Estatística Descritiva: Conceitos Básicos

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Estatística Vital
Prof. Maria Lídia Coco Terra
Departamento de Estatística
Universidade Federal da Paraíba - UFPB
João Pessoa, 5 de outubro de 2011
Motivação
• Por que o estudo da estatística?
• Pesquisas científicas;
• Testes de medicamentos;
• Controle de qualidade de medicamentos e cosméticos;
• Todo estudo ou experimento produz um conjunto de dados;
• Como interpretar as informações recolhidas?
Estatística Descritiva
• Podemos dizer que a Estatística Descritiva é a base de uma
boa análise estatística.
• Não há uma pesquisa eficiente sem essa base.
• O conjunto de técnicas que permite descrever, analisar e
interpretar os dados numéricos referentes à uma população ou
amostra define essa importante parte da Estatística.
• O objetivo da Estatística Descritiva é sintetizar de uma
forma compreensível toda informação contida em um
conjunto de dados.
• Esta síntese está na construção de tabelas, gráficos e cálculo
de medidas que representem adequadamente a informação
contida nos dados.
Estatística Descritiva
Em um sentido amplo, as funções da Estatística Descritiva são as
seguintes:
1 Obtenção dos dados (coleta);
2 Organização e classificação dos dados;
3 Apresentação dos dados (através de tabelas e gráficos);
4 Cálculo de medidas que forneçam um resumo das informações
contidas no conjunto de dados (medidas-resumo).
Variáveis
• Quando temos o interesse de investigar elementos em uma
determinada pesquisa, é de nosso interesse analisar um
resultado referente à uma ou mais características de interesse.
• É da natureza dos dados em qualquer área do conhecimento
que exista variação, ou ainda, variabilidade.
• Nesse sentido, definimos como variável como sendo uma
característica de interesse que está sujeita à variabilidade.
Variáveis
Alguns exemplos de variáveis:
Nome da Variável Possíveis valores (ou rótulos)
Sexo Masculino (1); Feminino (2)
Estado Civil Solteiro(a) (1); Casado(a) (2); Viúvo(a) (3)
Idade 0, 1, 2, 3, . . .
Peso 0, 24.5, 100.2, . . .
Altura 1.55, 2.10, . . .
Variáveis
Nesse contexto, temos então que Variável é qualquer característica
sujeita a variação.
• Algumas variáveis, como sexo e estado civil apresentam como
possíveis resultados ou realizações uma qualidade (ou
atributo);
• Já outras variáveis como peso e altura (por exemplo)
apresentam como possíveis realizações números resultantes de
contagens ou medições.
• Normalmente, são utilizadas letras (A, B, X, Y, Z, etc.) para
representar as variáveis.
• Conforme suas características particulares, as variáveis podem
ser classificadas como: quantitativas e qualitativas
Níveis de Mensuração das Variáveis
(1) Variável Qualitativa:
Uma variável é dita ser qualitativa quando apresenta como
possíveis realizações qualidades ou atributos.
Exemplos: Sexo, Estado Civil, Escolaridade, Bairro, Curso,
Departamento, Etnia, etc.
Níveis de Mensuração das Variáveis
Variáveis qualitativas são divididas em dois tipos:
(a) Nominais: Nomeiam, rotulam ou classificam um objeto,
pessoa ou alguma característica por meio de números ou
outros símbolos;
Exemplos: Sexo, Bairro, etc.
(b) Ordinais: As categorias mantém uma relação de ordem.
Exemplos: Escalas de qualidade
(Péssimo/Ruim/Regular/Bom/Ótimo), Escolaridade, etc.
Níveis de Mensuração das Variáveis
(2) Variável Quantitativa:
Uma variável é dita ser quantitativa quando apresenta como
possíveis realizações números ou quantidades.
Níveis de Mensuração das Variáveis
Variáveis quantitativas são divididas em dois tipos:
(a) Discretas: Assumem apenas valores pertencentes a um
conjunto finito ou enumerável;
Exemplos: Número de filhos (0, 1, 2, . . .), Número de livros
comprados (0, 1, 2, . . .), Número de acidentes de trânsito
(0, 1, 2, . . .), etc.
(b) Contínuas: Assumem qualquer valor num certo intervalo de
variação.
