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MATEMÁTICA 
FINANCEIRA
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA
 Cleia Denise Santos Ciscato
Fabiana Costa Marques
Simone Ott
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direitos do Autor, conforme determinam a Lei n.º 9.610/98 (Lei do Direito Autoral) e a Constituição Federal, 
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Reitor Prof. Celso Niskier
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Pro-Reitor Administrativo e de Operações Antonio Alberto Bittencourt
Coordenação do Núcleo de Educação a Distância Viviana Gondim de Carvalho 
Redação Dtcom
Análise educacional Dtcom
Autoria da Disciplina Cleia Denise Santos Ciscato, Fabiana Costa Marques, Simone Ott
Validação da Disciplina Marcio Mori
Designer instrucional Milena Rettondini Noboa
Banco de Imagens Shutterstock.com
Produção do Material Didático-Pedagógico Dtcom
Sumário
01 Fluxo de caixa ............................................................................................................................7
02 Conceitos de juros e o valor do dinheiro no tempo .........................................................13
03 Diferença entre juros simples e compostos......................................................................20
04 Capitalização simples ............................................................................................................26
05 Capitalização composta .......................................................................................................34
06 Desconto racional ou “por dentro” .......................................................................................43
07 Desconto comercial ou “por fora” ........................................................................................50
08 Taxas proporcionais – juros simples .................................................................................57
09  Taxas equivalentes – juros compostos ............................................................................65
10 Taxa real e nominal ................................................................................................................73
11 Equivalência de capitais ........................................................................................................80
12 Rendas certas postecipadas ................................................................................................87
13 Rendas certas antecipadas ..................................................................................................94
14 Fator de acumulação de capital ....................................................................................... 102
15 Aplicação na calculadora HP 12C e Excel ...................................................................... 110
16 Conceitos básicos de planos de amortização ............................................................... 119
17 Sistema de amortização – modelo americano ............................................................. 127
18 Sistema de amortização – modelo Price ou francês ................................................... 134
19 Sistema de amortizações constantes (sac) .................................................................. 142
20 Aplicação na calculadora HP 12c e no excel ................................................................. 150
Fluxo de caixa
Fabiana Costa Marques
Introdução
A matemática financeira é uma divisão da matemática que avalia a variação do dinheiro ao 
longo do tempo, portanto, seus conceitos estão presentes em nosso cotidiano. Quando você pega 
um empréstimo bancário, por exemplo, a operação para saber quanto ele vai custar envolve mate-
mática financeira. Da mesma forma, quando você resolve aplicar mensalmente uma quantia em 
conta poupança, o valor que vai resgatar depois de determinado tempo é calculado seguindo as 
diretrizes da matemática financeira. 
Entenda, desde já, que quando falamos em dinheiro, nem sempre estamos nos referindo a dinheiro 
físico, mas, sim, a um valor monetário, podendo ser uma promissória, um cheque, ou um boleto ban-
cário. Estes itens são chamados de títulos, isto é, papeis que representam uma quantia em moeda. 
Nesta aula, vamos abordar o fluxo de caixa, que é uma forma mais fácil e intuitiva de repre-
sentar as entradas e saídas de dinheiro. Para resolver problemas financeiros, mais do que saber o 
que são juros, taxas, equivalência de capital, temos que entender como funciona o fluxo de caixa, 
pois ele demonstra o problema matemático. 
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • elaborar fluxos de caixa representando problemas matemáticos;
 • compreender valor inicial e valor final. 
1 Fluxo de caixa
Para começar, saiba que o dinheiro sempre muda de valor. Mas como assim? Imagine que 
você tem hoje o valor de R$ 100,00. Ele confere um certo poder de compra, que o permite adquirir 
uma quantidade X de comida. Há um ano, com este mesmo valor, você comprava uma quantidade 
maior de itens, sendo que daqui a um ano, certamente seu poder de compra diminuirá. O R$ 100,00 
que você possui perde ou ganha valor ao longo do tempo. Se, por exemplo, você resolver investir 
o dinheiro na poupança, em X tempo terá o valor de R$ 100,00 mais o rendimento da aplicação. 
Portanto, grave bem esta constante da matemática financeira: dinheiro nunca fica parado. 
Para entender como essa variação acontece com o tempo, usamos o fluxo de caixa, também 
conhecido como linha do tempo. Pelo fluxo de caixa, representamos todas as saídas e entradas de 
valores por períodos determinados, que podem ser uniformes ou não. Segundo Assaf Neto (2016, 
p. 3): “o fluxo de caixa é de grande utilidade para as operações da matemática financeira, permi-
tindo que se visualize no tempo o que ocorre com o capital”.
 – 7 – 
TEMA 1
FIQUE ATENTO!
Como exposto na definição de matemática financeira, o tempo é um fator determi-
nante. Você verá que ele aparece em todos os fluxos de caixa.
Figura 1 – Saídas e entradas de valores no período.
Fonte: Rido/Shutterstock.com
O fluxo de caixa inicia na data atual, com o valor inicial, seja de um investimento, de uma 
dívida ou de um capital em geral, e mostra a evolução de algo, como o preço de uma ação, por 
exemplo. É importante você perceber que a evolução sempre se dá a partir do fator mais impor-
tante: o tempo. Observe a representação abaixo de um fluxo de caixa básico.
Figura 2 – Fluxo de caixa básico
início
valor presente
valor futuro
data final
tempo0 1 2 3 4
Fonte: elaborado pela autora, 2016. 
No exemplo acima, temos as saídas de valores representadas por setas para baixo e as entra-
das de valores por setas para cima. Tal representação não é regra, entretanto, podemos ilustrar 
todas as entradas e saídas com setas apontando para a mesma direção. Na linha horizontal, tam-
bém chamada de data atual ou zero, temos a contagem do tempo, que pode ser em meses, anos, 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
 – 8 – 
dias etc. Ela é o ponto de partida de onde saem as linhas verticais indicando as entradas e saídas 
dos valores. O primeiro valor, onde fica o ponto zero, representa o início (neste caso, temos uma 
saída de valor). Passados quatro períodos (que estão na linha horizontal), temos a entrada de 
determinado valor, que é representado pela seta azul.
FIQUE ATENTO!
A contagem no tempo não precisa ser uniforme, como de 30 em 30 dias, por exem-
plo. Aplicações e retiradas de valores podem seguir tempos distintos, mas sempre 
representados na mesma data.
Imagine que alguém depositou hoje R$ 100,00 na conta poupança. Quanto ele vai resgatar 
(sacar) daqui a trêsmeses? Vamos representar esse problema usando a linha do tempo. Observe. 
Figura 3 – Fluxo de caixa com setas invertidas
100,00
x
0 1 2 3
Fonte: elaborado pela autora, 2016. 
Primeiramente, temos o investimento de R$ 100,00 e, após três meses, o saque do valor X, 
que vamos calcular para descobrir quanto o investimento rendeu na poupança. Perceba que o 
mesmo problema pode ser representado com todas as setas pra cima.
Figura 4 – Fluxo de caixa com setas na mesma direção
100,00
x
0 1 2 3
Fonte: elaborado pela autora, 2016.
Veja que a seta inicial é menor que a última, visto que o valor a ser resgatado é maior do que 
o que foi investido no momento zero. A forma de representar não altera o raciocínio para o cálculo, 
buscando apenas facilitar o entendimento. O fluxo mostra que temos a informação do valor inicial 
investido, o tempo que se passou (no caso, três meses) e o valor final, que é a incógnita do problema. 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
 – 9 – 
FIQUE ATENTO!
Se houver pagamentos e recebimentos em um mesmo ponto, podemos represen-
tar somente a diferença entre os dois.
EXEMPLO
Um banco empresta o valor de R$ 8.000 a um cliente e receberá cinco parcelas de 
R$ 2.000 (já consideramos o valor dos juros). Representando no fluxo de caixa, pelo 
ponto de vista do banco, temos:
8.000
2.
00
0
2.
00
0
2.
00
0
2.
00
0
2.
00
0
0 1 2 3 4 5
Veja que o banco teve uma saída de dinheiro, recebendo posteriormente do cliente 
os pagamentos em cinco parcelas. Caso a representação fosse do ponto de vista 
do cliente, seria o contrário, ele teria uma entrada de R$ 8.000,00 e depois a saída 
das cinco parcelas. 
Agora, acompanhe esse exemplo: uma loja vendeu material de construção totalizando o valor 
de R$ 5.000. Ela receberá em cinco parcelas de R$ 1.100,00 cada, sendo a primeira em 10 dias e 
as demais de 30 em 30 dias. Em fluxo de caixa, teremos a figura a seguir.
Figura 5 – Fluxo de caixa do material de construção
5.000
1.
10
0
1.
10
0
1.
10
0
1.
10
0
1.
10
0
10 40 70 100 130
0
Fonte: elaborado pela autora, 2016.
Perceba que temos uma série não uniforme, sendo que o primeiro intervalo é de 10 dias, 
aumentando depois para 30. Representamos cada seta de acordo com o intervalo entre os recebi-
mentos, logo, ao final de 130 dias, a loja terá recebido todo o valor vendido.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
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SAIBA MAIS!
A gestão financeira é muito importante para a empresa, e ter conhecimento 
em matemática financeira é fundamental. Veja o artigo “ A importância e a 
responsabilidade da gestão financeira na empresa” Disponível em: <http://www.scielo.
br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1413-92511989000100002&lang=pt>. 
EXEMPLO
Maria fez um empréstimo de R$ 2.000 e pagará em duas parcelas de R$ 1.050 cada, 
a primeira vencendo em 60 dias e a segunda um mês após a primeira. Podemos 
representar a operação como:
2.000
1.
05
0
1.
05
0
60 90
A seta para cima representa o valor que Maria recebeu, ao passo que as duas saídas 
posteriores dizem respeito aos valores que ela teve que desembolsar para quitar a dívida.
Podemos, ainda, ter situações em que retrocedemos no tempo. É comum que em financia-
