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Matemática Financeira em Gestão Financeira

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MATEMÁTICA FINANCEIRAMATEMÁTICA FINANCEIRAMATEMÁTICA FINANCEIRAMATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
INTRODUÇÃO 
 
A Matemática Financeira é a parte da Matemática que visa estudar o valor do dinheiro no 
tempo, isto é: ela fornece instrumentos para o estudo e avaliação das formas de aplicação 
de dinheiro bem como de pagamentos de empréstimos. 
 
 I -OPERAÇÕES BÁSICAS 
 
1.1 Formas de apresentação da taxa: 
 
PPPPercentualercentualercentualercentual (%) 
Corresponde a referência da taxa a cem unidades de capital. 
Exemplos: 
 i = 2% ao mês = 2% a.m 
 i = 0,45% ao dia = 0,45% a.d 
 
UnitáriaUnitáriaUnitáriaUnitária 
Corresponde a referência da taxa a uma unidade de capital. 
Exemplos: 
 2% (forma percentual) corresponde a 0,02 na forma unitária. 
 0,45% (forma percentual) corresponde a 0,0045 na forma unitária. 
 
1.2 Simbologia e convenções adotadas 
 
Para efeito de um melhor rendimento do conteúdo, será utilizada a simbologia da 
calculadora financeira HP 12C, em que: 
 
nnnn - número de períodos de capitalização de juros, prazo da operação; 
iiii - taxa de juros em cada período de capitalização; 
PVPVPVPV- valor presente, capital inicial, principal; 
FVFVFVFV- valor futuro, montante no final de n períodos de capitalização; 
PMTPMTPMTPMT – pagamentos/recebimentos periódicos de mesmo valor , que ocorrem 
no final/início de cada período ( série uniforme ou anuidade) 
 
Obs.: Quando o prazo da operação é dado considerando-se ano de 360 dias, e por meses de 
30 dias, os juros são chamados de comerciais; quando os números de dias correspondem 
àqueles do ano civil (365 dias), são chamados de juros exatos. No presente texto, salvo 
observações em contrário, serão considerados anos/meses comerciais (360/30 dias). 
 
1.3 Fluxo de Caixa 
 
O fluxo de caixa de uma operação é uma representação esquemática muito útil na 
resolução de problemas, e consta de um eixo horizontal no qual é marcado o tempo, a 
partir de um instante inicial (origem), a unidade de tempo (mês, ano, dia, etc...). As 
entradas de dinheiro num determinado instante são indicadas, por convenção, com setas 
para cima, e as saídas de dinheiro são indicadas com setas para baixo. 
 
 
 
 
 
 
2 
 
DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA 
 
 
entrada de caixa (+) 
 
 
 0 1 2 . . . . . . n tempo 
 
saída de caixa ( -) 
 
 
1.4 Juros 
 
Pode ser definido como sendo a remuneração do capital, a qualquer título que são fixados 
por meio de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo (ano, mês, 
dia, etc...) 
 
Ex. 10% ao ano = 10% a.a 
 5% ao trimestre = 5% a.t 
 0,2% ao dia = 0,2% a.d 
 
A obtenção do valor dos juros do período, em valores monetários, é sempre feita pela 
aplicação da taxa de juros sobre o capital aplicado, como exemplo um capital de $100,00 
aplicado a uma taxa de juros de 5% a.a, terá no final de um ano, um valor de juros igual a: 
 100,00 x 5% = 100,00 x 0,05 = $ 5,00 0,05 = 5/100 
 
1.5 Regimes de Capitalização 
• Regime de Capitalização Simples (juros simples) - neste regime, apenas o capital 
inicial (PV), rende juros. Comporta-se como se fosse uma progressão aritmética (PA), 
crescendo os juros de forma linear ao longo do tempo. Os juros somente incidem sobre o 
capital inicial (PV), não se registrando juros sobre o saldo de juros acumulados. 
 
Exemplo: Um capital de $1.000,00 foi aplicado durante 3 anos à taxa de 10% a. a, 
pelo regime de juros simples. 
 
Juro gerado no 1º ano (1.000,00 x 0,10) = 100,00 
Juro gerado no 2º ano (1.000,00 x 0,10) = 100,00 
 Juro gerado no 3º ano (1.000,00 x 0,10) = 100,00 
 
Logo , após 3 anos este capital renderá de juros $300,00, pois somente o capital aplicado 
rende juros. 
 
• Regime de Capitalização Composta (juros compostos) - neste regime somam-se os 
juros do período ao capital (PV) para o cálculo de novos juros nos períodos 
seguintes. É um comportamento equivalente a uma progressão geométrica (PG). 
 
Exemplo: Um capital de $1.000,00 foi aplicado durante 3 anos à taxa de 10% a.a, 
pelo regime de juros compostos. 
 