Exemplos: Peso, Altura, Renda, Preço do Dólar, Teor alcoólico
de bebidas, Taxa de mortalidade, etc.
Distribuição de Frequências
• É utilizada para resumir toda a informação obtida, de modo a
facilitar a análise;
• Ao se estudar uma variável, é desejável conhecer o
comportamento da mesma, analisando a ocorrência de todos
os possíveis resultados obtidos a partir do conhecimento das
informações;
• Em outras palavras, estamos interessados em conhecer a
distribuição dos dados.
Dados Brutos
São os dados obtidos através de algum procedimento estatístico,
que estão disponíveis logo após a coleta, mas que não estão
numericamente organizados.
Exemplo: 50 crianças foram entrevistadas, fornecendo diversas
informações. Em relação à variável IDADE, por exemplo, temos
que:
8 11 8 12 14 13 11 14 14 15
6 10 14 19 6 12 7 5 8 8
10 16 10 12 12 8 11 6 7 12
7 10 14 5 12 7 9 12 11 9
14 8 14 8 12 10 12 22 7 15
Como se pode observar no exemplo, os valores estão dispostos de
forma desordenda e pouca informação se consegue obter
inspecionando os dados.
Rol
São os dados ordenados, de forma crescente ou decrescente. A
vantagem de ordenar o conjunto de observações está em detectar
de um modo mais amplo a variabilidade das mesmas. Note que
dessa forma fica fácil de verificar os valores extremos (máximo e
mínimo). Esse tipo de procedimento não é viável quando se tem
um conjunto de dados muito grande, pois a análise se torna
extremamente complicada. No exemplo anterior, dispondo os dados
em ordem crescente, temos:
5 7 8 8 10 11 12 12 14 15
5 7 8 8 10 11 12 12 14 15
6 7 8 9 10 11 12 13 14 16
6 7 8 9 10 12 12 14 14 19
6 7 8 10 11 12 12 14 14 22
Amplitude Total
É a diferença entre o maior e o menor valor observado da variável
em estudo. Ou seja,
AT = Xmáx − Xmín,
onde, Xmáx representa o valor máximo observado da variável, e
Xmín representa o valor mínimo observado da variável.
No exemplo anterior,
AT = 22− 5 = 17.
Frequência Simples
fi : É o número de vezes que o elemento aparece no conjunto de
dados, ou o número de elementos pertencentes a uma classe ou
categoria. Observe que
k∑
i=1
fi = f1 + f2 + . . . + fk = n,
onde n é o número de observações do conjunto de dados e k é o
número de valores ou níveis que X assume.
Em outras palavras, a soma das frequências absolutas simples é
sempre igual ao número de observações do conjunto de dados.
Distribuição de Frequências por Valores
É o arranjo dos valores e suas respectivas frequências, ou seja, é uma
tabela onde os valores da variável aparecem individualmente. Teremos
uma tabela assim:
Local do título da tabela de distribuição de frequências.
Xi fi
X1 Número de valores iguais a X1=f1
X2 Número de valores iguais a X2=f2
X3 Número de valores iguais a X3=f3
...
...
Xk Número de valores iguais a Xk=fk
Σ f1 + f2 + . . . + fk = n
Note que para cada Xi existe uma frequência fi associada. Dessa
forma, teremos que i = 1, . . . , k . Em outras palavras, dizemos que
a tabela possui k linhas.
Distribuição de Frequências por Valores
Exemplo: Construir a distribuição de frequências por valores, utilizando os dados do
exemplo anterior.
