Matemática Financeira

Prévia do material em texto

Matema´tica Financeira na Pra´tica com a HP 12C
Prof. Me. Alexandre Teso
Marc¸o, 2018
2
1. Introduc¸a˜o
A Matema´tica Financeira e´ uma ferramenta dos profissionais da a´rea de financ¸as que, utilizando-se dos seus
princı´pios e conceitos, podem discernir sobre o ambiente econoˆmico em que atuam. Aos que esta˜o ligados a
a´rea de nego´cios, e´ fator de suma importaˆncia saber determinar o custo efetivo das operac¸o˜es banca´rias, a fim
de estabelecer a equivaleˆncia de valores e analisar as diversas oportunidades que se apresentam no mercado
financeiro. O objetivo deste curso e´ mostrar as principais operac¸o˜es de Matema´tica Financeira com o uso da
Calculadora HP-12C, e permitir sua utilizac¸a˜o na soluc¸a˜o dos problemas de Ca´lculo Financeiro, sem o uso de
tabelas financeiras.
2. O uso da HP - 12C
Pressione a tecla ON para ligar a calculadora, que esta´ localizada no canto inferior esquerdo. Se essa tecla
for pressionada novamente, a calculadora ira´ desligar. As teclas da sua HP realizam 1, 2 ou ate´ 3 func¸o˜es. As
func¸o˜es prima´rias esta˜o impressas na face superior da tecla. Todas as teclas tem func¸a˜o prima´ria. Por exemplo
a tecla ON possui somente a func¸a˜o prima´ria. Outras teclas possuem func¸o˜es alternativas impressas em azul
ou amarela. Para acionar a func¸a˜o alternativa em azul ou amarela, primeiro e´ necessa´rio pressionar a tecla em
azul g ou amarela f , e posteriormente, a tecla da func¸a˜o desejada. Se por engano voceˆ acionar uma das
teclas azul ou amarela ira´ aparecer, na parte inferior do visor uma letra f ou g. Para cancelar esse comando, e´ so´
pressionar a tecla ENTER .
3. Comandos Ba´sicos
3.1. Limpar o Visor
Para limpar o visor e´ so´ apertar a tecla CLX
3.2. Trocar ponto por vı´rgula
Ao sair de fa´brica, sua calculadora utiliza um ponto como separador entre as partes inteira e decimal e
uma vı´rgula como separador de milhar. Desta forma o valor R$ 1.000,00 sera´ visualizado assim: 1,000.00.
Para alterar essa formatac¸a˜o, procedemos da seguinte forma:
3.2.1. Desligue a calculadora
3.2.2. Pressione a tecla ponto ( . ) e mantendo pressionada, ligue a calculadora. Somente depois solte a tecla
ponto.
3.3. Mudanc¸a de Sinal (nu´meros negativos)
O comando CHS altera o sinal (+/-) do nu´mero que esta´ no visor:
Ex:
2450 CHS - 2450
-14,50 CHS 14,50
3.4. Fixac¸a˜o de casas decimais
Para fixar o nu´mero de casas decimais que e´ mostrado no visor, basta acionar a tecla amarela f e , em
seguida, o nu´mero de casas decimais desejado (de 0 a 9).
3.5. Apagando o conteu´do armazenado na HP-12C
Alguns valores ficam na memo´ria da sua HP e podem interferir com ca´lculos posteriores. Para evitar que
isso ocorra, antes de iniciar qualquer operac¸a˜o em sua HP, apague o conteu´do dos registradores. Temos
cinco procedimentos indicados na tabela abaixo :
3.6. A pilha operacional da HP-12C
A calculadora possui 4 registradores especiais, os quais sa˜o usados para o armazenamento de nu´meros
durante os ca´lculos. Esses registradores sa˜o dispostos como uma pilha operacional, sendo designados pelas
letras X,Y,Z e T. Nas operac¸o˜es com 2 nu´meros, sa˜o utilizados os registradores X e Y. Ja´ os registradores Z
e T sa˜o usados no armazenamento de ca´lculos em cadeia. Veja os exemplos abaixo.
3.6.1. 10 - 5 + 25
3
Comando Visor
f 2 0,00
f 3 0,000
f 4 0,0000
f 5 0,00000
f 6 0,000000
f 7 0,0000000
f 8 0,00000000
f 9 0,000000000
Tabela 1: Fixac¸a˜o de casas decimais
Comando Descric¸a˜o do Conteu´do Apagado
CLX Visor ( Registrador x)
f CLEAR
∑
Registradores Estatı´sticos (R1, R2,..., R6) e os Registros da Pilha
Operacional (x, y, z, t)
f CLEAR PRGM Memo´ria de Programac¸a˜o (somente quando a a calculadora esti-
ver no modo de programac¸a˜o).
f CLEAR FIN Memo´ria Financeira
f CLEAR REG Todos os Registradores
Tabela 2: Apagar conteu´do de memo´ria
3.6.2. 12x25 +
10
3
4
f REG 12 ENTER 2 x 5 : 10 ENTER 3 : 4 : + → 5,6333...
3.7. Resolvendo ca´lculos aritme´ticos com a HP12-C
Em toda operac¸a˜o aritme´tica com dois ou mais nu´meros, deve-se introduzi-los na mesma ordem em que eles
aparecem no papel e respeitar a ordem matema´tica de resoluc¸a˜o (primeiro as operac¸o˜es de multiplicac¸a˜o
e divisa˜o e depois soma e subtrac¸a˜o). Ja´ nas operac¸o˜es que envolvem pareˆnteses ( ), colchetes [ ] e chaves
, devemos comec¸ar resolvendo primeiro as operac¸o˜es entre ( ), depois [ ] e finalmente .