mentos de longo prazo, o cliente quite parte ou todo o valor antes do prazo de pagamento. Neste 
caso, ele tem direito a um desconto sobre o valor original que seria pago. Logo, o valor inicial, o 
marco zero do fluxo de caixa, será uma incógnita (X), pois temos o valor futuro ou final e queremos 
descobrir quanto ele vale hoje. 
Veja: Paulo tem um financiamento de R$ 10.000, o qual paga em 10 parcelas de R$ 1.500 
cada. No dia de pagar a terceira parcela, Paulo vai ao banco para negociar o pagamento de todo o 
restante do empréstimo. Quanto ele pagará nessa parcela única?
Figura 6 – Fluxo de caixa do financiamento do Paulo
10.000
X
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1.
50
0
1.
50
0
Fonte: elaborada pela autora, 2016.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
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Neste fluxo de caixa, temos o recebimento de R$ 10.000 por Paulo. Caso seguisse o paga-
mento acordado inicialmente, teríamos 10 setas mostrando a saída de cada parcela no valor de 
R$ 1.500. Como ele adianta todo pagamento, não sabemos quanto ele pagará em uma parcela 
única, sendo esta nossa incógnita (X). É claro que, para resolver de fato, temos que saber a periodi-
cidade (de quanto em quanto tempo vence cada parcela) e a taxa aplicada na transação. 
SAIBA MAIS!
Confira o artigo de Anna Rachel Ferreira que aborda a importância do planejamento 
financeiro na vida dos jovens. Disponível em: <http://acervo.novaescola.org.br/
fundamental-2/educacao-financeira-dinheiro-financa-planejamento-828540.shtml>.
Como vimos, um fluxo de caixa facilita a visualização dos fatos, induzindo a resolução sim-
ples de um problema. Na matemática financeira, o fluxo de caixa pode representar as mais diver-
sas séries de pagamentos e recebimentos, e principalmente em situações nas quais precisamos 
descobrir em quanto tempo o dinheiro chega a determinado valor. 
Fechamento
Chegamos ao final desta aula. Conhecemos termos importantes da matemática financeira e 
sua relevância em transações comerciais de nosso cotidiano. 
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
 • conhecer a importância da matemática financeira e como ela é usada no dia a dia;
 • conceituar fluxo de caixa;
 • aprender como construir um fluxo de caixa para facilitar a resolução de um problema. 
Referências
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 13. ed. São Paulo: Atlas, 2016.
CHENG, Ângela; MENDES, Márcia Martins. A importância e a responsabilidade da gestão financeira na 
empresa. Cad. estud., São Paulo, n. 1, p. 01-10, out. 1989. Disponível em: <http://www.scielo.br/scielo.
php?script=sci_arttext&pid=S1413-92511989000100002&lng=en&nrm=iso>. Acesso em: 01 nov. 2016. 
FERREIRA, Anna Rachel. Educação Financeira, nov. 2014. Nova Escola, ed. 277. Disponível em: 
<http://acervo.novaescola.org.br/fundamental-2/educacao-financeira-dinheiro-financa-planeja-
mento-828540.shtml>. Acesso em: 30 set. 2016. 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
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Conceitos de juros e o valor do dinheiro 
no tempo
Fabiana Costa Marques
Introdução
A matemática financeira estuda como o dinheiro tem seu valor alterado ao longo do tempo, 
por meio de determinantes como taxas, capital, montante etc. Imagine calcular a quantia necessá-
ria de aplicação para que em 30 anos você tenha acumulado R$ 1.000.000,00? Perceba que aqui 
há um fator importante: o tempo. 
Nas próximas páginas, aprenderemos conceitos importantes que servirão de base para efe-
tuarmos os cálculos que responderão a pergunta acima. 
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • compreender como o tempo é um fator determinante para a valorização do dinheiro;
 • conhecer o conceito de juros e os principais elementos presentes nos cálculos 
financeiros. 
1 O valor do dinheiro no tempo
No mundo financeiro, o tempo é um fator essencial para alteração do valor do dinheiro. As 
flutuações de um capital ao longo do tempo sempre serão analisadas por meio do risco, das 
taxas e do retorno esperado. Tenha em mente, portanto, que o tempo é determinante. 
Figura 1 – O dinheiro e o tempo
Fonte: allstars/Shutterstock.com
 – 13 – 
TEMA 2
Ninguém deposita uma quantia na poupança esperando sacar o valor acrescido de ganho no 
mesmo dia. Somente após determinado tempo é que criamos a expectativa de sacar o valor mais 
uma margem. Alguns tipos de investimentos implicam em perdas financeiras, entretanto, pois ofe-
recem risco ao investidor. Quando você faz um financiamento de 20 anos para pagar um imóvel,tem a expectativa de pagar determinado valor, mas, se o pagamento for adiantado, é importante 
que você conheça o cálculo de amortização das parcelas. Aqui entra a importância da matemática 
financeira, cujos cálculos facilitam a tomada de decisão.
SAIBA MAIS!
Na reportagem do jornal Gazeta do Povo, é mostrado uma pesquisa sobre 
como o brasileiro vê a importância do dinheiro ao longo de sua vida. Confira em: 
<http://www.gazetadopovo.com.br/economia/qual-a-importancia-do-dinheiro-
0au6nj30727ud8mogblv9ll5a>.
Já ouvimos falar que tempo vale dinheiro, pois o tempo muda o valor de tudo. Veja os bancos, 
por exemplo, instituições que trabalham apenas com dinheiro, sendo que seu lucro vem justa-
mente dos ganhos obtidos com o tempo, por meio do recebimentos de parcelas de empréstimos 
e aplicações financeiras. 
2 Juros 
Quando aplicamos uma quantia no banco, estamos permitindo que ele aplique o dinheiro em 
suas atividades. Assim, esperamos receber um valor a mais pelo tempo que deixamos a quantia 
aplicada; é o que chamamos de juros. 
Juro é a remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido, de forma simplifica-
da, como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro. Quem possui recursos pode utilizá-los 
na compra de bens de consumo, ou de serviços, na aquisição de bens de produção, na 
compra de imóveis para uso próprio ou venda futura; pode emprestá-lo a terceiros ou ad-
quirir títulos de renda fixa ou variável, deixá-lo depositado para atender a “eventualidades”, 
ou guardá-lo na expectativa de uma oportunidade melhor para sua utilização, ou ainda pela 
simples satisfação de ter dinheiro (VIEIRA SOBRINHO, 2000, p. 19).
Para entender a operação de juros, precisamos conhecer alguns elementos que estão pre-
sentes nos cálculos.
 • Capital ou Principal (C ou P) - É a quantia inicial que será aplicada (investida) e que 
depois de certo tempo irá mudar de valor.
 • Tempo (n) - Fator determinante na matemática financeira. É comum usarmos o termo 
“período” para nos referirmos ao tempo.
 • Montante (M ou S) - É o valor resultante da soma do capital inicial com os juros, o resul-
tado final de uma operação.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
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 • Taxa (i) - Valor percentual seguido de um período de tempo. Será sempre aplicada 
sobre a quantia em dinheiro.
 • Juros (J) - É a remuneração do capital. 
FIQUE ATENTO!
O uso das siglas segue a inicial em inglês ou o que é usado em calculadoras finan-
ceiras. Eventualmente, você poderá encontrar siglas diferentes para os elementos 
mostrados acima.
Observe a figura a seguir. 
Figura 2 – Capital inicial e montante.
C
M
Fonte: elaborado pela autora, 2016.
 Pela figura, vemos que o capital inicial é aplicado e, após determinado período, ele vira o 
montante. Podemos concluir, assim, uma equação básica sobre o valor final:
M = P + J
O S representa o montante, mas você pode usar também M ou VF, indicando valor final. Essa 
equação mostra um capital inicial que, após determinado período, e com uma taxa aplicada, rende 
juros e resulta no montante.
EXEMPLO
Tenho o valor de R$ 1.000,00 investidos em uma aplicação financeira com uma taxa 
fixa, sendo que, em seis meses, vou sacar R$ 1.240,00. Nesse primeiro momento, é 
indiferente qual taxa estamos utilizando, o que vamos analisar são as informações 
contidas na operação, pois elas nos ajudarão a resolver a questão. Assim, separa-
mos as informações:
 • Aplicação de R$ 1.000,00 (capital inicial). 
 • Seis meses (tempo que o dinheiro ficou aplicado). 
 • Saque de R$ 1.240,00 (montante que será resgatado). 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
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EXEMPLO
Vimos que, para achar o montante, somamos o capital inicial e os juros. Neste caso, 
precisamos achar o valor dos juros, então: 
J = S – P
J = 1.240 – 1.000
J = 240
O valor que ganhamos com a aplicação foi R$ 240,00. É comum no mercado usar a 
expressão “rendeu X valor em juros”, o que aqui se traduz como “rendeu R$ 240,00 
em juros”.
Quando realizamos investimentos, comparamos o ganho de várias opções antes de decidir 
a mais rentável. Para Assaf Neto (2016), as taxas de juros devem ser eficientes de maneira a 
remunerar:
a) o risco envolvido na operação (empréstimo ou aplicação), representado genericamente 
pela incerteza com relação ao futuro;
b) a perda do poder de compra do capital motivada pela inflação (sendo a inflação um 
fenômeno que corrói o capital, resultando em um volume cada vez menor de compra 
com o mesmo montante);
c) o capital emprestado/aplicado, isto é, os juros devem gerar um lucro ao proprietário do 
capital como forma de compensar sua privação por determinado período. 
Saiba que o ganho é estabelecido basicamente em função das diversas outras oportunida-
des de investimento e definido por custo de oportunidade (ASSAF NETO, 2016). Se utilizarmos 
uma linha do tempo, com montante e capital inicial, aproximando as setas, podemos identificar os 
juros na questão. 
Figura 3 – Identificação de juros na linha do tempo
Juros
Fonte: elaborado pela autora, 2016. 
No fluxo, vemos que a diferença no tamanho entre a primeira seta e segunda, o que na mate-
mática se traduz pela diferença entre o valor inicial e o final, que é o rendimento da aplicação, ou 
seja, os juros. 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
 – 16 – 
FIQUE ATENTO!
Juros nem sempre significam ganhos. Quando pagamos a prestação de um finan-
ciamento, o valor extra cobrado sobre o original são os juros calculados pelo banco. 
Nesse caso, temos uma perda pagando os juros.
Imagine que você fez um empréstimo para pagar em uma parcela única de R$ 560,00. Após 
aplicar a taxa, vemos que os juros sobre o empréstimo foram de R$ 70,00. Qual valor você pegou 
emprestado? Identificando as informações, temos:
Montante: R$ 560,00
Tempo: 6 meses
Juros: R$ 70,00
Vimos que, para achar o montante, somamos o capital mais os juros. Então vamos fazer a 
operação inversa para encontrar o valor do capital.
P = M – J
P = 560 – 70
P = 490
Assim, sabemos que o valor do capital foi de $490,00, com pagamento de $560,00 no prazo 
estipulado. Tenha em mente que mesmo no caso de um desconto, o valor que é retirado também é 
chamado de juros. Sempre que tenho a alteração do dinheiro, portanto, a diferença equivale aos juros. 
