Probabilidade Aula4

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Probabilidade
Probabilidade
Curso Preparato´rio para o Mestrado
em Engenharia de Produc¸a˜o
Professora: Andre´a Rocha
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARA´IBA
Novembro, 2009
Probabilidade
Teoremas
Teorema do Produto
A mais importante consequeˆncia da definic¸a˜o de probabilidade
condicional e´ obtida ao se escrever:
P(A ∩ B) = P(B|A)P(A) ou P(A ∩ B) = P(A|B)P(B).
Este resultado e´ conhecido como Teorema do Produto ou da
Multiplicac¸a˜o de probabilidades. E pode ser generalizado da
seguinte maneira:
P(A1 ∩A2 ∩ · · · ∩An) =
= P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 ∩A2)P(An|A1 ∩ · · ·An−1).
Probabilidade
Teoremas
Teorema do Produto
Exemplo: Uma caixa conte´m 4 laˆmpadas boas e 2
queimadas. Retira-se ao acaso 3 laˆmpadas, sem reposic¸a˜o.
Achar a probabilidade dessas 3 laˆmpadas serem boas. Seja
Ai = { a i-e´sima laˆmpada e´ boa }, i = 1, 2, 3.
P(A1 ∩A2 ∩A3) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 ∩A2) =
=
4
6
· 3
5
· 2
4
=
1
5
Probabilidade
Teoremas
Teorema da Probabilidade Total
Consideremos um evento A qualquer referente a Ω, e seja
B1,B2, . . . ,Bk uma partic¸a˜o de Ω. Temos que
A = (A ∩ B1) ∪ (A ∩ B2) ∪ · · · ∪ (A ∩ Bk).
Como os eventos (A ∩ B1), (A ∩ B2), . . . , (A ∩ Bk) sa˜o dois a
dois mutuamente excludentes, temos que
P(A) = P(A ∩ B1) + P(A ∩ B2) + · · ·+ P(A ∩ Bk).
Probabilidade
Teoremas
Teorema da Probabilidade Total
Contudo, cada termo P(A ∩ Bj) pode ser expresso na forma
P(A|Bj)P(Bj) e, da´ı, obteremos o que se denomina Teorema
da Probabilidade Total.
P(A) = P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+ · · ·+P(A|Bk)P(Bk),
onde A e´ qualquer evento referente a Ω e B1,B2, . . . ,Bk e´
uma partic¸a˜o de Ω.
Probabilidade
Teoremas
Teorema da Probabilidade Total
Exemplo: Consideremos o exemplo do lote com 20 pec¸as
defeituosas e 80 na˜o defeituosas, o qual sa˜o extra´ıdas duas
pec¸as sem reposic¸a˜o. Agora poderemos calcular P(B), assim
P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|Ac)P(Ac) =
=
19
99
· 1
5
+
20
99
· 4
5
=
1
5
Probabilidade
Teoremas
Teorema de Bayes
Seja B1,B2, . . . ,Bk uma partic¸a˜o do espac¸o amostral Ω e seja
A um evento associado a Ω. Aplicando a definic¸a˜o de
probabilidade condicional, podemos escrever
P(Bi|A) =
P(A|Bi)P(Bi)∑k
j=1 P(A|Bj)P(Bj)
, i = 1, . . . ,k.
Este resultado e´ conhecido como Teorema de Bayes.
Probabilidade
Teoremas
Teorema de Bayes
Exemplo: Numa certa turma, 1% dos homens e 4% das mulheres
teˆm menos de 1, 60m de altura. Ale´m disso, 60% dos estudantes
sa˜o homens. Se um estudante e´ selecionado aleato´riamente e tem
menos de 1, 60m de altura, qual e´ a probabilidade do estudante ser
um homem?
Sejam
A = {estudantes com menos de 1,60m},
M = {estudantes do sexo feminino},
H = {estudantes do sexo masculino}.
Probabilidade
Teoremas
Teorema de Bayes
P(A|H) = 0, 01, P(A|M) = 0, 04, P(H) = 0, 6, P(M) = 0, 4.
P(H|A) =
P(A|H)P(H)
P(A|H)P(H) + P(A|M)P(M)
=
=
0, 01 · 0, 6
0, 01 · 0, 6 + 0, 04 · 0, 4 =
3
11
.
Probabilidade
Independeˆncia
Independeˆncia
Considere dois eventos A e B quaisquer de um mesmo espac¸o
amostral Ω. Dois eventos A e B sa˜o independentes quando a
probabilidade de ocorrer um deles na˜o e´ modificada pela
ocorreˆncia do outro, isto e´,
P(A) = P(A|B) ou P(B) = P(B|A).
Se A e B sa˜o eventos independentes, enta˜o
P(A ∩ B) = P(A)P(B).
Probabilidade
Independeˆncia
Independeˆncia
Exemplo: Suponha que dois dados equilibrados sejam jogados.
Sejam os eventos
A = {o primeiro dado mostra um nu´mero par}
e
B = {o segundo dado mostra o nu´mero 5 ou 6}.
Determinar P(A), P(B), P(A ∩ B), P(A|B) e P(B|A).
