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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAI´BA Ca´lculo das Probabilidades e Estat´ıstica I Professora: Juliana Freitas Pires Terceira Lista de Exerc´ıcios Parte I: Varia´veis aleato´rias, Esperanc¸a e Variaˆncia Questa˜o 1. Considere uma varia´vel aleato´ria X com a seguinte func¸a˜o de probabilidade: p(x) = { c, para i = 1, 3, 5 2c, para i = 2, 4 a) Determine o valor da constante c que torna leg´ıtima a func¸a˜o de probabilidade acima. b) Obtenha a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada. c) Encontre a Esperanc¸a e a Variaˆncia de X. Questa˜o 2. Um lojista mante´m extensos registros das vendas dia´rias de certo aparelho. Com os dados coletados construiu a seguinte distribuic¸a˜o de probabilidade da varia´vel aleato´ria X = nu´mero de aparelhos vendidos por semana: xi 0 1 2 3 4 5 P(X = xi) 0, 05 0, 05 0, 25 0, 30 0, 20 0, 15 a) Calcule o nu´mero esperado de aparelhos vendidos por semana. b) Calcule o desvio padra˜o nu´mero de aparelhos vendidos por semana. Questa˜o 3. Uma ma´quina de apostas tem dois discos que funcionam independentemente um do outro. Cada disco tem 10 figuras: 4 M, 3 B, 2 P, 1 L. Uma pessoa paga R$90, 00 e aciona a ma´quina. Se aparecerem dois M ganha R$50, 00; se aparecerem dois B ganha R$90, 00; se aparecerem dois P ganha R$150, 00; se aparecerem dois L ganha R$190, 00; se aparecer uma configurac¸a˜o diferente a pessoa perde R$20, 00. Seja Y a varia´vel aleato´ria lucro: a) Encontre a func¸a˜o de probabilidade de Y; b) Calcule o lucro esperado. Voceˆ apostaria neste jogo? Questa˜o 4. O tempo T em minutos necessa´rio para um opera´rio processar certa pec¸a, e´ uma v.a. com a seguinte distribuic¸a˜o de probabilidade: ti 2 3 4 5 6 7 P(T = ti) 0, 1 0, 1 0, 3 0, 2 0, 2 0, 1 a) Calcule o tempo me´dio de processamento e a variaˆncia. b) Para cada pec¸a processada o opera´rio ganhara´ um fixo de R$ 2, 00, mas se ele processa a pec¸a em menos de 6 minutos, ganha a mais 0, 50 por cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a pec¸a em 4 minutos recebe a quantia adicional de R$ 1, 00. Encontre a distribuic¸a˜o de probabilidade, a esperanc¸a e a variaˆncia da quantia ganha por pec¸a. 1 Questa˜o 5. Suponha que a varia´vel aleato´ria X tenha a seguinte func¸a˜o de densidade: f(x) = 1 + x, se − 1 < x < 0 1− x, se 0 < x < 1 0, se x < −1 ou x > 1 a) Obtenha a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada b) Calcular E(X) e Var(X). Questa˜o 6. Seja X uma varia´vel aleato´ria com densidade f(x) = { cx2, se − 1 ≤ x ≤ 1 0, caso contra´rio a) Determine c para que f(x) seja uma funcao densidade. b) Encontre P(X > 0). c) Encontre o valor de x tal que F (x) = 1/4 onde F e´ a distribuic¸a˜o acumulada. d) Determine E(X) e Var(X). Questa˜o 7. Seja a varia´vel aleato´ria cont´ınuaX = quantidade mensal ofertada (em ton.) para um particular produto, com func¸a˜o densidade de probabilidade dada por: f(x) = { x−1/2 2 , se 0 ≤ x ≤ 1 0, caso contra´rio a) Calcule P(X > E(X)), onde E(X) e´ o nu´mero esperado de quantidade ofertada do produto. Questa˜o 8. Seja X uma varia´vel aleato´ria denotando o tempo (em horas) necessa´rio para produzir um determinado artigo, com func¸a˜o densidade de probabilidade dada por: f(x) = { 0, 4(x+ 1), se 1 ≤ x ≤ 2 0, caso contra´rio a) Calcule o tempo esperado na produc¸a˜o do artigo. b) O lucro (em R$) que o produtor tem sobre um artigo e dado por Y = 3−X2. Calcule o lucro esperado por artigo. Questa˜o 9. Seja X a varia´vel aleato´ria denotando o tempo semanal necessa´rio para completar um pequeno contrato. A fdp de X e´ dada por: f(x) = x− 2 16 , se 2 ≤ x ≤ 6 10− x 16 , se 6 < x ≤ 10 0, caso contra´rio Calcule: a) P(5 ≤ X ≤ 7). b) E(X). c) O lucro do contrato depende do tempo necessario para completa-lo, atraves da func¸a˜o: Lucro = 100− 10X (em R$). Determine o lucro esperado. 