EXEMPLO
João paga, todo dia 15, a prestação de seu veículo, no valor de R$ 600,00. Faltam 
três prestações para o término e, ao negociar o adiantamento do pagamento das 
três parcelas para hoje, recebeu como montante o valor de R$ 1.710,00 para paga-
mento. Qual foi o valor do desconto?
Separando as informações, temos: 
Montante: R$ 1.800 (soma das três parcelas).
Valor inicial: R$ 1.710.
Juros:?
Os juros, aqui chamados de desconto, correspondem ao valor que o cliente deixa de 
pagar por estar adiantando o pagamento. Logo, temos:
J = S – P
J = 1.800 – 1.710
J = 90
Por pagar adiantado, João recebeu um desconto de R$ 90,00.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
 – 17 – 
FIQUE ATENTO!
Veja que mesmo sem a taxa, citamos o tempo. As taxas de juros se referem a uma 
unidade de tempo, que pode ser mês, ano, semestre etc. Também podem ser repre-
sentadas como taxa percentual e taxa unitária.
Quando falamos em taxa percentual, estamos tratando de porcentagem, que é a centésima 
parte de um capital. Já a taxa unitária é mostrada na forma decimal. Assim, temos uma taxa de 
12% que, na forma decimal, representamos por 0,12.
Figura 4 – Exemplo de taxa percentual e nominal
Juro percentual
Juros × 12
Juros nominal
1000
100
Juros 10 × 12
Juros 120
Juros 1000 × 0,12
Juros 120
Fonte: elaborado pela autora, 2016. 
Quando falarmos em taxa de juros, saiba que estamos nos referindo a uma certa unidade de 
tempo que está expresso em porcentagem do capital. Podemos citar uma taxa de juros de 5% ao 
mês ou de 18% ao semestre. É comum abreviarmoso tempo para representar as taxas. Confira 
algumas abreviaturas:
 • a.m. - ao mês
 • a.d. - ao dia
 • a.a. - ao ano
 • a.s. - ao semestre 
Usando os exemplos acima, temos, em abreviação, a taxa de 5% a.m. e a taxa de 18% a.s.
3 Taxa de juros básica no Brasil
Em jornais, é comum ouvir que “a taxa de juros foi mantida”. Mas o que isso significa? No 
Brasil, o Banco Central é o responsável por definir uma taxa básica de juros para o mercado. Essa 
taxa é uma referência para empréstimos e aplicações financeiras e seu nome é Selic (Sistema 
Especial de Liquidação e Custódia). 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
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A Selic é definida a cada 45 dias pelo COPOM (Comitê de Política Monetária do Banco Cen-
tral) e é um instrumento usado para controlar o consumo. Se a taxa de juros está alta, o consumo 
cai, pois os juros cobrados em cartão de crédito, empréstimos e financiamentos ficam mais caros 
para o consumidor. Uma taxa de juros baixa, por sua vez, favorece o consumo, pois o acesso ao 
crédito fica mais barato.
SAIBA MAIS!
A mídia sempre fala sobre taxas de juros no Brasil. O artigo a seguir explica 
como os juros altos afetam a economia e nossa vida: <http://dinheirama.com/
blog/2015/12/09/enigma-juros-por-que-tao-altos-brasil/>.
Há uma pressão dos empresários pela queda dos juros, para viabilizar investimentos em 
maquinário, por exemplo. Juros altos acarretam menos dinheiro circulando em consumo, porém 
em mais investimentos em títulos públicos. 
Fechamento
Chegamos ao final desta aula. Aqui, você aprendeu sobre a relação do dinheiro com o tempo. 
Nesta aula, você teve a oportunidade de: 
 • perceber como o dinheiro tem seu valor alterado ao longo do tempo; 
 • conhecer termos como “montante”, “taxa”, “juros”, “tempo” e “capital”. 
Referências
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 13. ed. São Paulo: Atlas, 2016.
ABREU, Isabella. O enigma dos juros: por que eles são tão altos no Brasil? 2015. Dinheirama. Dis-
ponível em: <http://dinheirama.com/blog/2015/12/09/enigma-juros-por-que-tao-altos-brasil/>. 
Acesos em: 22 out. 2016. 
SCHEFFER, Cinthia; MARANHÃO, Fernanda. Qual a importância do dinheiro? 2010. Gazeta do Povo. 
Disponível em: <http://www.gazetadopovo.com.br/economia/qual-a-importancia-do-dinheiro-
0au6nj30727ud8mogblv9ll5a>. Acesso em: 22 out. 2016. 
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática financeira. 7. ed. São Paulo: Saraiva, 2000.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
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Diferença entre juros simples 
e compostos
Fabiana Costa Marques
Introdução
Para começar, entenda “juro” como a remuneração do dinheiro que foi aplicado por determinado 
tempo. Na Matemática Financeira, temos dois regimes de juros: juros simples e juros compostos. 
É importante conhecer e identificar qual regime de juros está sendo aplicado em uma opera-
ção financeira, pois os valores sofrem grandes diferenças e podem acarretar em prejuízo ao final. 
Quando um banco informa os valores das parcelas de um financiamento, sobre cada parcela está 
embutido o valor dos juros, e você deve saber como cada regime de juros altera esses cálculos. 
Veremos, portanto, o resultado de cada regime. 
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • entender a diferença entre juros simples e juros compostos;
 • identificar como a taxa é aplicada em juros simples e compostos.
1 Definição de juros simples
Quando deixamos o dinheiro aplicado em alguma movimentação financeira durante deter-
minado tempo, temos como resultado sua remuneração, que chamamos de juros. A Matemática 
Financeira trabalha com dois regimes de cálculo, que são o regime simples e o regime composto. 
Logo, temos duas formas de calcular juros, o sistema simples e o sistema composto. Todas as vezes 
que iniciarmos a resolução de uma questão, precisamos observar qual regime está sendo utilizado. 
Mas como funcionam os juros simples? No regime simples, a taxa de juros é aplicada sobre 
o capital, independente de quantos períodos existirem. Observe, na representação abaixo, a evolu-
ção dos juros no regime simples.
Tabela 1 – Evolução de juros simples
Mês Valor Inicial Juros Valor Final
1 100,00 10,00 110,00
2 110,00 10,00 120,00
3 120,00 10,00 130,00
Fonte: elaborada pela autora, 2016. 
 – 20 – 
TEMA 3
Na tabela, temos a aplicação de um capital pelo período de três meses. Veja que o valor dos 
juros é fixo, não se alterando com a evolução do tempo. Isso porque a taxa de juros é aplicada 
apenas sobre o valor inicial do capital. Logo, mesmo que tenhamos um período longo de aplicação 
de dinheiro, o valor dos juros permanecerá igual durante todo o tempo.
EXEMPLO
Uma cooperativa oferece aos seus cooperados empréstimos com juros mais aces-
síveis, utilizando o regime simples de juros. Atualmente, ela utiliza a taxa de 5% ao 
mês. Assim, de um empréstimo de R$ 1.000,00, a ser pago em uma única parcela, 
em 3 meses, qual será o custo dos juros?
Para realizar o cálculo, vamos multiplicar o valor do capital inicial pela taxa de juros. 
Logo, temos que: 1.000 x 5% = 50,00 de juros por mês. Como o empréstimo será 
pago somente em três meses, precisamos multiplicar o valor dos juros por três: 50 
x 3 = 150,00 em juros simples, que tem o mesmo valor independente do período. 
Para saber o valor final que irá quitar o empréstimo, basta somar os juros com o valor 
inicial: 1.000 + 150 = R$ 1.150,00. Note que o valor encontrado de juros é o mesmo, 
sendo necessário o cálculo da taxa sobre o valor inicial apenas uma vez, somando 
depois o valor dos juros em cada período apurado. Neste exemplo, temos a taxa e o 
tempo na mesma unidade, caso contrário teríamos que fazer a equivalência de taxa. 
FIQUE ATENTO!
Independente do regime trabalhado, a taxa e o tempo devem estar na mesma unidade. 
Logo, se tenho uma taxa mensal, o período deve estar descrito também em meses.
Agora que já conhecemos o regime de juros simples, passaremos ao composto. Continue 
acompanhando!
2 Definição de juros compostos
Quando usamos o regime composto, significa que a taxa de juros incide sobre o último valor 
do capital atualizado, ou seja, o capital mais os juros resultantes da operação anterior. Ao contrá-
rio do regime simples, o valor dos juros não é fixo, sendo alterado a cada operação. Para Hoji e 
Masakazu (2009, p. 65) “Juros compostos são produzidos em um período de capitalização e não 
pagos são integrados ao capital constituído no início do período seguinte”. 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
 – 21 – 
SAIBA MAIS!
Os juros compostos compõem a maioria dos empréstimos e financiamentos. 
Daí a importância da educação financeira. No artigo “Educação financeira com 
idosos em um contexto popular”, o autor cita a preocupação com o aumento do 
endividamento da população idosa e a necessidade de uma educação financeira. 
Disponível em: <http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S2175-
62362015000100105&lang=pt>.
Na representação abaixo, os juros compostos estão sendo aplicados sobre um determi-
nado capital.
Tabela 2 – Evolução dos juros compostos
Mês Valor Inicial Juros Valor Final
1 100,00 10,00 110,00
2 110,00 11,00 121,00
3 121,00 12,10 133,10
Fonte: elaborada pela autora, 2016. 
Utilizamos o mesmo capital e a taxa da representação que empregamos em juros simples, 
mas desta vez no regime composto. Perceba que, a partir do segundo mês, o valor inicial passou a 
ser o capital inicial mais os juros que foram gerados na operação do mês anterior. 
EXEMPLO
Temos um empréstimo de R$ 1.000,00, que é nosso valor inicial, com período de 3 
meses e taxa de 5%, em juros compostos. O primeiro cálculo é idêntico ao de juros 
simples, isto é, multiplicamos o valor inicial pela taxa, encontrando o valor de R$ 
50,00. Agora, a partir do segundo mês, a forma de calcular será feita a partir do valor 
inicial mais osjuros do primeiro mês. Observe:
2° mês: (1.000 + 50) x 5 = 52,50. Somamos o valor inicial aos juros do primeiro mês 
e, depois, multiplicamos pela taxa.
3° mês (1.000 + 50 + 52,50) x 5%= 55,12. Somamos o valor inicial, mais os juros dos 
outros dois meses e, a partir do resultado, multiplicamos pela taxa. Outra forma de 
obter o mesmo resultado é multiplicar o valor final do segundo mês pela taxa.
No final do empréstimo, o valor a ser pago será de R$ 1.157,62, porque as taxas de 
juros compostos incidem sobre o último valor atualizado sempre. Por isso, usual-
mente falamos que juros compostos são juros sobre juros, posto que o valor princi-
pal utilizado para cálculo já está incluso, com juros de operações anteriores.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
 – 22 – 
FIQUE ATENTO!
Juros compostos sempre utilizam a regra de juros sobre juros, independente da 
operação e do período de apuração. 
Passamos agora à diferença entre os dois regimes de juros. 
3 Comparação entre juros simples e compostos
Os juros simples trabalham com a taxa aplicada apenas sobre o valor inicial; enquanto que os 
juros compostos são aplicados sobre o último valor, já acrescido dos juros da última operação. Em 
regra, nas operações comerciais, é trabalhado o regime composto de juros, seja em empréstimos 
ou aplicações financeiras. Para a mesma aplicação de dinheiro, considerando a mesma taxa e 
