior, ao final da iteração
k, teremos o intervalo [a, b] que contém a raiz x, tal que:
  ex  abxbax ,
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 55/60
Algoritmo do Método da Bissecção
 Seja f (x) contínua em [a, b] e tal que f (a) e f (b) têm sinais 
opostos:
ENTRADA: função f, extremidades a, b; precisão ‘erro’, número 
máximo de iterações ‘max’.
SAÍDA: solução aproximada ou mensagem de erro.
Passo 1: Faça i = 1;
Passo 2: Enquanto i < max, execute os passos 3 a 6.
Passo 3: Faça p = (a + b) / 2; ( )
x
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 56/60
Algoritmo do Método da Bissecção
Passo 4: Se f (p) = 0 ou |b – a| < erro, então:
SAÍDA (x); ( ).
PARE.
Passo 5: Faça i = i + 1.
Passo 6: Se f (a) * f (p) < 0, então faça b = p; ( ).
senão faça a = p.
SAÍDA (‘ ’, max);
( ).
PARE.
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 57/60
 Outros procedimentos de parada podem ser aplicados no
Passo 4 do algoritmo ou em qualquer das técnicas iterativas
que aprenderemos. Por exemplo, podemos selecionar uma
precisão e > 0 e gerar x1, x2, ..., xn até que uma das condições
a seguir seja satisfeita:
e 1nn xx
e
 
n
nn
x
xx 1
  enxf
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 58/60
CUIDADO!!!!
 Podem ocorrer sequências em que as diferenças 
convergem para zero, enquanto a própria sequência diverge.
 Podem ocorrer de estar próximo de zero, mesmo quando 
xn for significativamente diferente de x.
 Sem outras informações sobre f ou x, o melhor critério é:
por ser o que maisse aproxima da ideia de testar o .
e
 
n
nn
x
xx 1
1 nn xx nxf
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 59/60
Método da Bissecção
VANTAGENS:
 Facilidade de implementação;
 Estabilidade e convergência para a solução procurada;
 Desempenho regular e previsível.
O número de iterações é
dependente da tolerância
considerada.
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 60/60
Método da Bissecção
DESVANTAGENS:
 Lentidão do processo de convergência (requer o cálculo de f (x)
em um elevado número de iterações);
 Necessidade de conhecimento prévio da região na qual se
encontra a raiz de interesse (o que nem sempre é possível);
 Complexidade da extensão do método para problemas
multivariáveis.
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1
Cálculo Numérico 61/60
Exercício
 Seja f (x) = x3 – 9x + 3; I = [0, 1]; e = 10-3.
k ak bk f(ak) f(bk) xk+1 f(xk+1) b - a
0 0 1 3 -5 0,5 -1,375 1
1 0 0,5 3 -1,375 0,25 0,765625 0,5
2 0,25 0,5 0,765625 -1,375 0,375 -0,322265625 0,125
3 0,25 0,375 0,765625 -0,322265625 0,3125 0,218017578 0,0625
4 0,3125 0,375 0,218017578 -0,322265625 0,34375 -0,531311035 0,03125
5 0,3125 0,34375 0,218017578 -0,531311035 0,328125 0,822029114 0,015625
6 0,328125 0,34375 0,822029114 -0,531311035 0,3359375 0,0144743919 7,8125 x 10-3
7 0,3359375 0,34375 0,0144743919 -0,531311035 0,33984375 -0,0193439126 3,90625 x 10-3
8 0,3359375 0,33984375 0,0144743919 -0,0193439126 0,337890625 -2,43862718 x 10-3 1,953125 x 10-3
9 0,3359375 0,337890625 0,0144743919 -2,43862718 x 10-3 0,336914063 6,01691846 x 10-3 9,765625 x 10-4