UNIDADE 5 - INTERVALOS DE CONFIANÇA

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INFERÊNCIA ESTATÍSTICA 
Prof. Alexandra Augusti Boligon 
1 – INTERVALOS DE CONFIANÇA 
 Trata-se de uma técnica para se fazer inferência estatística. Ou seja, a 
partir de um intervalo de confiança, construídos com os elementos amostrais, 
pode-se inferir sobre um parâmetro populacional. 
A construção de intervalos de confiança fundamenta-se nas distribuições 
amostrais vistas anteriormente. A lógica é a seguinte: 
Seja 

 um parâmetro populacional. 
Seja 
ˆ
 um estimador de 

. 
Sendo conhecida a distribuição de probabilidades de 
ˆ
, é possível 
construir um intervalo: 
21
ˆˆ  
 
que contém 

, e se exigir que a probabilidade do intervalo seja de 
  .__1 confiançadenível Geralmente   %...99%,95%,901  
 Essa técnica diferencia-se da estimação por ponto, onde se calcula um 
único valor (estimativa) para o parâmetro populacional. No caso do intervalo de 
confiança busca-se um segmento, ou intervalo 
21
ˆ;ˆ 
 que contém o parâmetro 
desconhecido. 
 Por exemplo, retira-se uma amostra de 500 brasileiros e calcula-se a 
altura média de suas alturas, encontrando-se 1,66 m. Logo, uma estimação 
pontual da verdadeira média 
 
 é dada por 
mx 66,1
. Já através do intervalo 
de confiança poder-se-ia encontrar um intervalo, por exemplo, 
 68,1;58,1
 que, 
em 95% das vezes, incluiria 

 que é a verdadeira altura média dos brasileiros. 
 Os cálculos de medidas de posição e dispersão vistos no início da 
disciplina, em estatística descritiva, são exemplos de estimações pontuais. 
1.1 – INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA POPULACIONAL 

 – 
variância conhecida 
 Como se sabe, o estimador de 

 é 
x
. Também é conhecida a 
distribuição de probabilidade de 
x
: 







n
Nx
2
;


 para populações infinitas e 















1
;
2
N
nN
n
Nx

 para populações finitas. 
 Assim, para o caso de populações infinitas, a variável padronizada de 
x
 
será: 
n
x
Z



 
Fixando um nível de confiança: 
1
 tem-se: 
 
 
 
 
 
Ou seja, 
    12/2/ ZZZP
 
Substituindo-se o valor de Z: 



 














 12/2/ Z
n
x
ZP 
 A partir dessa expressão, definimos o intervalo de confiança para a 
média populacional 

 quando a variância é conhecida: 
  





 1** 2/2/
n
Zx
n
ZxP
 
Para o caso de populações finitas: 
  











 1
1
**
1
** 2/2/
N
nN
n
Zx
N
nN
n
ZxP
 
 
EXEMPLO: 
A duração média de uma peça de um microscópio possui 
5
 horas. Foram 
amostradas 100 dessas peças obtendo-se a média de 500 horas. Deseja-se 
construir um intervalo de confiança para a verdadeira duração média da peça 
com um nível de 95%. 
Do problema, temos: 
%95)1(;500;100;5   xn 
O gráfico da distribuição normal padrão será: 
 
 
 
 
Lembre-se que para encontrar o valor da abscissa 1,96 procura-se na tabela 
com a probabilidade 0,475 = 47,5%. 
Utilizando a fórmula: 
%95
100
5
*96,1500
100
5
*96,1500 





 P 
  %9598,50002,499  P 
A interpretação desse resultado é: 
O intervalo (499.02; 500.98) contém a duração média da peça com 95% 
de confiança. Isso significa que se forem construídos intervalos dessa maneira, 
para um grande número de amostras, em 95% dos casos tais intervalos 
incluiriam 

. 
1.2 – INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA POPULACIONAL 

 – 
variância desconhecida 
 O processo é semelhante àquele mostrado no item anterior. Como não 
se conhece 

, porém, é preciso substituí-lo por S (desvio-padrão amostral), 
resultando em: 
n
S
x
t


 
Com distribuição t de “student” e (n-1) graus de liberdade. Fixando-se um nível 
de confiança: 
1
, temos: 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, 
    12/2/ tttP
, que resulta em: 
  





 1** 2/2/
n
S
tx
n
S
txP
 
Para populações finitas usa-se a seguinte fórmula: 
  











 1
1
**
1
** 2/2/
N
nN
n
S
tx
N
nN
n
S
txP
 
EXEMPLO: 
A amostra: 9, 8, 12, 7, 9, 6, 11, 6, 10 e 9 foi extraída de uma população normal. 
Construir um intervalo de confiança para a média ao nível de 95%. 
Calculando-se a média e o desvio-padrão para a amostra, temos: 
7,8x
e S = 2. 
%951 
. 
Grau de liberdade: 
.91101  n
 
 
 
 
 
Na tabela, encontramos os valores para 
.2622,2025,0 t
 
Logo: 
%95
10
2
*2622,27,8
10
2
*2622,27,8 





 P 
Ou: 
  %9513,1027,7  P 
Assim, o intervalo (7.27; 10.13) contem a verdadeira média com 95% de 
confiança. 
 