tempo, o que vai diferenciar o valor final é o regime de juros empregado. 
FIQUE ATENTO!
Na matemática financeira, utilizamos o ano comercial (também chamado de ano 
ordinário), que considera 360 dias, e os meses como tendo 30 dias.
Observe a figura abaixo.
Figura 1 – Comportamento dos juros simples e compostos
Juros compostos
Juros simples
Fonte: elaborada pela autora, 2016. 
Temos a representação do comportamento dos juros. No regime de juros simples, os juros 
se mantêm estáveis, pois o valor é o mesmo ao longo do tempo; já nos juros compostos, os juros 
têm um crescimento à medida que o tempo passa, pois os juros compostos são calculados a cada 
período, acumulando valores anteriores. 
Mas como identificar se os juros são compostos ou simples? Em regra, quando um exercício não 
cita o regime, quer dizer que estamos trabalhando no regime simples. Dependendo das informações 
fornecidas, conseguimos identificar o regime de juros trabalhado, mesmo que ele não seja informado. 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
 – 23 – 
Veja que, para o entendimento da sistemática dos juros simples e compostos, ainda não utiliza-
mos nenhuma fórmula. Elas serão importantes para problemas mais elaborados, em que queremos 
outros resultados que não somente os juros. Entretanto, é importante entender como os regimes 
composto e simples funcionam, pois toda a Matemática Financeira é pautada por estes dois sistemas. 
Por exemplo, temos o desconto simples e o desconto composto, que resultam em valores 
bem diferentes no final. Se colocássemos em uma balança, os juros simples e compostos seriam 
representados conforme a figura a seguir. 
Figura 2 – Balança comparativa de juros
Juros 
Simples
Juros 
Compostos
Valor único
Valor único
Valor 3 maior 
que o 2
Valor 2 maior 
que o 1
Valor 1
Fonte: elaborada pela autora, 2016. 
Como o valor dos juros compostos é maior que o dos juros simples, a balança pesa para o lado 
do regime composto. Veja que os “pesos” da balança são os juros, no lado esquerdo representando 
o simples, o valor de juros único, já no lado mais pesado, temos os juros compostos. Se represen-
tarmos um período de tempo muito longo, com certeza a balança pesaria até o final para os juros 
compostos, pois estes sempre acumulam e são maiores que os do período anterior. Mas lembre-se 
de que para fins de comparação, o valor da taxa tem que ser o mesmo para ambos os regimes. 
Como você já deve ter percebido, somente em uma situação o regime de juros simples e 
composto será idêntico: quando temos apenas um período de aplicação. Quando aplicamos o 
mesmo capital por períodos de mesma duração, no primeiro intervalo, o valor sempre é o mesmo. 
Nas figuras em que mostramos a evolução de um capital de R$ 100,00, no primeiro mês o rendi-
mento foi de R$ 10,00 em ambos os regimes.
SAIBA MAIS!
As taxas de juros no Brasil são criticadas por serem muito altas, encarecendo 
o acesso ao crédito. Saiba mais no artigo “O sistema financeiro atual trava o 
desenvolvimento econômico”. Disponível em: <http://www.scielo.br/scielo.
php?script=sci_arttext&pid=S0103-40142015000100263&lng=en&nrm=iso>. 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
 – 24 – 
Fechamento
Chegamos ao final desta aula, que abordou a diferença entre juros simples e compostos. 
Nesta aula, você teve a oportunidade de: 
 • conhecer os conceitos sobre regime de juros simples e regime de juros compostos;
 • entender como os juros são alterados ao longo do tempo utilizando juros simples e 
compostos.
Referências
CARVALHO, Sergio. Campos, Weber. Matemática financeira simplificada para concursos: teoria e 
questões com gabarito comentado. 1 ed. Rio de Janeiro, 2007.
BUAES, Caroline Stumpf. Educação Financeira com Idosos em um Contexto Popular. Educ. Real., 
Porto Alegre, v. 40, n. 1, p. 105-127, mar. 2015. Disponível em: <http://www.scielo.br/scielo.php?s-
cript=sci_arttext&pid=S2175-62362015000100105&lng=en&nrm=iso>. Acesso em: 26 nov. 2016. 
DOWBOR, Ladislau. O sistema financeiro atual trava o desenvolvimento econômico. Estud. av., 
São Paulo, v. 29, n. 83, p. 263-278, abr. 2015. Disponível em: <http://www.scielo.br/scielo.php?s-
cript=sci_arttext&pid=S0103-40142015000100263&lng=en&nrm=iso>. Acesso em: 26 nov. 2016. 
HOJI, Masakazu. Administração financeira e orçamentária: matemática financeira aplicada, estra-
tégias financeiras, orçamento empresarial. 8 ed. São Paulo: Atlas, 2009. 
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira. 6 ed. São Paulo: Atlas, 1997. 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
 – 25 – 
Capitalização simples
Cleia Denise Santos Ciscato
Introdução
Você já ouviu falar em capitalização com juros simples? Sabe dizer se este regime é utilizado 
no Brasil? Então fique atento, pois, nesta aula, estudaremos algumas aplicações da capitalização 
com juros simples.
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • conhecer a modelagem matemática do regime de capitalização simples;
 • entender como são feitos os cálculos usando o regime de capitalização simples.
1 Capitalização simples
A capitalização simples corresponde ao crescimento do dinheiro no regime de juros simples, 
que modifica o capital a partir do tempo e dos juros aplicados. Lembre-se de que o capital é o valor, 
em termos monetários, aplicado para gerar rendimento e, consequentemente,crescer. O capital 
pode ser emprestado por uma pessoa física ou jurídica, podendo também ser contratado por uma 
pessoa física ou jurídica que tenha necessidade de utilizá-lo por determinado tempo. 
Sabemos que a remuneração desse capital para o investidor que o empresta, e consequen-
temente para o captador do recurso, é realizada pela definição do juro e pela relação detempo em 
que ele é disponibilizado. Essa remuneraçãodeve compreender o rendimento, a recomposição da 
inflação no mesmo período e ainda pagar pelo custo de oportunidade do investidor.
FIQUE ATENTO!
Os documentos ou contratos referentes a empréstimos ou aplicações devem expli-
citar claramente a forma de cálculo e o tipo de capitalização utilizada, de forma a 
permitir o conhecimento do montante de juros envolvidos, que serão diferentes se 
calculados na modalidade juros simples ou juros compostos.
 – 26 – 
TEMA 4
Figura 1 – O dinheiro no tempo
Fonte: Brian A Jackson/Shutterstock.com
A capitalização pode ser realizada pelo cálculo de juros simples ou de juros compostos. 
Entenda que no regime de capitalização simples (RCS) a taxade juros incide somente sobre o valor 
inicialmente aplicado ou tomado emprestado. Por exemplo, R$100,00 aplicados a 5% ao período, 
terá sempre um rendimento de R$5,00 (que é igual a 0,05 x R$100,00) por período. Em três perío-
dos, portanto, o total dos juros será igual a 3 x R$5,00 = R$15,00 (BRUNI; FAMÁ, 2009).
No mercado financeiro brasileiro, raramente é utilizada a capitalização simples nas opções 
de aplicações financeiras e de empréstimos. A modalidade de capitalização mais aplicada é a de 
juros compostos, na qual os juros incidem sobre o capital e também sobre os juros acumulados. 
SAIBA MAIS!
Segundo Puccini (2009), o regime de juros simples é utilizado no mercado financeiro 
nas operações de curto prazo, em função da simplicidade de cálculo e também para 
atender à imposição legal relativa à Lei da Usura de 1993, que proibia a capitalização 
de juros para períodos inferiores a um ano, mantida no Código Civil de 2002.
Nos cálculos de juros diários, apresentados nos boletos de cobrança bancária, por exemplo, a 
fórmula normalmente aplicada para juros por atraso é a de juros simples.Juros simples represen-
tam custos financeiros menores, o que reduz a dívida.Por este motivo, alguns estados brasileiros 
utilizaram o recurso de mandados de segurança concedidos pelo Supremo Tribunal Federal no 
questionamento da aplicação de juros compostos ao invés de juros simples na renegociação de 
dívidas dos estados junto à Federação. 
SAIBA MAIS!
Confira a matéria que fala da renegociação das dívidas dos Estados com a União. 
Disponível em: <http://www2.camara.leg.br/camaranoticias/noticias/ECONOMIA/
515633-CAMARA-APROVA-PROJETO-QUE-RENEGOCIA-DIVIDAS-DOS-ESTADOS-
-COM-A-UNIAO.html>. 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
 – 27 – 
2 O mecanismo da capitalização simples
Considere os seguintes elementos de cálculo:
VP = Valor Presente
VF = Valor Futuro
J = Valor do Juro
i = taxa de juros
n = tempo
Segundo Souza e Clemente (2015), se a taxa de juros (i) é constante e incide apenas sobre 
o capital aplicado (VP), então o juro por período (J) também será constante e igual à taxa multipli-
cada pelo valor presente, isto é:
Juro Simples = Taxa × Base Constante
ou
J = i % xn × VP
Quando um determinado capital (VP) é aplicado a uma taxa de juro “i” durante “n”período de 
tempo, com o objetivo de se obter o valor de resgate “VF”, no regime de capitalização com juros 
simples, a fórmula básica que relaciona os valores monetários posicionados em pontos diferentes 
no tempo será:
VF = VP (1 + n · i)
Para melhor identificação dos elementos de um problemacom aplicação de juros simples, 
os dados podem ser demonstrados num diagrama de fluxo financeiro, conforme a Figura 2, que 
demonstra um investimento de R$10.000,00, por 12 meses com 5% de juros simples ao mês 
na capitalização.
Figura 2 – Diagrama da aplicação
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Taxa Mensal = 5%
10.000
Mês
VF = ?12
Fonte: elaborada pela autora, 2016.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
 – 28 – 
O capital ou valor presente (VP) é aplicado no momento “0”, e pretendemos saber o valor de 
resgate após 12 meses de aplicação, considerando a remuneração com juros simples de 5% ao 
mês. Nesse caso, os jurossão sempre calculados sobre o mesmo valor presente e, ao aplicarmos 
a fórmula, serão utilizados no formato unitário, ou seja, 5% será dividido por 100 e virará 0,05. O 
valor futuro (VF) é obtido com a aplicação da fórmula. Confira!
VF= VP(1 + i ∙ n)
VF= 10.000 (1 + 0,05 ∙ 12)
VF= 10.000 (1 + 0,6)
VF= 10.000 (1,6)
VF= 16.000
Tabela 1 – Capitalização simples
Período Juro Juro acumulado Montante
0 10.000,00
1 500,00 500,00 10.500,00
2 500,00 1.000,00 11.000,00
3 500,00 1.500,00 11.500,00
4 500,00 2.000,00 12.000,00
5 500,00 2.500,00 12.500,00
6 500,00 3.000,00 13.000,00
7 500,00 3.500,00 13.500,00
8 500,00 4.000,00 14.000,00
9 500,00 4.500,00 14.500,00
10 500,00 5.000,00 15.000,00
11 500,00 5.500,00 15.500,00
12 500,00 6.000,00 16.000,00
Fonte: elaborada pela autora, 2016.
Perceba que a figura demonstra a capitalização do valor investido mês a mês até o valor 
futuro final.
3 Fórmulas para obtenção de outros elementos além 
do valor dos juros
Saiba que para a obtenção de elementos da capitalização com juros simples, a fórmula 
básica pode ser modificada para que se obtenha qualquer um dos quatro elementos (VP, VF, i, n), 
desde que ou outros três sejam conhecidos. 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
