697132_notas de aula 1 - Fis. IV

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Equações de Maxwell (decorar) (atualizado em 13/09/2013)
1) 
 ou 
 Lei de Gauss para a eletricidade.
 O fluxo elétrico total 
, ou 
, que atravessa a superfície fechada 
 é proporcional à carga elétrica total 
, ou 
, dentro da superfície. Existe monopólo elétrico isolado.
2) 
 ou 
 Lei de Gauss do magnetismo.
O fluxo magnético total 
, ou 
, que atravessa a superfície fechada 
 é nulo. Não existe monopólo magnético isolado.
3) 
 ou 
 Lei de Faraday da indução.
A força eletromotriz induzida através de um circuito de área 
 é proporcional à variação temporal do fluxo magnético 
, ou 
 que atravessa o circuito definido pelas bordas da superfície 
.
4) 
 ou 
 Lei de Ampère-Maxwell.
Um campo magnético pode ser criado tanto por uma corrente elétrica de condução 
 quanto por uma variação temporal de um fluxo elétrico 
 através de um circuito que são as bordas da superfície 
. Defini-se 
 como sendo a corrente de deslocamento.
Exercício: justifique a corrente de deslocamento.
Solução: A lei de Ampère, sem a corrente de deslocamento 
, é incompatível com a equação da continuidade 
, sabidamente correta. Introduzindo a corrente 
 , não só restabelecemos a equação da continuidade como passamos a descrever os fenômenos eletromagnéticos temporais que ocorrem na natureza. Sem a corrente de deslocamento 
 só descrevemos os fenômenos magnéticos estáticos. A lei de Ampère é um caso particular da lei de Ampère-Maxwell.
 Exercício: Um capacitor plano está variando sua carga, devido a uma bateria ou a uma lâmpada que foi ligada a ele. Mostre que a corrente de condução 
, externa ao capacitor, é exatamente igual à corrente de deslocamento 
 entre as placas do capacitor, isto é, dentro do capacitor.
Solução: 
. Mas 
onde 
 e 
. Então, substituindo, vem 
.
Exercício. Mostre que após um capacitor atingir sua carga máxima, ou seja, após estar completamente carregado, tem-se 
. Solução: 
=0 pois 
 Também 
 pois 
 uma vez que 
 não varia no tempo à partir deste instante
Exercício. Considere um capacitor plano, de placas circulares de raio
, sendo carregado. Calcule o valor do campo magnético 
 produzido entre as placas do capacitor devido à variação do campo elétrico 
, para os seguintes casos: (a) 
 (b) 
 (c) 
 e 
.
Solução: Os vetores 
e 
 são perpendiculares entre si. Isto pode ser deduzido das equações de Maxwell e a experiência confirma este fato. Então, supondo o campo elétrico do capacitor perpendicular a esta folha de papel, o campo magnético estará no plano da folha. Explorando as simetrias existentes, percebe-se que o campo magnético apresenta linhas circulares concêntricas no centro do capacitor. Da equação de Maxwell-Ampère 
 nota-se que os dois membros da equação possuem sempre o mesmo sinal. Sabe-se que quando se escolhe o caminho de integração arbitrário 
 os vetores 
 ficam definidos através da regra da mão direita. Para uma escolha horária do caminho 
, tem-se 
 penetrando nesta folha de papel, devido a esta regra. Como os dois membros da equação têm sinais iguais então o vetor 
 tem sentido horário, para 
 penetrando nesta folha. Veja que se a escolha de 
 fosse anti-horária implicaria 
 saindo do papel e conseqüentemente 
 seria negativa, obrigando 
 ser também negativa. Isto implicaria 
 horário, coerente com a primeira escolha para a circulação, mostrando, portanto, que a escolha arbitrária da circulação não pode alterar o sentido verdadeiro de 
, que no caso do capacitor sendo carregado, com 
 penetrando neste papel, tem-se 
 horário sempre. Como exercício mostre que se o capacitor estivesse sendo descarregado, não importa a escolha do caminho de integração, o vetor 
 seria sempre anti-horário para 
 penetrando nesta folha de papel. Faça desenhos para o caso resolvido aqui, e também para o que estamos propondo.
(a) 
 ou 
. Assim tira-se 
 com o valor 
 para 
. 
(b) 
 ou 
. Assim determina-se o valor de 
 como sendo 
 para 
.
(c) 
.
Exercício. Usando o enunciado do exercício anterior calcule a corrente de deslocamento. Resposta 0,0699 A. Calcule o valor do campo magnético à 5 cm do fio, mas longe do capacitor, usando o resultado conhecido de Ampère, 
. Veja que o valor é 
. Isto é o que você esperava?
PRIMEIRA PROVA 1: Considere a lei de Gauss na forma 
. Use a lei de Ampère-Maxwell 
 duas vezes: uma na parcela aberta de superfície 
 e outra vez na parcela aberta 
, para o mesmo caminho de integração 
. 
Definindo
 veja que 
 e 
. 
Use isto nas duas equações obtidas. Em seguida subtraia 
a equação 2 da equação 1. O resultado será o seguinte: 
 