Distribuição de frequências por valores para o conjunto de dados em que foram
coletadas as idades de 50 crianças:
Xi fi
05 anos Número de crianças com 05 anos = 2
06 anos Número de crianças com 06 anos = 3
07 anos Número de crianças com 07 anos = 5
08 anos Número de crianças com 08 anos = 7
09 anos Número de crianças com 09 anos = 2
10 anos Número de crianças com 10 anos = 5
11 anos Número de crianças com 11 anos = 4
12 anos Número de crianças com 12 anos = 9
13 anos Número de crianças com 13 anos = 1
14 anos Número de crianças com 14 anos = 7
15 anos Número de crianças com 15 anos = 2
16 anos Número de crianças com 16 anos = 1
19 anos Número de crianças com 19 anos = 1
22 anos Número de crianças com 22 anos = 1
Número total de crianças (Σ) 2 + 3 + 5 + 7 + · · ·+ 1 + 1 = 50Distribuição de Frequências por Valores
De forma resumida, a tabela anterior fica igual a
Distribuição de frequências por valores para o conjunto de dados em que foram
coletadas as idades de 50 crianças:
Xi fi
05 2
06 3
07 5
08 7
09 2
10 5
11 4
12 9
13 1
14 7
15 2
16 1
19 1
22 1
Σ 50
Distribuição de Frequências por Classes
Classe de frequência, ou, simplesmente, classe, é cada um dos
grupos de valores em que se subdivide a amplitude total do
conjunto de valores observados da variável. Por exemplo,
Distribuição de frequências por classes para as idades das 50
crianças na amostra.
Classe de Idade (Faixa Etária) fi
05 ` 08 10
08 ` 11 14
11 ` 14 14
14 ` 17 10
17 ` 20 1
20 ` 23 1
Σ 50
Número de Classes (c)
Não há uma fórmula exata para o cálculo do número de classes.
Em geral, utiliza-se um dos dois métodos a seguir:
(a) c = 5, para n ≤ 25 e c ∼= √n, para n > 25, onde n é o
número de observações.
(b) Regra de Sturges: c ∼= 1 + 3, 3 log10 n, onde n é o número de
observações.
Exemplo: Considerando novamente o conjunto de dados dos
exemplos anteriores, temos
(a) n = 50 > 25, então, c ∼=
√
50 ∼= 7, 07 ∼= 7 (aproximação por
falta).
(b) c ∼= 1 + 3, 3 log10 50 ∼= 1 + 3, 3× 1, 69897 ∼= 6.606601 ∼= 7
(aproximação por excesso).
Amplitude das Classes (h)
Deve-se, em geral, construir classes de mesma amplitude, a qual
pode ser obtida através da expressão:
h ∼= AT
c
.
Observação: h deve ser arredondado para o maior inteiro. No
exemplo, h ∼= 177 ∼= 2, 428571 ∼= 3. Neste caso, o número de classes
pode não corresponder ao número calculado.
Limites de Classes (LI : Limite Inferior e LS:
Limite Superior)
Podemos expressar os limites das classes de várias formas:
1 LI a` LS : considera valores entre LI e LS , incluindo LI e LS .
Exemplo: 10 a` 12.
2 LI ` LS : considera valores entre LI e LS , incluindo LI e
excluindo LS . Exemplo: 10 ` 12.
3 LI a LS : considera valores entre LI e LS , excluindo LI e
incluindo LS . Exemplo: 10 a 12.
4 LI − LS : não determina claramente se LI e LS devem ser
considerados ou não. Exemplo: 10− 12.
Utilizaremos a forma 2!
Ponto Médio da Classe (xi)
É a média aritmética entre o limite superior e o limite inferior da
classe. Ou seja,
xmédio =
LI + LS
2
.
Exemplo: 10 ` 12. xmédio = 10+122 = 222 = 11.
Distribuição de Frequências por Classes
Distribuição de frequências por classes para as idades das 50
crianças na amostra.
Classe de Idade (Faixa Etária) fi
05 ` 08 10
08 ` 11 14
11 ` 14 14
14 ` 17 10
17 ` 20 1
20 ` 23 1
Σ 50
Tipos de Frequências
Uma tabela de frequências pode representar e caracterizar um dos
tipos de frequências abaixo:
• Frequência Simples;
• Absoluta;
• Relativa;
• Frequência Acumulada;
• Absoluta;
• Relativa;
Frequências Simples
(a) Frequência Simples Absoluta (fi ): é o número de repetições
de um valor individual ou de uma classe de valores da variável.
Neste caso, assuma que k será o número de classes existentes.
Temos que
k∑
i=1
fi = f1 + . . . + fk = n.
(b) Frequência Simples Relativa (fri ): representa a proporção
de observações de um valor individual ou de uma classe, em
relação ao número total de observações. Ou seja, fri = fin .
Neste caso, temos que
k∑
i=1
fri = fr1 + . . . + frk = 1.
Frequências Acumuladas
• Muitas vezes é interessante saber qual o número acumulado de
dados até uma determinada classe.