3.7.1. Exemplos
Ê 2 + 3.(5 − 4) =
2 ENTER 5 ENTER 4 - 3 x + → 5
Ë 18 − 5.{4 + 2.[5 − 3.(2 − 8)] + 1} 2 ENTER 8 - 3 x CHS 5 + 2 x 1 + 4 + 5 x CHS 18 +
→ -237,00
À 2 + 5 − 3
Á (−7).(−5) + 4
Â
168
2
− 5.(−4)
Ã
(
1 +
3
100
)
−
(
5 − 2
5
)
Ä
120
12
4
4
f REG 10 ENTER 5 - 25 +
X = 0 10,00 10,00 5,00 5,00 25,00 30,00
Y = 0 0 10,00 10,00 0,00 5,00 0,00
Z = 0 0 0 0 0 0 0
T = 0 0 0 0 0 0 0
Tabela 3: Alocac¸a˜o dos registradores da pilha operacional
f REG 12 ENTER 2 x 5 :
X = 0 12,00 12,00 2,00 24,00 5,00 4,80
Y = 0 0 12,00 12,00 0,00 24,00 0,00
Z = 0 0 0 0 0 0 0
T = 0 0 0 0 0 0 0
10 ENTER 3 : 4 : +
X = 10 10,00 3,00 3,3... 4,00 0,83.. 5,633...
Y = 4,80 10,00 10,00 4,80 3,3... 4,80 0
Z = 0 4,80 4,80 0 4,80 0 0
T = 0 0 0 0 0 0 0
Tabela 4: Alocac¸a˜o dos registradores da pilha operacional do exemplo 3
Å
50
4
+ (−5).(8)
Æ (25).(2, 5) +
3
4
− 8
3
Ç
2, 55 − 5.(4, 87 + 5, 23) − 4, 61
3, 25
45
6, 7
− 8, 55 + 2, 34
3, 66
È
1.200, 45
45, 54
− 20, 01
100 − 10, 05
20, 33
3.8. Func¸o˜es de Porcentagem
A HP-12C possui treˆs func¸o˜es para o ca´lculo de porcentagem :
% → porcentagem
∆ % → Variac¸a˜o percentual para o ca´lculo da diferenc¸a percentual entre dois nos.
%T → Porcentagem do total. Para ca´lculo da porcentagem de um nu´mero em relac¸a˜o a um total.
3.8.1. Exemplo - Porcentagem %
Uma aplicac¸a˜o teve um rendimento de 1,54 no perı´odo. Se a aplicac¸a˜o inicial foi de R$ 10.500,00, qual
o rendimento bruto e o valor de resgate?
10500 ENTER 1,54 % → 161,70 (rendimento bruto)
+ → 10.661,70 ( valor de resgate)
3.8.2. Exemplo - Variac¸a˜o Percentual ∆ %
Um conjunto de ac¸o˜es foi adquirido por R$ 100,00 o lote de 1000 ac¸o˜es e vendida por R$ 155,00. Qual
foi a porcentagem de lucro?
100 ENTER 155 ∆ % → 55,00 (55% de lucro)
3.8.3. Exemplo - Porcentagem do Total %T
Um banco possui um total R$ 600.000,00 em depo´sitos. Sabe-se que R$ 250.000,00 sa˜o depo´sitos a vista,
R$ 150.000,00 sa˜o depo´sitos a prazo e R$ 200.000,00 sa˜o depo´sitos judiciais. Determine a porcentagem
de cada depo´sito em relac¸a˜o ao total.
5
600000 ENTER 250000 %T → 41,66.. (41,67% dep. a vista)
CLX 150000 %T → 25,00 (25% dep. a prazo)
CLX 200000 %T → 33,33.. (33,33% dep. judiciais)
3.8.4. Exercı´cios
1) Determinada compra foi paga em atraso com multa de 2%. Qual o valor da multa e o novo valor da
prestac¸a˜o se o valor da compra foi de R$ 260.000,00? (R$ 5.200,00 e R$ 265.200,00)
2) Um produto no valor de R$ 400,00 esta´ sendo vendido com um desconto de 8,50%. Qual o valor do
desconto fornecido pela loja e qual o valor a ser pago por este produto?(34, 366)
3) Apurar o Imposto de Renda devido e o valor lı´quido de uma aplicac¸a˜o de valor nominal R$ 12.350,00
e com 20% de taxa de imposto de renda.(2.470,00 e 9.880,00)
4) Na tabela a seguir, determinar o valor percentual de cada investimento em relac¸a˜o a` carteira to-
tal.(26,5%, 40,2%, 23%, 10%)
Tipos de Investimentos Valor %
Poupanc¸a R$ 23.900,00
Fundos de Investimentos R$ 35.000,00
CDB R$ 20.000,00
Ac¸o˜es R$ 8.900,00
Total R$ 86.900,00
5) Verificar a variac¸a˜o percentual do prec¸o das ac¸o˜es da empresa Beta a seguir:
Valor da ac¸a˜o no dia 01-06-99 R$ 1,20
Valor da ac¸a˜o no dia 01-08-99 R$ 1,14
∆ % ???
Valor da ac¸a˜o no dia 01-03-99 R$ 1,20
Valor da ac¸a˜o no dia 01-08-99 R$ 1,26
∆ % ???
