Aula 05 - Distribuiçao de Probabilidades Binomial

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAMPA
CAMPUS SÃO GABRIEL
Distribuição de Probabilidades
Professora: Alexandra Augusti Boligon
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Introdução
Até o momento, os dados foram representados por distribuições de freqüências, gráficos, medidas de tendência central (posição) e de variabilidade (dispersão).
No entanto, a probabilidade (freqüência relativa) de ocorrência dos eventos pode ser modelada por funções matemáticas.
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Introdução
As distribuições de freqüências de uma amostra de elementos da população são uma estimativa da distribuição da probabilidade de acontecimento de determinados eventos (classes).
Se o tamanho da amostra for suficientemente grande, espera-se que a distribuição da amostra seja uma boa aproximação da distribuição de probabilidades da população.
A análise das distribuições de probabilidade permitem a construção de modelos que descrevam fenômenos do mundo real.
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Introdução
Variável aleatória
Seja E um experimento aleatório e S o espaço amostral (conjunto de todos os resultados possíveis) associado a esse. 
Uma função X que associe a cada elemento x  S um número real X (s) é denominada variável aleatória.
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Modo de vincular a variável aleatória discreta à probabilidade da ocorrência dos pontos do Espaço amostral (S) em cada experimento (E).
Sendo X (e.g. número amostras de leite reprovadas no quanto à microbiologia) de uma variável aleatória discreta, a probabilidade que X assuma um particular valor de x (número de casos favoráveis), é a função de probabilidade de X, que é representado por P(X = x) ou simplesmente P(x).
É uma Função Matemática que, ao ser fornecido um valor de xi é associado a esse uma P(xi), tal que:
Funções de Probabilidades (variáveis discretas)
P(xi)  0,00, i.
P(xi) = 1,00.
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EXEMPLO:
E = analisar duas amostras de leite.
X = número de amostras reprovadas quanto à microbiologia.
Funções de Probabilidades (variáveis discretas)
Espaço amostral:
[A A], [A R], [R A], [R R]
Para x = 0, 1, 2
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Funções de Probabilidades (variáveis discretas)
Figura – distribuição da freqüência do número de amostras reprovadas.
Gráf1
		0.25
		0.5
		0.25
Número de amostras reprovadas (x)
P(X=x)
Plan1
		0		0.25
		1		0.5
		2		0.25
Plan2
		
Plan3
		
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Variável aleatória discreta: seja X uma variável aleatória. Se o número de valores possíveis de X for finito ou infinito numerável, denominaremos X de variável aleatória discreta (Martins, 2010).
Distribuições discretas ou descontínuas
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1. Distribuições Binomial
Esse modelo fornece a probabilidade do número de sucessos quando são realizadas n provas idênticas.
Aplicada às variáveis aleatórias qualitativas ou categóricas que somente dois resultados são possíveis, ou seja, variáveis dicotômicas ou binárias.
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1. Distribuições Binomial
P(Sucesso) = P(S) = p
P(Fracasso) = P(F) = 1 – p = q
Resultados possíveis:
Sucesso (S) = quando ocorre evento de interesse.
Fracasso (F) = quando não ocorre evento de interesse.
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Ou seja:
Admitem apenas dois resultados. 
As repetições são independentes, ou seja, a probabilidade de sucesso e fracasso do experimento posterior não se modifica em função do evento anterior.
As probabilidades p e q são fixas.
1. Distribuição Binomial
Baseadas no experimento de Bernoulli
As tentativas são realizadas em condições fixas.
Os eventos são independentes, exaustivos e excludentes.
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Exemplos de variáveis Binomiais
O produto fabricado está/não está adequado para consumo.
Resultado de uma questão de V ou F.
Sexo de um indivíduo.
Funcionário fumante/não fumante.
Germinação de uma semente.
Ocorrência de determinada pra/doença.
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Características da Distribuição Binomial
A distribuição Binomial é caracterizada ou descrita por 2 parâmetros: o número de tentativas (n) e probabilidade de sucesso (p).
Para qualquer n, a distribuição será simétrica de p=q=0,5, assimétrica à direita se p > q e assimétrica a esquerda se p < q.
Apresenta cálculos relativamente fáceis para valores de n pequenos (n < 10)
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Fórmula da Distribuição Binomial
Onde:
x = evento que se tem interesse em associar uma probabilidade.
n= número de tentativas ou experimentos
p = probabilidade de sucesso, associada ao evento x.
q = probabilidade de fracasso (q = 1 - p).
! = fatorial.
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Exemplo
x = 2 mudas sadias.
n = 3 mudas avaliadas
p = 0,70 (Sadias).
q = 0,30 (Atacadas) = (1,000 – 0,70).
Considerando o exemplo do número de mudas atacadas por determinado vírus, calcule a probabilidade de 2 mudas serem sadias.
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Exemplo
Considerando o exemplo do número de mudas atacadas dado anteriormente, calcule a probabilidade de 2 mudas serem sadias.
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Média para Distribuição Binomial
Variância para Distribuição Binomial
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Cálculo do Desvio Padrão para Distribuição Binomial
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Exercícios
1 - Em uma prova da aplicada aos alunos da UNIPAMPA, com 06 questões de V ou F, qual a probabilidade de um aluno acertar “no chute” as seis questões?
E qual a probabilidade desse aluno acertar apenas 3 questões?
2 - Para esta mesma turma foi aplicada uma prova com 06 questões de 4 alternativas cada, qual a probabilidade de um aluno acertar “no chute” as seis questões?
E qual a probabilidade desse aluno acertar 3 questões?
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Exercícios
3 - Em experimentos anteriores, 3 sementes de araucária de um determinado lote germinaram a cada cada 10 semeadas. Se 8 sementes desse mesmo lote forem aleatoriamente selecionadas e semeadas, qual a chance que 4 delas germinarem? E de pelo menos 3 germinarem?
4 - Um aluno bem treinado consegue gerar em 80% de suas tentativas, um meio de cultura para fungos totalmente puro. Se ele realizar esse preparo 10 vezes, qual a probabilidade de se obter sucesso nas 10 tentativas?