Métodos_EDO3

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Equações Diferenciais Ordinárias 
Disciplina: Métodos Matemáticos I 
Cefet/RJ – Campus Petrópolis 
 
Equações Exatas 
 
 
 A equação: 
 
 
 
 É uma equação separável que pode ser 
resolvida de outra forma: 
 
 
 
 
0 xdyydx
cxy
xyd
xyd
xdyydx




 0)(
0)(
0
 Definição: 
 
 Uma expressão diferencial M(x,y)dx + N(x,y)dy é uma 
equação diferencial exata em região R no plano xy se 
corresponde a diferencial de alguma função f(x,y). 
 
 A equação diferencial de 1ª ordem: 
 
 
 
 é chamada de EQUAÇÃO EXATA. 
0),(),(  dyyxNdxyxM
Critério para equação diferencial Exata 
 Sejam e contínuas com derivadas 
parciais de primeira ordem contínuas em uma região 
R definida por: 
 
 e 
 
 A condição suficiente para que: 
 
 
 
 
),( yxM ),( yxN
dyc
bxa


0),(),(  dyyxNdxyxM
Seja exata é que: 
 
 
 
 Exemplos: 
 
 
x
N
y
M





0)1(2 2  dyxdxxy
0)2cos2()cos( 2  dyyxyxxedxxyye yxy
Método de Resolução de EDOs exatas 
 Se a equação diferencial da forma: 
 
 
 for exata. Então: 
 
0),(),(  dyyxNdxyxM
),(
),(
yxN
y
f
yxM
x
f






 Para determinar f em na primeira equação vamos integrar 
M em relação a x: 
 
 
 
 
 Em seguida, deriva a equação acima em relação a y: 
 
 
 
  )(),(),( ygdxyxMyxf












)('),(),(
),()('),(
ygdxyxM
y
yxN
yxNygdxyxM
yy
f
Equações Exatas e Fatores Integrantes 
 Essa técnica é utilizada para transformar uma equação 
diferencial não exata em uma equação exata. 
 Baseia-se na multiplicação de um fator integrante apropriado 
na equação. 
 
 
 Multiplicando o fator integrante : 
 
 
 
 
0),(),(  dyyxNdxyxM
),( yx
0),(),(),(),(  dyyxNyxdxyxMyx 
Em que o fator integrante satisfaça: 
 
 
N
NM
dx
d
N
NMN
dx
d
dx
d
NuNM
NM
NMNM
NMNM
xy
xy
xy
xy
xyxy
xyyy
)(
0
)(
)()(
0)(
0)(
















Exemplos: 
1) Verificar se a equação: 
 
 
é exata. Caso contrário, determine seu fator integrante. 
 
2) Resolver a EDO: 
 
a) 
b) 
 
 
0')()3( 22  yxyxyxy
0)2cos2()cos( 22  dyyxyxxedxxyye yy
0)2032( 22  dyyxxydx