 – 29 – 
Figura 3 – Fórmula de capitalização simples
VF = VP (1 + i · n)
VP =
VF
(1 + i · n)
i =
n
VF
VP –1
n =
i
VF
VP –1
Fonte: BRUNI; FAMÁ, 2009, p. 123.
Passaremos agora aos cálculos de capitalização com períodos fracionados. 
4 Cálculos de capitalização com períodos fracionados
Ao calcularmos a capitalização com juros simples, é necessário observar o tempo da ope-
ração fi nanceira e se está de acordo com a taxa de juros utilizada. Se a taxa estiver expressa em 
meses, o tempo deverá estar expresso em meses também. O mesmo ocorre com a taxa expressa 
em dias, quinzena, bimestre, trimestre, quadrimestre ou ano.
Um caso em que o problema é demonstrado com taxa em desacordo com o tempo é: con-
siderando que o banco irá remunerar a aplicação com uma taxa trimestral de 4% a.t., para que se 
obtenha $16.000,00 ao fi nal de 2 anos. Aqui, o que se pretendo conhecer é o Valor Presente (VP). 
Dois anos representam 8 trimestres, então os dados que conhecemos são:
VF = 16.000
i = 4% a.t.
n = 8
VP = ?
VP =
 VF
 1+ i x n
VP =
 16000
 1+ 0,04 x 8
VP =
 16000
 1+ 0,04 x 8
MATEMÁTICA FINANCEIRA
 – 30 – 
VP =
 16000
 1,32
VP = 12.121,21
FIQUE ATENTO!
Os juros são aplicados em descontos de recebíveis. Em operações de descontos 
de títulos junto a bancos ou outros agentes fi nanceiros, é importante observar, no 
entanto, se o contrato evidencia os juros aplicados no cálculo de desconto, infor-
mando se estão no formato de juros simples ou compostos. Os descontos com 
juros simples serão maiores que os com juros compostos e, portanto, menos inte-
ressantes para quem está captando o recurso via desconto.
4.1 Cuidado com casas decimais
Ao elaborar cálculos fi nanceiros, é importante observar a utilização das casas decimais. A 
apresentação fi nal dos números pode ser feita com arredondamento para duas casas decimais 
isto é, duas casas depois da vírgula. Porém, para realizar os cálculos, procure sempre utilizar todas 
as casas decimais da calculadora e os recursos de sua memória. Dessa forma, é possível obter 
maior precisão. 
 • R$ 235,15211: A terceira casa é inferior a 5, então arredonda-se os centavos para 
menos: R$ 235,15.
 • R$ 1.237,36899: A terceira casa é superior a 5, então arredonda-se os centavos para 
mais: R$ 1.237,37.
FIQUE ATENTO!
Se o cálculo for realizado sem a consideração de todas as casas decimais, pode 
ocorrer prejuízo na operação. É o caso de juros iguais a 2,43111% a.m., e que ao ser 
aplicado a um empréstimo de R$10.000,00, por 6 meses, é arredondado para 2,4%. 
Com todas as casas decimais, a aplicação deveria render ao aplicador 14,58% no 
período ou R$1.458,66 de juros. Se calculado com a simplifi cação da taxa mensal 
para 2,4% a.m.,o rendimento reduziria para 14,4% no período, ou R$1.440,00, geran-
do uma perda de R$18,66.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
 – 31 – 
EXEMPLO
Para exemplificar a utilização do cálculo de juros simples, considere um emprésti-
mo de R$150.000,00 a ser pago totalmente no final de 90 dias, cujo valor de capital 
mais juros a serem pagos ficou acordado como R$ 159.000,00. Qual a taxa de juros 
mensal dessa capitalização?
VP = 150.000,00
VF = 159.000,00
n = 90 dias ou 3 meses
i = ?
i = ((VF / VP) – 1) / n
i = ((159000 / 150000) – 1) / 3
i = 0,6 /3
i = 0,02 x 100 = 2% a.m.
EXEMPLO
O gestor financeiro de uma empresa pretende atrasar o pagamento de um título de 
R$10.000,00, porém, gostaria de saber qual a taxa que o credor lhe cobrará por um 
mês de atraso. O juro diário constante no boleto bancário de cobrança é R$10,00. 
Qual a taxa mensal que está sendo aplicada nesta cobrança?
VP = 10.000,00
n = 30
J = 10,00 por um dia = 300 em 30 dias
i = ?
i = ((10300 / 10000) – 1) / 1
i = 0,03 / 1 x 100
i = 3% a.m.
Por fim, podemosafirmar queos conhecimentos de capitalização simples serão importantes 
para a compreensão de empréstimos e aplicações financeiras pactuados com correção por juros 
simples, e, também, nos cálculos de descontos comerciais e racionais que serão vistos mais adiante.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
 – 32 – 
Fechamento
Chegamos ao final deste conteúdo, no qual compreendemosa utilização dos juros simples na 
capitalização de um determinado valor aplicado ou emprestado. 
Nesta aula, você teve oportunidade de:
 • entender como são feitos os cálculos usando o regime de capitalização simples;
 • conhecer a modelagem matemática do regime de capitalização simples.
Referências
BRUNI, Adriano Leal; FAMÁ, Rubens. Matemática Financeira com HP 12C e Excel.5 ed. São Paulo: 
Atlas, 2009.
CÂMARA DOS DEPUTADOS. Câmara aprova projeto que renegocia dívidas dos estados com a 
União, 31 ago. 2016. Disponível em: <http://www2.camara.leg.br/camaranoticias/noticias/
ECONOMIA/515633-CAMARA-APROVA-PROJETO-QUE-RENEGOCIA-DIVIDAS-DOS-ESTADOS-
COM-A-UNIAO.html>. Acesso em: 23 dez. 2016. 
PUCCINI, Abelardo. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. 8 ed. São Paulo: Saraiva, 2009.
SOUZA, Alceu; CLEMENTE, Ademir. Decisões Financeiras e Análise de Investimentos. 6 ed. São 
Paulo: Atlas, 2015.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
 – 33 – 
Capitalização composta
Cleia Denise Santos Ciscato
Introdução
Você já ouviu falar de capitalização composta? Sabe dizer qual é o regime de capitalização 
mais utilizado no Brasil? Então fique atento, pois, nesta aula, estudaremos algumas aplicações de 
juros compostos.
Objetivos da aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • entender como calcular a capitalização composta;
 • identificar os tipos de juros empregados em uma operação: simples ou composto, bem 
como resolver problemas de capitalização.
1 Capitalização composta
Diferente da capitalização simples, na capitalização composta, a incidência de juros ocorre de 
forma cumulativa (BRUNI; FAMÁ, 2009). Nesta modalidade de capitalização, o juro incidirá sobre 
o montante de capital e os juros acumulados no final do período anterior. Por período, podemos 
entender dia, semana, quinzena, mês, bimestre, trimestre, quadrimestre, semestre ou ano.
Figura 1 – Dinheiro, calculadoras e planilhas
Fonte: Have a nice day Photo/Shutterstock.com
 – 34 – 
TEMA 5
EXEMPLO
Imagine que uma pessoa queira realizar um empréstimo no banco no valor de 
R$10.000,00, por 4 meses, com pagamento no final deste período e com juros com-
postos de 15% a.m. Nesse empréstimo, os juros de cada período (mês) incidirão 
sempre sobre o montante de capital + juros do final do período anterior. Ao final dos 
quatro meses, quando o capital e os juros forem pagos em uma única parcela, o 
total será de R$17.490,06, composto pelo valor emprestado de R$10.000,00 mais 
R$7.490,06 de juros. Se a capitalização fosse simples, o total acumulado seria de 
R$16.000,00, ou seja, inferior em termos de custo ou adicional financeiro da capi-
talização composta.
Estudaremos, a partir de agora, algumas aplicações da capitalização com juros compostos. 
Acompanhe!
2 O mecanismo da capitalização composta
Considere os seguintes elementos de cálculo:
VP = Valor Presente
VF = Valor Futuro
J= Valor do Juro
i = Taxa de juros
n = Tempo
A taxa de juros incide sempre sobre o capital atualizado, o que significa um montante de 
capital original acrescido de juros acumulados até o início do período considerado. As taxas de 
juros compostas são utilizadas para aplicações financeiras, descontos de títulos, remuneração 
de saldos devedores de cartões de crédito, financiamentos de curto ou longo prazo, definição de 
taxas mínimas de descontos exigidas em investimentos etc. (SOUZA; CLEMENTE, 2015).
O dinheiro deve ser considerado no tempo com determinada remuneração para o período em 
que ele é investido, aplicado ou emprestado. Para melhor compreender os elementos disponíveis, 
confira a utilização do diagrama do dinheiro no tempo, conforme a Figura 2.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
 – 35 – 
Figura 2 - Diagrama do dinheiro no tempo
10.000
VF4 = ?
Meses
0 1 2 3 4
Fonte: elaborada pela autora, 2017.
FIQUE ATENTO!
Os documentos ou contratos referentes a empréstimos ou aplicações devem con-
ter, em seu teor, o tipo de capitalização utilizada e a exemplificação do cálculo, para 
permitir o conhecimento do tempo, da taxa de juros e do tipo de juros aplicado 
(simples ou composto).
Quando um determinado capital VP é aplicado a uma taxa de juro i durante n períodos de 
tempo, com o objetivo de se obter o valor de resgate VF, na capitalização com juros compostos, a 
fórmula é assim demonstrada:
VF = VP (1+ i)n
O capital ou valor presente (VP) é aplicado no momento “0” e pretende-se saber o valor de 
resgate após 12 meses de aplicação com remuneração por juros compostos de 5% ao mês. Neste 
caso, o juro é sempre calculado sobre a soma do capital mais os juros já calculados no período 
anterior. O juro será utilizado no formato unitário, ou seja, a taxa de 5% será dividida por 100, resul-
tando em 0,05. O valor futuro (VF) será obtido com a aplicação da fórmula:
VF = VP (1+ i) n
VF= 10.000 (1+ 0,05)12
VF= 10.000 (1,05) 12
VF= 10.000 (1,79585632)
VF= 17.958,56
A Tabela 1 demonstra a capitalização do valor investido mês a mês até o valor futuro final.
Taxa e Juros = 15% a.m.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
 – 36 – 
Tabela1 – Capitalização composta
Período Juro Juro acumulado Montante
0     10.000,00 
1 500,00 500,00 10.500,00 
2 525,00 1.025,00 11.025,00 
3 551,25 1.576,25 11.576,25 
4 578,81 2.155,06 12.155,06 
5 607,75 2.762,82 12.762,82 
6 638,14 3.400,96 13.400,96 
7 670,05 4.071,00 14.071,00 
8 703,55 4.774,55 14.774,55 
9 738,73 5.513,28 15.513,28 
10 775,66 6.288,95 16.288,95 
11 814,45 7.103,39 17.103,39 
12 855,17 7.958,56 17.958,56 
Fonte: elaborada pela autora, 2017.
SAIBA MAIS!
Observe, na tabela abaixo, que o valor dos juros acumulados a cada mês da 
capitalização de uma aplicação de R$10.000,00, a uma taxa de 5% ao mês, 
considerando a utilização de juro simples e juro composto, apresenta um 
crescimento periódico no caso da capitalização composta.
Período VF do Juro Composto
VF do Juro 
Simples
0 10.000,00 
1 500,00 500,00 
2 1.025,00 1.000,00 
3 1.576,25 1.500,00 
4 2.155,06 2.000,00 
5 2.762,82 2.500,00 
6 3.400,96 3.000,00 
7 4.071,00 3.500,00 
8 4.774,55 4.000,00 
9 5.513,28 4.500,00 
10 6.288,95 5.000,00 
11 7.103,39 5.500,00 
12 7.958,56 6.000,00 
Fonte: elaborada pela autora, 2017. 
Vejamos agora as fórmulas pertinentes ao regime de capitalização composto. 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
 – 37 – 
3 Fórmulas para obtenção de elementos da 
capitalização composta
Para obtenção de elementos da capitalização com juros compostos, a fórmula básica apre-
sentada pode ser modifi cada para que se obtenha qualquer dos quatro elementos (VP, VF, i, n) 
desde que sejam conhecidos três dos elementos, conforme apresentado na Figura 3.
Figura 3 – Fórmulas da capitalização composta
1
–1 –1 –1 –1 –1 –1= == == =–1 –1= =–1 –1–1 –1 –1 –1–1 –1 –1 –1–1 –1
 –1 –1 –1 –1
 –1 –1
 