Juro gerado no 1º ano (1.000,00 x 0,10) = 100,00 
Juro gerado no 2º ano (1.100,00 x 0,10) = 110,00 
 Juro gerado no 3º ano (1.210,00 x 0,10) = 121,00 
 
Logo, após 3 anos este capital renderá de juros $331,00 , pois os juros acumulam-se sobre 
os juros dos períodos anteriores. 
3 
 
2- REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES – JUROS SIMPLES 
 
2.1 Cálculo do rendimento a juros simples 
 
Fórmula : 
 
J = PV. i. n 
 
Onde: 
JJJJ - juros, rendimento, remuneração ; 
PVPVPVPV - Capital valor presente, capital inicial, principal; 
iiii - taxa de juros em cada período de capitalização; 
nnnn - número de períodos de capitalização de juros; 
 
Exemplo 2.1.1: Calcular os juros de uma aplicação financeira de $3.000,00 aplicados por 
um ano à taxa de 20% a.a. 
 
Resolução: J- ? PV - $ 3.000,00 i- 20% a.a (transformando em taxa unitária 0,20) , n – 1 
ano 
J= 3.000,00 x 0,20 x 1 = $600,00 
 
Exemplo 2.1.2 : Qual o rendimento de $10.000,00 aplicados por um mês à taxa de 12% a.a? 
 
Resolução: J- ? PV- $10.000,00 n – 1 mês i- 12 % a.a* 
 
* Às vezes a unidade de tempo da taxa de juros e do período de investimento são 
diferentes, é necessário igualá-las por meio de ajuste na taxa, iiii, ou no tempo, nnnn. Como o 
regime de capitalização é simples, basta converter através de uma multiplicação ou 
divisão. 
 
• Convertendo o exemplo pela taxa: 
J = 10.000,00 x (0,12/12) x 1 = $ 100,00 
 
• Convertendo o exemplo pelo prazo 
J = 10.000,00 x 0,12 x (1/12) = $ 100,00 
 
 
Exemplo 2.1.3: Um capital de $5.000,00 rendeu $1.200,00 em 180 dias. Qual a taxa de 
juros simples mensal e anual desta operação? 
 
Resolução: J – 1.200,00 PV - $ 5.000,00 i - ? n – 180 dias 
 
1.200,00 = 5.000,00 x i x 180 
 
i = ( 1.200,00/5.000,00) / 180 
i = 0,001333333 
 
Como as taxas são expressas em percentual 
0,001333333 x 100 = 0,133333 % a . d 
 
Ao mês = 0,133333 x 30 = 4,00% a.m Ao ano = 4,00 x 12 = 48,00% a.a 
 
 
4 
 
Exemplo 2.1.4: Uma aplicação de $3.000,00 teve um rendimento financeiro de $2.700,00. 
Para uma taxa de juros simples de 180 % a.a qual o prazo da operação? 
 
Resolução: J - $2.700,00 PV - $ 3.000,00 i = 180% a.a n - ? 
 
2.700,00 = 3.000,00 x 1,8 x n 
n = (2.700,00/3.000,00) / 1,8 
n = 0,50 ano ou 6 meses 
 
 
2.2 Cálculo do Montante e do Capital 
 
O montante, ou valor futuro (FV), é o capital inicialmente investido (PV) acrescido dos 
juros ganhos no período. 
 
FV = PV + J 
FV= PV + PV . i . n 
 
Logo a fórmula é: 
 
FV = PV (1 + i .FV = PV (1 + i .FV = PV (1 + i .FV = PV (1 + i . n)n)n)n) 
 
O cálculo do capital a partir do montante é o processo inverso, cuja fórmula é 
 
PV= FV/ (1+ i .PV= FV/ (1+ i .PV= FV/ (1+ i .PV= FV/ (1+ i . n)n)n)n) 
 
 
(1+i .n) 
 
0 1 ... 
 
n 
 ... 
 
 1/(1+i .n) 
 
Onde: 
• (1+i .n) Fator que “leva” as grandezas para frente, permite encontrar o Valor Futuro de 
uma operação ; 
 
• 1/(1+i .n) Fator que”traz” as grandezas para trás, permite encontrar o Valor 
Presente de um Montante. 
 
 
Exemplo 2.2.1: Calcular o montante de uma aplicação financeira de $3.000,00 aplicados 
por um ano à taxa de 20% a.a. 
 
Resolução FV - ? PV – $ 3.000,00 i = 20 % a.a n= 1 ano 
 
FV = 3.000,00 (1 + 0,20 x 1) 
FV = $3.600,00 
 
Exemplo 2.2.2: Qual o valor futuro (FV) de $10.000,00 aplicados por um mês à taxa de 12% 
a.a? 
 
Resolução: FV- ? PV- $10.000,00

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