Introdução ao Cálculo Numérico

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AULA Nº 1
CÁLCULO NUMÉRICO 
Introdução ao Cálculo Numérico
Professora Joyce da Silva Bevilacqua 
Sobre esta aula
Compreender a natureza de uma solução aproximada ou numérica.
Apresentar os objetivos da disciplina e os tópicos que serão tratados.
Um exemplo datado por volta de 1800 a.C.
A tábua babilônica apresenta a solução aproximada do valor da hipotenusa H de um triângulo retângulo de catetos iguais a 1.
O cálculo foi feito na base 60:
 H = 1 + 24/60 + 51/(602) +10/(603)
 H = 1 + 0,4 + 0,014166 + 0,000046
 H = 1,414212
Coleção Babilônica da Universidade de Yale
 (YBC 7289)
Considerando que a solução obtida com uma máquina de calcular moderna é 
 1,41421356237373095
O erro absoluto (Ea) da solução babilônica é
 Ea = 1,41421356237373095 - 1,414212
 Ea = 0,00000156
ou seja, o erro é da ordem de 10-5, pois o primeiro dígito diferente de zero está na 6ª casa decimal.
Um exemplo datado de 1800 a 1600 a.C.
Um pouco de história
O cálculo numérico é, portanto, muito anterior às máquinas de calcular e aos computadores.
Diferentes povos da antiguidade desenvolveram e utilizaram algoritmos ou soluções numéricas.
Por serem soluções de aplicação prática não atraíram os matemáticos da época e, por muitos séculos, foram consideradas soluções de qualidade duvidosa.
Um pouco de história
Questões como 
a quadratura do círculo;
a hipotenusa de um triângulo retângulo de lados iguais a 1 ( 2 ½);
cálculos de áreas e volumes de várias figuras geométricas 
foram resolvidas com técnicas aproximadas e, em muitos casos, com precisão impressionante.
Um pouco de história
A astronomia, a física e a engenharia foram as principais fontes inspiradoras para proposição de problemas que exigiam soluções aproximadas.
Matemáticos de expressão como Newton, Euler, Lagrange, Gauss, Jacobi, Fourier, Chebyshev, etc., construíram e utilizaram vários métodos numéricos.
Um pouco de história
Muitos desses métodos são utilizados até hoje para solucionar diversos problemas: 
ajustes de curvas; 
inclusão de pontos em tabelas (interpolação);
cálculo de áreas e comprimentos;
cálculo de raízes de equações polinomiais;
resolução de equações diferenciais, entre outros.
Um pouco de história
As soluções numéricas ou aproximadas seguiram os passos da matemática pura, e os métodos foram gradativamente recebendo suporte teórico.
Teoremas do cálculo diferencial e integral, teoremas da álgebra e da álgebra linear, teoremas das equações diferenciais também fornecem a base teórica para diversas técnicas numéricas.
Um pouco de história
Com a evolução e popularização dos computadores, soluções de problemas de alta complexidade dependem cada vez mais de técnicas numéricas.
A ANÁLISE NUMÉRICA, que teve sua origem em problemas práticos ou como alternativa às soluções exatas, é atualmente uma área de pesquisa importante, cujos resultados teóricos garantem robustez, convergência, consistência e estabilidade das soluções aproximadas.
Problemas atuais que usam métodos numéricos
Aplicativos para auxílio ao deslocamento (trânsito, localização do ônibus, etc.);
Sistemas de controle do fluxo do metrô, trens metropolitanos, portos, aeroportos;
Semáforos inteligentes;
Sistemas de segurança de bancos;
Previsão meteorológica;
Problemas atuais que usam métodos numéricos
Tomografia computadorizada, ressonância magnética, ultrassom e todos os métodos de reconstrução de imagens médicas;
Protocolos de radioterapia;
Controle de satélites de comunicação;
Logística de distribuição de mercadorias em cidades;
Sugestão: Professora, o texto do último bullet pode ser dispensado, se quiser.
A essência do Cálculo Numérico
O cálculo numérico, ou de forma mais ampla a análise numérica, não tem por objetivo obter a solução exata de um problema. 
