aprovar_ano04_modulo03_apostila18_completa

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Ponte Rio 
Niterói, 13
,9km e 2
10 mil me
tros quadra
dos
de concreto 
e asfalto em
 equilíbrio 
sobre a Baí
a da Guan
abara
A macaxeira é fonte de alimentação e geração de rendapara milhares de famílias de ribeirinhos na Amazônia
•• Matemática – Funções
trigonométricas
pg. 02
•• Matemática – Operações com
arcos
pg. 04
•• Física – Equilíbrio de corpos
pg. 06
•• Física – Hidrostática
pg. 08
•• Português – Concordância
nominal I
pg. 10
Funções trigonométricas
1. Introdução
Funções trigonométricas na circunferência
trigonométrica
Consideremos uma semi-reta OA, tal que o
comprimento do segmento OA seja unitário.
Escolhemos também um referencial cartesiano
tal que o semi-eixo x positivo coincida com a
semi-reta OA, e o semi-eixo y positivo seja
obtido girando a semi-reta OA no sentido anti-
horário, de 90° ou π/2 radianos.
Dado um número real x, associamos a ele o
ponto P=P(x) no círculo unitário, de tal modo
que o comprimento do arco AP é x unidades de
medida de comprimento, ou seja, a medida do
arco AP é x radianos. Também podemos dizer
que o arco AP e, portanto, o ângulo central AÔP
tem (180 – x)°.
––––––––
π
Definimos as funções seno, cosseno e tangente
do número real x da seguinte maneira:
cos x: é a abscissa de P
sen x: é a ordenada de P
senx
tgx = ––––––– , se cosx ≠ 0
cosx
Desse modo, dado um número x real, fica
determinado, na circunferência trigonométrica, o
ponto: P=P(x)=(cos x, sen x).
Como conseqüência das definições de sen x,
cos x e tg x, temos que: 
• P(0)= A =(1,0) e, portanto, cos 0 = 1,
sen 0 = 0, tg 0 = 0.
• P(π/2)= (0,1) e, portanto, cos π/2 = 0,
sen π/2=1, enquanto tg π/2 não existe, pois
cos π/2= 0.
Propriedades: 
i) sen(π/2 + x)=cos x e cos(π/2 + x)=–senx; 
ii) sen(π – x)=sen x e cos(π – x)=–cosx;
iii) sen(π + x)=–sen x e cos(π + x)=–cosx;
iv) sen(2π – x)=–sen x e cos(2π – x)=cosx;
v) sen(2π + x)=sen x e cos(2π + x)=cosx.
Função Seno
Consideremos a função f(x)=sen x. Cada ponto
do gráfico é da forma (x, senx), pois a ordenada
é sempre igual ao seno da abscissa, que é um
número real que representa o comprimento do
arco em u.m.c. ou a medida do arco em
radianos.
unidade de medida de comprimento
O gráfico dessa função é o seguinte:
O domínio da função seno é IR e a imagem é o
intervalo [-1,1].
Trata-se de uma função de período P=2π. 
Agora, queremos descobrir como é o gráfico de
uma função seno mais geral, y=a.sen(bx+m)+k,
quando comparado ao gráfico de y=sen x, a
partir das transformações sofridas pelo gráfico
dessa função.
Função co-seno
Consideremos a função f(x)=cosx. Cada ponto do
gráfico é da forma (x, cosx), pois a ordenada é
sempre igual ao cosseno da abscissa, que é um
número real que representa o comprimento do
arco em u.m.c. ou a medida do arco em radianos.
unidades de medida de comprimento.
O gráfico dessa função é o seguinte:
O domínio da função co-seno é IR e a imagem é
o intervalo [-1,1].
Trata-se de uma função limitada e periódica de
período P=2π. 
Agora, queremos descobrir como é o gráfico de
uma função co-seno mais geral,
y=a.cos(bx+m)+k, quando comparado ao
gráfico de y= cos x, a partir das sofridas pelo
gráfico dessa função. 
Consideremos a função f(x)= cos x. Cada ponto
do gráfico é da forma (x, cos x), pois a
ordenada é sempre igual ao cosseno da
abscissa, que é um número real que representa
o comprimento do arco em u.m.c. ou a medida
do arco em radianos.
unidades de medida de comprimento.
O gráfico dessa função é o seguinte:
O domínio da função co-seno é IR e a imagem é
o intervalo [-1,1].
Trata-se de uma função limitada e periódica de
período P=2π.
Agora, queremos descobrir como é o gráfico de
uma função co-seno mais geral,
y=a.cos(bx+m)+k, quando comparado ao
gráfico de y= cos x, a partir das sofridas pelo
gráfico dessa função.
Aplicações
(UFMG) Calcular o valor da expressão 
9π 13π
sen –––– + sen –––––
4 2
Solução:
2. Equações Trigonométricas
Introdução
Equação trigonométrica elementar, é qualquer
equação da forma senx = sena, cosx = cosa e
tgx = tga, onde x é um arco trigonométrico
incógnita – a ser determinado – e a um arco
trigonométrico qualquer.
2
Caro estudante,
Chegamos ao número 18 e nos aproxima-
mos da marca de 2 milhões de apostilas
distribuídas. Se você está incluído entre os
mais de 30 mil finalistas do Ensino Médio
da rede pública de ensino, não esqueça de
retirar a apostila do Aprovar na sua escola,
seja na capital, seja no interior. Todas as
edições do primeiro e segundo módulos do
projeto estão nas secretarias.
As apostilas também estão disponíveis na
internet, nos endereços www.uea.edu.br e
www.linguativa.com.br. Acompanhar as
aulas a partir da apostila é importante,
pois ela serve de apoio para as aulas que
são veiculadas de segunda a sábado, pela
televisão (TV Cultura, Amazonsat e RBN)e
pelo rádio (Rio Mar, Seis Irmãos do São
Raimundo, Panorama de Itacoatiara,
Difusora de Itacoatiara, Comunitária Pedra
Pintada de Itacoatiara, Santo Antônio de
Borba, Estação Rural de Tefé, Indepen-
dência de Maués, Rádio Cultura).
Simuladão – A data do primeiro Simulado
do Aprovar já está definida. Será no 28 de
abril, em 13 escolas estaduais da capital e
em todos os municípios do interior. Durante
a prova, serão explorados os conteúdos
das disciplinas referentes aos dois primeiros
módulos: Língua Portuguesa, Literatura
Brasileira, História e Geografia. A entrada é
gratuita e você ainda confere o seu desem-
penho logo após o teste. As respostas e
comentários dos professores serão exibidos
em telões instalados nos locais de prova.
Definitivamente incorporado à vida estudan-
til do Amazonas, o Aprovar segue com
ótimos índices no vestibular da UEA. Nos
últimos três anos, aproximadamente 2 mil
alunos aprovados no concurso afirmaram
ter estudado pelo Aprovar.
Em 2006, por exemplo, das 3.709 vagas
oferecidas, 600 foram preenchidas por
alunos que estudaram pelo Aprovar, o que
representa um índice de aprovação de
16%. Na primeira etapa, o índice de apro-
vação foi de 19%. Dos 8.815 estudantes
que informaram ter estudado pelo Aprovar,
1.729 foram classificados para a segunda
etapa. 
Em 2007, você pode fazer parte desta
estatística. Ainda temos uma longa jornada
até o vestibular. Portanto, é hora de
estudar. Retire a apostila em sua escola,
ou no PAC mais próximo de sua casa.
Você ainda pode consultar e imprimir
números anteriores pela internet
(www.uea.edu.br e www.linguativa.com.br).
Vamos em frente!
Simuladão do
Aprovar no dia
28 de abril
Matemática 
Professor CLÍCIO 
Via de regra, qualquer equação trigonométrica
não elementar, pode ser transformada numa
equação elementar, por meio do uso das
relações trigonométricas usuais.
Nota: os arcos a e a + k.2ππ onde k é um
número inteiro, possuem as mesmas
extremidades inicial e final, pois diferem entre si,
por um número inteiro de voltas, ou seja:
a + k.2ππ – a = k.2ππ
Observação: 2π=360°= uma volta completa.
Para a solução das equações trigonométricas
elementares, vamos estabelecer as relações
fundamentais a seguir:
Arcos de mesmo seno
Já sabemos que sen(π – a) = sena. 
Usando o conceito contido na nota acima,
sendo x um arco trigonométrico, as soluções
gerais da igualdade acima serão da forma:
x = (π – a) + k.2π ou x = a + k.2π. 
x = π + 2k.π – a ou x = a + k.2π
x = (2k + 1)π – a ou x = 2kπ + a
Portanto, a solução genérica de uma equação
do tipo senx = sena, será x = (2k + 1)π – a ou
x = 2kπ + a.
