apostila métodos numéricos

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4a Semana - Bibliografia: C. Numérico - M. Ruggiero 1
Métodos Numéricos
Prof. Gerson Farion Cavalcante 
UTP – Facet – Engenharia Civil
gerson.cavalcante@utp.br - 33318114
4a Semana - Bibliografia: C. Numérico - M. Ruggiero 2
Ementa:
• Erros
• Equações
• Interpolação
• Integração
•Equações diferenciais
• Mínimos Quadrados
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Avaliação: 
- listas de exercícios (Até 30% da nota)
- provas (70% da nota)
LEMBRANDO
Livro texto para Cálculo Numérico: 
Marcia Ruggiero
Cálculo Numérico Aspectos Teóricos e Computacionais
Editora Mc Graw Hill
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Paramos em aritmética de ponto flutuante: norma de representação
Seja x um número qualquer na base β em aritmética de ponto 
flutuante de t dígitos:
x = ±(.d1 d2 ... dt)β× βe
Onde: (i) ±(.d1 d2 ... dt)β× βe é uma fração na base β
(ii) dj ∈{0,1,2,..., β-1} 
(iii) e ∈ [m, M]
(iv) t = número máximo de dígitos da mantissa 
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Um número não pode ser representado se o expoente “e” estiver 
fora dos limites m e M.
“Underflow” se e < m
“Overflow” se e > M
Números cuja representação em aritmética de ponto flutuante 
de t dígitos extrapolam os t dígitos da mantissa são 
armazenados por arredondamento ou por truncamento.
•truncagem: descartar todos os decimais a partir de 
um específico
•arredondamento: 
–para cima, descartado para > 5
–para baixo, descartado para < 5 0,57� 0,6
0,52� 0,5
0,57� 0,5
0,52� 0,5
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OverflowUnderflow718235.82
UnderflowUnderflow0.000000007
0.271×1010.272×1012.71828
-0.238×103-0.238×103-238.15
0.100×1020.101×10210.053
0.125×100.125×101.25
Representação 
por truncamento
Representação por 
arredondamento
x
Ex5: Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante cuja 
mantissa tenha t=3 dígitos, base β=10, m=-4 e M=4.
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Ex6: Dados x = 0.937×104 e y = 0.127×102, calcule x + y 
para um sistema em que t=4 e β=10.
x + y = 0.9370×104 + 0.0013×104 = 0.9383×104
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Estimativa de erros
• Definição de erro:
– ε = a - ã , onde 
– erro relativo:
• Tipos de erros:
– operações (truncagens e arredondamento)
– experimentais
ã = valor aproximado
a = valor verdadeiro (não conhecido)
ase
a
a
a
aa
a
r
r
~
~
)0(
~
<<ε
ε
≅ε
≠
−
=
ε
=ε
Na prática, ε
também não é
conhecido. Assim, 
devemos definir um 
valor limite para o 
erro: β ≥ | ε |
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Propagação de erros
• Seja y uma função das variáveis x1, x2, x3, ... xn, ou 
seja,
y = f (x1, x2, x3, ... xn )
• onde xi é uma medida com um erro experimental ∆xi, 
ou seja
xi = xi ± ∆xi
• O erro ∆y em y devido aos erros ∆xi das medidas de xi
pode ser obtido como:
....3
3
2
2
1
1
+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=∆ x
x
y
x
x
y
x
x
yy
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Ex7: Para determinar o período de oscilação de um sistema massa-mola, um aluno 
mediu a constante elástica da mola e a massa do bloco, encontrando:
m = (100,36 ± 0,03) g
e
k = (200,4 ± 0,7)x102 N/m
O período de oscilação do sistema é:
s
k
mT 210406,12 −×== pi
O erro ∆T no período será dado por
k
k
m
m
mk
k
k
T
m
m
TT ∆+∆=∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=∆ 3pi
pi
onde ∆m = 0,03x10-3 kg e ∆k=0,7 x 102 N/m
Substituindo esses valores na equação, obtém-se
∆T = 2,66 x10-5 s = 0,00266 x 10-2 s
T=(1,406 ± 0,003) x 10-2 s
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RAÍZES DE FUNÇÕES
Objetivo: Resolver f(x) = 0, isto é, encontrar números ξi tais 
que f(ξi)=0
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Fase I: isolar as raízes
Teorema de Cauchy-Bolzano: Seja f uma função contínua em 
[a,b]. Se f(a)×f(b) < 0 então existe pelo menos uma raiz ξ ∈ [a,b].
Teorema: Se f’preservar o sinal em [a,b] então a raiz ξ é única.
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Ex8: Isolar a(s) raíz(es) positiva(s) de f(x) = 2x – cos(x) = 0;
Processo I (Esboço do gráfico - varredura): Determinar um ponto 
inicial, um passo h e um ponto final de busca
Façamos a = 0, h=1, b = 10
20.84.........11.039.728.656.994.421.46-1f(x)
109876543210x
Conclusão: Há raiz ξ ∈ [0,1].
Como f’(x) = 2 + sen(x) > 0 ∀x ∈[0,1] então ξ é única.
