Trigonometria no Triângulo Retângulo e no Ciclo Trigonométrico

Prévia do material em texto

Profª Lucia Galuch Trigonometria Página 1 
 
Trigonometria 
Trigonometria no triângulo Retângulo 
O triângulo é a figura mais simples e uma das mais importantes da Geometria, ele é 
objeto de estudos desde os povos antigos. O triângulo possui propriedades e definições 
de acordo com o tamanho de seus lados e medida dos ângulos internos. 
Quanto aos lados, o triangulo pode ser classificado da seguinte forma: 
Equilátero: possui os lados com medidas iguais. 
Isósceles: possui dois lados com medidas iguais. 
Escaleno: possui todos os lados com medidas diferentes. 
Quanto aos ângulos, os triângulos podem ser denominados: 
Acutângulo: possui os ângulos internos com medidas menores que 90º. 
Obtusângulo: possui um dos ângulos com medida maior que 90º. 
Retângulo: possui um ângulo com medida de 90º, chamado ângulo reto. 
 
No triângulo retângulo existem algumas importantes relações, uma delas é o Teorema de 
Pitágoras, que diz o seguinte: “A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado 
da hipotenusa”. Essa relação é muito importante na geometria, atende inúmeras situações 
envolvendo medidas. 
As relações trigonométricas existentes no triângulo retângulo admitem três casos: seno, 
cosseno e tangente. 
 
Vamos determinar as relações de acordo com o triângulo BAC com lados medindo a, b e 
c. 
 
 seno B = b/a seno C = c/a 
 cosseno B = c/a cosseno C = b/a 
 tangente B = b/c tangente C = c/b 
 
 
Profª Lucia Galuch Trigonometria Página 2 
 
A trigonometria possui diversas aplicações no cotidiano, abrange áreas relacionadas à 
Astronomia, Física, Geometria, Navegação entre outras. 
Por Marcos Noé 
Graduado em Matemática 
 
Exemplos aplicativos: 
1. Uma escada de 10 metros é apoiada em um muro, formando com o chão um 
ângulo de 20º. Calcule a altura do muro. 
 
2. Uma pessoa está a 30 metros de um edifício e vê o ponto mais alto desse prédio 
sob um ângulo de 60º. Sem levar em conta a altura do observador, calcular a altura 
do edifício. 
 
3. Uma pessoa em uma torre de observação vê um barco sob um ângulo de 
depressão de 7º. Sabe-se que a torre tem 20 metros e está colocada em um 
rochedo de 30m de altura. Qual é a distância do barco até o rochedo neste 
instante? 
 
 
 
 
4. O ângulo de elevação do pé de uma árvore, a 50m da base de uma encosta, ao 
topo da encosta é de 60º. Que medida deve ter um cabo que ligue o pé da árvore 
ao topo da encosta? 
 
 
 
 
5. Em certa hora do dia, uma árvore projeta uma sombra de 9,2 m de comprimento. 
Sabendo-se que nesse momento os raios do Sol estão inclinados 30º em relação 
ao solo em que a árvore está plantada, qual a altura da árvore? 
 
 
 
 
6. Um avião está a 7000m de altura e inicia a aterrissagem, em aeroporto ao nível do 
mar. O ângulo de descida é 6º. A que distância da pista está o avião? Qual é a 
distância que o avião vai percorrer? 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Lucia Galuch Trigonometria Página 3 
 
r
senC
c
senB
b
senA
a
2
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO QUALQUER 
 
Leis dos Senos : Em qualquer triângulo ABC, as medidas dos lados são proporcionais aos 
senos dos ângulos opostos. 
 
 Calcular x no triângulo abaixo: 
 
 45º x 
 120º 
 12 
Lei dos Cossenos 
 
b² = a² + c² - 2ab.cos B c² = a² + b² - 2ab.cos C 
Exemplo: 
Dado o triângulo ABC abaixo, calcular c: 
 B 30º a 
 c 120º 
 A 20 C 
Para a escolha de uma fórmula na resolução de determinado problema, podemos adotar 
o seguinte critério: 
 Dados dois ângulos e um lado: lei dos senos 
 Dados dois lados e um ângulo formado por esses lados: lei dos cossenos 
 
Exemplos 
 
1) Calcular x no triângulo abaixo: 
 B 
a) 120º 
 12 
 A 45º C 
 x 
 
b) Dois lados de um triângulo medem, respectivamente, 8 e 12 e formam entre si um 
ângulo de 120º. Calcule o terceiro lado. 
 