Exemplo: 
Seja a equação elementar sen x = 0,5. 
Como 0,5 = sen 30° = senπ/6, vem, utilizando o
resultado geral obtido acima: senx = sen π/6, de
onde conclui-se:
x = (2k + 1).π – π/6 ou x = 2kπ +π/6, com k
inteiro, que representa a solução genérica da
equação dada. Fazendo k variar no conjunto
dos números inteiros, obteremos as soluções
particulares da equação.
Assim, porexemplo, fazendo k = 0, obteremos
por mera substituição na solução genérica
encontrada acima, x = – π/6 ou x = π/6; fazendo
k = 1, obteremos x = 17π/6 ou x = 13π/6, e
assim sucessivamente. Observe que a equação
dada, possui um número infinito de soluções em
IR.
Poderemos escrever o conjunto solução da
equação dada na forma geral:
S = {x|x∈R; x =(2k + 1)π – π/6 ou
x = 2kπ + π/6, k ∈ Z}
Poderemos também listar os elementos do
conjunto solução:
S = { ..., –π/6, π/6, 17π/6, 13π/6, ... } 
Arcos de mesmo co-seno
Já sabemos que cos (-a) = cos a.
Poderemos escrever para as soluções gerais da
igualdade acima:
x = (–a) + 2kπ ou x = a + 2kπ, sendo k um
número inteiro.
Portanto, a solução genérica de uma equação
do tipo cosx = cosa, será dada por:
x = 2kπ + a ou x = 2kπ – a, sendo k um inteiro.
Aplicações
(UEA) Resolva a equação trigonométrica
cos 3x = –1, no intervalo 0< x < 2π.
Solução:
cos a = –1, então a = π .
Porém a = 3x. Então 3x = π
Logo x = π/3
3. Inequações Trigonométricas
Quando encontramos função trigonométrica da
incógnita ou função trigonométrica de alguma
função da incógnita em pelo menos um dos
membros de uma inequação, dizemos que esta
inequação é trigonométrica.
Exemplos:
1) sen x >1/2 e sen2x+tgx ≤ 2 são inequações
trigonométricas.
2) ( sen 30°) . (x2 – 1) > 0
Resolver uma inequação como f(x) < g(x), por
exemplo, significa determinar o conjunto S dos
números s, sendo s elementos do domínio de f
e de g, tais que f(s) < g(s).
O conjunto S é chamado de conjunto solução
da inequação e todo elemento de S é uma
solução da inequação.
Assim, na inequação sen x >–1/2, os números
0, π/4, π/2 são algumas de suas soluções e os
números 5π/4 e 3π/2 não o são.
Resolução de inequação trigonométrica
Quase todas as inequações trigonométricas,
quando convenientemente tratadas e
transformadas, podem ser reduzidas a pelo
menos uma das inequações fundamentais.
Vamos conhecê-las, a seguir, por meio de
exemplos.
1.° caso : senx < sena (senx ≤ sena)
Por exemplo, ao resolvermos a inequação
senx < senπ/6 ou senx < 1/2 encontramos,
inicialmente, 0 ≤ x ≤ π/6 ou 5π/6 <x ≤ 2π, que é
uma solução particular no intervalo [0;2].
Acrescentando 2k(k∈Z) às extremidades dos
intervalos encontrados, temos a solução geral
em IR, que é:
2kπ ≤ x < π/6 + 2kπ (k∈Z) ou
5π/6 + 2kπ < x ≤ 2π + 2kπ (k∈Z) 
O conjunto solução é, portanto:
S={x∈IR/2kπ ≤x<π/6 + 2kπ ou 
5π/6 + 2kπ< x ≤2π+2kπ (k∈Z)}
Por outro lado, se a inequação fosse
senx ≤ sen π/6 ou senx ≤ 1/2, então, bastaria
incluir as extremidades de π/6 e 5π/6 e o
conjunto solução seria:
S={x∈IR/2kπ ≤x<π/6 + 2kπ≤ x ≤2π+2kπ (k∈Z)}
Aplicações
(UFAM) Resolva a inequação trigonométrica
sen x > 1/2, para 0 < x < 2π.
sen x > 1/2 ⇒ π/6 < x< 5π/6
Observe o gráfico abaixo:
S={x∈IR/ π/6 < x< 5π/6}
3
01. Calcule o valor de sen 7π/2:
a) 1
b) –1
c) 2
d) –2
e) 3
02. Foram feitos os gráficos das funções
f(x) = sen4x e g(x)= x/100, para x no
intervalo [0, 2π[. Determine o número
de pontos comuns aos dois gráficos.
a) 6 b) 4 c) 9
d) 7 e) 8
03. Calcule o valor da expressão:
sen 330° + sen(–450°)
–––––––––––––––––––––– .
tg120°.cotg(–210°)
a) –1/2 b) 1/2 c) 1/3
d) –1/3 e) 1
04. Sendo x um ângulo do primeiro
quadrante e tgx = 3, calcule senx.
a) b) c)
d) e) 
05. Dado cos x = –1/2, com π/2 < x < π,
determine secx.
a) 2 b) 1 c) 3
d) –2 e) –1
06. Sendo senx = 1/3, com 0 ≤ x ≤ π/2,
calcule:
senx . cosx – tgx
y = ––––––––––––––– .
1 – cosecx
a) b) c)
d) e) 
07. Calcule m, de modo que se tenha,
simultaneamente, 
senx = e cos x = .
a) m = 0 b) m = 1 c) m = 2
d) m = –1 e) m = 3
1
08. Sabendo que 2tg2x + ––––––– = 1
cotgx
e que x ∈ ]π/2, π[, calcule o valor de
A, sendo A = sen x + cos x.
a) 3 b) 6 c) 1
d) 2 e) 0
09. Sendo cosx = 1/m e senx= ,
determine m.
a) { 1, 2 }
b) { –1, 3 }
c) { –2, 3 }
d) { –1, 2 }
e) { 2, 3 }
Desafio
Matemático
Operações com arcos
1. Adição e Subtração de arcos
Cosseno da diferença de arcos
Considere a figura abaixo que representa uma
circunferência trigonométrica (centro na origem
O(0,0) e raio unitário). Sejam a e b dois arcos
trigonométricos com a > b.
Temos o arco PB de medida b e o arco PA de
medida a. Nestas condições, podemos concluir
que o arco BA tem medida a – b.
Pelo teorema dos cossenos, sabemos que em
qualquer triângulo, o quadrado da medida de
um lado é igual à soma dos quadrados das
medidas dos outros dois lados, menos o dobro
do produto desses lados, pelo cosseno do
ângulo que eles formam.
Assim, na figura acima, poderemos escrever,
pelo teorema dos cossenos, para o triângulo
OAB:
AB2 = OB2 + OA2 – 2. OB . OA . cos(a – b).
(Equação 1)
Ora, OB = OA = 1 (raio do círculo trigonométrico,
portanto, unitário).
AB = distancia entre os pontos A(cosa,sena) e
B(cosb,senb).
Já vimos nesta página, a fórmula da distancia
entre dois pontos; se você não se lembra, revise
os textos sobre geometria analítica. Assim,
substituindo os elementos conhecidos na
fórmula acima (equação 1), vem:
(cosa – cosb)2 + (sena – senb)2 = 12 + 12 –
2.1.1.cos(a – b)
Desenvolvendo, vem:
cos2a – 2.cosa.cosb + cos2b + sen2a –
2.sena.senb + sen2b=
= 2 – 2cos(a – b)
Lembrando que cos2a + sen2a = cos2b + sen2b
= 1 (Relação Fundamental da Trigonometria),
vem, substituindo:
1+1 – 2cosa.cosb – 2sena.senb=2 – 2cos(a–b)
Simplificando, fica:
-2[cosa.cosb + sena.senb] = –2.cos(a – b)
Donde finalmente podemos escrever a fórmula
do cosseno da diferença de dois arcos a e b:
cos(a – b) = cosa . cosb + sena . senb
Exemplo:
cos(x – 90°) = cosx . cos90° + senx . sen90°
Ora, como já sabemos que cos90° = 0 e
sen90° = 1, substituindo, vem finalmente:
cos(x – 90°) = senx.
Se fizermos a = 0° na fórmula do cosseno da
diferença, teremos:
cos(0 – b) = cos0 . cosb + sen0 . senb
E como sabemos que cos0 = 1 e sen0 = 0,
substituindo, fica:
cos(– b) = cosb
Portanto:
cos(–60°)=cos60°=1/2, cos(–90°)=cos90°=0,
cos (–180°) = cos 180° = –1, etc.
