Distribuição de probabilidade

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DISTRIBUIÇÕES DE 
PROBABILIDADE
DISCIPLINA DE PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
PROF. ME. SÁVIO FONTENELE
• Descrição numérica do resultado de um experimento
• Fornece um meio para descrever resultados experimentais usando-se
valores numéricos
• Associa um valor numérico a cada resultado experimental possível
• Pode ser classificada como discreta ou contínua, dependendo dos valores
numéricos que ela assume
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
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VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
DISCRETAS
• Pode assumir tanto um número finito de valores como uma sequência
infinita de valores.
Experimento Variável aleatória (x)
Valores possíveis para a 
variável aleatória
Inspecionar um lote de 50 produtos Número de produtos defeituosos 0,1,2,..., 50
Operar um restaurante durante um dia Número de clientes 0, 1, 2, 3, ...
Contatar cinco clientes
Número de clientes que realizam um 
pedido de compras 
0, 1, 2, 3, 4 e 5
Vender um carro Gênero do cliente 0 se for masculino
1 se for feminino
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VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
CONTÍNUAS
• Pode assumir qualquer valor numérico em um intervalo ou em uma coleção 
de intervalos 
Experimento Variável aleatória (x)
Valores possíveis para a 
variável aleatória
Construir uma nova biblioteca
Porcentagem de conclusão do projeto 
depois de seis meses
0 ≤ x ≤ 100
Testar um novo processo químico
A temperatura quando ocorre a reação 
desejada (Mín.: 65°C/Máx.: 100°C)
65 ≤ x ≤ 100
Encher uma garrafa de suco (Máx.: 890 mL) Quantidade em mL 0 ≤ x ≤ 890
Operar um banco
Tempo (em minutos) entre as chegadas 
de clientes
x ≥ 0
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• A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória descreve
como as probabilidades estão distribuídas sobre os valores da variável
aleatória.
• Para uma variável discreta x, a distribuição de probabilidade é
definida por uma função de probabilidade, denotada por f(x).
• A função de probabilidade fornece a probabilidade correspondente a
cada um dos valores da variável aleatória discreta.
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• Exemplo:
• Considere as vendas de automóveis que nos últimos 300 dias de operação, os
dados de venda mostram 54 dias sem vendas de automóveis, 117 dias com um
automóvel vendido, 72 dias com dois automóveis vendidos, 42 dias com três
automóveis vendidos, 12 dias com quatro automóveis vendidos e 3 dias com
cinco automóveis vendidos.
• Suponhamos que o experimento seja de selecionar um dia de operação na
concessionária.
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• Exemplo:
• Definimos a variável aleatória de interesse como:
• x = o número de automóveis vendidos durante um dia.
• Define-se os valores que a variável aleatória poder assumir:
• 0, 1, 2, 3, 4 ou 5.
• A partir disso, construiremos uma tabela de distribuição de probabilidades (x;
f(x)) e um gráfico (Variável aleatória x Probabilidade)
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• Condições necessárias para uma função de probabilidade discreta
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𝑓 𝑥 ≥ 0
 𝑓 𝑥 = 1
• Valor esperado:
• Medida de posição central da variável aleatória.
• Expressão matemática do VALOR ESPERADO para uma variável aleatória
discreta x é dada por:
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𝐸 𝑥 = μ = 𝑥 𝑓(𝑥)
• Variância:
• Medida que sintetiza a variabilidade nos valores da variável aleatória.
• Expressão matemática da VARIÂNCIA para uma variável aleatória discreta x é
dada por:
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Var 𝑥 = 𝜎2 = (𝑥 − 𝜇)2𝑓(𝑥)
σ = 𝜎2DESVIO PADRÃO:
• Distribuição de Probabilidade Binomial
• PROPRIEDADES:
• O experimento consiste em uma sequência de n ensaios idênticos.
• Dois resultados são possíveis em cada ensaio (sucesso/fracasso).
• A probabilidade de um sucesso (p) não se modifica de ensaio para ensaio.
Consequentemente, a probabilidade de um fracasso também não se
modifica.
• Os ensaios são independentes.
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• Distribuição de Probabilidade Binomial
• Exemplo:
• Considere o exemplo de jogar uma moeda cinco vezes. Em cada arremesso
observa-se o resultado (cara/coroa). Suponha que estejamos interessados
em contar o número de caras que aparecem nos cinco arremessos.
• Esse experimento tem as propriedades de um experimento binomial?
• Qual é a variável aleatória de interesse?
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• Distribuição de Probabilidade Binomial
• Exemplo:
• Considere a análise de defeitos dos próximos três produtos
finalizados em uma indústria. Com base em sua experiência, o
gerente de produção estima que a probabilidade de qualquer um dos
produtos ter defeitos é de 0,30. Qual é a probabilidade de dois dos
próximos três produtos terem falhas?