Probabilidade
Independeˆncia
Independeˆncia
Ω = {(1, 1), (1, 2), . . . , (6, 6)}, #Ω = 36
A = {(2, 1), (2, 2), . . . , (6, 6)}, #A = 18
B = {(1, 5), (2, 5), . . . , (6, 6)}, #B = 12
A∩B = {(2, 5), (2, 6), (4, 5), (4, 6), (6, 5), (6, 6)}, #A∩B = 6
P(A) =
18
36
=
1
2
, P(B) =
12
36
=
1
3
, P(A ∩ B) = 6
36
=
1
6
.
P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
=
1/6
1/3
=
1
2
.
P(B|A) =
P(A ∩ B)
P(A)
=
1/6
1/2
=
1
3
.
Probabilidade
Independeˆncia
Independeˆncia
Este resultado pode ser generalizado para n eventos, na seguinte
definic¸a˜o:
Sejam A1, . . . ,An, eventos de um mesmo espac¸o amostral Ω.
Dizemos que A1, . . . ,An sa˜o eventos independentes se, e somente
se, para k = 2, 3, . . .
P(Ai1 ∩Ai2 · · · ∩Aik) = P(Ai1)P(Ai2) · · ·P(Aik).
Neste caso, temos (2n − n− 1) relac¸o˜es a serem verificadas.
Probabilidade
Independeˆncia
Exemplo: Suponha que um par de moedas na˜o viciadas seja
jogado. Sejam os eventos
A = {cara na primeira moeda},
B = {cara na segunda moeda}
e
C = {cara em exatamente uma moeda}.
Determinar P(A), P(B), P(C), P(A ∩ B), P(A ∩ C), P(B ∩ C) e
P(A ∩ B ∩ C) e verificar se A, B, e C sa˜o independentes.
Probabilidade
Independeˆncia
Ω = {(c, c), (c,k), (k, c), (k,k)}, #Ω = 4.
A = {(c, c), (c,k)}, B = {(c, c), (k, c)}, C = {(c,k), (k, c)},
#A = #B = #C = 2.
A ∩ B = {(c, c)}, A ∩ C = {(c,k)}, B ∩ C = {(k, c)},
#A ∩ B = #A ∩ C = #B ∩ C = 1.
Probabilidade
Independeˆncia
P(A) = P(B) = P(C) =
1
2
,
P(A ∩ B) = 1
4
= P(A)P(B), P(A ∩ C) = 1
4
= P(A)P(C),
P(B ∩ C) = 1
4
= P(B)P(C),
P(A ∩ B ∩ C) = P(∅) = 0 6= 1
8
= P(A)P(B)P(C).
Probabilidade
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1: Uma caixa conte´m dez pec¸as das quais quatro sa˜o
defeituosas. Sa˜o retiradas duas pec¸as, uma apo´s a outra. Calcular
a probabilidade de ambas serem boas (com e sem reposic¸a˜o).
Exerc´ıcio 2: Suponha que a probabilidade de um homem com 50
anos viver mais 10 anos seja igual a 32%, e que a probabilidade de
que sua esposa que tem 40 anos, viver mais 10 anos e´ de 58%.
Qual e´ a probabilidade de que:
a) O casal viva mais 10 anos?
b) Somente um deles viva mais 10 anos?
c) Pelo menos um deles viva mais 10 anos?
Probabilidade
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 3: Uma urna 1 conte´m 10 bolas brancas e 8 bolas
vermelhas. A urna 2 conte´m 6 bolas brancas e 5 bolas vermelhas.
Uma bola e´ selecionada aleatoriamente da urna 1 e colocada na
urna 2. Uma bola e´ escolhida ao acaso da urna 2. Qual a
probabilidade de que a bola escolhida seja vermelha?
Exerc´ıcio 4: Considere duas urnas A e B, a urna A conte´m uma
bola branca e uma preta, e a urna B conte´m duas bolas brancas e
treˆs pretas. Uma bola e´ escolhida da urna A e colocada na urna B.
Em seguida, uma bola e´ escolhida da urna B. Qual a probabilidade
de que:
a) Ambas sejam da mesma cor?
b) A primeira seja preta dado que a segunda foi branca?
Probabilidade
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 5: Em uma populac¸a˜o, sabe-se que o nu´mero de
mulheres e´ duas vezes maior que a dos homens. Sabe-se tambe´m
que 6% dos homens sa˜o daltoˆnicos e 3% das mulheres sa˜o
daltoˆnicas. Se uma pessoa e´ selecionada, ao acaso, e verifica-se
que e´ daltoˆnica, determine a probabilidade de que seja do sexo
feminino.
Probabilidade
Respostas
Exerc´ıcio 1: Com reposic¸a˜o - 36100 e sem reposic¸a˜o -
30
90 .
Exerc´ıcio 2: a) 0,1856, b) 0,5288 e c) 0,7144.
Exerc´ıcio 3: 49108 .
Exerc´ıcio 4: a) 712 e b)
2
5 .
Exerc´ıcio 5: 0, 5.
Probabilidade
IIIII FIM
	Teoremas
	Independência