 
 
 –1 –1 –1 –1
 
–1 –1 –1 –1
n
n= =n= =
VF VF
–1 –1
VF VF
–1 –1
VF VF –1 –1 –1 –1VF VF–1 –1 –1 –1–1 –1 –1 –1 –1 –1
 –1 –1
VF VF
–1 –1 –1 –1 –1 –1
 –1 –1i
VP VP VP VP    VP VP   
log
log(1 )
 
  
 
 
 
 
 
 
 
=
log(1 )+log(1 )
 VF  
 
 VF 
 
 
 VP    VP   n
log(1 )ilog(1 )
Fonte: BRUNI; FAMÁ, 2009, p. 186.
FIQUE ATENTO!
Ao calcularmos a capitalização com juros compostos, é necessário adequar o tem-
po da operação fi nanceira à taxa. Se a taxa estiver expressa em meses, o tempo 
deverá estar expresso em meses também. O mesmo ocorre com a taxa expressa 
em dias, quinzena, bimestre, trimestre, quadrimestre ou ano. Se você precisar optar 
sobre a modifi cação do tempo ou taxa, escolha modifi car o tempo.
Agora, vamos aplicar a fórmula para conhecer o valor presente (VP)!
Queremos saber o valor que deverá ser aplicado hoje, em determinado banco, para realizar 
a troca de um veículo ao fi nal de um ano. O juro composto do banco escolhido é de 1,2% a.m., e o 
montante necessário para a troca do veículo (capital + juros) é de R$ 20.000,00.
A taxa está expressa em meses e o tempo da aplicação está expresso em anos. Então, modi-
fi ca-se o tempo, transformando 1 ano em 12 meses e, desta forma, teremos taxa e tempo na 
mesma base de cálculo. Os elementos de cálculo que conhecemos são:
VF = 40.000,00
i = 1,2% a.m.
n = 12
VP = ?
Aplicando a fórmula para encontrar o VP, obtemos:
MATEMÁTICA FINANCEIRA
 – 38 – 
VP = 
 VF 
 (1+ i)n 
VP = 
 40.000 
 (1+0,012)12 
VP = 
 40.000 
 1,15389462 
VP = R$ 34.665,21
Uma vez que aplicamos a fórmula para obter o valor presente, veremos o cálculo para obter o 
valor futuro (VF). Suponhamos que queremos saber qual valor futuro será gerado numa aplicação 
financeira feita em um banco, no valor de R$ 1.000,00, por 12 meses, à taxa de juros compostos 
de 1% a.m. Assim, aplicamos a fórmula para obter o montante e os juros gerados na aplicação:
VP = 1.000,00
i = 1% a.m.
n = 12 meses
VF = ?
J = ?
VF = VP (1 + i )n
VF = 1.000 (1 + 0,01 )12
VF = 1.000 (1,01 )12
VF = 1.000 × 1,12682503 = 1.126,83
J = 1.126,83 − 1.000 = 126,83.
As fórmulas são utilizadas conforme o elemento faltante, ou seja, o que se busca conhecer. 
Lembre-se de que, para o cálculo, o tempo e a taxa devem estar na mesma base. 
EXEMPLO
O tesoureiro da empresa precisa atrasar o pagamento de uma fatura de 
R$100.000,00, por 90 dias corridos (3 meses). O fornecedor lhe cobrará pelo atraso 
um juro mensal composto 3,5% a.m. Porém, para que ele possa obter aprovação de 
sua gerência para postergar a fatura, precisa informar qual é o montante que será 
pago ao final dos 90 dias, assim como o total de juros. Calculando, teremos: 
VP = 100.000,00
i = 3,5% a.m.
n = 3 meses
VF = ?
J = ?
MATEMÁTICA FINANCEIRA
 – 39 – 
VF = VP (1 + i )n
VF = 100000 (1 + 0,035 )3
VF = 100000 (1,035 )3
VF = 100000 × 1,10871787 = 110.871,78
J = 110.871,78 – 100.000 = 10.871,78
SAIBA MAIS!
A incidência de juros compostos pode ser bastante prejudicial no caso de dívidas, 
uma vez que ocorre a cobrança de juros sobre os juros já calculados, porém não 
liquidados. Os juros brasileiros tem como base a taxa Selic, que é a taxa básica de 
juros defi nida pelo COPOM (Comitê de Política Monetária). Acesse o link e confi ra 
matéria sobre a redução da taxa básica. <http://g1.globo.com/economia/noticia/
analistas-do-mercado-baixam-estimativa-de-infl acao-para-2017.ghtml>.
Agora, vamos aplicar a fórmula para conhecer a taxa de juros (i).
Vamos considerar que uma pessoa realizou uma aplicação fi nanceira em seu banco, no valor 
de R$ 15.000,00, durante 6 meses. O gerente informou que a taxa de juro composto é fi xa e que 
seu cliente resgatará o valor total de R$ 15.922,80. Para saber qual a taxa desta aplicação fi nan-
ceira, utilizamos a seguinte fórmula:
VP = 15.000,00
VF = 15.922,80
n = 6 meses
i =?
1
–1 –1 –1 –1 –1 –1= == == =–1 –1= =–1 –1–1 –1 –1 –1–1 –1 –1 –1–1 –1
 –1 –1 –1 –1
 –1 –1
 
–1 –1
 
–1 –1 
 
 –1 –1 –1 –1
 
–1 –1 –1 –1
n
n= =n= =
VF VF
–1 –1
VF VF
–1 –1 
VF VF –1 –1 –1 –1VF VF–1 –1 –1 –1–1 –1 –1 –1 –1 –1
 –1 –1
VF VF
–1 –1 –1 –1 –1 –1
 –1 –1i
VP VP VP VP    VP VP   
i = 
1
6
–1 
15.922,80 15.922,80
  
 
 