6) Determinada mercadoria comprada por R$ 35,00 esta´ sendovendida pelo comerciante por R$ 50,00.
Qual a margem percentual de lucro sobre o prec¸o de custo? (42,9%)
7) Um carro esta´ sendo vendido para pagamento em 30 dias por R$ 8.000,00. Se pago a vista, sai por R$
7.300,00. Qual o percentual de desconto sobre o prec¸o de venda a prazo concedido para quem paga a
vista? (8,8%)
8) Uma mercadoria esta´ sendo vendida nas seguintes condic¸o˜es:
a) a vista: R$ 200,00.
b) a prazo: duas prestac¸o˜es iguais e consecutivas de R$ 108,00 cada, vencendo a primeira no ato da
compra e a segunda 30 dias apo´s o pagamento da primeira (1+1).
Determine a taxa mensal de juros cobrada por esta loja na venda a prazo. (17,4%)
9) A Loja do Bairro esta´ vendendo determinado produto nas seguintes condic¸o˜es:
a) a vista: 5% de desconto sobre o valor anunciado.
b) a prazo: o valor anunciado e´ dividido em duas prestac¸o˜es iguais e consecutivas, vencendo a
primeira no ato da compra e a segunda 30 dias apo´s o pagamento da primeira (1+1). Determine a
taxa mensal de juros cobrada por essa loja na venda a prazo. (Observac¸a˜o: trabalhe com um valor
hipote´tico de compra) (11,1%)
6
3.9. Func¸o˜es: Potenciac¸a˜o yx , Radiciac¸a˜o
√
x , Logaritmo LN e inverso
1
x
3.9.1. Exercı´cios
Ê 1, 283
1,28 ENTER 3 yx −→ 2,10
Ë
√
2000
2000 g √ −→ 44,72
Ì
1
10
10
1
x
−→ 0,1
Í 23 + 32
2 ENTER 3 yx + 3 ENTER 2 yx
À [(5 × 3) + (4 − 2) + 2] × 10
Á [(1 + 0, 05)12 − 1] × 100
 {(1 + 35
100
)
30
360 − 1} × 100
à {(1, 032)
1
22 − 1} × 2000
Ä
40, 45
1 − 5
3
Å
[
(1 + 8, 10)3/12 − 1
]
× 100
Æ (2, 20 − 1)90/360
Ç 10.000 × (1 − 0, 056)100/360
È
100.000
1 + (1 +
25
100
)3/12
É 500.000 − 1.000
1 + (1 +
10
100
)3/12
7
3.10. Func¸a˜o Calenda´rio (Ca´lculos com datas) g DATE e g M D.YS
Ê Formato de datas na HP12-C
. Formato meˆs-dia-ano (notac¸a˜o usada no USA) g M.DY
. Formato dia-meˆs-ano (notac¸a˜o usada no Brasil) g D.MY (no visor aparecera´ D.MY)
(0bs: Todas as informac¸o˜es podem ser obtidas para datas compreendidas entre 15 de outubro de 1582
e 25 de novembro de 4046)
Ë Nu´mero de dias entre duas datas g M D.YS
Exemplo
Quantos dias existem entre 07/09/1822 ate´ a data de 30/03/2001?
g D.MY ⇒ Define o formato de entrada da data.
7.091822 ENTER ⇒ Insere a data passada.
30.032001 ⇒ Insere a data atual.
g M D.YS 65.218 dias ⇒Retorna o nu´mero de dias (meˆs exato).
x><y 64.283 dias ⇒ Retorna o nu´mero de dias (meˆs comercial).
Ì Datas Futuras ou Datas Passadas g DATE
Exemplos
Qual a data e o dia da semana do vencimento de uma aplicac¸a˜o financeira, realizada em 29/03/2001,
por 45 dias?
g D.MY ⇒ Define o formato de entrada da data.
29.032001 ENTER ⇒ Insere a data passada.
45 ⇒ Insere o n de dias
g DATE 13.052001 7 ⇒Retorna o data e o dia da semana(1=seg, 2=ter,...,7=Dom).
Se o vencimento de uma aplicac¸a˜o financeira ocorreu em 29/03/2001, e o prazo dessa aplicac¸a˜o foi de
120 dias, qual a data e o dia da aplicac¸a˜o?
20.032001 ENTER 120 CHS g DATE ⇒ 29.112001 3
3.11. Exercı´cios
À Quantos dias (meˆs exato e comercial) existem entre as datas abaixo:
a) 15/03/2001 e 27/10/2001 226/222
b) 20/02/1999 e 10/03/20001 749/740
Á Qual o dia de seu nascimento? Quantos dias voceˆ tem?
 Se nasceu em 25 de julho de 1951, quantos dias ja´ viveu ate´ 30 de novembro de 1991? 14.738
à Quem nasceu em 01 de marc¸o de 1900, quantos dias tera´ vivido ate´ 30 de janeiro de 1930 10.927
Ä Qual sera´ o vencimento de uma duplicata emitida em 20 de fevereiro de 2001 por 62 dias? 23/04/2001 1
Å Sabendo-se que hoje (29/03/2001) venceu uma aplicac¸a˜o feita 34 dias atra´s. Determine a data em que
foi realizada a operac¸a˜o e o dia da semana.
23/02/2001 5
Æ Determine o dia da semana nas datas abaixo.