O objetivo é obter uma solução aproximada mantendo sob controle os erros associados a essa solução.
Objetivos da disciplina Cálculo Numérico
Introduzir técnicas numéricas para resolução de problemas aplicados;
Identificar a qualidade da solução numérica, avaliando se uma precisão pré-fixada foi atingida;
Aplicar essas técnicas utilizando máquinas de calcular, planilhas eletrônicas ou softwares livres.
Tópicos que serão estudados
A cada semana da disciplina, as aulas serão agrupadas por um tema principal, que constituirá o eixo do aprendizado da semana.
Sempre que possível será proposto um projeto que poderá ser aplicado em sala de aula.
	Tema da semana 1
Modelos matemáticos, soluções numéricas e fontes de erro
 Aula 1: Introdução à disciplina.
 Aula 2: Modelos matemáticos contínuos e discretos.
 Aula 3: Álgebra de ponto flutuante. Máquinas de calcular.
 Aula 4: O problema da intersecção de retas no plano.
Modelos lineares, matrizes e sistemas
 
Aula 5: Representação matricial de diversos problemas.
Aula 6: Método de eliminação de Gauss (escalonamento).
Aula 7: Método de Gauss-Seidel (substituição).
Aula 8: Um problema mal posto.
	Tema da semana 2
Ajustes de tabelas e curvas
Aula 9: Ajustes de tabelas e curvas: o problema da conta
 de energia.
Aula 10: Método dos mínimos quadrados. Regressão linear.
Aula 11: Ajustes polinomiais.
Aula 12: Ajustes de curvas usando planilhas eletrônicas I.
	Tema da semana 3
Como escolher o melhor modelo que representa uma tabela de dados
Aula 13: Ajustes de curvas usando planilhas eletrônicas II.
Aula 14: Qual o melhor modelo que ajusta uma tabela de dados.
Aula 15: Tabelas de diferenças: uma aproximação da derivada.
Aula 16: Tabelas de diferenças completas.
 
	Tema da semana 4
Completando dados em tabelas
Aula 17: Interpolação linear. 
Aula 18: Interpolação por polinômios de ordens 
 maiores que 1.
Aula 19: Interpolação bilinear. Ampliando e reduzindo
 imagens. 
Aula 20: Cálculo de área. Uma inspiração do cálculo
 integral.
	Tema da semana 5
Professora, na aula 20,podemos deixar “cálculo integral” com letras minúsculas,como em casos de aulas anteriores?
Na aula 19, a grafia correta é bilinear. Já alterei. Ok pra senhora?
Comprimentos e áreas 
 
 Aula 21: Fórmula do Trapézio sem repetição.
 Aula 22: Fórmula do Trapézio com repetição.
 Aula 23: O problema do acúmulo de lixo.
 Aula 24: Equações não lineares: o problema da
 colmeia. 
	Tema da semana 6
Professora, “Áreas (no título) pode ficar em letra minúscula?
“Trapézio” pode ficar em minúscula? (aulas 21 e 22)
Raízes de equações não lineares, raízes de polinômios
Aula 25: Método da dicotomia.
Aula 26: Método das aproximações sucessivas.
Aula 27: Método de Newton-Raphson. 
Aula 28: Calculando raízes de equações. 
	Tema da semana 7
Projeto1: Reprodução da solução babilônica.
Projeto para a semana 1
Passo 1: construção dos triângulos 
Desenhar (ou recortar em cartolina) 3 triângulos, T1, T2 e T3, todos retângulos (um ângulo reto) e isósceles (dois catetos iguais) de tamanhos diferentes.
cateto
hipotenusa
Projeto 1: Instruções
1u
Sugestão: Construir os triângulos com catetos iguais a 10 cm, 20 cm e 30 cm.
cateto
Passo 2: medida da hipotenusa 
Marcar na hipotenusa (H), o tamanho de um cateto inteiro.
 H = 1 (cateto)
cateto
hipotenusa
Projeto 1: Instruções
1u
Observações: 
independente do tamanho do triângulo, só será possível marcar um único cateto.
