Cálculo1 2013.1 Lista3

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L3
EDUARDO TELES
CA´LCULO DIFERENC. E INTEGRAL I
CURSO DE LICENCIATURA EM F I´SICA
Data: 01/Ago/2013
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❆ ❆ ❆ QUESTO˜ES ❆ ❆ ❆
[ 01 ] O nu´mero de ce´lulas de levedura em uma cultura de laborato´rio aumenta rapidamente no in´ıcio,
mas eventualmente estabiliza. A populac¸a˜o e´ modelada pela func¸a˜o
n = f(t) =
a
1 + be−0,7t
em que t e´ medido em horas. No instante t = 0 a populac¸a˜o e´ 20 ce´lulas e esta´ crescendo a uma
taxa de 12 ce´lulas/hora. Encontre os valores de a e b. De acordo com esse modelo, o que ocorre
com a populac¸a˜o de levedura depois de muito tempo?
[ 02 ] Calcule os limites:
(a) lim
x→0
arc sen(2x)
x
.
(b) lim
x→0+
(1 + sen(4x))cot(x)
[ 03 ] A primeira aparic¸a˜o impressa da Regra de L’Hoˆpital foi no livro Analyse des Infiniment Petits
publicado pelo marqueˆs de L’Hoˆpital em 1696. Este foi o primeiro livro texto de ca´lculo a ser
publicado e o exemplo que o marqueˆs usou em seu livro para ilustrar sua regra foi encontrar o
limite da func¸a˜o
f(x) =
√
2a3x− x4 − a 3√aax
a− 4
√
ax3
quando x tende a a, onde a > 0. (Naquela e´poca era comum escrever aa em vez de a2). Resolva
este problema.
Pa´g.: 1 de 7
[ 04 ] A figura a seguir mostra um setor de um c´ırculo com aˆngulo central θ. Seja A(θ) a a´rea do
segmento entre a corda PR e o arco PR
⌢
. Seja B(θ) a a´rea do triaˆngulo PQR. Encontre o
lim
θ→0+
A(θ)
B(θ)
.
O
P
Q R
θ
A(θ)
B(θ)
[ 05 ] Encontre os extremos relativos usando os testes da derivada primeira e da derivada segunda.
(a) f(x) = x4 − 12x3.
(b) f(x) = (x− 3)ex.
[ 06 ] Encontre os valores ma´ximo e mı´nimo absolutos de f nos intervalos fechados dados e indique
onde ocorrem esses valores.
(a) f(x) = 3x√
4x2+1
, x ∈ [−1, 1].
(b) f(x) = sen(x)− cos(x), x ∈ [0, π].
[ 07 ] Encontre os valores ma´ximo e mı´nimo absolutos de f , se houver, nos intervalos dados e indique
onde ocorrem esses valores.
(a) f(x) = 4x3 − 3x4, x ∈ (−∞,+∞).
(b) f(x) = x−2
x+1
, x ∈ (−1, 5].
[ 08 ] Se um campo eletrosta´tico E agir em um diele´trico polar l´ıquido ou gasoso, o momento de dipolo
resultante P por unidade de volume e´
P (E) =
eE + e−E
eE − e−E −
1
E
.
Mostre que lim
E→0+
P (E) = 0.
[ 09 ] Se uma bola de metal de massa m for lanc¸ada na a´gua e a forc¸a de resisteˆncia for proporcional
ao quadrado da velocidade, enta˜o a distaˆncia que a bola percorrera´ ate´ o instante t e´ dada por
s(t) =
m
c
ln
(
cosh
√
gc
mt
)
em que c e´ uma constante positiva. Encontre lim
c→0+
s(t).
Pa´g.: 2 de 7
[ 10 ] Encontre os valores ma´ximo e mı´nimo absolutos de
f(x) =
3x√
4x2 + 1
no intervalo [−1, 1]. Por que esses valores certamente existem?
[ 11 ] Dada a func¸a˜o f(x) = x3 − 3x+ 2.
(a) Determine o domı´nio de f .
(b) Determine os pontos de intersecc¸a˜o do gra´fico de f com os eixos coordenados.
(c) Obtenha as ass´ıntotas horizontais e verticais, caso existam.
(d) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento.
(e) Determine os pontos de ma´ximo e mı´nimo e seus respectivos valores funcionais.
(f) Determine os intervalos de concavidade para cima e para baixo. Encontre os pontos de
inflexa˜o.
(g) Esboce o gra´fico de f .
[ 12 ] A Lei de Coulomb afirma que a forc¸a de atrac¸a˜o entre duas part´ıculas carregadas e´ diretamente
proporcional ao produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distaˆncia entre
elas. A figura mostra part´ıculas com carga 1 localizadas nas posic¸o˜es 0 e 2 sobre o eixo das
coordenadas, e uma part´ıcula com a carga −1 em uma posic¸a˜o x entre elas.
+1+1 -1
0 2
x
x
Segue da Lei de Coulomb que a forc¸a resultante agindo sobre a part´ıcula do meio e´
F (x) = − k
x2
+
k
(x− 2)2 , 0 < x < 2
em que k e´ uma constante positiva. Esboce o gra´fico da func¸a˜o forc¸a resultante. O que o gra´fico
mostra sobre a forc¸a?
Pa´g.: 3 de 7
[ 13 ] Uma lata cil´ındrica e´ feita para receber um litro (1000 cm3) de o´leo. Encontre as dimenso˜es que
minimizara˜o o custo do metal para produzir a lata.