. Olhe então
 para a equação acima e para a lei de Gauss, e veja que ela
 é exatamente a equação da continuidade 
. Se não (atualizado em 13/02/2011 ) 
 fosse levada em conta a corrente de deslocamento 
 chegaríamos ao resultado falso 
.
Exercício. Mostre que 
. Demonstre que isto é válido para o capacitor plano. Saiba que a 
relação é válida para um caso geral. Você seria capaz de demonstrá-la para o caso geral?
Exercício. Aplica-se 
 num capacitor de placas circulares de área 
. (a) Mostre que 
. Suponha, para os próximos itens, que 
, 
, 
 e 
. (b) Mostre que a separação entre as placas é 
 (c) Usando a definição de 
 ache 
 e 
. (d) Mostre que o raio R das placas do capacitor é 
 (e) Mostre ainda que 
em pontos onde 
 
 Ondas Eletromagnéticas 
 A equação de onda em três dimensões é 
, onde 
é a função de onda que depende da posição 
e do tempo 
. Pode-se mostrar que 
 tem a forma única 
. Para ondas eletromagnéticas, propagando-se no vácuo, basta trocar 
 por 
, onde 
. Se a onda puder ser aproximada para uma onda plana, a equação de onda adquire a forma mais simples seguinte: 
. Se a onda for de natureza eletromagnética, então 
 representa um campo magnético 
 ou um campo elétrico 
. Em 
, para campos variando senoidalmente, as formas de 
 e de 
 poderiam ser 
 e 
, por exemplo. Pode-se mostrar que estas duas funções de onda, para 
 e para 
, satisfazem realmente a equação de onda. Verifique isto. O argumento da função 
 representa uma onda plana progredindo no sentido ox positivo quando o sinal do argumento for negativo e, caminhando no sentido negativo do eixo ox (digamos para a esquerda) quando o sinal do argumento for positivo. Podemos verificar isto, pois a fase 
é constante para uma onda sem dissipação. Portanto 
. Daí 
 ou 
. Já se tivermos 
constante, então 
 ou seja 
. Veja isto, explicitamente, fazendo o problema 9.
PRIMEIRA PROVA 2 : Escreva a função 
 na forma 
, onde 
, e usando a regra da cadeia para as derivadas, a saber: 
ou 
 e mostre que a função de onda 
 ou 
satisfaz a equação de onda. Para isto basta derivar 
 duas vezes em relação ao tempo, depois duas vezes em relação à 
 (usando a regra da cadeira para não sofrer muito) e levar estas contas na equação de onda.
Exercício: Define-se o número de onda 
, onde o comprimento de onda 
 pode ser calculado pela relação geral 
 ou 
. A grandeza 
é o período da onda e 
é sua freqüência linear, dada em 
. A freqüência angular é definida por 
e dada em radianos por segundo. Com estas relações em mãos demonstre que 
. 
Exercício: Usando as equações de Maxwell, aplicadas a uma onda senoidal unidimensional, prove as importantes relações: 
; 
; 
. Combinando estas duas últimas relações obtenha a importante equação de onda: 
�� EMBED Equation.3 
Exercício: Define-se média de uma grandeza 
, em relação à uma das variáveis de seu argumento, através da relação seguinte:
. Já o valor médio quadrático (rms) ou valor eficaz,é definido por 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 . Portando, é fácil ver e guardar que: 
.
Exercício: Define-se o vetor de Poynting 
. Mostre que o valor médio deste vetor, denominado intensidade 
, pode ser calculado por 
. Sua unidade SI é o 
Integrais importantes: 
 
. 
1) Calcule o valor do campo magnético criado por um capacitor plano quando está sendo descarregado através de uma lâmpada. Defina os parâmetros que se fizerem necessários ao cálculo. Faça também um desenho da situação. Veja notas de aula 1.
2) A 
 de uma lâmpada verifica-se 
. (a) Mostre que a potência da lâmpada vale 
e calcule o valor máximo do campo magnético, criado pela lâmpada, a 
 dela. (b) Ache o valor eficaz do campo elétrico à 
 da lâmpada. Resp. 
 
. (Veja também os problema 29 e 28)
3) Considerando que o valor médio de uma função 
 é, de forma completa e rigorosa definido por 
 (a) mostre que o valor médio da função seno no semi-ciclo positivo é 
 e no semi-ciclo negativo é 
. Mostre que para o ciclo completo o valor médio da função seno ou cosseno é nulo. (b) Para degustar mais um pouco, mostre que o valor médio da função 
, entre os limites zero e 
, é 
. (c) Finalmente, mostre que 
 