 
 
1.3 – INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A VARIÂNCIA 
 O estimador de 
2
 é S². Demonstra-se que  
2
2*1

Sn 
 tem distribuição 
qui-quadrado com (n-1) graus de liberdade. Ou seja: 
  
2
2
1
2 *1

 Snn


 
Assim: 
 
 
 
 
Temos, então: 
     



 


1
*1*1
inf
2
2
2
sup
2
2
eriorerior
SnSn
P
 
 
EXEMPLO: 
Admita n = 10, S² = 4 e que se deseja construir um intervalo de 
confiança para a variância ao nível de 90%. 
.91101  n
 
Consultando a tabela da distribuição de qui-quadrado: 
 
 
 
 
1.4 – INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A PROPORÇÃO (p) 
Fixando-se um nível de confiança 
1
, temos: 
 
 
 
 
 
Ou seja: 
    12/2/ zzzP
, que resolvendo encontramos: 
     





 


 1
1
*
1
* 2/2/
n
ff
zfp
n
ff
zfP
 para população infinita. 
         











 1
1
*
1
*
1
*
1
* 2/2/
N
nN
n
ff
zfp
N
nN
n
ff
zfP
 para 
população finita. 
 
 
 
 
EXEMPLO: 
Examinadas 500 peças de uma grade de produção encontrou-se 260 
defeituosas. No nível de 90% construir um intervalo de confiança para a 
verdadeira proporção de peças defeituosas. 
Tem-se: n = 500; x = 260; 
%.901 
 
Logo: f = x/n = 260/500 = 0,52. 
 
 
 
 
Então o intervalo de confiança será: 
   
%90
500
52,0152,0
*64,152,0
500
52,0152,0
*64,152,0 






 


 pP
 
  %90552,0488,0  pP
 
Assim, o intervalo (48.8%; 55.2%) contém a verdadeira porcentagem ou 
proporção de peças defeituosas. 
 
 
Exercícios 
1 – Foram retiradas 25 peças da produção diária de uma máquina, 
encontrando-se para uma média de 5,2 mm. Sabendo-se que as medidas têm 
distribuição normal com desvio-padrão populacional 1,2 mm. Construa 
intervalos de confiança para a média aos níveis de 90%, 95% e 99%. 
2 – De uma distribuição normal com 
96,12 
, obteve-se a seguinte amostra: 
25,2 26,0 26,4 27,1 28,2 28,4. Determinar o intervalo de confiança para a 
média da população, sendo 
.10,005,0   e
 
3 - Suponha que a precipitação mensal dos últimos 5 anos em São Gabriel 
possui distribuição normal com 
mm15
. Foi retirada uma amostra aleatória 
de 100 meses, obtendo média de 175 mm. Construir ao nível de confiança de 
95%, o intervalo de confiança para a verdadeira precipitação média do local. 
4 – Avaliando-se o pesode matéria seca de 30 plantas aquáticas de uma 
represa, obtiveram-se os resultados abaixo: 
250 265 267 269 271 275 277 281 283 284 
287 289 291 293 293 298 301 303 306 307 
307 309 311 315 319 322 324 328 335 339 
 
Por meio da construção do intervalo de confiança, responder se esta amostra 
satisfaz a especificação pela qual o peso médio deve ser 300 Kg. 
%.5
 
5 – Sendo os dados abaixo referentes à vazão de 30 bicos de irrigação de um 
viveiro, em mm. 
10 11 11 11 12 12 12 12 13 13 
13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 
14 14 14 14 14 15 15 15 16 16 
 
a) Estimar a média e a variância. 
b) Construir um intervalo de confiança para a média, sendo 
%.5
 
6 – Construa o intervalo de confiança para a média da distribuição amostral 
abaixo, considerando 
%.10
 
Classes 0 - 5 5 - 10 10 - 15 15 - 20 
fi 2 3 5 2 
 
07 – Cem insetos de uma determinada espécie foram colocados em ambiente 
com temperatura abaixo da ótima. 93 deles sobreviveram e o restante morreu. 
Determinar um intervalo de confiança de 95% para a proporção de insetos que 
sobreviveram. 
08 – Uma amostra de 400 domicílios de uma cidade mostrou que 25% deles 
são casas de aluguel. Qual é o intervalo de confiança da proporção de casas 
de aluguel? 
%.2
 
09 – Uma amostra de 300 plantas de um banhado mostrou que 180 estavam 
atacadas por uma doença fúngica. Encontrar os limites de confiança de 90% e 
95% para a proporção populacional atacada pela doença. 
RESPOSTAS 
01 – 90% = (4,81; 5,59) 95% = (4,73; 5,67) 99% = (4,58; 5,82) 
02 - 90% = (25,94; 27,82) 95% = (25,76;28,00) 
03 - (172,06;177,94) 
04 - Satisfaz, pois (288,33; 304,93) 
05 - a) 
05,2
13,13
2 

S
x
 b)(12,60; 13,66) 
06 - (7,26; 13,58) 
07 - (0,87; 0,98) 
08 - (16%; 34%) 
09 - (0,56; 0,65) = 90% (0,54;0,66) = 95%