2 Parte II: Binomial e Poisson Questa˜o 10. Estat´ısticas de tra´fego revelam que 30% dos ve´ıculos interceptados numa autoestrada na˜o passam no teste de seguranc¸a. De 4 ve´ıculos interceptados aleatoriamente, calcule a probabilidade de que na˜o passe no teste de seguranc¸a: a) nenhum deles. b) todos eles. c) exatamente um. d) pelo menos um. e) se forem interceptados aleatoriamente 40 ve´ıculos, qual o nu´mero esperado dos que na˜o passam no teste de seguranc¸a? Questa˜o 11. Um levantamento efetuado na carteira de uma ageˆncia banca´ria indicou 20% dos t´ıtulos eram pagos com atraso. Se em determinado dia foram pagos 20 t´ıtulos da carteira, determine a probabilidade de que sejam pagos com atraso: a) no ma´ximo dois t´ıtulos. b) no mı´nimo um t´ıtulo. c) Qual o nu´mero esperado de t´ıtulos pagos com atraso? Questa˜o 12. Um levantamento efetuado em um prega˜o de bolsa de valores mostrou que naquele dia 40% das empresas tiveram aumento do valor de suas ac¸o˜es, enquanto que as ac¸o˜es das empresas restantes ficaram esta´veis ou perderam valor. Um fundo negocia com ac¸o˜es de 10 destas empresas. Calcule a probabilidade de que neste dia: a) Todas as ac¸o˜es do fundo tenham se valorizado; b) Todas as ac¸o˜es do fundo tenham se desvalorizado ou ficaram esta´veis? Questa˜o 13. Um inspetor de qualidade sabe que a porcentagem de laˆmpadas defeituosas no lote e´ 20%. Em uma amostra de 5 laˆmpadas ele deseja saber: a) a probabilidade de obter pelo menos uma laˆmpada defeituosa; b) o nu´mero esperado de laˆmpadas defeituosas e a probabilidade de E(X). Questa˜o 14. A probabilidade de um atirador acertar o alvo e´ 1/3. Se ele atirar 6 vezes qual a probabilidade de: a) acertar exatamente 2 vezes? b) na˜o acertar nunhum tiro? Questa˜o 15. Se 5% das laˆmpadas de certa marca sa˜o defeituosas, achar a probabilidade de que, numa amostra de 10 laˆmpadas, escolhidas ao acaso, tenhamos: a) nenhuma defeituosa. b) 3 defeituosas. c) mais do que uma boa. Questa˜o 16. Em cada dois dias, em me´dia, chegam um navio em um determinado porto. a) Qual a probabilidade de que dois ou mais navios chegara˜o em um dia qualquer? b) Qual a probabilidade de chegarem pelo menos treˆs navios em dois dias. 3 Questa˜o 17. Em me´dia, quatro pessoas por hora utilizam o servic¸o de caixa-automa´tico de um banco. Qual a probabilidade de que: a) Exatamente treˆs usaram o servic¸o em uma hora qualquer? b) Exatamente duas usaram o servic¸o em 15 minutos? c) Pelo menos treˆs usara´ o servic¸o em uma hora qualquer? Questa˜o 18. Suponha que um manuscrito de um livro texto tenha um total de 50 erros nas 500 pa´ginas de material. Se os textos sa˜o distribu´ıdos aleatoriamente ao longo do texto, qual a probabilidade de encontrar dois erros em uma pa´gina qualquer? Questa˜o 19. Placas de metal sa˜o inspecionadas regularmente quanto ao nu´mero de fendas encontrando-se em me´dia 2, 2 fendas por 2m2. Supondo que o nu´mero de fendas se distribuem segundo uma distribuic¸a˜o de Poisson, calcule a probabilidade de se obter: a) nenhuma fenda em 2m2 do material. b) No mı´nimo uma placa, em um lote de 5 placas, com nenhuma fenda por 2m2. Questa˜o 20. Em uma empresa de ceraˆmica sabe-se que existe em me´dia 0, 1 defeito por m2. Um comprador analisa uma a´rea de 5m× 4m de piso e decide comprar dessa marca se encontrar no ma´ximo 1 defeito nesta a´rea. Qual a probabilidade do comprador comprar desta marca de ceraˆmica? Questa˜o 21. O nu´mero me´dio de componentes defeituosos por certo tipo de aparelho eletroˆnico e´ de 1, 8. Admitindo-se poder ser empregada a distribuic¸a˜o de Poisson: a) Calcule a me´dia e o desvio padra˜o dessa distribuic¸a˜o. b) Calcular a probabilidade de um aparelho apresentar no ma´ximo 2 componentes defeituosos. Questa˜o 22. Uma fa´brica de pneus verificou que ao testar seus pneus na pista, havia em me´dia um estouro de pneu a cada 5000 km. a) Qual a probabilidade que num teste de 3000 km haja noma´ximo um pneu estourado? b) Qual a probabilidade de que um carro ande 8000 km sem estourar nenhum pneu? Parte III: Distribuic¸a˜o Normal Questa˜o 23. Em uma pronta entrega, durante uma etapa do ciclo de produc¸a˜o, e´ medido o comprimento (X) do corpo de ternos de tamanho 2 que sa˜o confeccionados pela empresa. Sabendo