Se considerarmos a função y = cosx, como
cos(–x ) = cosx , diremos então que a função
cosseno é uma função par. Reveja o capítulo de
funções.
Para finalizar, tente simplificar a seguinte
expressão:
y = cos(x – 90°) – cos(x - 270°).
Resposta: 2senx
Vimos a dedução da fórmula do co-seno da
diferença de dois arcos. Apresentaremos a
seguir, as demais fórmulas da adição e subtração
de arcos sem as deduções, lembrando que
essas deduções seriam similares àquela
desenvolvida para cos(a – b), com certas
peculiaridades inerentes a cada caso.
Sejam a e b dois arcos trigonométricos, temos
que:
cos(a – b) = cosa . cosb + sena . senb
cos(a + b) = cosa . cosb – sena . senb
sen(a – b) = sena . cosb – senb . cosa
sen(a + b) = sena . cosb + senb . cosa
tga + tgb
tg (a + b) = –––––––––––
1 – tga.tgb
tga – tgb
tg (a – b) = –––––––––––
1 + tga.tgb
Aplicações
01. (UEA) Calcular o valor de sen 15°.
a) b) c)
d) 
Solução:
sen 15° = sen (30° + 45°)
= sen 30°.cos 45° + sen 45°.cos30° =
=
02. (USP) Sendo tgA = 2 e tgB = 1, calcular
tg(A – B).
a) 1/3 b) 2 c) –1/3 d) –2
Solução:
tgA – tgB 2 – 1 1
tg(A – B) = ––––––––––– + –––––––– = ––– 
1 + tgA.tgB 1 + 2.1 3
2. Arco duplo
Sabemos das aulas anteriores que sen(a + b) =
sen a .cos b + sen b. cos a. Logo, fazendo a =
b, obteremos a fórmula do seno do dobro do
arco ou do arco duplo:
sen 2a = 2 . sen a . cos a
Analogamente, usando a fórmula do cosseno da
soma, que sabemos ser igual a
cos(a + b) = cosa . cosb – sena .senb
e fazendo a = b, obteremos a fórmula do
cosseno do dobro do arco ou do arco duplo:
cos 2a = cos2a – sen2a
Da mesma forma, partindo da tangenteda
soma, obteremos analogamente a fórmula da
tangente do dobro do arco ou do arco duplo:
2.tgA
tg2a = ––––––––
1 – tg2a
A fórmula acima somente é válida para tga ≠ 1 e
tga ≠ –1, já que nestes casos o denominador
seria nulo! 
Exemplos:
sen4x = 2.sen2x.cos2x
senx = 2.sen(x/2).cos(x/2)
cosx = cos2(x/2) – sen2(x/2)
cos4x = cos22x – sen22x, ... , etc.
3. Arco Metade
Vamos agora achar as funções trigonométricas
4
Desafio
Matemático
01. Sabendo que sen x = 1/2, com
0 < x < π/2, calcule sen(π/3 – x).
a) 1/3
b) –1/2
c) 1/2
d) 1/4
e) 1/5
02. Calcule: 
L=sen(π/2+x)sen(π +x)+cos(π/2+x)
cos(π – x).
a) L = 2
b) L = 1
c) L= 3
d) L = 0
e) L= -2
03. Se tg (x+y) = 33 e tgx = 3, calcule tg
y.
a) 4/10
b) 3/10
c) 7/10
d) 3
e) 3/2
04. Sabendo que tgα=1/3 e tgβ=–1/7,
calcule tg(α – β):
a) 1/4
b) 7/3
c) 1/2
d) 3/4
e) 2/11
05. Calcule sen 2x, sabendo que
tgx + cotgx = 3.
a) 1/3
b) 2/6
c) 3/2
d) 1/5
e) 2/3
06. Se sen x – cos x = 1/5, calcule sen 2x.
a) 12/15
b) 32/33
c) 24/25
d) 23/27
e) 17/25
07. Calcule sen15°+cos15°.
a) b) c)
d) e) 
08. Sendo tgA = 2 e tgB = 1, ache
tg(A – B).
a) 2/3
b) 2/5
c) 1/3
d) 2/5
e) 1/6
Matemática 
Professor CLÍCIO 
da metade de um arco, partindo das anteriores. 
Co-seno do arco metade
Ora, sabemos que cos2a = cos2a – sen2a
Substituindo sen2a, por 1 – cos2a, já que sen2a
+ cos2a = 1, vem:
cos2a = 2.cos2a – 1. Daí, vem:
cos2a = (1+cos2a) / 2
Fazendo a = x/2, vem, cos2(x/2) = [1+cosx]/2.
Podemos escrever então a fórmula do cosseno
do arco metade como:
Obs: o sinal algébrico vai depender do
quadrante ao qual pertence o arco x/2.
Seno do arco metade
Podemos escrever:
cos2a = (1 – sen2a) – sen2a = 1 – 2sen2a
Daí vem: sen2a = (1 – cos2a)/2
Fazendo a = x/2 , vem: sen2(x/2) = (1 – cosx)/2.
Podemos escrever então, a fórmula do seno do
arco metade como segue:
Obs: o sinal algébrico vai depender do quadrante
ao qual pertence o arco x/2.
Tangente do arco metade
Dividindo membro a membro as equações 2.1 e
2.2 anteriores, lembrando que
tg(x/2) = sen(x/2) / cos(x/2), vem:
Obs: o sinal algébrico vai depender do
quadrante ao qual pertence o arco x/2.
Aplicações
01. (UFPA) Sabendo que sena =1/2 e cosa
= , calcular o valor de cos2a.
a) 1 b) 1/2 c) –1 d) –1/2
Solução:
Sabemos que cos2a = cos2a – sen2a = 
02. (PUC) Se tgx + cotgx = 3, calcule sen2x.
a) 2 b) 3/2 c) 2/3 d) –2
Solução:
tgx + cotgx = 3
03. (UFAM) Se senx + cosx = 2, então o valor
de se2x é igual a:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
Solução:
senx + cosx = 2
(senx + cosx)2 = 22
sen2x + 2senx.cosx + cos2x = 4
sen2x + cos2x + 2senx.cosx = 4
1 + sen2x = 4
sen2x = 3
4. Transformação de somas em produto
Vamos deduzir outras fórmulas importantes da
Trigonometria.
As fórmulas a seguir são muito importantes para
a simplificação de expressões trigonométricas.
Já sabemos que:
sen(a + b) = sena . cosb + senb . cosa
sen (a – b) = sena . cosb – senb . cosa
Somando membro a membro estas igualdades,
obteremos:
sen(a + b)+ sen(a – b) = 2.sena . cosb.
Fazendo:
a + b = p
a – b = q 
teremos, somando membro a membro:
2a = p + q, de onde tiramos a = (p + q)/2
Agora, subtraindo membro a membro, fica:
2b = p – q, de onde tiramos b = (p – q)/2
Daí então, podemos escrever a seguinte
fórmula:
p + q p – q
senp + senq = 2.sen –––––– . cos ––––––
2 2
Exemplo: sen50° + sen40° = 2.sen45°.cos5° 
Analogamente, obteríamos as seguintes
fórmulas:
p – q p + q
senp – senq = 2.sen –––––– . cos ––––––
2 2
p + q p – q
cosp + cosq = 2.cos –––––– . cos ––––––
2 2
p + q p – q
cosp – cosq = –2.sen –––––– . sen ––––––
2 2
Exemplos:
cos 30° + cos 10° = 2.cos20°.cos10°
cos 60° – cos 40° = –2.sen50°.sen10°
sen 70° – sen 30° = 2.sen20°.cos50°.
Aplicações
01. (UTAM)Determine o valor da expressão
y =cos70° + cos20°.
a) .cos25° b) cos25° c) .sen25°
d) .cos25°
Solução:
70°+20° 70°–20°
y =cos70° + cos20° = 2cos –––––– . –––––– =
2 2
= 2cos45°.cos25°=
02. (UEA) Transforme em produto a expressão
y = sen(135°+ x) + sen(135°– x)
a) .cosx b) cosx c) .senx
d) senx
Solução:
135°+x+135°– x 135°+x –135°+xy=2sen(–––––––––––––––)cos(––––––––––––––––)
2 2
y= 2sen135° .cosx
y= 2 .cosx= .cosx
03. (UFAM) Simplificando- se a expressão
y = cos80° + cos40° – cos20°, obtém- se:
a) 2 b) 1 c) –1 d) 0
Solução: 
y = cos80° + cos40° – cos20°
80°+40° 80°– 40y= 2cos ––––––– . cos ––––––– =
2 2
= 2cos 60°.cos20° – 20°
= 2. 1/2 cos20° – cos20°= 0
04. (UTAM) Determine o conjunto solução da
equação sen2x + senx = 0, no intervalo de
[0,2π].