 15.922,80 15.922,80
 
15.922,80 15.922,80
 15.000 15.000   15.000 15.000 15.000 15.000
i = (1,061520)0,166666666 – 1
i = 1,00999999999 – 1 
i =0,999999 (x 100) = 1% ao mês.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
 – 40 – 
FIQUE ATENTO!
No caso do cartão de crédito, se o devedor pagar o total a cada vencimento, ocorre 
incidência dos juros compostos sobre os valores de seus gastos com o cartão, os 
quais serão adicionados aos juros não pagos e acumulados. Como os juros men-
sais médios brasileiros no ano de 2016 indicavam uma taxa mensal em torno de 
15,28% a.m., este juro capitalizado para o ano atinge o total anual de 451% a.a. Se 
o devedor não realiza o pagamento mensal, deixando acumular sua dívida de prin-
cipal mais juro mensal por um ano, os juros mensais 15,28% a.m. se transformarão 
em um juro anual de 451% a.a. Sea dívida for de R$100,00, em um ano, o devedor 
do cartão deverá pagar R$451,00 de juros, totalizando R$551,00.
Agora, vamos considerar que não sabemos o tempo que o capital de R$ 15.000,00 levará para 
produzir um montante de R$ 15.922,80, se aplicado com juros compostos fi xos de 1% ao mês. 
Temos os seguintes elementos para cálculo, utilizando a fórmula:
VP = 15.000,00
VF = 15.922,80
i = 1% a.m.
n = ?
log
log(1 )
 
  
 
 
 
 
 
 
 
=
log(1 )+log(1 )
 VF  
 
 VF 
 
 
 VP    VP   n
log(1 )ilog(1 )
log
log 1,01
 15.922,80 15.922,80
  
 
 