• Neste caso, é conveniente somar em uma coluna à parte a
frequência de cada classe com a das anteriores.
• Podemos fazer este procedimento tanto para as frequências
simples absolutas quanto para as frequências simples relativas.
Roteiro para a Elaboração de uma Distribuição de
Frequências por Classes
Um roteiro para construção de tabelas de frequências pode ser
descrito pelos seguintes passos:
1 Construção do Rol;
2 Determinação da Amplitude Total (AT );
3 Determinação do Número de Classes (c);
4 Determinação da Amplitude das Classes (h);
5 Determinação dos limites das classes (LI e LS);
6 Construção da tabela de frequências, utilizando um ou mais
tipos de frequências. São utilizadas tipicamente a frequência
simples absoluta, a frequência simples relativa, a frequência
acumulada absoluta e a frequência acumulada relativa.
Distribuição de Frequências por Classes
Voltando ao exemplo anterior.
Distribuição de frequências por classes para as idades das 50
crianças na amostra.
Classe de Idade (Faixa Etária) fi fri FA FRA
05 ` 08 10 1/5 10 1/5
08 ` 11 14 7/25 24 12/25
11 ` 14 14 7/25 38 19/25
14 ` 17 10 1/5 48 24/25
17 ` 20 1 1/50 49 49/50
20 ` 23 1 1/50 50 1
Σ 50 1 − −
Gráficos
Para tornarmos possível uma representação gráfica, estabelecemos
uma correspondência entre os dados e determinada figura
geométrica, de tal modo que cada classe seja representado por uma
figura proporcional.
A representação gráfica de um fenômeno deve obedecer aos
seguintes requisitos primordiais:
1 Simplicidade: indispensável devido à necessidade de levar a
uma rápida apreensão do sentido geral do fenômeno
apresentado a fim de não nos perdermos na observação de
minúcias de importância secundária.
2 Clareza: o gráfico deve possibilitar uma correta interpretação
dos valores representativos do fenômeno em estudo.
3 Veracidade: indispensável qualquer comentário, posto que, se
não representa uma realidade, o gráfico perde sua finalidade.
Gráficos
Quanto ao critério da forma, os gráficos podem ser classificados em:
1 Diagramas: São gráficos geométricos dispostos em duas
dimensões. É o tipo de gráfico mais utilizado na representação
de séries estatísticas e se apresentam através de uma grande
variedade de tipos.
2 Cartogramas: São ilustrações relativas a cartas geográficas.
Largamente utilizados em geografia, história, demografia e
epidemiologia.
3 Estereogramas: Representam volumes e são apresentados em
três dimensões.
Observação: Trataremos, neste curso, apenas dos diagramas, por
serem os gráficos mais utilizados.
Principais Tipos de Diagramas
Gráficos em Barras
Têm a finalidade de comparar grandezas por meio de retângulos de
igual largura e alturas proporcionais às respectivas grandezas.
Neste tipo de gráfico, os retângulos são dispostos horizontalmente,
como barras. Cada barra representa a intensidade ou frequência de
uma categoria ou atributo. Os espaços existentes entre as barras
devem ser iguais.
Exemplo:
Gráficos em Colunas
Prestam-se à mesma finalidade que os gráficos em barras, sendo
preferíveis a estes últimos quando as legendas das categorias forem
curtas.
Gráficos em Linhas
São frequentemente utilizados na representação de séries de tempo. As
linhas são mais eficientes neste tipo de gráfico porque permitem a
detecção de flutuações ou mudanças intensas nas séries e também
possibilitam a representação de várias séries no mesmo gráfico. Para
construir um gráfico em linhas, basta marcar os pontos correspondentes
às grandezas e uní-los através de segmentos de reta.
Gráficos em Setores
• São utilizados para representar valores absolutos ou
porcentagens complementares. São úteis quando se deseja
comparar cada valor da classe com o total.
• A construção de um gráfico de setores parte do fato que o
número total de graus de um arco de circunferência é 360◦.
Exemplo: Considere os dados da seguinte tabela.
Número de acidentes de trânsito por tipo de veículo na Região
Metropolitana de João Pessoa, em setembro de 2007.
