Aula 3 integrais tripla com coordenadas esféricas aluno

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 Engenharias Cálculo IV 
 4° Sem. Apostila 2018 
Aula 3 - Integrais triplas com coordenadas esféricas 
As coordenadas esféricas (𝜌, 𝜃, ∅) de um ponto P(x, y, 
z) no espaço são ilustradas na figura. 
 
A coordenada 𝜌 é a distância do ponto P até origem. A 
coordenada 𝜃 é a mesma que em coordenadas 
cilíndricas, e a coordenadas ∅ é o ângulo formado pelo 
eixo positivo dos z e o segmento que une o ponto P à 
origem. 
-𝜋 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 
0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 
r = 𝜌 sen ∅, 𝜃 = 𝜃, z = 𝜌 cos ∅. 
x = r cos 𝜃, y = r sen 𝜃, z = z 
x = 𝜌 sen ∅ cos 𝜃, y = 𝜌 sen ∅ sen 𝜃, z = 𝜌 cos ∅ . 
𝜕(𝑥,𝑦,𝑧)
𝜕(𝜌,𝜃,∅)
= |
𝑠𝑒𝑛∅ 𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝜌 𝑠𝑒𝑛∅ 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜌 𝑐𝑜𝑠∅ 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑠𝑒𝑛∅ 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜌 𝑠𝑒𝑛∅ 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜌 𝑐𝑜𝑠∅ 𝑠𝑒𝑛𝜃
cos∅ 0 −𝜌 𝑠𝑒𝑛∅
| 
= 𝜌²𝑠𝑒𝑛 ∅ 
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉𝑇 = 
∭ 𝑓(𝜌 𝑠𝑒𝑛∅ 𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝜌 𝑠𝑒𝑛∅ 𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝜌 cos∅)𝑇 𝜌²𝑠𝑒𝑛∅𝑑𝑝𝑑∅𝑑𝜃 
Exemplo 1. Calcular I = ∭ 𝑥𝑇 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , onde T é a 
esfera sólida x²+y²+z²≤a². 
 
Exemplo 2. Calcular I = ∭ 𝑧𝑇 dxdydz, onde T é a região 
limitada superiormente pela x²+y²+z²=16 e 
inferiormente pelo cone z=√𝑥² + 𝑦². 
 
Exemplo 3. Calcular I = ∭ √𝑥² + 𝑦² + 𝑧²𝑇 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , 
onde T é a coroa esférica limitada por x²+y²+z²=1 e 
x²+y²+z²=4. 
 
 
 
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Exemplo 4. Calcular a integral tripla a integral I = 
∭ 𝑑𝑣𝑇 , onde T é a região delimitada por x²+y²+z²=4 e 
x²+y²=3z, utilizando as coordenadas esféricas. 
 
Exemplo 5. Descrever, em coordenadas esféricas, o 
sólido T limitado inferiormente pelo plano xy, 
superiormente pelo cone ∅ = 
𝜋
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 e lateralmente pelo 
cilindro x²+y²=a². Escrever na forma de uma integral 
itera da tripla I = ∭ (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)𝑑𝑉.𝑇 
 
Exercícios 
1- Calcular ∭ (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)𝑑𝑉𝑇 , onde T é a esfera 
x²+y²+z²≤ 9. 
2- Calcular ∭ (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧²)𝑇 𝑑𝑉 , sendo T a região 
interior à esfera x²+y²+z²=9 e exterior ao cone 
z=√𝑥² + 𝑦². 
3- Calcular ∭ (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧²)𝑇 𝑑𝑉 , sendo T a região 
interior ao cone z=√𝑥² + 𝑦² e à esfera x²+y²+z²=9. 
4- Calcular ∭ (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧²)𝑇 𝑑𝑉 , sendo T a região 
interior à esfera x²+y²+z²=9 e ao cone x²+y²=z².