Solução:
sen2x + senx = 0
2x+x 2x–x
2sen –––––– .cos ––––– =0
2 2
3x x
2sen –––– . cos ––– = 0
2 2
3x 3x 2kπ
sen ––– =0 ⇒ ––– =kπ ⇒ x= –––– ou
2 2 3
x x π
cos––– =0 ⇒ –––= –––+kπ ⇒ x= π+2kπ, ∀k∈Z
2 2 2 
5
Desafio
Matemático
01. Calcule o valor de M, sabendo que 
M =(senx – cosy)2+(seny – cosx )2 e x
+ y = π/6.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
02. Determine um valor de n∈IN*, tal que
π/n seja solução da equação:
8cos4θ – 8cos2θ +1=0.
a) n = 2
b) n = 4
c) n = 16
d) n = 8
e) n = 1
03. Resolva a equação tg x – 2 senx=0; 0
≤ x ≤ π/2.
a) {0, π/3}
b) {1, π/6}
c) {0, π/4}
d) {2, π/2}
e) {1, π/8}
04. Se x é um número real, tal que sen2x –
3 senx = –2, para 0 ≤ x ≤ π, então x é
igual a:
a) π/2 b) 3π/2 c) 3π/4
d) π/4 e) π
05. Determine o menor valor de x tal que
0° ≤ x ≤ 360° e cosx – senx= .
a) x = 45° b) x = 90° c) x = 30°
d) x = 60° e) x = 180°
06. Sabendo-se que cos x = 2cos2. x/2 – 1
e cos2x + sen2x = 1, para quais valores
de x no intervalo [0, 2π]é válida a
igualdade 2senx.cos2.x/2+ cos2x –
senx.cosx+1=0?
a) S={2π/4}
b) S={3π/2}
c) S={4π/2}
d) S={3π/4}
e) S={4π/3}
07. Resolva a equação 2cos3x – cosx = 0,
sendo 0 ≤ x ≤ π.
a) S={π/4, π/2, 3π/4}
b) S={2π/4, π/2, π/4}
c) S={π/4, 2π/2, 3π/4}
d) S={π/2, 3π/2, 3π/4}
e) S={2π/4, π/2, 3π/4}
08. Considere a função f real, de variável
real, f(x)=2cos(2π – x)+1. Calcule:
f(3π) + f(π/3) – f(5π/2).
a) 3 b) 5 c) 1
d) 4 e) 0
Equilíbrio de corpos
Edifícios, pontes, automóveis e embarcações
são exemplos de estruturas equilibradas.
No entanto tais estruturas não permanecem
equilibradas para sempre. Elas podem estar
sujeitas a esforços dinâmicos de grande
intensidade: terremotos, estradas esburacadas
(no caso dos automóveis), mar agitado (no caso
das embarcações).
EQUILÍBRIOS ESTÁTICO E DINÂMICO
Conforme já estudamos na Apostila 16, um
ponto material está em equilíbrio se a soma das
forças que agem nele é nula. Um carro parado
em uma estrada está em equilíbrio estático.
Um carro em movimento, com velocidade
vetorial constante em pista horizontal, está em
equilíbrio dinâmico. Em ambos os casos, as
forças estão equilibradas, ou seja, a força
resultante é nula.
Σ
→
F = 
→
0 ⇒
→
R = 
→
0
1. Método da linha poligonal
Se um ponto material encontra-se em equilíbrio,
a linha poligonal das forças que agem sobre ele
é fechada (figura 1).
Caso especial – No caso específico de
equilíbrio de um ponto material sob a ação de
três forças, a linha poligonal determina um
triângulo (figura 2).
Como as três forças representam os lados de
um triângulo, as relações entre as suas
intensidades obedecem às propriedades dos
triângulos. Aplicando a Lei dos Senos, temos:
F1 F2 F3––––– = ––––– = –––––
senα senβsen γ
Como αα + A = 180°, temos sen αα = sen A; ββ +
B = 180°, temos sen ββ = sen B; γγ + C = 180°,
temos sen γγ = sen C, a expressão anterior pode
ser escrita assim:
F1 F2 F3––––– = ––––– = –––––
senA senB senC 
2. Método dos componentes vetoriais
Consideremos um ponto material em equilíbrio
sob a ação de três forças (figura 4).
Devemos, inicialmente, obter as componentes
vetoriais de cada força nos eixos retangulares x
e y (figura 5):
F1x = F1.cos αα F2x = F2.cos ββ F3x = 0
F1y = F1.sen αα F2y = F2.sen ββ F3y = F3
Se o ponto material está em equilíbrio,
obrigatoriamente há equilíbrio tanto na direção
horizontal quanto na vertical:
Σ
→
F = 
→
0 → F1.cos αα – F2.cos ββ = 0
Σ
→
F = 
→
0 → F1.sen αα + F2.sen ββ – F3= 0
Importante:
1. O método dos componentes vetoriais vale
para qualquer número de forças.
2. O componente vertical de uma força
horizontal é nulo.
3. O componente horizontal de uma força
vertical é nulo.
Aplicação
As cordas A, B e C da figura têm massa
desprezível e são inextensíveis. As cordas A e B
estão presas ao teto e unem-se à corda C no
ponto P. Um objeto de massa igual a 10kg está
preso na extremidade da corda C.
Considerando o sistema em equilíbrio:
a) Quais são as forças, em módulo, direção e
sentido, que agem no objeto?
b)Determine as trações nos fios A e B.
Dados: g=10m/s2; sen60° = cos30°= /2;
sen 30°=cos60°= 1/2
Solução:
a) Forças atuantes no objeto:
→
R = 
→
0 →TC = P = m . g 
TC = P = 10 . 10 = 100N
b) Diagrama de forças:
6
Física
Professor CARLOS Jennings
01. (Enem) Um portão está fixo em um muro
por duas dobradiças, A e B, conforme a
figura, sendo P o peso do portão. Caso
um garoto se dependure no portão pela
extremidade livre, e supondo que as
reações máximas suportadas pelas
dobradiças sejam iguais:
a) é mais provável que a dobradiça A
arrebente antes de B;
b) é mais provável que a dobradiça B
arrebente antes de A;
c) seguramente as dobradiças A e B
arrebentarão simultaneamente;
d) nenhuma delas sofrerá qualquer esforço;
e) o portão quebraria ao meio, ou nada
sofreria.
Arapuca
Duas crianças de massas 30kg e 45kg
usam uma tábua de 2,5m de compri-
mento como gangorra. Desprezando a
massa da tábua, determine a que
distância da criança de 30kg deve ser
colocado o apoio para que elas fiquem
em equilíbrio na horizontal, quando
sentadas nas extremidades. 
a) 2m
b) 1,4
c) 1m 
d) 1,5m
e) 3
Solução:
Diagrama de forças:
Peso de cada criança:
P = mg
P1 = 30 . 10 = 300N
P2 = 45 . 10 = 450N
Condição de equilíbrio:
|M1|=|M2|
P1 . d = P2 . (2,5 – d)
300 . d = 450 . (2,5 – d)
2d = 3 . 2,5 – 3d
5d = 7,5 → d = 1,5m
Desafio
Físico
T
B
1
sen30° = –––– = ––– → T
B
= 50N
100 2
T
Asen60° = –––– = ––– → T
B
= 50 N
100 2
TIPOS DE EQUILÍBRIO
Equilíbrio estável – Qualquer pequeno
deslocamento (angular ou linear) sofrido pelo
corpo resulta em tendência de retorno à posição
de equilíbrio inicial.
Equilíbrio instável – Qualquer pequeno
deslocamento (angular ou linear) sofrido pelo
corpo resulta em tendência de continuar
afastando-se da posição inicial.
Equilíbrio indiferente – Qualquer pequeno
deslocamento da posição de equilíbrio resulta
em uma nova situação de equilíbrio.
EQUILÍBRIO DE CORPOS
Corpos simplesmente apoiados – Nessa
situação, um corpo está sob a ação de apenas
duas forças: a força peso, devido à sua
interação com a Terra, e a força de reação do
apoio, devido à sua interação com a superfície
sobre a qual está apoiado. Para que ocorra o
equilíbrio, essas duas forças devem ser
colineares e opostas. Como o apoio aplica uma
força na base do corpo, a reta vertical que
passa pelo centro de massa do corpo também
deve passar pela base de apoio para que o
corpo não tombe.