Tipo de Veículo No¯ de acidentes
Automóvel de passeio 243
Caminhão 123
Ônibus 97
Motocicleta 415
Total 878
continuação
878−−−−−−360
243−−−−−− x
de onde obtemos que x = 243×360
◦
878 =
87480
878
∼= 99.65◦. Repetindo o
processo, obtemos os ângulos correspondentes às outras
componentes da série.
Exemplo
O gráfico em setorda tabela anterior é:
Gráficos Representativos de Distribuições de
Frequências
Histograma e Polígono de Frequência
É a representação gráfica de uma distribuição de frequências por meio de
retângulos justapostos, cujas áreas são proporcionais às frequências das
classes. Vale mencionar que, tanto as frequências absolutas simples
quanto as relativas simples podem ser representadas através de
histogramas.
Polígono de Frequências: é obtido unindo-se os pontos médios das
bases superiores de cada retângulo através de segmentos de retas.
Exemplo: Considere os dados da tabela abaixo.
Tabela: Idade de Uma Amostra de Alunos da Escola X, 2007
Idade fi FA fri FRA
2 ` 4 3 3 3/26 3/26
4 ` 6 5 8 5/26 8/26
6 ` 8 10 18 10/26 18/26
8 ` 10 6 24 6/26 24/26
10 ` 12 2 26 2/26 1
Σ 26 − 1 −
Histograma e Polígono de Frequência
Medidas de Posição
Vimos anteriormente a sintetização dos dados sob a forma de
tabelas, gráficos e distribuições de frequências. Agora, vamos
aprender o cálculo de medidas que possibilitem representar um
conjunto de dados (valores de uma variável quantitativa, isto é,
informações numéricas), relativos à observação de determinado
fenômeno de forma reduzida.
Estes índices estatísticos são as Medidas de Posição que são
também chamadas de medidas de tendência central e
estabelecem valores em torno dos quais os dados se distribuem.
Dizemos ainda que esse nome é dado pelo fato dos dados
observados tenderem, em geral, a se concentrar em torno de valores
centrais.
Média Aritmética Simples
Se dispomos de um conjunto de valores da amostra (ordenados ou não)
podemos calcular sua média aritmética simples por
X =
n∑
i=1
Xi
n
=
X1 + · · ·+ Xn
n
,
no caso amostral, em que n representa o número de indivíduos da
amostra.
Média Aritmética Simples
Exemplo: Abaixo, temos uma amostra de 10 crianças de 5 anos de
idade em uma creche de João Pessoa, onde foram coletadas
informações referentes a seus pesos (em Kg).
23, 0 20, 2 22, 0 19, 0 25, 0
28, 8 24, 0 21, 0 27, 0 21, 0
Temos que n = 10 e obtemos X através de
X =
23, 0 + 20, 2 + 22, 0 + 19, 0 + 25, 0 + 28, 8 + 24, 0 + 21, 0 + 27, 0 + 21, 0
10
=
230, 0
10
= 23, 0.
Média Aritmética Ponderada
Caso sejam atribuídos “pesos” ou “ponderações” às observações, podemos
calcular sua média aritmética ponderada por
X =
n∑
i=1
wiXi
n∑
i=1
wi
=
w1X1 + . . . + wnXn
w1 + . . . + wn
,
em que n representa o número de indivíduos da amostra e w1, . . . ,wn são
os pesos das observações.
Média Aritmética Ponderada
Exemplo: Sejam as notas de 5 provas de um aluno de farmácia e os
pesos atribuídos a cada prova:
Notas 7, 0 3, 7 4, 9 6, 6 7, 2
Pesos 1 1 2 3 3
A média aritmética ponderada das notas pode ser obtida por
X =
7, 0× 1 + 3, 7× 1 + 4, 9× 2 + 6, 6× 3 + 7, 2× 3
1 + 1 + 2 + 3 + 3
=
7, 0 + 3, 7 + 9, 8 + 18, 8 + 21, 6
10
=
61, 9
10
= 6, 19.
Média Aritmética de Dados Tabulados
Não-agrupados em Classes
Quando os dados estão dispostos em uma tabela de freqüências por
valores, a média aritmética pode ser obtida através de
X =
k∑
i=1
fiXi
k∑
i=1
fi
=
f1X1 + . . . + fkXk
f1 + . . . + fk
=
f1X1 + . . . + fkXk
n
,
em que n representa o número de indivíduos da amostra (Note que
k∑
i=1
fi = n) e f1, . . . , fk são as freqüências simples absolutas dos k
valores.