 
Área de Qualquer Triângulo: É igual ao semiproduto de dois dos seus lados multiplicado 
pelo seno do ângulo formado por eles. 
2
.. senCba
A 
 
 
 
Profª Lucia Galuch Trigonometria Página 4 
 
TRIGONOMETRIA NO CICLO TRIGONOMÉTRICO 
 
A palavra Trigonometria vem do grego (tri+gonos+metron), que significa 
três+ângulos+medidas e nos remete ao estudo dos lados, ângulos e outros elementos 
dos triângulos. A circunferência toda mede 360 º. 
 
Definições: 
1. Grau (º) é um arco unitário igual a 1/360 da circunferência que contém o arco a ser 
medido. 
 
2. Radiano (rad) é um arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que 
contém o arco a ser medido, isto é, corresponde a 1/2π da circunferência. 
 
3. Grado (gr) é um arco unitário igual a 1/400 da circunferência. 
 
Um ângulo pode ser medido em graus ou radianos. Como existem 2 π radianos em um 
círculo (lembre-se de que o comprimento de uma circunferência é igual a 2 π r), temos as 
seguintes relações: 
 2 π = 360º ; π = 180º ; π/2 = 90º 
(π é um nº irracional cujo valor é 3,14159....) 
 
Podemos então, por meio de uma regra de três, exprimir qualquer ângulo em radianos e 
vice-versa. 
 
Exemplos: 1) Vamos exprimir 160º em radianos. 
 
 
2) Vamos exprimir 5 π / 6 rad em graus. 
 
 
3) Exprimir em radianos: 
a) 45º b) 135º c) 300º 
 
 
4) Exprimir em graus: 
a) 7π/4 rad b) 5π/3 rad c) 11π/6 rad 
 
 
 
Ciclo trigonométrico: é um ciclo no sentido anti-horário (sentido positivo); sua origem é o 
ponto A; o centro da circunferência coincide com a origem do sistema cartesiano 
ortogonal; o raio da circunferência é igual a 1 unidade; os eixos dividem o círculo em 4 
quadrantes. 
 
 
 
Profª Lucia Galuch Trigonometria Página 5 
 
Funções trigonométricas ou circulares 
 
 
 
 
 
Função Seno 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico (Senóide) f(x) = sen x 
 
 
 
 
 
 
 
α Sen α 
0 0 
π/2 1 
π 0 
3π/2 -1 
2π 0 
 
 
Profª Lucia Galuch Trigonometria Página 6 
 
Função Cosseno: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico (cossenóide) f(x) = cos x 
 
Função Tangente 
 
 
 
α cos α 
0 1 
π/2 0 
π -1 
3π/2 0 
2π 1 
α tg α 
0 0 
π/2 
π 0 
3π/2 
2π 0 
 
Profª Lucia Galuch Trigonometria Página 7 
 
1²cos2  xxsen
x
xsen
xtg
cos

xsen
x
x
cos
cot 
Função cotangente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função Secante 
 
 
 
Função Cossecante 
 
 
 
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
As relações entre os valores dasfunções trigonométricas de um mesmo arco são 
denominadas relações trigonométricas. 
a) c) e) 
xsen
x
1
seccos 
 
b) d) 
x
x
cos
1
sec 
 
 
 
Profª Lucia Galuch Trigonometria Página 8 
 
Outras relações trigonométricas 
 
xtgx ²1²sec 
 
xgx ²cot1²seccos 
 
Exemplo: 
1) Sabendo que x є 2º Q e sen x = 0,5, determinar as demais funções. 
 
2) Calcular 
xsenx
xx
y



seccos
cossec
, sabendo que tg x = 2 
 
3) Simplificar a expressão: (1 + cotg2 x ) ( 1 – cos2 x) 
 
 
 
4) Provar que a igualdade seguinte é verdadeira, qualquer que seja x para o qual está 
definida 
 
a) cos x . tg x . cossec x = 1 
 
b) 
xtgxxtg 222 1seccos. 
 
 
c) 
1
sec
cos
seccos

x
x
x
senx
 
 
 
d) 
xsen
x
x 2
sec
cos
1 
 
 
Fórmulas de Adição e Subtração de Arcos 
 
cos(a – b) = cosa . cosb + sena . senb cos(a + b) = cosa . cosb – sena . senb 
 
sen(a – b) = sena . cosb – senb . cosa sen(a + b) = sena . cosb + senb . cosa