MOMENTO DE UMA FORÇA
Seja uma força de intensidade F, aplicada no
ponto A de uma barra que pode girar livremente
em torno do ponto O, chamado de pólo (figura 8):
O momento de 
→
F em relação a O, ou a
tendência de rotação que a força 
→
F produz na
barra em relação ao ponto O, é dado por:
M = F.d
F é a intensidade da força, e d é a distância da
linha de ação da força ao eixo de rotação. A
distância d recebe o nome de braço da força.
Atenção: no caso em que a força não é
perpendicular ao segmento de reta que une o
ponto de aplicação da força ao pólo:
No triângulo ABC, obtemos:
sen αα = d / a → d = a . sen αα
E o momento da força é dado por:
M = F . d → M = Fa . sen αα
Importante:
1. O momento de uma força em relação a um
ponto é uma grandeza vetorial, possuindo
módulo, direção e sentido. Mas como utilizare-
mos somente forças coplanares, basta adotar
uma convenção de sinais para os sentidos
dos momentos.
2. O momento resultante de um sistema de
forças coplanares, em relação a um ponto, é
obtido pela soma algébrica dos momentos de
cada uma das forças em relação ao ponto:
MR = Σ M
3. O momento de uma força recebe também o
nome de torque da força.
EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO
Quando um corpo rígido, sujeito à ação
simultânea de vária s forças coplanares,
encontra-se em equilíbrio, temos:
Σ
→
F = 
→
0 → Equilíbrio de translação (centro de
massa em repouso ou em MRU).
Σ
→
M = 
→
0 → Equilíbrio de rotação (em relação a
qualquer ponto do corpo).
Aplicação
Uma barra AB, homogênea, de 2m de
comprimento e peso 100N, está em equilíbrio.
Sendo 200N o peso do bloco C, determine a
tração no fio DE e a força na barra no ponto A.
Solução:
Diagrama de forças:
Σ
→
F = 
→
0 → FA + TDE – PB – TBC = 0 ( I )
Fixando o ponto A como pólo:
Σ MA = 0 → – TBC . DAB – PB . dAF + TDE . dAD = 0 ( II )
Como TBC = PC = 200N, e substituindo os
valores em (II):
– 200 . 2 – 100 . 1 + TDE . 1,7 = 0 → TDE = 294N
Substituindo os valores em (I):
FA + 294 – 100 – 200 = 0 → FA = 6N
7
01. Duas forças de módulo F e 2F, que
formam entre si um ângulo de 60°,
agem sobre uma partícula. Para anular
a ação dessas forças é necessário
aplicar, convenientemente, sobre a
partícula uma força de módulo igual a:
a) F b) F
c) F d) 3F e) 3,5F
02. (UERJ) Para abrir uma porta, você
aplica sobre a maçaneta, colocada a
uma distância d da dobradiça,
conforme a figura, uma força de
módulo F perpendicular à porta. Para
obter o mesmo efeito, o módulo da
força que você deve aplicar em uma
maçaneta colocada a uma distância d/2
da dobradiça, dessa mesma porta, é:
a) F/2 b) F
c) 2F d) 4F
03. (Unicamp–SP) Uma escada
homogênea de 40kg apóia-se sobre
uma parede, no ponto P, e sobre o
chão, no ponto C. Adote g = 10m/s2.
a) Desenhe o diagrama com as forças
peso, normal e de atrito em seus
pontos de aplicação.
b) É possível manter a escada estacio-
nária não havendo atrito em P?
04. A figura mostra uma barra homogênea
de comprimento l e peso 12N, apoiada
em um ponto situado a uma distância
l /4 de uma das extremidades, e equili-
brada por uma força F. Determine a
intensidade dessa força.
Desafio
Físico
Hidrostática 
De maneira simples, pode-se dizer que um fluido
adquire o formato do recipiente que o contém.
São considerados fluidos os líquidos e os gases.
Nesta aula, estudaremos as propriedades dos
líquidos em equilíbrio estático, embora tais
propriedades possam ser estendidas aos fluidos
em geral.
Massa específica de uma substância – É a
razão entre a massa de uma quantidade da
substância e o correspondente volume ocupado
por essa substância:
m
µµ = –––
v
Uma unidade muito usada para massa específica
é g/cm3. No S.I., utiliza-se kg/m3. A relação entre
essas duas unidades é:
g 10–6kg kg 
1 = –––– = ––––––– = 103 –––
cm3 10–6m3 m3
Densidade de um corpo – É a razão entre a
massa do corpo (porção limitada de matéria) e
o correspondentevolume que ele ocupa:
m
d = ––––
v
Pressão – Conceito que relaciona a força
aplicada sobre uma superfície com a área dessa
superfície. Assim, a pressão de uma força sobre
uma superfície é a razão entre a componente
normal da força e a área da superfície na qual
ela atua:
F
p = ––––
A
No S.I., a unidade de pressão é N/m2, também
conhecida como pascal (Pa).
Pressão atmosférica – A atmosfera, composta
de vários gases, exerce pressão sobre a
superfície da Terra. Ao nível do mar, tem-se:
patm = 1,01 . 10
5 N/m2 = 1,01 . 105 Pa.
Pressão hidrostática (ou efetiva) – É a pressão
exercida pelo peso de uma coluna fluida em
equilíbrio. Considere um cilindro com um líquido
até a altura h e um ponto B marcado no fundo
de área A. O líquido exerce uma pressão no
ponto B, dada por:
P
p = ––––,como P = mg, temos:
A
mg m
p = ––––,como d= –––– ∴ m =dV, temos:
A V
dVg
P= –––––, como V=Ah (volume do cilindro), temos:
A
dAhg
p = –––––– p = dhg
A
Importante!
A pressão hidrostática ou efetiva depende da
densidade do fluido (d), da altura do fluido
acima do ponto considerado (h) e do lugar da
experiência (g), independendo do formato e do
tamanho do recipiente.
Pressão absoluta (ou total) – No fundo do reci-
piente, a pressão total leva em conta a pressão
atmosférica:
pabs = patm + pef ∴ pabs = patm +dgh
Aplicações
01. (FAAP–SP) Calcular, em N/m2, a pressão que
exerce uma determinada quantidade de petróleo
sobre o fundo de um poço, se a altura do
petróleo no poço for igual a 10m e a sua
densidade 800kg/m3. Dado: g = 10m/s2.
Solução:
d = 800kg/m3; h = 10m; g = 10m/s2.
A pressão pedida é hidrostática (ou efetiva):
p = d . h . g
p = 800 . 10 . 10
p = 80.000N/m2
02. No interior do Amazonas, é comum a prática
da pesca do bodó com as mãos. Se um
pescador mergulhar a 10m de profundidade, em
relação à superfície de um lago, para capturar
alguns desses peixes, qual será a pressão a que
ele estará submetido?
Dados: patm = 10
5N/m2 (pressão atmosférica
local); dágua = 10
3kg/m3.
Solução:
Deseja-se calcular a pressão total (ou absoluta)
sobre o mergulhador:
pabs = patm + pef ∴ pabs = patm +dgh
pabs = 10
5 + 103 . 10 . 10
pabs = 2,0 .10
5 Pa
LEI DE STEVIN 
As pressões em A e B são: 
pA = po + dghA
pB = po + dghB
Então, a diferença de pressão (∆p) entre A e B é:
pA – pB = dg (hA – hB) ou ∆p = dg∆h
Conclusão: dois pontos na mesma horizontal
dentro de um fluido em equilíbrio estão
submetidos à mesma pressão.
Aplicação
No tubo em U da figura, tem-se água e óleo em
equilíbrio. Sendo hA= 10cm a altura da água,
determine a altura hB do óleo, sendo dados: dA
= 1,0g/cm3 (densidade da água); dB = 0,8g/cm
3
(densidade do óleo).
Solução:
Na horizontal que passa pela superfície de
separação dos líquidos, a pressão hidrostática é
a mesma:
8
• Os navios modernos são metálicos,
basicamente construídos de aço. Por ser
um material de elevada densidade, o aço
afunda rapidamente na água, quando
tomado em porções maciças. No entanto
os navios flutuam na água porque, sendo
dotados de descontinuidades internas
(partes ocas), apresentam densidade
menor que a da água.
• Em algumas praias é tradicional o
passeio de buggy. Esses veículos são
geralmente equipados com pneus que
apresentam banda de rodagem de
largura maior que o normal (pneus tala-
larga). Devido à maior área de contato
com o solo, a pressão exercida pelos
pneus sobre a areia torna-se menor,
dificultando o atolamento.
• Na experiência ilustrada na figura abaixo,
quando o corpo (sem porosidades) é
introduzido na jarra preenchida com
água até o nível do seu bico, certo
volume do líquido extravasa, sendo
recolhido no pequeno recipiente lateral.
