Aula 06 - Distribuiçao Normal

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAMPA
CAMPUS SÃO GABRIEL
Distribuição de Probabilidades para variáveis 
quantitativas contínuas:
Distribuição Normal
Alexandra Boligon
Carl Friedrich Gauss.
Inventou a Normal em
1809.
Introdução
Figura – distribuição de freqüências para peso ao abate de
frangos.
Introdução
Se forem avaliadas um grande número de amostras, com
grande número de classes, e portanto, pequena amplitude
de classe e for construído um polígono de freqüências,
formará uma linha suave da distribuição teórica das
probabilidades da população que pode ser representada
por uma função.
↑n ↑K, ↓h
Introdução
Exemplos de distribuições de probabilidades:
• Uniforme
• Normal ou Gaussiana
• “t” – student
• Exponencial
• Qui – quadrado
• F - Snedecor
• Weibull
• Gama
Distribuição Normal
Está entre as distribuições mais importantes, pois parte da estatística
inferencial é baseada nela.
Características
• Praticamente todas as distribuições tendem à normal
quando n  ∞
• Média, Moda e Mediana são iguais.
• É simétrica em relação à média (x=) e unimodal.
• Apresenta forma de sino.
• .f(x) é máxima quando x=.
• .f(x) tende a zero quando x  ∞, sem tocar o eixo x.
• .f(x) apresenta dois pontos de inflexão x  .
• Dois parâmetros determinam a forma da curva:  e .
2
2
x
e
2
1
)x(f











Onde:
 = 3,1416
.e = 2,718
 = média
 = desvio padrão
Função
Introdução
Características












b
a
2
x
dxe
2
1
)bxa(P
2
A área entre dois valores quaisquer a e b é equivalente à probabilidade
de ocorrência entre o intervalo correspondente. A probabilidade de
acontecer um evento entre a e b (a < b) é dada por
Distribuição Normal
A > BA < B
Distribuição Normal
Qual distribuição apresenta maior média?
Qual apresenta maior Desvio padrão?
Distribuição Normal
Distribuição Normal
A = C < B
 A < B < C
Problema:
Essa distribuição é caracterizada através dos valores da
média e do desvio padrão. Assim, ao se alterar um ou
ambos desses valores, a curva muda de forma.
Distribuição Normal Padronizada
Padronização das Variáveis
Seja um conjunto de dados X = (x1, x2, ..., xn), com média e variância
(; 2) é padronizado depois de aplicar a transformação linear:



x
Z
Média
Desvio padrão
Valor a ser 
padronizado
Número de 
desvios padrão 
distantes da média
Distribuição Normal Padronizada
Características
• Adimensional.
• Média = 0, Desvio padrão = 1 (fixos).
• .f(z) é máximo para Z = 0 (média);
• Dois pontos de inflexão (-1 e 1);
• .f(z) é simétrica em relação à média (z = 0);
• .f(x) tende a 0 quando Z se afasta da média (f(z) = 0,
quando z  ∞).
Distribuição Normal Padronizada
Tabela da distribuição Normal Padronizada
TABELA – Área de uma distribuição normal padrão (z)
Cada valor da tabela dá a proporção/ probabilidade/ área 
sob a curva inteira entre z=0 e um valor positivo de z. As 
áreas negativas são obtidas por simetria.
Distribuição Normal Padronizada
0,385
Distribuição Normal Padronizada
O,500 ou 50% O,500 ou 50%
Média
P(0; 1,06) = 0,355
Distribuição Normal Padronizada
P(-0,99;0) = 0,339
P(-; -0,99)=
0,500 – 0,339 = O,161
O,500 ou 50% O,500 ou 50%
Distribuição Normal Padronizada
P(-0,5 < z < 1,5)
P(-0,5;0) + P(0; 1,5)= 0,191 + 0,433 = 0,624
0,624
Distribuição Normal Padronizada
Distribuição Normal Padronizada
0,488
0,5 – 0,477 =0,023 
P(0, 2,0) = 0,477
Distribuição Normal Padronizada
P(-; z) = 0,3520
P(-z; 0) = 0,5 – 0,3520
Qual o valor de z?
P(-z; 0) = 0,148
Se (-z; 0) = 0,148
Z =?
Z = -0,38
0
Distribuição Normal Padronizada
0,475 0,475
-1,96
1,96
Distribuição Normal Padronizada
0,45
-1,645
0,45
1,645
Distribuição Normal Padronizada
-1,96 1,96
Exercícios
Encontre a probabilidade de Z se encontrar entre os
valores de a e b.
P(-1,0 < z <1,0) =
P(z > 1,96) =
P(z < 1,28) =
P(-1,64 < z < 1,80) =
P(z < -1,12 ou z > 2,00) =
P( -3,00 < z < 3,00) =