8
a) 07 de setembro de 1822 (Sab)
b) 25 de dezembro de 2001 (Ter)
Ç Sabendo-se que hoje (29/03/2001) venceu uma aplicac¸a˜o feita 34 dias atra´s. Determine a data em que
foi realizada a operac¸a˜o e o dia da semana. 23/02/2001 5.
3.12. Armazenamento e recuperac¸a˜o de nu´meros
Para armazenar nu´meros em sua calculadora, siga os passos seguintes:
1o Introduza na calculadora o nu´mero a ser armazenado.
2o Pressione a tecla g STO (Store = armazenar).
3o Introduza o nu´mero do registrador de memo´ria, escolhendo de 0 a 9 ou .0 a .9 .
4o Para recuperar o nu´mero armazenado pressione a tecla g RCL (ReCall = recuperar)
5o Pressione o nu´mero do registrador de memo´ria escolhido ( de 0 a 9 ou de .0 a .9)
4. Varia´veis usadas em Financ¸as
p Valor presente ou capital ————- PV
p Valor futuro ou montante ———— FV
p Taxa de juros —————————— i
p Prazo de aplicac¸a˜o———————— n
p Valor da parcela———————— PMT
5. Capitalizac¸a˜o Simples
Consiste no regime de capitalizac¸a˜o onde a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial, e na˜o sobre os
juros acumulados.
Fo´rmulas ba´sicas
J = PV · i · n→ juros
FV = PV · (1 + i · n)→ montante
5.1 Taxas proporcionais
No regime de juros simples, a taxa varia linearmente em func¸a˜o do tempo, ou seja, se quisermos converter
a taxa dia´ria em mensal, basta multiplicarmos a taxa dia´ria por 30. Com a taxa mensal, se quisermos uma
taxa anual basta multiplicar essa taxa mensal por 12.
5.2 Exercı´cios
5.2.1 Fiz uma aplicac¸a˜o no dia 10/12/2000 a` taxa de 3,5%a.m. (juros simples) e recebi juros de R$ 35,59 no
dia 05/01/2001. Qual foi o capital aplicado? (1.173,20)
5.2.2 Tenho que pagar R$5.000,00 daqui a 50 dias. Se eu pagar a dı´vida hoje, qual seria este valor? Considere
a taxa de juros simples de 69,48%a.a. (4.559,96)
5.2.3 Um empresa´rio obteve um empre´stimo de R$ 60.000,00 em seu banco, a uma taxa de juros simples de
6% ao meˆs, por um perı´odo de 2 semestres. Calcular o valor dos juros e o montante final a ser pago.
(103.200,00)
5.2.4 Qual o montante produzido pela aplicac¸a˜o de um capital de R$ 200.000,00, a` taxa de juros simples de
21% ao ano, pelo prazo de 68 dias? (207.933,33)
5.2.5 Quanto devo aplicar hoje, a` taxa de juros simples de 3% ao meˆs, para poder receber R$ 4.000,00 de
juros num perı´odo de quatro meses? (33.333,33)
5.2.6 Qual a taxa mensal, semestral e anual de juros simples cobrada em um empre´stimo no valor de R$
50.000,00, pelo prazo de treˆs meses, que proporcionou a quantia de R$ 2.300,00, a tı´tulo de juros? (1,53
9,20 18,40)
5.2.7 Em quanto tempo um capital de R$ 2.000,00, aplicado a` taxa de juros simples de 2% ao meˆs, produz a
quantia de R$ 500,00, a tı´tulo de juros? (12,50 meses)
9
5.2.8 A que taxa anual de juros simples devo aplicar a quantia de R$ 100.000,00, de modo a obter daqui a 88
dias o montante de R$ 144.000,00? (180)
5.2.9 Certo capital aplicado a` taxa de juros simples de 3% ao meˆs, apo´s 66 dias, produziu um montante de
R$ 60.000,00. Determine o valor do capital inicial aplicado. (56.285,18)
5.2.10 Qual o prazo que faz um capital de R$ 2.500,00 seja aumentado em 10%, a uma taxa de juros simples
de 8%a.a.? (15meses)
5.2.11 Em 1o de fevereiro o prec¸o de uma mercadoria foi reajustado em 2%. Em 1o de marc¸o foi reajustado
em 1,3% e em abril foi novamente reajustado em 1,5%, passando a custar R$ 15.000,00. Quanto custava
essa mercadoria em 1o de janeiro? (14.302,62)
5.2.12 Certo magazine concede um desconto de 5% nas vendas a` vista e cobra uma taxa de 5% para aquelas
realizadas com 8 meses de prazo de pagamento, para pagamento u´nico no final deste prazo. Qual a
taxa mensal de juros simples utilizada pela loja? (1,32)
5.2.13 Um bem custa R$ 5.000,00 a` vista. A loja que o vende aceita 40% do prec¸o a` vista e R$ 3.100,00 para 2
meses. Qual a taxa mensal de juros simples cobrada pela loja? (1,67)
5.2.14 Certa pessoa dispo˜e de determinada importaˆncia para aplicar pelo prazo de 6 meses. O gerente do
banco lhe diz que a taxa de juros simples paga pelo banco e´ de 1,1%a.m., so´ que no ato da aplicac¸a˜o
e´ descontada do clienteuma quantia equivalente a 10% do valor total dos juros pagos no perı´odo, a
tı´tulo de comissa˜o. Qual a taxa mensal de juros simples que o banco esta´ pagando ao cliente? (0,99)
6. Capitalizac¸a˜o Composta
Nesse regime de capitalizac¸a˜o, a taxa de juros incide sobre o os juros acumulados.
