a) Em quais condições uma integral dupla representa um volume? b) Quando

a) Quando a integra-se uma função de distância. Pois, Integral dupla representa o somatório de todas as pequenas variações de área (da), e área * distância = volume.

b)∬f(x, y)dxdy = ∬f(x, y)dydx (Desenhando os gráficos e mudando os intervalos de integração, se antes vc trabalhava com a função x(y), agora vai trabalhar com a função y(x). Espaço esta curto pra fazer todos esses exemplos.

c) Coordenadas esféricas são apenas umas das muitas existentes mudanças de variáveis. Você pode utilizar quando quiser, pois mudar variável é do interesse da pessoa que está efetuando o cálculo (só lembre de calcular o jacobiado ao efetuar uma mudança de variável, pois ele que que faz a correção e mantém os valores alinhados). Entretando, eu só acho viável usar coordenadas esféricas em casos que houver esferas: 1º calcular volumes de esferas (sejam deslocadas os fixas em x=y=z = 0. 2º area de superfície de uma esfera. 3º interseções entre esferas e outros objetos, etc.