Observar que a medida H = 1 cateto é pouco precisa. 
cateto
Passo 3: melhorando a precisão da medida 
Dividir o cateto em 10 partes iguais e completar o comprimento da hipotenusa com quantos décimos de catetos inteiros for possível.
cateto
hipotenusa
Projeto 1: Instruções
1u
cateto
 H = 1 (cateto) + 4 (catetos/10)+ ...
Passo 4: melhorando a precisão da medida 
Dividir o tamanho (cateto/10) novamente em 10 partes iguais e completar o comprimento da hipotenusa com quantos centésimos de catetos inteiros for possível.
cateto
hipotenusa
Projeto 1: Instruções
1u
cateto
 H = 1 (cateto) + 4 (catetos/10)+ ? (catetos/100) +...
Pausa para reflexão
Chamando o tamanho do cateto de C, o tamanho da hipotenusaH é :
H = 1 C + 4 C + ? C + ?? C + ...
 10 100 1000
Quantas vezes conseguiremos dividir sucessivamente o cateto por 10?
Existe uma barreira física (tamanho do triângulo) que limita essas divisões.
Mas essa barreira existiria se o cálculo fosse feito por um algoritmo?
Redefinindo o problema babilônico para utilização de um algoritmo iterativo
Problema: Seja um triângulo retângulo isósceles, cujos catetos medem C unidades.
Qual é o tamanho da Hipotenusa?
Solução
Pelo teorema de Pitágoras sabemos que 
 H2 = C2 + C2  f(H) = H2 - [ C2 + C2 ] = 0
 f(H) = H2 - 2 C2 = 0 
Temos que determinar qual é o valor de H que satisfaz essa equação!
Solução iterativa do problema babilônico
Parece difícil?
Vamos testar com C = 1: f(H) = H2 – 2 = 0
Chute inicial H = 1
	H	F(H)	Valor procurado é	Valor está entre 
	1	1-2 = -1	Maior que 1	
	2	4-2 = 2	Menor que 2	1 e 2
	1,5	2,25-2 = 0,25	Menor que 1,5	1 e 1,5
	1,25	1,5625-2 =-0,4375	Maior que 1,25	1,25 e 1,5
	1,375	1,890625-2 =-0,109375 	Maior que 1,375	1,375 e 1,5
Redefinindo o problema babilônico
Esse processo pode ser repetido indefinidamente se fizermos as contas sem a utilização de uma máquina de calcular ou computador. 
Qualquer equipamento eletrônico possui um limite de representação numérica.
O importante é observar que o mesmo problema após ser REDEFINIDO possui uma solução numérica que possibilita melhorar a precisão da resposta tanto quanto se queira.
Projeto 1: Reprodução da solução babilônica.
Questões que podem ser exploradas em sala de aula:
Como construir triângulos retângulos isósceles;
O número de vezes que é possível dividir o cateto por 10;
Se o tamanho do triângulo influencia na precisão da solução;
Os materiais como régua, cuidados tomados pelo aluno ao construir o triângulo influenciam na precisão da solução?
Qual a maior precisão obtida pela sala?
Sugestão de texto (bullet 4): O uso de materiais como régua e outros cuidados tomados pelo aluno ao construir o triângulo influenciam na precisão da solução? 
Se foi isso mesmo que a senhora quis expressar,acho que fica melhor, além de corrigir a concordância com o verbo. Mas,se não for,por favor,ignore a sugestão. Obrigada.
Os materiais como régua, cuidado do aluno ao construir o triângulo influencia na precisão da solução?
Projeto 1: Reprodução da solução babilônica.
Após a reprodução da solução babilônica, redefinir o problema e utilizar uma máquina de calcular para construir uma tabela com 10 linhas, por exemplo, e discutir como avaliar a precisão dos resultados a cada linha de cálculo acrescentada à tabela.
Considerações finais
As soluções numéricas dependem da qualidade do modelo matemático, assim como do próprio método utilizado para sua solução.
Existem vários métodos que resolvem o mesmo problema. Estudaremos alguns deles com o objetivo de compararmos suas qualidades, defeitos e aplicabilidade.
Os projetos complementam o entendimento teórico através de uma aplicação fácil de ser implementada em sala de aula.