 15.922,80 15.922,80
 
15.922,80 15.922,80
 15.000 15.000   15.000 15.000 15.000 15.000=n
0,05970184
0,00995033
=n
n = 6
Assim, solucionamos os exercícios de capitalização composta obtendo os elementos não 
conhecidos em cada caso, como VP, VF, i ou n. Tenha sempre em mente a diferença da aplicação 
do juro simples e juro composto, e como o juro composto aumenta mais o capital investido ou 
emprestado. 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
 – 41 – 
Fechamento
Ao longo deste conteúdo, compreendemos a utilização dos juros compostos na capitaliza-
ção de um determinado valor aplicado ou emprestado. 
Nesta aula, você teve oportunidade de:
 • entender como são feitos os cálculos usando o regime de capitalização composta;
 • conhecer a modelagem matemática do regime de capitalização composta.
Referências
BRUNI, Adriano Leal; FAMÁ, Rubens. Matemática Financeira com HP 12C e Excel. 5 ed. São Paulo: 
Atlas, 2009.
LIS, Laís. Após decisão do Copom, mercado prevê juro de 1 dígito ao final de 2017. G1, 2017. 
Disponível em: <http://g1.globo.com/economia/noticia/analistas-do-mercado-baixam-estimativa-
de-inflacao-para-2017.ghtml>. Acesso em: 19 jan. 2017.
PUCCINI, Abelardo. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. 8 ed. São Paulo: Saraiva, 2009.
SOUZA, Alceu; CLEMENTE, Ademir. Decisões Financeiras e Análise de Investimentos. 6 ed. 
São Paulo: Atlas, 2015.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
 – 42 – 
Desconto racional ou “por dentro”
Simone Motyczka Ott Telles
Introdução
Quando realizamos o pagamento de um produto à vista, entendemos o abatimento no valor 
como desconto, assim como quando antecipamos um pagamento cujo vencimento ocorreria em 
uma data futura. A forma de desconto que iremos abordar nesta aula segue a mesma lógica. Tra-
ta-se de um abatimento que é concedido no valor de um título de crédito, quando este é resgatadoantes de seu vencimento (SAMANEZ, 2010). 
O desconto de um título de crédito é uma operação muito tradicional no mercado financeiro, 
tanto em operações de crédito bancárias como em operações comerciais.
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • compreender o conceito de descontos e suas estruturas básicas;
 • entender o cálculo do desconto racional.
1 Desconto racional (por dentro) simples e composto
Entenda que desconto é a diferença entre o valor que seria pago no futuro e o valor pago no 
momento atual, representando um valor em dinheiro (moeda). No mercado financeiro, o desconto 
tem por objetivo antecipar valores que só seriam recebidos pela empresa em uma data futura, 
buscando assim atender suas eventuais necessidades de caixa. Você deve estar se perguntando: 
“Como ocorrem as operações de desconto?”. Confira a seguir. 
Ao contrair uma dívida, um indivíduo passa a ter um credor (empresa) que emite um compro-
vante da operação financeira, o que chamamos de título de crédito. Estando a empresa de posse do 
título de crédito, tem o direito de receber o valor descrito nele (valor nominal). Se, por algum motivo, 
a empresa necessitar de capital antes da data de vencimento do título, ela poderá procurar uma ins-
tituição financeira para negociá-lo. Assim, ela receberá no ato da negociação (no momento presente 
ou à vista) o valor correspondente ao título mediante o desconto de encargos financeiros (taxa de 
desconto). A instituição procurada passará a possuir o título de crédito e receberá seu valor integral 
no vencimento. Esta operação é caracterizada como um produto bancário chamado desconto. 
FIQUE ATENTO!
Podemos afirmar que desconto é a diferença entre o valor nominal do título de 
crédito e o valor pago por ele em uma data anterior ao vencimento.
 – 43 – 
TEMA 6
Figura 1 – Desconto corresponde à diferença entre valor nominal e atual.
Fonte: Syda Productions/Shutterstock.com
Assim, listamos abaixo os principais elementos que compõem uma operação de desconto. 
 • Data de vencimento – data prefixada no documento de crédito (título cheque etc.).
 • Taxa de desconto (i) – é a taxa de juros aplicada por período unitário de tempo.
 • Valor nominal ou valor futuro (FV) – é o valor a ser pago na data do vencimento.
 • Valor atual ou valor líquido (PV) – é o valor descontado da taxa de juros, o valor a ser 
recebido antes da data de vencimento.
 • Prazo ou tempo (n) – tempo da antecipação, tempo decorrente entre a data em que 
ocorre a operação de desconto e a data de vencimento do título.
 • Desconto (D) – é a diferença entre o valor nominal e o valor atual.
Passamos agora aos títulos de crédito!
2 Títulos de crédito
Os títulos de crédito são comprovantes de um compromisso assumido com vencimento 
futuro. Trata-se de uma garantia de quem empresta um capital ou cede um bem (CASTANHEIRA, 
2010). Os títulos mais conhecidos são nota promissória e duplicata. 
 • Nota promissória – é um documento que comprova a aplicação de um capital com 
vencimento predeterminado, em que obrigatoriamente uma das partes é pessoa física.
 • Duplicata – é um documento emitido por uma pessoa jurídica contra seu cliente (pes-
soa física ou jurídica), em que obrigatoriamente uma das partes é pessoa jurídica. 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
 – 44 – 
Figura 2 – Duplicata.
Fonte: Andrey_Popov/Shutterstock.com
SAIBA MAIS!
Confira a contribuição das operações de desconto na formação de um fluxo financeiro 
saudável de uma empresa, bem como os controles (planilhas) que tais operações exigem. 
Disponível em: “Teoria e prática em finanças: estudo de caso para a implementação 
de fluxo de caixa previsto versus realizado, na empresa Truck LTDA.” Disponível em: 
<http://eventosacademicos.ufmt.br/index.php/CONASUM/2015/paper/viewFile/12/7 >.
É muito comum ocorrerem também operações de desconto com cheques (na modalidade 
pré-datado), boletos de cobrança e recebíveis, que são frutos de operações com cartão de crédito.
SAIBA MAIS!
Aprofunde seus conhecimentos sobre o desconto de recebíveis, leia: “Quais os 
perigos e vantagens de antecipar os recebíveis?”. Disponível em: <http://exame.abril.
com.br/pme/noticias/quais-os-perigos-e-vantagens-de-antecipar-os-recebiveis>.
Existem dois tipos básicos de descontos nas operações financeiras: o desconto comercial e 
o desconto racional. A seguir, iremos conhecer o desconto racional. 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
 – 45 – 
3 Características do desconto racional ou “por dentro”
O desconto racional ou “por dentro”, é aquele obtido quando a taxa de juros incide sobre o 
valor atual do título. Baseado no modo de capitalização dos juros, pode ser simples ou composto.
3.1 Desconto racional (por dentro) simples (Drs)
Conforme Müller (2010), o desconto racional (por dentro) simples é aplicado sobre o valor 
atual utilizando-se uma taxa efetiva, e o seu cálculo é realizado de forma semelhante aos juros 
simples. Para a realização dos cálculos do desconto racional simples, temos algumas fórmulas 
(PUCCINI, 2009). Observe. 
Valor presente (VP) pode ser obtido da fórmula: VF = VP (1 + i × n)
Assim: 
( )
VFVP = 
1 + i × n
.
Por sua vez, o desconto Drs pode obtido por: Drs = VP × i × n).
Teremos: 
( )rs
VF × i × nD = rsD = rs 1 + i × n
 ou ( )rsD 1 + i × n(D 1 + i × n(rsD 1 + i × nrsVF = 
i × n
. 
EXEMPLO
A empresa AB necessita de capital de giro para honrar um compromisso fi scal. Ela 
realizou uma venda e acordou com seu cliente, João Pedro, que o pagamento ocorria 
somente após 90 dias. Assim, emitiu uma duplicata. Tendo a duplicata em mãos, a 
empresa buscou uma instituição fi nanceira para realizar a antecipação do recebimen-
to deste crédito, que ocorreu por meio do desconto racional simples do título, cujo 
valor nominal era de R$ 3.000,00. A instituição aplicou uma taxa de juros de 3% a.m.
Resumo de dados: VF = R$ 3.000,00, n = 3 meses, i = 3% a.m. 
Calculando o valor desconto:
( ) ( )rs
VF × i × n 3.000,00 × 0,03 × 3 270,00D = = = = 247,70
(
D = = = = 247,70
( )
D = = = = 247,70
)
D = = = = 247,70
(
D = = = = 247,70
( )
D = = = = 247,70
)
D = = = = 247,70D = = = = 247,70rsD = = = = 247,70rs
VF × i × n 3.000,00 × 0,03 × 3 270,00D = = = = 247,70VF × i × n 3.000,00 × 0,03 × 3 270,00
1 + i × n 1 + 0,03 × 3 1,09)1 + i × n 1 + 0,03 × 3 1,09) (1 + i × n 1 + 0,03 × 3 1,09( )1 + i × n 1 + 0,03 × 3 1,09)
D = = = = 247,70
1 + i × n 1 + 0,03 × 3 1,09
D = = = = 247,70
)
D = = = = 247,70
)1 + i × n 1 + 0,03 × 3 1,09)
D = = = = 247,70
) (
D = = = = 247,70
(1 + i × n 1 + 0,03 × 3 1,09(
D = = = = 247,70
( )
D = = = = 247,70
)1 + i × n 1 + 0,03 × 3 1,09)
D = = = = 247,70
)
Calculando o valor que o portador do título receberá:
PV = FV – Drs = 3.000,00 – 247,70
PV = R$ 2.752,30
A empresa irá receber somente R$ 2.752,30 na operação, ou seja, R$ 247,70 a menos 
que o valor nominal do título. Já a instituição fi nanceira fi cará com a duplicata e, pas-
sados 90 dias, receberá o valor nominal (integral) R$ 3.000,00.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
 – 46 – 
Entenda que a instituição fi nanceira que compra o título não assume a responsabilidade 
plena por ele, pois a empresa que o resgatou antes do prazo é devedora solidária. Em caso de 
inadimplência por parte do contratante do valor, ela deverá arcar com a dívida.
FIQUE ATENTO!
Para obtermos resultados corretos, tanto no uso das fórmulas quanto no uso de 
calculadoras fi nanceiras, o Prazo (n) e o tempo da Taxa (i) devem ser os mesmos. 
Figura 3 – A instituição fi nanceira que compra o título não é responsável por ele.
Fonte: uelder/Shutterstock.com 
Cabe aqui realizar um destaque importante: o desconto racional simples não é utilizado na 
prática (ASSAF, 2010). A seguir, entenda o desconta racional(por dentro) composto.
3.2 Desconto racional (por dentro) composto (Drc) 
Trata-se do desconto aplicado sobre o valor atual utilizando-se uma taxa efetiva. Seu cálculo 
é realizado de forma semelhante aos juros compostos, com a utilização de algumas fórmulas 
(MÜLLER, 2012). 
Valor presente (VP) é obtido por meio da fórmula: VF = VP (1 + i)n ( )nVF = VP 1+i(VF = VP 1+i(
Logo:
n
VFVP = 
(1 + i)
 ou ainda VP = VF (1 + i)–n.
Sendo o desconto descrito pela fórmula: D = VF – VP .
Então: Drc = VF – VF (1 + i)
–n ou Drc = VF [1 – (1 + i)
–n] .
MATEMÁTICA FINANCEIRA
 – 47 – 
EXEMPLO
A empresa BC necessita de capital de giro para honrar um compromisso fiscal. Ela 
realizou uma venda e acordou com seu cliente, Carlos, que o pagamento ocorreria 
após 90 dias. Assim, emitiu uma duplicata. Desta forma, a empresa buscou uma 
instituição financeira para realizar a antecipação do recebimento do crédito por 
meio do desconto racional composto. O valor nominal do título era de R$ 3.000,00, 
e foi aplicada uma taxa de juros de 3% a.m. 
Resumo de dados: VF = R$ 3.000,00, n = 3 meses, i = 3% a.m. 
Calculando o valor desconto:
Drc=VF [1 – (1 + i)
–n ] = 3.000,00 [1 – (1 + 0,03)-3 = 254,56
Calculando o valor que o portador do título receberá:
PV = FV – Drs = 3.000,00 – 254,26
PV = R$ 2.745,42
A empresa BC, portanto, em vez de receber R$ 3.000,00, irá receber somente 
R$2.745,42; R$ 254,26 a menos que o valor nominal.
Saiba que a diferença entre os valores do desconto racional simples para o composto ocorre 
exclusivamente pela característica de cada método, que é a forma de incidências dos juros (juros 
simples ou composto).
Figura 4 – Desconto racional.
Fonte: Lisa S./Shutterstock.com 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
 – 48 – 
FIQUE ATENTO!
Em todas as fórmulas, a taxa precisa obrigatoriamente ser utilizada na forma de-
cimal. Para passar da forma percentual para a forma decimal, é necessário dividir 
por 100%. Assim:
3%i = = 0,03i = = 0,033%i = = 0,033%
100%
i = = 0,03
100%
i = = 0,03
Diferente do desconto racional simples (Drs), o composto (Drc) é amplamente utilizado no 
Brasil (MÜLLER, 2012). 
Fechamento
Chegamos ao fi nal desta aula. Aqui, vimos o conceito de desconto, bem como suas ramifi ca-
ções em desconto racional simples e composto.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
 • conhecer o que são títulos de crédito;
 • entender o conceito de desconto;
 • entender as estruturas básicas do desconto com a taxa de capitalização simples ou composta;
 • entender o cálculo do desconto racional.
Referências
ASSAF NETO, Alexandre; LIMA, Fabiano Guasti. Fundamentos de Administração Financeira. São 
Paulo: Atlas, 2010.
CASTANHEIRA, Nelson Pereira; MACEDO, Luiz Roberto Dias de. Matemática fi nanceira aplicada. 
3. ed. Curitiba: Ibpex, 2010. 
FANTI, Leonardo Donizete; DIAS, Thatiany da Silva. Teoria e prática em fi nanças: estudo de caso 
para a implementação de fl uxo de caixa previsto versus realizado, na empresa Truck LTDA., 
2015. Trabalho apresentado no curso de Administração do ICHS – CUR – UFMT – Universidade 
Federal do Mato Grosso, Rondonópolis, 2015.
MULLER, Aderbal Nicolas; ANTONIK, Luis Roberto. Matemática Financeira. São Paulo: Saraiva, 2012.
PUCCINI, Abelardo. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. 8. ed. São Paula: Saraiva, 2009.
SAMANEZ, Carlos Patricio. Matemática Financeira. 5. ed. São Paulo: Pearson, 2010.
ZUINI, Priscila. Quais os perigos e vantagens de antecipar os recebíveis? Exame.com, 16 jul. 2012. 
Disponível em: <http://exame.abril.com.br/pme/noticias/quais-os-perigos-e-vantagens-de-anteci-
par-os-recebiveis>. Acesso em: 07 out. 2016. 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
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Desconto comercial ou “por fora”
Simone Motyczka Ott Telles
Introdução
O desconto, fruto de vendas ou negociações a prazo, tem a finalidade de antecipar os valores 
que só seriam recebidos em uma data futura. Conforme Müller (2012), a operação de desconto 
acontece para suprir alguma necessidade do caixa da empresa. 
Nesta aula, estudaremos o desconto comercial, em que o vendedor do título receberá 
antecipado um valor inferior ao valor nominal por meio da negociação com o agente financeiro 
(banco ou factoring). 
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de: 
 • compreender o conceito de desconto comercial e seu uso em vendas a prazo;
 • entender a forma de cálculo do desconto comercial.
1 Desconto comercial simples (por fora)
O desconto comercial simples ou “por fora”, também é conhecido como desconto bancário. 
Trata-se da forma de desconto mais utilizada no mercado financeiro e no comércio em geral 
(MÜLLER, 2012, p. 121), uma vez que, nesta modalidade, o desconto é obtido quando a taxa de 
juros incide sobre o valor nominal do título (SAMANEZ, 2010), de modo equivalente aos juros 
simples. Em consequência, gera-se um valor maior de desconto do que no sistema racional, ou 
seja, um custo efetivo maior (ASSAF, 2010). 
FIQUE ATENTO!
O valor nominal de um título de crédito é o valor que está escrito no documento, 
pelo qual ele seria resgatado.
1.1 Conhecendo mais sobre uma operação de desconto
Se uma empresa que possui um valor a receber no formato de título, cheque ou recebíveis 
(cartão de crédito), cujo vencimento se dará em alguma data futura, precisar de capital (dinheiro) 
 – 50 – 
TEMA 7
imediatamente, ela pode negociar esse título com uma instituição financeira. Assim, a empresa irá 
receber à vista o valor de seu crédito futuro, porém com o desconto de uma “compensação financeira”. 
Os títulos de créditos são comprovantes de um compromisso assumido, portanto, é 
muito comum ocorrerem operações de desconto com seus dois tipos mais conhecidos: nota 
promissória e duplicata. 
Figura 1 – A compensação financeira inclui taxas e impostos.
Fonte: Pressmaster/Shutterstock.com 
Na prática, a “compensação financeira” não é formada somente pela taxa de juros da opera-
ção, incluindo:
 • IOF (Imposto sobre Operações Financeiras) – imposto que é repassado aos cofres 
públicos e é proporcional ao valor da operação; 
 • TAC (Taxa de Abertura de Crédito) – normalmente um valor fixo determinado pelo 
agente financeiro;
 • Taxa Administrativa – valor proporcional ao valor da operação, semelhante ao IOF, mas 
que se destina à instituição financeira;
 • Custódia – quando existe um documento físico com, por exemplo, desconto de che-
que, é cobrado valor fixo para o banco fazer a guarda deste documento.
Além das listadas acima, podem ainda incidir outras tarifas: tarifa de serviço, tarifa de 
cobrança etc. Entenda que todas estas despesas são definidas pelas instituições financeiras e 
reguladas pelo Banco Central, podendo ou não ser cobradas, com exceção do IOF.
SAIBA MAIS!
Conheça as funções de uma factoring no artigo publicado pelo SEBRAE “Entenda 
o que é factoring”. Acesse: <http://www.sebrae.com.br/sites/PortalSebrae/artigos/
entenda-o-que-e-factoring,7b1a5415e6433410VgnVCM1000003b74010aRCRD>. 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
 – 51 – 
1.2 Características do desconto comercial ou “por fora”
Os elementos que compõem uma operação de desconto comercial são os mesmos do des-
conto racional.
 • Data de vencimento – data prefixada no documento de crédito (título, cheque etc.).
 • Taxa de desconto (i) – é a taxa de juros aplicada por período unitário de tempo.
 • Valor nominal ou valor futuro (FV) – é o valor a ser pago na data do vencimento.
 • Valor atual ou valor líquido (PV) – é o valor descontado da taxa de juros, o valor a ser 
recebido antes da data de vencimento.
 • Prazo ou tempo (n) – tempo da antecipação, em períodos (tempo decorrente entre a 
data que ocorre a operação de desconto e a data de vencimento do título). 
 • Desconto (D) – é a diferença entre o valor nominal e o valor atual.
Figura 2 –