que X segue uma distribuic¸a˜o normal com me´dia igual a 90, 0 cm e desvio padra˜o de 0, 9 cm, calcule as seguintes probabilidades: a) de encontrar ternos com comprimento entre 89 e 91 cm. b) de encontrar ternos com comprimento menor que 88 cm. c) de encontrar ternos com comprimento maior que 91, 5 cm. Questa˜o 24. Estudos anteriores mostram que a temperatura de um pasteurizador segue uma distribuic¸a˜o normal com me´dia 75, 4◦C e desvio padra˜o 2, 2◦C. Sabe-se que se a temperatura ficar inferior a 70◦C, o leite podera´ ficar com bacte´rias male´ficas. a) Qual a probabilidade do leite ficar com bacte´rias male´ficas? b) Considerando 1000 utilizac¸o˜es de um pasteurizador, em me´dia, quantas a temperatura deve ser inferior a 70◦C podendo prejudicar o leite? c) Qual a probabilidade de que em 10 utilizac¸o˜es do pasteurizador em nenhuma o leite fique com bacte´rias male´ficas? 4 Questa˜o 25. Uma ma´quina de ensacar determinado produto apresenta variac¸o˜es de peso (distribu´ıdo normalmente) com desvio padra˜o de 3 kg. a) Se a ma´quina for regulada com um peso me´dio de 64 kg, qual e´ a probabilidade de se obter sacos com menos de 55 kg? b) Se a ma´quina for regulada com um peso me´dio de 64 kg, qual e´ a probabilidade de se obter sacos com mais de 66 kg? c) Em quanto deve ser regulado o peso me´dio do saco para que apenas 10% tenham menos de 60 kg? Questa˜o 26. Um estudo das modificac¸o˜es percentuais dos prec¸os, no atacado, de produtos industrializados, mostrou que ha´ distribuic¸a˜o normal com me´dia de 50% e desvio padra˜o de 10%. Qual a porcentagem dos artigos que sofreram aumentos: a) superiores a 75%? b) entre 30% e 80%? Questa˜o 27. A resisteˆncia de determinadas pec¸as individuais feitas por um certo processo de manufatura e´ conhecida ser normalmente distribu´ıda com media µ = 24 e desvio padrao σ = 3. Toda pec¸a produzida e´ testada, sendo aceita pelo controle de qualidade se as suas especificac¸o˜es quanto a` resistencia estiver entre µ− 2σ e µ+ 2σ (caso contra´rio e´ rejeitada). a) Calcule a probabilidade de uma peca ser rejeitada. b) Um consumidor exige que pelo menos 95% das pec¸as tenha resisteˆncia superior a 20; tal especificac¸a˜o e´ atendida? Justificar a resposta. Questa˜o 28. Uma empresa produz um equipamento cuja vida u´til admite distribuic¸a˜o normal com me´dia 300 h e desvio padra˜o 20 h. Se a empresa garantiu uma vida u´til de pelo menos 280 h para uma das unidades vendidas, qual a probabilidade de ela ter que repor essa unidade? Questa˜o 29. Uma varia´vel aleato´ria X distribui-se normalmente com me´dia 80 e variaˆncia 9. Calcule o intervalo central que conte´m: a) 50% dos valores da varia´vel; b) 95% dos valores da varia´vel. c) 99% dos valores da varia´vel. Questa˜o 30. Atrave´s de documentac¸a˜o e observac¸a˜o cuidadosas, constatou-se que o tempo para fazer um teste padra˜o de matema´tica e´ aproximadamente uma normal com µ = 80 min e σ = 20 min. Que percentagem de candidatos: a) Levara´ menos de 80 min para concluir o teste? b) Nao terminara´ o teste se o tempo ma´ximo concedido e´ de 2 horas? c) Se 100 pessoas fazem o teste, quantas podemos esperar que o terminem na primeira hora? Questa˜o 31. O Departamento de Marketing da empresa resolve premiar 5% dos seus vendedores mais efi- cientes. Um levantamento das vendas individuais por semana mostrou que elas se distribu´ıam normalmente com me´dia 240.000 u.m. e desvio padra˜o 30.000 u.m. Qual o volume de vendas mı´nimo que um vendedor deve realizar para ser premiado? Questa˜o 32.Em uma populac¸a˜o de escores cujo valor me´dio e´ µ = 60 e desvio padra˜o e´ σ = 12, desejamos dividi-la em quatro classes. A classe “A” e´ formada por 16, 6% dos menores escores; a classe “B” por 24, 3% dos escores seguintes a “A”; a classe “C” por 38, 2% dos escores seguintes a “B” e a classe “D” pelos maiores escores restantes. Admitindo distribuic¸a˜o normal para os escores: a) quais os limites de cada classe? b) Em que classe estara´ um escore de 75? E um escore de 30? 5
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