6.1 Fo´rmulas Principais
¶ Ca´lculo do Montante ou Valor Futuro
FV = PV(1 + i)n (1)
· Ca´lculo do Capital ou Valor Presente
PV =
FV
(1 + i)n
(2)
¸ Ca´lculo da taxa de juros
i =
(FV
PV
) 1
n − 1 (3)
¹ Ca´lculo da taxa do prazo de capitalizac¸a˜o/descapitalizac¸a˜o
n =
ln(
FV
PV
)
ln(1 + i)
(4)
6.1.1 Exemplos
¶ Determinado capital de $ 5.500,00 foi aplicado a juros compostos de 5,3% ao bimestre durante 9
trimestres. Determine o montante da operac¸a˜o.
Soluc¸a˜o:
Temos as informac¸o˜es: PV= 5000, i = 5,3%a.b., n=9 trimestres FV=???.
Ajustando as unidades das varia´veis taxa e prazo temos:
9 trimestre = 9 · 3 = 27 meses = 27/3 = 9 trimestres.
logo, usando a fo´rmula 1 do item 6.1 temos:
FV = PV(1 + i)n = 5000(1 + 5,3100 )
27/3 = 7.958, 39
ô Resolvendo na HP-12C temos:
5.3 E 100 : 1 + 27 E 3 : yx 5000 x ⇒ 7.958, 39
10
ö Usando as func¸o˜es financeira da HP-12C temos:
f CLX 5000 PV 5.3 i 27 E 3 : n FV ⇒ −7.958, 39
· Cla´udio fez um investimento de $5.500,00 que remunera juros compostos de 3,7% ao semestre. Se
ele deseja o resgatar $7.500,00, qual o prazo (meses) necessa´rio para obter esse montante?
Soluc¸a˜o:
Temos as informac¸o˜es: PV=5500, i = 3,7%a.s., FV=7500, n=??
logo, usando a fo´rmula 4 do ı´tem 6.1 temos:
n =
ln(
FV
PV
)
ln(1 + i)
=
ln(
7500
5500
)
ln(1 +
3, 7
100
)
= (8, 5367....semestres) · 6 � 51, 22meses
= 51meses e 0, 22 · 30 � 7dias
n= 51 meses e 7 dias
ô Resolvendo na HP-12C temos:
7500 E 5500 ÷ g LN 3.7 E 100 ÷ 1 + g LN
÷ ⇒ 8, 5367... � 9 semestres
ö Usando as func¸o˜es financeira da HP-12C temos:
f REG 5500 PV 7500 CHS FV 3.7 i n ⇒ 9 semestres
¸ Qual a taxa mensal de juros compostos que faz o capital de $ 2.300,00 ser remunerado em $ 1.300,00,
no perı´odo de 350 dias? Soluc¸a˜o:
Temos as informac¸o˜es: PV=2300, n=350/30 meses, FV=2300+1300=3600, i =??
logo, usando a fo´rmula 3 do ı´tem 6.1 temos:
i =
(FV
PV
) 1
n − 1 =
(3600
2300
) 30
350 − 1 = 0, 0391 ou 3, 91% ao meˆs
ô Resolvendo na HP-12C temos:
3600 E 2300 ÷ 30 E 350 ÷ yx 1 - ⇒ 0, 0391... � 3,91% ao meˆs
ö Usando as func¸o˜es financeira da HP-12C temos:
f REG 2300 PV 3600 CHS FV 350 E 30 ÷ n i ⇒ 3, 91 % ao meˆs
¹ Qual o capital que remunerado a` taxa de 3,6% ao bimestre durante 5,5 semestres, resulta no
montante de $ 10.500,00?
Soluc¸a˜o:
Temos as informac¸o˜es: FV=10500, n=5,5 semestres = 5, 5 × 6 = 33meses
2
= 16, 5 bimestres , i = 3,6%
a.b.
logo, usando a fo´rmula 2 do ı´tem 6.1 temos:
PV =
FV
(1 + i)n
=
10500(
1 + 3.6100
) 5.5 × 6
2
� 5.858, 05
ô Resolvendo na HP-12C temos:
10500 E 3, 6 E 100 ÷ 1 + 5.5 E 6 × 2 ÷ yx ÷ ⇒ 5.858, 05
ö Usando as func¸o˜es financeira da HP-12C temos:
f REG 10500 FV 5.5 E 6 × 2 ÷ n 3, 6 i PV ⇒ −5.858, 05
6.2 Exercı´cios
6.2.1 Determine o montante:
a) PV = 30.000,00 i = 2,5%a.a. n = 2 meses e 10 dias (30.144,39)
b) PV = 3.500,00 i = 32%a.a. n = 20 dias (3.554,40)
c) PV = 10.000,00 i = 5% a.m. n = 3 anos e 2 meses (63.854,77)
6.2.2 Um supermercado esta´ financiando as compras de seus clientes a` taxa de 2% a.m.. Um ciente que
dispo˜e de recursos, resolveu comprar a prazo e aplicar seu dinheiro a 20% a.a. A atitude foi correta?
(na˜o pois, 2% e´ equivalente a 26,82%a.a.)