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Processo II: Transformar f(x) = 0 em g(x) – h(x) = 0 e encontrar 
os pontos de interseção de g e h.
Ex8: Isolar a(s) raíz(es) positiva(s) de f(x) = 2x – cos(x) = 0;
Ex9: Isolar a(s) raíz(es) de f(x) = x + ln(x) = 0;
Resp.: ξ ∈ [0,pi/2].
Ex10: Isolar a(s) raíz(es) de f(x) = xln(x) - 1 = 0;
Resp.: ξ ∈ [? , ?].
Resp.: ξ ∈ [?, ?].
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Fase II: Refinar cada raiz
Diz-se que xk é uma “boa” aproximação para a raiz ξ se:
(i) |f(xk)| < ε
(ii) |xk - ξ| < ε
Sendo ε a tolerância máxima admissível.
Estes dois critérios não são equivalentes!
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|f(xk)| < ε, mas |xk - ξ| >> ε
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|xk - ξ| < ε, mas |f(xk)| >> ε
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Solução: Impor os dois critérios:
i) |f(xk)| < ε
ii) |xk - ξ| < ε
Como utilizar o segundo critério não se conhecendo ξ ?
Solução 1: Reduzir o intervalo [a,b] que contém a raiz até
que sua amplitude seja menor que ε, isto é, que b – a < ε.
Se b – a < ε ⇒ ∀xk ∈[a,b] tem-se: |xk - ξ| < b – a < ε
Obs.: Como um método numérico pode não convergir é comum 
impor um número máximo de iterações como critério adicional de 
parada.
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Solução 2: Aplicar o teorema:
TEOREMA: Sejam f e f’contínuas em [a,b]. Se f’preserva o sinal 
em [a,b] e se m=min|f’(x)| e M=max|f’(x)| para x ∈[a,b], então:
Além disso, se [a,b] é tão pequeno que M ≤ 2m então:
|xk - ξ| ≤ |xk – xk-1|
Conclusão: Para intervalo [a,b] suficientemente pequeno:
|xk – xk-1| < ∈ substitui |xk - ξ| < ∈
|xk – ξ| ≤ ((M-m)/m)|xk – xk-1| 
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Método da Bisseção
Idéia: Reduzir o intervalo que contém a raiz, dividindo-o ao 
meio a cada iteração.
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Método da Falsa Posição
Idéia: Tomar como aproximação x para a raiz ξ a média 
ponderada dos extremos do intervalo [a,b] com pesos |f(b)| e |f(a)| 
respectivamente.
Desta forma, x estará mais próximo do extremo cuja imagem for 
menor.
|)(||)(|
|)(||)(|
afbf
afbbfa
x
+
+
=
)()(
)()(
afbf
abfbaf
x
−
−
=
Simplificação:
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Método da Iteração Linear (ou Ponto Fixo)
• f(x) = 0 , a solução é o número x = s tal que f(s) = 0
• métodos iterativos:
iniciar com um valor tentativa xo, calcular 
iterativamente os valores x1, x2 ....
Ponto fixo:
transformar f(x) = 0 em x = g(x)
xo→ x1 = g(xo)
x1→ x2 = g(x1)
........
a solução da equação é o ponto 
fixo do processo xn+1 = xn = x*
Algoritmos 
estáveis e 
instáveis
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Exemplo:
013)( 2 =+−= xxxf 1 3
0,666667 3,333333
0,481481 4,0370370,410608 5,765889
0,389533 11,41516
0,383912 43,76863
0,382463 638,8975
0,382093 136063,7
0,381998 6,17E+09
3/)1( 21 +=+ nn xx
)13(1
n
n
x
x −=+
1 3
2 2,666667
2,5 2,625
2,6 2,619048
2,615385 2,618182
2,617647 2,618056
2,617978 2,618037
divergeconverge
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Teorema: sendo x=s uma solução de x=g(x) e supondo que g(x) tem 
uma derivada contínua no intervalo J que contém s;
então, se | g´(x) | <= k < 1 em J, o processo iterativo definido 
por xn+1 = g(xn) para qualquer xo em J é convergente.
1
0,5
0,64
0,644196
0,643491
0,643612
0,643591
Ex.:
f(x) = x3 + x - 1
22
21
)1(
||2|)(|
1
1)(
x
x
xg
x
xgx
n
nn
+
=
−
==+
&
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Método de Newton (Newton-Raphson)
f(x) tem uma derivada contínua f´(x)
Exigências para convergência:
(i) f’e f’’ devem preservar o sinal em [a,b] e não se anularem
(ii) x0 deve ser tal que f(x0)×f”(x0) > 0.
)(
)(
)()(
0
0
01
10
0
0
xf
xf
xx
xx
xf
xf
′
−=
−
=′=β
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Algoritmo para calcular a solução de f(x)=0, sendo dada a aproximação inicial xo . A função f(x) é 
contínua, bem como sua derivada f´(x). ε é a tolerância máxima e N é o número máximo de iterações 
 
Dados: f(x), f´(x), xo, ε, N 
 
Algoritmo NEWTON 
Entrada: f(x), f´(x), xo, ε, N 
Saída: solução aproximada xn (n ≤ N ) ou mensagem de erro 
 
For n = 0, 1, 2, 3 ......N 
Calcule f´(xn) 
 
If f’’(xn) = 0, then “Mensagem de erro” (procedimento malsucedido) 
Else: calcular x x
f x
f xn n
n
n
+ = −
′
1
( )
( ) 
If x xn n+ − ≤1 ε then “Raiz é” xn+1 ; STOP 
End 
“Mensagem de erro” ; STOP (não convergiu após N iterações) 
End NEWTON 
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