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• Distribuição de Probabilidade Binomial
• Exemplo:
Solução:
• Verificar as exigências para um experimento binomial.
• Construa um diagrama de árvore para verificar os resultados
possíveis dos três ensaios.
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• Distribuição de Probabilidade Binomial
• Exemplo:
Solução:
• Calcular o número de resultados experimentais que fornecem
exatamente x sucessos em n ensaios:
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𝑛
𝑥
=
𝑛!
𝑥! 𝑛 − 𝑥 !
0! = 1
Por definição:
• Distribuição de Probabilidade Binomial
• Exemplo:
Solução:
• Precisamos também conhecer a probabilidade associada a cada um desses
resultados experimentais.
• Assim, usa-se a regra da multiplicação para ensaios independentes, para
encontrar a probabilidade de uma sequência de sucessos e fracassos em
particular.
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• Distribuição de Probabilidade Binomial
• Exemplo:
Solução:
• A probabilidade de encontrar defeitos nos primeiros dois produtos e
de nenhum no terceiro produto é dada por:
S S F
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𝑝 × 𝑝 × ( 1 − 𝑝 )
• Distribuição de Probabilidade Binomial
• Exemplo:
Solução:
• Observa-se que todos os três resultados experimentais com dois sucessos
têm exatamente a mesma probabilidade.
• Em qualquer experimento binomial todas as sequências de ensaio que
produzem x sucessos em n ensaios têm a mesma probabilidade de
ocorrência.
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𝑃 = 𝑝𝑥(1 − 𝑝) 𝑛−𝑥
Regra da 
distribuiçãobinomial
• Distribuição de Probabilidade Binomial
• Exemplo:
Solução:
• A função de probabilidade binomial pode ser aplicada a qualquer
experimento binomial. Se estivermos convencidos de que uma situação
exibe as propriedades de um experimento binomial e se conhecermos os
valores de n e p, podemos usar a equação acima para calcular a
probabilidade de x sucessos em n ensaios.
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𝑓(𝑥) =
𝑛
𝑥
𝑝𝑥(1 − 𝑝) 𝑛−𝑥
• Distribuição de Probabilidade Binomial
• Valor esperado
• Variância
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𝐸 𝑥 = 𝜇 = 𝑛 𝑝
𝑉𝑎𝑟 𝑥 = 𝜎2 = 𝑛 𝑝 (1 − 𝑝)
Onde:
n – número de eventos
P – probabilidade de sucesso
• Distribuição de Probabilidade de Poisson
• PROPRIEDADES:
• A Probabilidade de uma ocorrência é a mesma para quaisquer dois
intervalos de igual comprimento.
• A ocorrência ou não ocorrência em qualquer intervalo é independente da
ocorrência ou não ocorrência em outro qualquer intervalo.
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• Distribuição de Probabilidade de Poisson
• FUNÇÃO DE PROBABILIDADE DE POISSON
f(x) – Probabilidade de ocorrências em um intervalo
x – variável aleatória discreta que indica o número de ocorrências em um
intervalo
µ - valor esperado, ou número médio de ocorrências em um intervalo
e – 2,71828
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𝑓 𝑥 =
𝜇𝑥 𝑒−𝜇
𝑥!
• Distribuição de Probabilidade de Poisson
• Exemplo:
• Suponhamos que estejamos interessados no número de carros que chegam a um
caixa automático drive-up de um banco durante um período de 15 minutos nas
manhãs de fins de semana.
• Se considerarmos que a probabilidade de um carro chegar é a mesma para
quaisquer dois períodos de igual duração e que o fato de carros chegarem ou não
chegarem em qualquer período é independente da chegada ou não chegada de
outro em qualquer outro período, a função de Poisson é aplicável.
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• Distribuição de Probabilidade de Poisson
• Exemplo:
• Considerando que as hipóteses foram satisfeitas e que a análise de dados históricos
mostre que o número médio de carros que chegam no período de 15 minutos é 10,
sendo assim, aplica-se a seguinte função de probabilidade:
• x é a variável aleatória que indica o número de carros que chegam em um período
qualquer de 15 minutos.
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𝑓 𝑥 =
10𝑥 𝑒−10
𝑥!
• Distribuição de Probabilidade de Poisson
• Exemplo:
• A média da distribuição de Poisson é µ = 10 carros que chegam por período de 15
minutos.
• Uma propriedade da distribuição de Poisson é que a média da distribuição e a
variância da distribuição são iguais.
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𝜇 = 𝜎2 = 10