11
6.2.3 Aplicando-se um capital no valor de R$ 70.000,00 a` taxa de 1,5%a.m., durante 35 dias, qual o valor
bruto do resgate? (71.226,52)
6.2.4 Paulo possui R$ 5.384,26 e pretende aplica-lo a` taxa de 0,1% a.d., ate´ que atinja o valor de R$ 7.000,00.
Qual deve ser o prazo desta aplicac¸a˜o? (262,56)
6.2.5 Uma aplicac¸a˜o de R$ 4.000,00 a` taxa de juros compostos de 2%a.m., pelo prazo de 35 dias, resultou em
qual valor de resgate? (4.093,49)
6.2.6 Lourdes efetuou uma aplicac¸a˜o por 75 dias a` taxa de juros compostos de 4% a.m., obtendo um montante
de R$ 8.425,00. Qual o capital aplicado? (7.638,12)
6.2.7 Um Banco fez um empre´stimo a` taxa de 3,70% a.m., pelo prazo de 35 dias no valor de R$ 150.000,00.
Sabendo-se que parte da dı´vida, R$ 45.000,00 foi paga antecipadamente 20 dias apo´s a data da liberac¸a˜o.
Qual foi o valor pago no final do perı´odo? (110.669,82)
6.2.8 Um Banco remunera aplicac¸o˜es a juros compostos, a` taxa de 1,2%a.m.. Se uma pessoa aplica hoje R$
7.000,00 e mais R$ 5.000,00 daqui a 3 meses, qual o montante daqui a 6 meses? (12.701,53)
6.2.9 Uma pessoa fez um financiamento no valor inicial de R$ 35.000,00, pelo perı´odo de 38 dias. Pore´m, 15
dias apo´s a data da liberac¸a˜o necessitou de mais R$ 18.000,00, que devera´ ser liquidado junto com a
operac¸a˜o anterior. Qual sera´ o montante a ser pago, se a taxa contratada foi de 3,5%a.m.? (55.039,90)
6.2.10 O que e´ melhor para um comprador: pagar R$ 5.000,00 daqui a 40 dias ou pagar a` vista com 10% de
desconto? Supondo que a taxa de juros composto do mercado seja 4%a.m. (melhor pagar a vista, pois
no pgto a prazo a taxa e´ de 8,22%a.m.)
6.2.11 A loja X vende uma geladeira a` vista no valor de R$ 600,00, ou a` prazo com 15% de entrada mais
uma parcela no valor de R$ 564,48, apo´s 45 dias. Determine a taxa mensal e anual do financiamento.
(7%a.m. e 125,23%a.a.)
6.2.12 Uma loja vende uma lavadora a` prazo com uma entrada e mais uma parcela de R$ 201,69 apo´s 50
dias. Sabendo-se que o valor a` vista e´ de R$ 450,00, e a taxa de financiamento cobrada pela loja e´ de
5,89%a.m., determine o valor da entrada. (266,66)
6.2.13 Fiz um empre´stimo de R$ 5.000,00 a` taxa de 3,2%a.m. , por 3 meses. Se eu efetuar um pagamento de
R$ 3.000,00 daqui a 70 dias, qual o valor que terei que pagar no final de 3 meses? (2.431,86)
6.2.14 Cla´udio aplicou R$ 2.300,00 a` taxa de 5,97%a.m. e recebeu no final do perı´odo R$ 5.488,73. Qual foi o
prazo desta aplicac¸a˜o? (15 meses)
6.2.15 Uma empresa contratou um empre´stimo a` taxa de 3,5% a.m., pelo prazo de 2 meses. O pagamento foi
efetuado da seguinte forma: R$ 3.500,00 apo´s 40 dias (a partir da data da contratac¸a˜o) e R$ 4.100,00 no
vencimento. Determine o valor do Principal recebido pela empresa. (7.170,48)
7. Operac¸o˜es de Descontos
Desconto e´ o nome de uma operac¸a˜o de abatimento que se faz quanto um tı´tulo de cre´dito e´ resgatando antes
do seu vencimento.
7.1 Tipos de Descontos simples
7.1.1 Desconto Racional (ou ”por dentro”)
Nesse tipo de operac¸a˜o a taxa de desconto incide sobre o valor atual do tı´tulo, como segue a equac¸a˜o
abaixo.
Dr = Va × d × n (5)
onde:
Dr : valor do desconto racional
d : taxa de desconto
n: prazo de antecipac¸a˜o
O valor atual (Va) ou valor descontado pode ser obtido pela subtrac¸a˜o do valor nominal (N) e do valor
12
do desconto racional (Dr), como segue na equac¸a˜o abaixo.
Va = N −Dr (6)
Substituindo a expressa˜o para Dr da equac¸a˜o (5) na equac¸a˜o (6), temos o ca´lculo para o valor atual.
Va = N −Dr = N − Va × d × n ⇒ Va = N − Va × d × n
logo temos:
Va =
N
(1 + d × n) (7)
7.1.1.1 Exemplos
¶ Um tı´tulo de $5.700,00 foi descontado 25 dias antes do vencimento. Considerando a taxa de
desconto racional igual a 5,3%a.a., determine o valor do desconto e o valor descontado desse
tı´tulo.
Soluc¸a˜o:
Temos as informac¸o˜es: N=5700, n=25 dias, d=5,3%a.a., Dr =?? e Va =??
usando a fo´rmula (7) do ı´tem 7.1.1 temos:
Va =
N
(1 + d × n) =
5700
(1 +
5, 3
100
× 25
30
)
� 5.458, 90⇒ valor atual
usando a fo´rmula (6) do ı´tem 7.1.1 temos:
Va = N −Dr ⇒ 5458.90 = 5700 −Dr ⇒ Dr = 5700 − 5458, 9 = 241, 10⇒
⇒ valor do desconto.