O volume de água extravasado é
exatamente igual ao volume do corpo, e
a intensidade do empuxo recebido por
ele é igual à do peso do líquido
deslocado (Teorema de Arquimedes).
Física
Professor CARLOS JenningsAnota
Aí!
p1 = p2 ∴ dB . hB . g = dA . hB . g
dB . hB = dA . hA
0,8 . hB = 1,0 . 10 ∴ hB = 12,5cm
EMPUXO
Quando um corpo é colocado totalmente imerso
em um líquido, duas forças agem sobre ele: a força
peso, devido à sua interação com a Terra, e a força
de empuxo, devido à sua interação com o líquido.
• Se ele permanece parado no ponto em que
foi colocado, a intensidade do empuxo é igual
à intensidade da força peso (E = P).
• Se ele afunda, a intensidade do empuxo é
menor do que a intensidade da força peso
(E < P).
• Se ele é levado para a superfície, a intensida-
de do empuxo é maior do que a intensidade
da força peso (E > P) durante a subida.
Aplicação
Um mergulhador e seu equipamento têm massa
total de 80kg. Qual deve ser o volume total do
mergulhador para que o conjunto permaneça
em equilíbrio imerso na água?
Solução:
Dados: g = 10m/s2; dágua = 10
3kg/m3; m = 80kg.
Como o conjunto deve estar imerso na água, o
volume de líquido deslocado (Vld) é igual ao
volume do conjunto (V). Condição de equilíbrio:
E = P
d . Vld .g = m . g
103 . V . 10 = 80 . 10
V = 8 . 102m3
PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES 
Todo corpo imerso, total ou parcialmente, num
fluido em equilíbrio, sofre, por parte deste, a
ação de uma força vertical, para cima, cuja
intensidade é igual ao peso do fluido deslocado
pelo corpo.
mf = µµ f . Vf
E = Pf = mf . g
E = µµ f . Vf . g
CORPOS IMERSOS
Para corpos totalmente imersos em um fluido, o
volume de fluido deslocado pelo corpo é igual
ao próprio volume do corpo.
Assim, o peso do corpo e o empuxo sofrido por
ele são dados por:
Pc = mc . g = dc . Vc . g
E = mf . g = mf . Vf . g
Lembrando que Vc = Vf e comparando as duas
expressões, observa-se que:
• Se d > µµ f, o peso é maior do que o empuxo
e o corpo fica sujeito a uma força resultante
para baixo (R = P – E).
• Se d < µµ f, o peso é menor do que o empuxo
e o corpo fica sujeito a uma força resultante
para cima (R = E – P).
• Se d= µµ f, o peso é igual ao empuxo e o
corpo encontra-se em equilíbrio (R = 0).
PESO REAL E PESO APARENTE
Suponha que um bloco cúbico, maciço, de
alumínio, imerso no ar, seja pendurado em um
dinamômetro (medidor de forças) que indica um
valor P para o peso do bloco. Em seguida, o
bloco é imerso em água, e uma nova leitura é
feita. Seja Pa a indicação do dinamômetro para
o peso do bloco na nova situação.
O valor P é o peso real. O valor Pa é o peso
aparente. Assim:
P > Pa
A diferença entre o peso real e o peso aparente
corresponde ao empuxo exercido pelo líquido:
E = Preal – Paparente
E = P – Pa
Importante: quando um corpo flutua em um
líquido, o seu peso aparente é nulo:
Pa = P – E
E = P → Pa = 0
PRINCÍPIO DE PASCAL
O acréscimo de pressão produzido num líquido
em equilíbrio transmite-se integralmente a todos
os pontos do líquido.
Dois recipientes ligados pela base são
preenchidos por um líquido (geralmente óleo)
em equilíbrio. Sobre a superfície livre do líquido
são colocados êmbolos de áreas S1 e S2. Ao
aplicar uma força F1 ao êmbolo de área menor,
o êmbolo maior ficará sujeito a uma força F2,
em razão da transmissão do acréscimo de
pressão ∆p. Segundo o Princípio de Pascal:
F1 F2∆p1 = ∆p2∴ ––– = –––S1 S2
Importante: o Princípio de Pascal é largamente
utilizado na construção de dispositivos
ampliadores de força – macaco hidráulico,
prensa hidráulica, direção hidráulica, etc.
Arapuca
Numa prensa hidráulica, as áreas dos
êmbolos são SA=100cm
2 e SB=20cm
2.
Sobre o êmbolo menor, aplica-se uma
força de intensidade de 30N que o
desloca 15cm. Determine:
a) a intensidade da força que atua
sobre o êmbolo maior;
b) o deslocamento sofrido pelo
êmbolo maior.
Solução:
a) Pelo Princípio de Pascal:
FA FB FA 30––– = ––– ∴ ––––= –––– ∴ FA = 150NS1 S2 100 20
b) O volume de líquido transferido do êmbolo
menor para o maior é o mesmo:
∆V = SA . hA = SB . hB
100 . hA = 20 . 15 ∴ hA = 3cm 
901. (UFRGS) Um corpo cuja massa é 1kg
flutua inteiramente submerso na água
(massa específica 1g/cm3). Qual o
módulo da força resultante com que o
corpo afundaria no álcool (massa
específica 0,8g/cm3)?
Considere g=10m/s2 e despreze o atrito
do corpo com o álcool. 
a) 1N b) 2N c) 4N
d) 8N e) 10N 
02. (UFRGS) Um morador da ilha de
Fernando de Noronha costuma
mergulhar no mar, sem equipamento,
até profundidades de 25m. Sendo po a
pressão atmosférica ao nível do mar, a
25m de profundidade ele submete seu
corpo a uma pressão de
aproximadamente 
a) 26po b) 6po c) 3,5po
d) 2,5po e) 2,0po
03. (UFRGS) Considere as afirmações
seguintes: 
I. A força de empuxo sobre um copo de
vidro totalmente submerso na água (e
cheio de água) é igual à soma das
forças de empuxo que sofreriam os
cacos desse copo, se ele se
quebrasse dentro da água. 
II. A força de empuxo que sofre uma
canoa de alumínio que flutua sobre a
água é maior do que a força de
empuxo que sofreria a canoa total-
mente submersa na água (e cheia de
água). 
III. A força de empuxo sobre uma pedra
irregular totalmente submersa na
água, mas suspensa por um cordão,
é maior do que a força de empuxo
sobre a mesma quando, livre do
cordão, está depositada no fundo do
recipiente. 
Quais estão corretas? 
a) Apenas I b) Apenas II 
c) Apenas I e II d) Apenas I e III
e) Apenas II e III
04. (UFRGS) Duas esferas maciças, X e Y, de
mesmo volume, flutuam em equilíbrio na
água. Se X tem o dobro da massa de Y, 
a) X está menos submerso do que Y
b) X e Y possuem pesos iguais.
c) X e Y possuem massas específicas iguais.
d) X e Y sofrem forças de empuxo iguais.
e) X desloca mais água do que Y. 
Desafio
Físico
10
Concordância Nominal I
1. ANEXO, INCLUSO, JUNTO
a) Anexo, incluso e junto são adjetivos; por
isso, concordam em gênero e número
com o substantivo a que se referem.
b) A expressão em anexo, apesar de muito
empregada na redação comercial e/ou
oficial, não é aceita pela norma culta da
língua.
c) Junto é invariável quando faz parte das
locuções prepositivas junto com, junto
a, junto de.
Veja construções certas e erradas:
1. Anexa à presente carta vai a relação das
mercadorias. (certo)
2. Vão anexos os pareceres da comissão
técnica. (certo)
3. Segue anexa, para sua apreciação, a
cópia do contrato. (certo)
4. Seguem inclusos os nomes dos alunos
faltosos. (certo)
5. Incluso ao processo vai a fotografia do
réu. (errado)
6. Em anexo, vão as cartas do cliente.
(errado)
7. Anexas, vão as cartas do cliente. (certo)
8. As certidões negativas seguem junto
com a documentação oficial. (certo)
9. Quero que todos fiquem bem juntos de
mim. (errado)
2. MESMO
a) Mesmo, no papel de palavra expletiva (=
próprio), concorda com o substantivo.
b) Mesmo = realmente, de fato, de verdade,
passa a ser advérbio, portanto invariável.
Veja construções certas e erradas:
1. Eles mesmos farão a apreensão dos pro-
dutos contrabandeados. (certo)
2. Vocês mesmos podem resolver esses pro-
blemas, meninas. (errado)
3. Eles estavam namorando mesmo? (certo)
4. Estas histórias são verídicas: aconteceram
mesmo! (certo)
5. Os dois acusados são mesmo criminosos.
(certo)
3. TODO O, TODA A
a) Todo, toda (sem artigo depois) significam
qualquer; têm valor de pronome indefi-
nido.
b) Todo, toda – seguidos de artigo – (todo
o, toda a) significam inteiro, completo;
têm valor de adjetivo.