Lata Tampa e
base
Lateral
r
r
r
2πr
h h
[ 14 ] Se um resistor de R ohms estiver ligado a uma pilha de E volts com resisteˆncia interna de r ohms,
enta˜o a poteˆncia (em watts) no resistor externo e´
P =
E2R
(R + r)2
.
Se E e r forem fixados, mas R variar, qual e´ o valor mı´nimo da poteˆncia.
[ 15 ] Uma refinaria de petro´leo esta´ localizada na margem norte de um rio reto que tem 2 km de
largura. Um oleoduto deve ser constru´ıdo da refinaria ate´ um tanque de armazenamento loca-
lizado na margem sul do rio, 6 km a leste da refinaria. O custo de construc¸a˜o do oleoduto e´
R$ 400.000, 00/km sobre a terra, ate´ um ponto P na margem norte e R$ 800.000, 00/km sob o
rio ate´ o tanque. Onde P deveria estar localizado para minimizar o custo do oleoduto?
[ 16 ] Uma maneira de provar que f(x) ≤ g(x) para todo x em um intervalo dado e´ mostrar que ali
f(x) − g(x) ≤ 0, e uma forma de mostrar essa u´ltima desigualdade e´ provando que o ma´ximo
absoluto de f(x)− g(x) no intervalo dado e´ na˜o-positivo. Use essa ideia para provar que
ln(x) ≤ x ∀x ∈ (0,+∞).
[ 17 ] Mostre que, de todos os triaˆngulos iso´sceles com um dado per´ımetro, aquele que tem a maior
a´rea e´ o equila´tero.
Pa´g.: 4 de 7
[ 18 ] Dada a func¸a˜o f(x) =
x− 1
x− 3.
(a) Determine o domı´nio de f .
(b) Determine os pontos de intersecc¸a˜o do gra´fico de f com os eixos coordenados.
(c) Obtenha as ass´ıntotas horizontais e verticais, caso existam.
(d) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento.
(e) Determine os pontos de ma´ximo e mı´nimo e seus respectivos valores funcionais.
(f) Determine os intervalos de concavidade para cima e para baixo. Encontre os pontos de
inflexa˜o.
(g) Esboce o gra´fico de f .
[ 19 ] A figura a seguir mostra a trajeto´ria de uma mosca cujas equac¸o˜es do movimento sa˜o
x =
cos(t)
2 + sen(t)
, y = 3 + sen(2t)− 2 sen2(t) 0 ≤ t ≤ 2π.
(a) Quais sa˜o os pontos mais alto e mais baixo do voo?
(b) A que distaˆncias ma´ximas a` esquerda e a` direita da origem ela voa?
[ 20 ] A Lei de Gravitac¸a˜o de Newton diz que a intensidade F da forc¸a exercida por um corpo de
massa m sobre um outro corpo de massa M e´
F =
GmM
r2
em que G e´ a constante gravitacional e r e´ a distaˆncia entre os corpos.
(a) Se os corpos esta˜o se movendo, encontre dF
dr
e explique seu significado. O que o sinal de
menos indica?
(b) Suponha que seja conhecido que a Terra atrai um objeto com uma forc¸a que decresce a uma
taxa de 2N/km quando r = 20 000 km. Qua˜o ra´pido essa forc¸a varia quando r = 10 000 km?
[ 21 ] Um terreno retangular dever ser cercado de duas formas. Dois lados opostos devem receber
uma cerca reforc¸ada que custa R$ 3,00 o metro, enquanto os dois lados restantes recebem uma
cerca-padra˜o de R$ 2,00 o metro. Quais sa˜o as dimenso˜es do terreno de maior a´rea que pode ser
cercado com R$ 6000,00?
Pa´g.: 5 de 7
[ 22 ] Um pedac¸o de arame com 10m e´ cortado em duas partes. Uma delas e´ curvada na forma circular
e a outra, na forma de um quadrado. Como dividir o fio, de tal forma que:
(a) a a´rea combinada das duas figuras seja a menor poss´ıvel?
(b) a a´rea combinada das duas figuras seja a maior poss´ıvel?
[ 23 ] Suponha que o nu´mero de bacte´rias em uma cultura no instante t seja dado por
N = 50(10 + te−
t
20 ).
Encontre o maior e o menor nu´mero de bacte´rias no intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 100.
[ 24 ] Use o teorema de Rolle para provar que a equac¸a˜o
4x5 + 3x3 + 3x− 2 = 0
tem exatamente uma raiz no intervalo (0, 1). [Sugesta˜o: mostre primeiro que existe um nu´mero
em (0, 1) que e´ raiz da equac¸a˜o. Enta˜o, suponha que exista maisde uma raiz da equac¸a˜o em
(0, 1) e mostre que isso leva a uma contradic¸a˜o.]
[ 25 ] Determine o polinoˆmio de Taylor de grau 5 em torno de x0 = 0 para a func¸a˜o
f(x) =
1
x+ 1
.
[Dica: o polinoˆmio de Taylor de grau n e´ dado por P (x) =
n∑
k=0
f (k)(x0)
k!
(x− x0)k.]
[ 26 ] Ache a, b e c tais que a func¸a˜o definida por
f(x) = ax2 + bx+ c
tenha um valor ma´ximo relativo de 7 em x = 1, e que o gra´fico de f passe pelo ponto (2,−2).
Pa´g.: 6 de 7
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APEˆNDICE
(a) Se u = u(x) enta˜o
d
dx
[arc sen(u)] =
1√
1− u2 ·
du
dx
(b)
(
f
g
)′
(x) =
f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)
[g(x)]2
(c) (f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)) · g′(x)
❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆
“E´ fazendo que se aprende a fazer aquilo
que se deve aprender a fazer.”
Aristo´teles
Sucesso!!!
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