Na HP 12C temos o procedimento que segue:
5700 E 5.3 E 100 ÷ 25 x 30 ÷ 1 + ÷ ⇒ 5.458, 90(valor atual) 5700 E 5458.90 - ⇒
241, 10(valordo deconto)
· Um tı´tulo com valor nominal de $ 7.350,00 foi descontado 63 dias antes do vencimento. Consi-
derando que o valor do desconto racional foi de $ 380,00, determine a taxa mensal de desconto
racional.
Temos as informac¸o˜es: N = 7.350, n=63 dias, Dr = 380, d=??
usando a fo´rmula (6) do ı´tem 7.1.1 temos:
Va = N −Dr ⇒ Dr = 7.350 − 380 = 6.970
usando a fo´rmula (5) do ı´tem 7.1.1 temos:
Dr = Va × d × n⇒ d = DrVa × n =
380
6970 × 63
30
× 100 = 2, 59616... � 2, 6%a.m.
Resolvendo na HP 12C temos:
380 E 6970 E 63 × 30 ÷ ÷ 100 × ⇒ 2, 6%a.m.
¸ Um tı´tulo de valor nominal $ 13.000,00 foi resgatado antes do seu vencimento, sendo bonificado
com um desconto racional de $ 350,00. Sendo a taxa de desconto igual a 30% a.a., calcule o prazo
de antecipac¸a˜o.
Temos as informac¸o˜es: N= 13.000, Dr = 350, d = 30% a.a., n = ???
usando a fo´rmula (5) do ı´tem 7.1.1 temos:
Dr = Va × d × n⇒ n = DrVa × d =
350
13000 × 0, 30
360
= 32, 3077... � 33 dias Resolvendo na HP
12C temos:
350 E 13000 E 0.30 × 360 ÷ ÷ ⇒ 33 dias
¹ Um tı´tulo cujo resgate foi efetuado 150 dias antes do vencimento foi negociado a` taxa de 25% aa.
Uma vez que o valor descontado racional recebido foi de $ 2.000,00, determine o valor nominal.
Temos as informac¸o˜es: Va = 2.000, d = 25% a.a., n = 150 dias, N = ???
usando a fo´rmula (7) do ı´tem 7.1.1 temos:
13
Va =
N
(1 + d × n) ⇒ N = Va × (1 + d × n) = 2000 × (1 + 0, 25 ×
150
360
)⇒
⇒ ⇒ N = 2.208, 33
Resolvendo na HP 12C temos:
0.25 E 150 E 360 ÷ x 1 + 2000 x ⇒ 2.208, 33
7.1.2 Desconto Comercial (ou ”por fora”)
Nessa operac¸a˜o a taxa de desconto incide sobre o valor nominal do tı´tulo, como segue a equac¸a˜o
abaixo.
Dc = N × d × n (8)
onde:
Dc : valor do desconto comercial
d : taxa de desconto
n: prazo de antecipac¸a˜o
O valor atual (Va) ou valor descontado pode ser obtido pela subtrac¸a˜o do valor nominal (N) e do valor
do desconto comercial (Dc), como segue na equac¸a˜o abaixo.
Va = N −Dc (9)
Substituindo a expressa˜o para Dc da equac¸a˜o (8) na equac¸a˜o (9), temos o ca´lculo para o valor atual.
Va = N −Dc = N − N × d × n ⇒ Va = N × (1 − d × n)
logo temos:
Va = N × (1 − d × n) (10)
7.1.2.1 Exemplos
¶ Um tı´tulo foi descontado quatro meses antes do seu vencimento, a` taxa de 26% aa. Sabendo
que o seu valor atual comercial foi de $20.000,00, podemos afirmar que seu valor nominal foi de:
Temos as informac¸o˜es: Va = 20.000, d = 26% a.a., n = 4 meses, N = ???
Usando a fo´rmula (10) do ı´tem 7.1.2 temos:
Va = N × (1 − d × n) ⇒ N = Va(1 − d × n) =
20000
1 − 0, 26 × 4
12
⇒ ⇒ Va = 21.897, 81
Resolvendo na HP 12C temos:
20000 E 1 E 0, 26 E 4 × 12 ÷ - ÷ ⇒ 21.897, 33
· Qual a taxa anual de desconto comercial cobrada em uma operac¸a˜o de antecipac¸a˜o de 146 dias
em um tı´tulo com valor nominal de $ 75.000,00, cujo valor descontado foi de $ 63.000,00?
Temos as informac¸o˜es: Va = 63.000, N = 75.000, n = 146 dias, d = ??
Usando as equac¸o˜es (9) e depois a (8) do item 7.1.2 temos:
Va = N −Dr ⇒ Dr = 75000 - 63000 = 12000
Usando a equac¸a˜o (8) temos:
Dc = N × d × n ⇒ d = DcN × n =
12000
75000 × 146360
× 100 = 39, 4520..... � 39, 45%a.a.
Resolvendo na HP 12C temos:
12000 E 75000 E 146 × 360 ÷ ÷ 100 × ⇒ 39, 4520... � 39, 45%a.a.
Resolvendo na HP 12C temos:
75000 E 63000 - 75000 E 146 × 360 ÷ ÷ 100 × ⇒ 39, 4520... � 39, 45%a.a.
¸ Determine o prazo de antecipac¸a˜o de uma operac¸a˜o de desconto comercial, em um tı´tulo com
valor Nominal $ 45.000,00 e valor descontado de $38.000,00, cuja taxa de desconto foi de 4,5%
a.m.