Veja construções certas e erradas:
1. Toda família, até os empregados, viajaram
para o interior. (errado)
2. Toda a família, até os empregados, viaja-
ram para o interior. (certo)
3. Toda criança tem direito à escola. (certo)
4. Toda a criança tem direito à escola.
(errado)
5. Quando adolescente, eu lia todo livro que
me dessem. (certo)
6. Todo o colégio vai participar dos jogos es-
taduais. (certo)
7. Todo colégio vai participar dos jogos es-
taduais. (certo)
4. TODO + NUMERAL
a) Numeral + substantivo – Usa-se o artigo
obrigatoriamente.
b) Numeral sem substantivo – Não se usa
o artigo.
Veja construções certas e erradas:
1. Todos os três alunos estavam envolvidos
com drogas. (certo)
2. Todos três alunos estavam envolvidos
com drogas. (errado)
3. Todos os cinco deputados presentes vo-
taram contra o projeto. (certo)
4. Todos cinco deputados presentes vota-
ram contra o projeto. (errado)
5. Por serem réus primários, todos quatro
receberam penas leves. (certo)
5. TODO O MUNDO, TODO MUNDO
a) No sentido de todas as pessoas, toda a
gente, deve-se preferir a expressão “todo
o mundo”, mas não se pode condenar o
emprego de “todo mundo”.
b) Quando “mundo” equivale a “Terra”, o uso
do artigo é obrigatório.
Veja construções certas e erradas:
1. Hoje em dia, todo mundo gosta de nove-
las. (certo)
2. Hoje em dia, todo o mundo gosta de no-
velas. (certo)
3. Ela fala mal de todo mundo. (certo)
4. Ela fala mal de todo o mundo. (certo)
5. A poluição da água é o grande problema
de todo mundo. (errado)
6. A poluição da água é o grande problema
de todo o mundo. (certo)
6. SÓ
a) Só = adjetivo – Equivale a sozinho, soli-
tário, único, ermo, deserto; é variárvel:
concorda com o substantivo a que se re-
fere.
b) Só = advérbio – Equivale a somente,
apenas; é palavra invariável.
c) A sós – É locução adverbial invariável.
Significa “sem mais companhia;
consigo”.
Veja construções certas e erradas:
1. O pai era a só companhia que Deus lhe
deixou. (certo)
2. Durante muitos anos, eles viveram só.
(errado)
3. Durante muitos anos, eles viveram só pa-
ra os estudos. (certo)
4. Ele e ela viajaram sós. (certo)
5. Só ele e ela viajaram. (certo)
7. BASTANTE, MUITO, POUCO
a) Advérbios – Bastante e muito equivalem
a abundantemente, em alto grau, com in-
tensidade; pouco equivale a não muito,
insuficientemente. Modificam um verbo ou
um adjetivo; são, pois, invariáveis.
b) Pronomes indefinidos – Bastante e mui-
to equivalem a algo (coisa ou indivíduo)
em grande quantidade; pouco equivale a
algo (coisa ou indivíduo) em quantidade
inferior ao desejado. Modificam um subs-
tantivo e com ele devem concordar.
c) Mui – É forma reduzida de muito; só po-
de ser empregada antes de adjetivos ou
de advérbios terminados em -mente.
Português
Professor João BATISTA Gomes
Arapuca
(FGV) Assinale a alternativa aceitável
segundo a norma culta.
a) Ela mesmo quis se apresentar para a
diretoria.
b) Há bastante coisas a serem feitas antes da
chegada do nosso diretor.
c) Aqueles funcionários são o mais
capacitados possível.
d) Eles pediram emprestado a caixa de
documentos.
e) Anexo segue os documentos.
Caiu no vestibular
01. (FGV) Leia o estrofe seguinte.
Quando será que toda a vasta Esfera,
Toda esta constelada e azul Quimera,
Todo este firmamento estranho e mudo,
Tudo que nos abraça e nos esmaga,
quando será que uma resposta vaga,
Mas tremenda, hão de dar de tudo, tudo?!
(Cruz e Souza)
Assinale a alternativa em que a
palavra toda tenha o mesmo
significado que o da ocorrência
grifada no primeiro verso.
a) Toda sala foi limpa.
b) A campanha foi realizada por toda
empresa.
c) Toda a natureza se revolta contra os
ataques do homem.
d) Toda vez que você vier, não se esqueça
de falar com o secretário.
e) Toda criança tem direito a ser tratada
com respeito.
02. (FGV) Há má construção gramatical
quanto à concordância em:
a) Os médicos consideravam inevitável
nos pacientes pequenas alterações
psicológicas.
b) As internações por si sós já causam
certos distúrbios psicológicos aos
pacientes.
c) Uma e outra alteração psicológica
podem afetar os pacientes
hospitalizados.
d) Distúrbios e alterações psicológicos são
normais em pacientes hospitalares.
Desafio 
gramatical
Aplicação 1
Assinale a opção com erro de concor-
dância nominal.a) O juiz tinha razões bastante para conde-
nar o réu.
b) Promotores públicos granjeiam bastantes
inimizades.
c) Vezes bastantes conversamos a esse
respeito.
d) Vivia de renda; tinha bastantes prédios
alugados.
e) Depois de muita insistência, recebeu-nos
mui zangado.
8. BARATO E CARO
a) Adjetivos – Modificam um substantivo;
estão, quase sempre, em construções
com verbos de ligação (ser, estar, parecer,
permanecer, continuar, ficar), exercendo
a função de predicativo.
b) Advérbios – Modificam um verbo (invariá-
veis, portanto). Aparecem em construções
com os verbos alugar, cobrar, comprar,
custar, vender.
c) Preço barato, preço caro – Expressões
sem sentido. O substantivo preço tem que
ser modificado pelos adjetivos alto, eleva-
do, baixo, módico.
Aplicação 2
Assinale a opção com erro de concor-
dância nominal.
a) Vendeu as duas casas por um preço muito
barato.
b) Produtos importados, mesmo na Zona
Franca, são caros.
c) Produtos importados, mesmo na Zona
Franca, custam caro.
d) No Sul, roupas de algodão são baratas.
e) Mesmo no interior, os peixes nobres cus-
tam muito caro.
9. QUITE
Quite é adjetivo; por isso, concorda em nú-
mero com o substantivo ou pronome a que
se refere. Significa livre, desobrigado, de-
sembaraçado.
Veja construções certas e erradas:
1. Só pode inscrever-se para o concurso
quem estiver quites com o Serviço Militar
Obrigatório. (errado).
2. Aqui, todos estão quites com as mensali-
dades escolares. (certo)
3. Finalmente, a família conseguiu ficar qui-
tes com o Sistema Financeiro de Habita-
ção. (errado)
10. LESO
a) Que ofende – Significando “que ofende”,
é adjetivo, provoca hífen e concorda com
a palavra a que se refere.
1. Agindo assim, você comete crime de
lesa-pátria.
2. Suas atitudes de leso-matrimônio po-
dem magoar muita gente.
3. Contratar maus professores é crime de
lesa-cultura.
b) Tolo, idiota – Significando idiota, amalu-
cado, tolo, é adjetivo: concorda com o
substantivo ou pronome a que se refere.
1. Ou tu és muilo lesa ou então te finges
disso, Gabriela.
2. Ele nos trata como se fôssemos lesos.
11. EM DIA
Em dia é locução adverbial, portanto
invariável. Significa sem atraso,
pontualmente. 
1. Eu estou em dia com as prestações da
casa própria.
2. Nós estamos em dia com as prestações
da casa própria.
3. Com essa crise, há poucas pessoas em
dia com o pagamento de impostos.
12. MENOS
Não existe a palavra menas. Menos – sempre
invariável – tem várias classes gramaticais.
a) Pronome indefinido – Opõe-se a pouco;
significa inferior em número, quantidade,
condição ou posição.
1. Há menos vestibulandos aqui do que 
no Sudeste.
2. Não sou menos humano só porque
me coloco a favor da pena de morte.
b) Advérbio – Significa em número ou quanti-
dade menor; com menos intensidade.
1. Hoje em dia, chove menos na Região 
Norte.
2. Depois do infarto, passou a comer 
menos.
c) Substantivo – Sugere aquilo que tem a
menor importância; o que é mínimo; o
menor preço.
1. O menos que pode acontecer-me é 
não ser aprovado.
2. Se você fizer um menos, levo logo
uma dúzia de sapotis.
d) Preposição – Equivale à exceção de;
exceto, afora, salvo.