Média Aritmética de Dados Tabulados
Não-agrupados em Classes
Exemplo:
Tabela: Número de dentes com cárie em amostra de crianças de 7 anos
de idade da segunda série do colégio X. Setembro de 2007
No¯ de dentes com cárie fi fiXi
0 3 0
1 2 2
2 4 8
3 2 6
4 1 4
5 1 5
Σ 13 25
Fonte: Dados Hipotéticos
Média Aritmética de Dados Tabulados
Não-agrupados em Classes
Obtemos o número médio de dentes com cárie por
X =
3× 0 + 2× 1 + 4× 2 + 2× 3 + 1× 4 + 1× 5
3 + 2 + 4 + 2 + 1 + 1
= 25/13
= 1, 923.
Propriedades da Média Aritmética
P1) A soma dos desvios com relação à média é nula, isto é,
n∑
i=1
(Xi − X ) = 0.
Prova: Seja X1, . . . ,Xn um conjunto de n valores. A média aritmética
desse conjunto pode ser obtida por X =
n∑
i=1
Xi
n . Podemos escrever
n∑
i=1
(Xi − X ) como
n∑
i=1
(Xi − X ) =
n∑
i=1
Xi −
n∑
i=1
X =
n∑
i=1
Xi − nX
=
n∑
i=1
Xi − n
n∑
i=1
Xi
n
=
n∑
i=1
Xi −
n∑
i=1
Xi = 0.
continuação
P2) Somando-se ou subtraindo-se uma constante “a” a todos os
valores do conjunto, a média fica aumentada ou diminuida dessa
constante.
Prova: Seja X1, . . . ,Xn um conjunto de n valores. A média
aritmética desse conjunto pode ser obtida por X = X1+...+Xnn . Seja
agora, um conjunto Y1, . . . ,Yn onde cada Yi , i = 1, . . . , n é
definido por Yi = Xi + a, ou seja,
Y1 = X1 + a; Y2 = X2 + a ; . . . ;Yn = Xn + a.
A média do conjunto Y1, . . . ,Yn pode ser obtida por
Y =
Y1 + Y2 + . . . + Yn
n
=
X1 + X2 + . . . + Xn +
n termos︷ ︸︸ ︷
a + a + . . . + a
n
=
X1 + . . . + Xn
n
+
n · a
n
= X + a.
continuação
P3) Multiplicando-se ou dividindo-se uma constante “b” a todos os
valores do conjunto, a média fica multiplicada ou dividida por essa
constante.
Prova: Seja X1, . . . ,Xn um conjunto de n valores. A média
aritmética desse conjunto pode ser obtida por X = X1+...+Xnn . Seja
agora, um conjunto Y1, . . . ,Yn onde cada Yi , i = 1, . . . , n é
definido por Yi = b · Xi , ou seja,
Y1 = b · X1; Y2 = b · X2; . . . ; Yn = b · Xn.
A média do conjunto Y1, . . . ,Yn pode ser obtida por
Y =
Y1 + Y2 + . . . + Yn
n
=
b · X1 + b · X2 + . . . + b · Xn
n
=
b · (X1 + . . . + Xn)
n
= b · X1 + . . . + Xn
n
= b · X .
Observação: A prova para a divisão é análoga.
Vantagens e desvantagens da média
V 1 É a medida mais conhecida e de maior uso;
V 2 É facilmente calculável;
V 3 Pode ser tratada algebricamente;
V 4 Serve para compararmos conjuntos semelhantes;
V 5 É particularmente indicada para dados que possuem os valores
simétricos em relação a um valor médio e de frequência máxima
(um histograma pode ajudar nessa identificação);
D1 É uma medida de tendência central que por uniformizar os valores
de um conjunto de dados, não representa bem os conjuntos que
revelam tendências extremas. Ou seja, é fortemente influenciada
pelos valores extremos (grandes) do conjunto;
D2 Não pode ser calculada para distribuições de freqüências com limites
indeterminados (indefinidos);
D3 Só deve ser utilizada quando a distribuição dos dados for simétrica
(normal ou Gaussiana).