Temos as informac¸o˜es: Va = 38.000, 00, N = 45.000,00, d = 4,5% a.m., n = ???
Usando as equac¸o˜es (9) e depois a (8) do item 7.1.2 temos:
Va = N −Dr ⇒ Dr = 45000 - 38000 = 7.000, 00
14
Usando a equac¸a˜o (8) temos:
Dc = N × d× n ⇒ n = DcN × d =
7000
45000 × 4,5100
= 3, 45679..... � 3 meses e 0, 456...× 30 dias⇒
⇒ 3 meses e 14 dias.
Resolvendo na HP 12C temos:
7000 E 45000 E 3, 5 × 100 ÷ ÷ ⇒ 3, 452679... 3 - 30 × � 3 meses e 14 dias.
¹ Qual o valor descontado na operac¸a˜o com valor Nominal $ 50.000,00, descontado 155 dias antes
do vencimento, sendo que a taxa de desconto comercial foi igual a 2,54% ao semestre?
Temos as informac¸o˜es: N = 50.000, 00, d = 2,54 % a.s., n = 155 dias Va =???
Usando a fo´rmula (10) do ı´tem 7.1.2 temos:
Va = N × (1 − d × n) = 50000 × (1 − 0, 254 × 155180 ) � 63.997, 72
Resolvendo na HP 12C temos:
50000 E 1 E 0, 254 E 155 × 360 ÷ - ÷ ⇒ 21.897, 33
7.2 Exercı´cios
7.2.1 Uma duplicata de valor nominal igual a R$ 1.850,00 e´ descontada em um Banco 2 meses antes do
vencimento, a` taxa de 4%a.m.. Considerando uma tarifa de despesa de 2% sobre o valor nominal.
Qual o valor lı´quido recebido pela empresa? Qual o custo efetivo desta operac¸a˜o? (VA = 1.660,45
ief=5,55%a.m.)
7.2.2 Uma duplicata no valor de R$ 4.000,00 e´ descontada 20 dias antes do vencimento. Sabendo-se que
a taxa de desconto e´ de 2,5%a.m., calcule o valor lı´quido recebido pela empresa e o custo efetivo da
operac¸a˜o. (VA = 3.930,05, ief = 2,68%a.m.)
7.2.3 Qual o valor creditado (valor atual ) na conta de um cliente que apresentou , para uma operac¸a˜o de
desconto por 42 dias, um tı´tulo com valor nominal de R$ 150.000,00, sabendo-se que a taxa de desconto
e´ de 26,70%a.m.? Admita uma tarifa de R$ 50,00 por tı´tulo descontado. (VA = 93.621,70)
7.2.4 Um cliente descontou uma duplicata de 26 dias no valor de R$ 120.000,00. Tendo recebido o valor de
R$ 99.200,00. Determine o valor do desconto total e as taxas efetiva e a de desconto (taxa nominal)
cobrada. (d = 19,88%a.m.i= 24,56%am.)
7.2.5 Sabendo-se que uma duplicata de R$ 76.000,00, descontada por 38 dias custou ao cliente R$ 20.278,00.
Determine qual o valor atual da mesma e qual a taxa de desconto (taxa nominal) cobrada pelo banco
nessa operac¸a˜o. ( VA = 55.722,00, d = 20,94%a.m.)
7.2.6 Um cliente deseja fazer uma operac¸a˜o de desconto para pagar uma dı´vida no valor de R$ 448.000,00,
sabendo-se que suas duplicatas tem prazos de 28 dias e como o banco esta´ operando com uma taxa de
desconto de 25% a.m., Qual deve o valor Borderoˆ? ( na˜o considerar o IOF) (N = 584.347,83)
7.2.7 Um cliente descontou treˆs tı´tulos em um banco com as seguintes caracterı´sticas: R$ 4.000,00 para 20
dias, R$ 3.000,00 para 30 dias e R$ 8.000,00 para 25 dias. Determine o valor do desconto e o valor atual,
sabendo-se que a taxa de desconto foi de 2,2%a.m. .Qual a taxa efetiva desta operac¸a˜o?(D = 271,33 VA
= 14.713,50 ief = 2,37%am.)
7.2.8 Determine o valor do desconto do conjunto de tı´tulos abaixo: (d = 3,5%a.m.) R$ 15.000,00 para 45 dias,
R$ 60.000,00 para 30 dias e R$ 10.000,00 para 20 dias.(3.230,50)
7.2.9 O Sr. Joa˜o Pedro e´ proprieta´rio de uma pequena loja de eletrodome´sticos. Atualmente vende deter-
minado produto por R$ 355,00 a` vista. Com o objetivo de oferecer ao cliente 4 opc¸o˜es de pagamento:
2 meses, 3 meses, 4 meses ou 5 meses deseja estabelecer o prec¸o de venda para essas opc¸o˜es de paga-
mento. Encontre o coeficiente de financiamento para essas opc¸o˜es e os respectivos prec¸os de venda, se
o banco cobra taxa de desconto comercial de 5,5% a.m. e uma tarifa de 2%. (considere IOF = 0,0041%
a.d.).
8. Aplicac¸o˜es Pra´ticas de Desconto Banca´rio nas Operac¸o˜es de Financiamento de Capital de Giro nas Empresas
Lembrando que as operac¸o˜es de descontos envolve a negociac¸a˜o de um tı´tulo, com vencimento futuro, que sera´
recebido de imediato uma parte desse valor.