1. Esqueço tudo que ele me fez, menos
as agressões físicas.
2. Todos foram ao rio Uatumã, menos eu.
e) A menos que – É locução conjuntiva
condicional. Equivale a salvo se, a não
ser que.
13. É BOM, É PROIBIDO, É NECESSÁRIO
a) Sujeito determinado por adjunto adno-
minal – O adjetivo predicativo (bom, proi-
bido, necessário) concorda com o núcleo
do sujeito.
1. A entrada de menor será proibida.
2. É necessária muita paciência.
b) Sujeito sem determinação – O adjetivo
predicativo (bom, proibido, necessário)
fica no masculino.
1. Entrada de menor será proibido.
2. É necessário paciência.
Aplicação 3
Assinale a opção com erro de concor-
dância nominal.
a) Não é permitida a permanência de me-
nores aqui.
b) Toda cerveja é muito boa para o fígado.
c) É necessário muita paciência para traba-
lhar com alcoólatras.
d) Toda entrada de menor, neste Carnaval,
será proibida.
e) É necessário paciência para suportar in-
gratidões.
11
01. (ACAFE) Preencha as lacunas das
frases abaixo.
1. Vocês estão .............. com a tesouraria.
2. As janelas ............... abertas deixavam
entrar a leve brisa.
3. Vai ............... à presente a relação dos
livros solicitados.
4. As matas foram ..........................
danificadas pelo fogo.
5. É ...................... a entrada de animais.
A alternativa contendo a seqüência
verdadeira, de cima para baixo, é: 
a) quite – meia – anexa – bastantes –
proibida;
b) quites – meia – anexa – bastantes –
proibida;
c) quite – meio – anexo – bastante –
proibido;
d) quites – meio – anexa – bastante –
proibida;
e) quites – meio – anexo – bastante –
proibido.
02. (F. C. Chagas) (Desafio da TV) Elas (...)
providenciaram os atestados, que
enviaram (...) às procurações, como
instrumentos (...) para fins colimados.
a) mesmas, anexos, bastantes
b) mesmo, anexo, bastante
c) mesmas, anexo, bastante
d) mesmo, anexos, bastante
e) mesmas, anexos, bastante
03. (Mackenzie) (Desafio do Rádio)
Assinale a alternativa incorreta
quanto à concordância nominal:
a) O narrador pulou longos páginas e
capítulos.
b) Ele pulou longos capítulos e páginas.
c) Ele escreveu capítulos e páginas
compactas.
d) Ele escreveu capítulos e páginas
compactos.
e) Ele escreveu páginas e capítulos
compactos.
04. (MACK-SP) Identifique a frase em que
a palavra sós é invariável.
a) Elas partiram sós, deixando-me para
trás aborrecida e bastante magoada.
b) Chegaram sós, com o mesmo ar
exuberante de sempre.
c) Sós, aquelas moças desapareceram,
cheias de preocupações.
d) Aqueles jovens rebeldes provocaram
sós essa movimentação.
e) Depois de tão pesadas ofensas, prefiro
ficar a sós a conviver com essa
agressiva companhia.
Desafio
gramatical
ALVARENGA, Beatriz et al. Curso de
Física. São Paulo: Harbra, 1979, 3v.
ÁLVARES, Beatriz A. et al. Curso de
Física. São Paulo: Scipicione, 1999, vol. 3. 
BIANCHINI, Edwaldo e PACCOLA,
Herval. Matemática. 2.a ed. São Paulo:
Moderna, 1996. 
BONJORNO, José et al. Física 3: de olho
no vestibular. São Paulo: FTD, 1993.
CARRON, Wilson et al. As Faces da
Física. São Paulo: Moderna, 2002.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática:
contexto e aplicações. São Paulo: Ática,
2000. 
GIOVANNI, José Ruy et al. Matemática.
São Paulo: FTD, 1995.
Grupo de Reelaboração do Ensino de
Física (GREF). Física 3: eletromagne-
tismo. 2.a ed. São Paulo: Edusp, 1998. 
PARANÁ, Djalma Nunes. Física. Série
Novo Ensino Médio. 4.a ed. São Paulo:
Ática, 2002. 
RAMALHO Jr., Francisco et alii. Os
Fundamentos da Física. 8.a ed. São
Paulo: Moderna, 2003.
TIPLER, Paul A. A Física. Rio de Janeiro:
Livros Técnicos e Científicos, 2000, 3v.
DESAFIO MATEMÁTICO (p. 3)
01. D; 
02. C; 
03. A;
04. D;
05. D;
06. D;
07. A;
08. D;
09. C; 
10. B; 
DESAFIO MATEMÁTICO (p. 4)
01. A; 
02. B; 
03. C;
04. A;
05. B;
06. B;
07. B;
08. D;
DESAFIO MATEMÁTICO (p. 5)
01. D; 
02. B; 
03. D;
04. C;
05. D;
DESAFIO FÍSICO (p. 6)
01. E; 
02. A; 
03. E;
04. C;
05. A;
06. B;
07. A;
DESAFIO FÍSICO (p. 7)
01. A; 02. E; 03. E; 04. B; 05. A; 06. A;
07. B; 08. D;
EXERCÍCIOS (p. 9)
01. C; 
02. A; 
DESAFIO FÍSICO (p. 9)
01. a) 5m/s2, b) 40m e c)4.000J
02. a) Houve e b) FAT; negativo; 
03. 40J
04. 20m/s;
05. 20m;
06. 20m;
07. a) 5.104m/s2 e b) 40Ns;
08. E;
DESAFIO LITERÁRIO (p. 10)
01. B; 02. D; 03. E; 04. B;
DESAFIO LITERÁRIO (p. 11)
01. E; 02. E;
Governador
Eduardo Braga
Vice-Governador
Omar Aziz
Reitor
Lourenço dos Santos Pereira Braga
Vice-Reitor
Carlos Eduardo Gonçalves
Pró-Reitor de Planejamento e Administração 
Antônio Dias CoutoPró-Reitor de Extensão e 
Assuntos Comunitários
Ademar R. M. Teixeira
Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Walmir Albuquerque
Coordenadora Geral
Munira Zacarias
Coordenador de Professores
João Batista Gomes
Coordenador de Ensino
Carlos Jennings
Coordenadora de Comunicação
Liliane Maia
Coordenador de Logística e Distribuição
Raymundo Wanderley Lasmar
Produção
Aline Susana Canto Pantoja
Renato Moraes
Projeto Gráfico – Jobast
Alberto Ribeiro
Antônio Carlos 
Aurelino Bentes
Heimar de Oliveira
Mateus Borja
Paulo Alexandre
Rafael Degelo
Tony Otani
Editoração Eletrônica
Horácio Martins
Encarte referente ao curso pré-vestibular
Aprovar da Universidade do Estado do
Amazonas. Não pode ser vendido.
Este material didático, que será distribuído nos Postos de Atendimento (PAC) na capital e Escolas da Rede Estadual de Ensino, é
base para as aulas transmitidas diariamente (horário de Manaus), de segunda a sábado, nos seguintes meios de comunicação:
• TV Cultura (7h às 7h30); sábados: reprise às 23h Postos de distribuição:
• Amazon Sat (21h30 às 22h)
• RBN (13h às 13h30) reprise: 5h30 e 7h (satélite) • PAC São José – Alameda Cosme Ferreira – Shopping São José 
• Rádio Rio Mar (19h às 19h30) • PAC Cidade Nova – Rua Noel Nutles, 1350 – Cidade Nova I
• Rádio Seis Irmãos do São Raimundo • PAC Compensa – Av. Brasil, 1325 – Compensa
(8h às 9h e reprise de 16h às 16h30) • PAC Porto – Rua Marquês de Santa Cruz, s/n.° 
• Rádio Panorama de Itacoatiara (11h às 11h30) armazém 10 do Porto de Manaus – Centro
• Rádio Difusora de Itacoatiara (8h às 8h30) • PAC Alvorada – Rua desembargador João
• Rádio Comunitária Pedra Pintada de Itacoatiara Machado, 4922 – Planalto
(10h às 10h30) • PAC Educandos – Av. Beira Mar, s/nº – Educandos
• Rádio Santo Antônio de Borba (18h30 às 19h)
• Rádio Estação Rural de Tefé (19h às 19h30) – horário local
• Rádio Independência de Maués (6h às 6h30)
• Rádio Cultura (6h às 6h30 e reprise de 12h às 12h30)
• Centros e Núcleos da UEA (12h às 12h30)
www.uea.edu.br e www.linguativa.com.br
Endereço para correspondência: Projeto Aprovar - Reitoria da UEA - Av. Djalma Batista, 
3578 - Flores. CEP 69050-010. Manaus-AM