4) Partindo da definição geral para o vetor de Poynting 
 e lembrando que intensidade 
 mostre que 
 onde 
 e 
 são os valores eficazes do campo elétrico e do campo magnético, respectivamente. 
Pista: Suponha logo no início que 
 e 
, por exemplo. Isto não deixará a solução menos geral, pode acreditar. (Em alguma nota de aula anterior pediu-se para fazer este mesmo exercício?)
5) Sejam 
 e 
duas ondas de radar propagando-se no sentido positivo de uma estrada 
 reta. Particularize que as fontes oscilem fora de fase, estando a fonte 1 adiantada de 
em relação à fonte 2. Coloque a primeira fonte na origem do eixo 
 e a segunda em 
. Cada fonte emite o mesmo comprimento de onda 
. Coloque um detector além da fonte 2, sobre 
. (a) Calcule a diferença de fase das duas ondas, no detector. Pista: Dê primeiro uma solução gráfica: Desenhe as duas ondas sobre o eixo 
 para um instante qualquer; por exemplo, quando a fonte 1 emite um máximo. Claro que neste mesmo instante a fonte 2 estará em zero de amplitude. É fácil verificar que a partir da fonte 2 as duas ondas seguem em fase. Agora resolva o problema analiticamente. Para isto basta impor 
�� EMBED Equation.3 que é a diferença de fase entre as duas ondas num instante 
 e num ponto 
 Resolva esta equação para 
;
;
e encontrará 
Estas são as condições iniciais. Resolva novamente para 
;
e encontrará 
 como na solução gráfica. Finalmente resolva para 
, num ponto 
 porém maior que 
, e encontrará sempre 
 Notou que trocamos 
 (na realidade 
) por 
na equação original da segunda fonte? Por quê isto é necessário?
 
6) Escreva a expressão matemática correspondente a cada uma das quatro equações de Maxwell e diga o significado de cada um dos dois membros de cada equação.
7) Escreva a expressão matemática de cada relação contatada até agora em Física IV. Explique o significado de cada termo que aparece em cada equação e dê suas respectivas unidades SI.
8) Refaça o caderno em detalhes, demonstrando todas as passagens que nele aparecem. Leia o seu livro texto. Estude em seu livro texto ou em um outro que você melhor se adaptar.
Exercícios complementares
9) Considere as funções seguintes:
 I) 
 ; para 
 III) 
 ; para 
 II) 
; para 
 IV) 
; para 
 e 
a) Para cada uma delas desenhe o pulso correspondente em 
. Para tal construa uma tabela de 
 em função de 
. Serão, então, quatro figuras gráficas.
b) Em cima de cada figura gráfica anterior, refaça o que se pediu no item (a), porém agora, no instante 
 para as três primeiras e em 
 para a última. Finalmente identifique quais pulsos se movem para a direita, e quais para a esquerda, e verifique suas correspondentes velocidades.
10) (a) Mostre matematicamente ou dê argumentos físicos de que a função 
 descreve um pulso, porem ele se deforma no espaço à medida que o tempo passa. Um modo de ver isto é desenhar o pressuposto pulso em instantes diferentes. (b) Esta é uma classe de pulsos ou ondas que nos interessam no momento? 
 Resp. (b) Não. Estamos interessados em pulsos ou ondas que mantêm sua forma. 
 
11) Prove, para ondas harmônicas periódicas, que 
 , ou seja, que 
. Para isto basta usar as relações seguintes: 
 ; 
; 
 
12) Considere duas ondas planas descritas pelas funções: 
 e 
. Mostre que a composição analítica das duas ondas resulta na onda estacionária 
. Note que a amplitude da onda resultante é 
 e varia ao longo do eixo ox. Impondo 
, mostre que em 
... formam-se nós. Se impuséssemos 
 o que os x encontrados definiriam? Desenhe a onda estacionária para alguns diferentes instantes; por exemplo: 
. Pista: use 
 
 
13) Sejam duas ondas planas descritas pelas funções 
 e 
. As duas ondas propagam-se sobre o mesmo eixo ox. Fazendo a diferença de fases entre as ondas 
, mostre que a função 
descreve a onda resultante. Nela fizemos 
. Qual a expressão para a amplitude 
 da onda resultante? (b) A onda resultante é estacionária? Resp. (a)
 (b) não. Use: 
 
 14) Sejam, 
, as equações do campo elétrico de um feixe luminoso proveniente de um laser. (a) Escreva a expressão literal do vetor campo magnético 
 associado a este feixe luminoso. (b) Represente, num sistema de coordenadas oxyz , os vetores 
, 
 e 
. 
 Resp. (a) 
15) Uma antena de microondas emite uma potência de 
. Para fazer acender uma lâmpada fluorescente é necessário um campo elétrico eficaz da ordem de 
 A que distância máxima da antena pode-se colocar a lâmpada, de modo que ela ainda se acenda? Resp. 60 m 
16) Considere os vetores 
 e 
, de uma onda eletromagnética plana, variando senoidalmente. (a) Para cada um dos 5 casos seguintes represente, num ponto do sistema de eixos oxyz , os três vetores do conjunto 
, onde dois deles são dados. (b) Entre as diferentes variações, escreva uma forma possível para a função de onda para os campos 
 e 
. 
1) 
 
2) 
 
3) 
 
4) 
5) 
 Resp. (b) 1 
 
 pois 
 
 2 Faça você. 
 3 
 
 pois 
 4 Faça. 
 5 
 
 onde 
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 Prof. Mozart 
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