MecFlu Cap 04 Çengel

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Mecânica dos Fluidos – Capítulo 04
Profº Msc. Rafael Costa dos Santos Oliveira
Cinemática dos fluidos
 Objetivos
 Entender o papel da derivada material na transformação entre 
as descrições lagrangiana e euleriana.
 Distinguir entre diversos tipos de visualizações de escoamento 
e métodos de representação gráfica das características de um 
escoamento de fluido.
 Ter uma percepção das diversas maneiras pelas quais os fluidos 
se movem e se deformam.
 Entender a utilidade do teorema de transporte de Reynolds.
Cinemática dos fluidos
 Descrições lagrangiana e euleriana
 Cinemática Movimento
 Cinemática dos fluidos
 Estudo de como os fluidos escoam e de como descrever seu
movimento.
 Duas formas distintas de descrever o movimento.
Cinemática dos fluidos
 Descrições lagrangiana e euleriana
 Descrição lagrangiana
 Seguir a trajetória de objetos individuais
 Leis de Newton
 Descrição do movimento
 Previsão com exatidão do movimento e das trocas de momento e energia
cinética entre os objetos
 Cinemática
 Acompanhar o vetor posição e o vetor 
velocidade de cada objeto como funções 
do tempo.
Cinemática dos fluidos
 Descrições lagrangiana e euleriana
 Descrição lagrangiana
 Análoga à análise de sistemas fechados
 A descrição de Lagrange nos obriga a seguir a posição e a velocidade
de cada parcela individual de fluido, a qual nos referimos como uma
partícula de fluido, que mantem a identidade fixa.
 Joseph Louis Lagrange (1736 – 1813)
Cinemática dos fluidos
 Descrições lagrangiana e euleriana
 Descrição euleriana
 Leonhard Euler (1707 – 1783)
 Fluidos
 Visão macroscópica contínuo
 As interações entre as parcelas do fluido não são tão fáceis de descrever quanto as
interações entre objetos distintos.
 Visão microscópica
 Um fluido é composto de bilhões de moléculas que estão continuamente se chocando
mas a tarefa de acompanhar mesmo que um subconjunto dessas moléculas é muito
difícil.
Cinemática dos fluidos
 Descrições lagrangiana e euleriana
 Descrição euleriana
 Define-se um volume finito chamado domínio do escoamento ou volume
de controle.
 Através deste volume finito o fluido escoa para dentro e para fora.
 Em vez de acompanhar partículas de fluido individuais, definem-se
variáveis de campo, funções do espaço e do tempo, dentro do volume de
controle.
 A variável de campo em um determinado local e em um determinado
instante é o valor da variável para qualquer partícula de fluido que ocupar
essa posição neste determinado instante.
Cinemática dos fluidos
 Descrições lagrangiana e euleriana
 Descrição euleriana
 Campo de pressão  variável de campo escalar
 Campo de velocidade  variável de campo vetorial
 Campo de aceleração  variável de campo vetorial
 Campo de escoamento
 tz,y,x,P P 
 tz,y,x,v v  
 tz,y,x,a a  
 wv,u,v v        ktz,y,x,wjtz,y,x,vitz,y,x,u  
Cinemática dos fluidos
 Descrições lagrangiana e euleriana
 Exemplo 4.1: Um campo de velocidade bidimensional,
incompressível e estacionário é dado por
na qual, as coordenadas x e y estão em metros e a velocidade
está em m/s. Um ponto de estagnação é definido como um ponto
no campo de escoamento no qual a velocidade é identicamente
zero. (a) Determine se há algum ponto de estagnação nesse
campo de escoamento e se sim, onde? (b) Esboce o vetor
velocidade em diversos locais do domínio entre x = -2 m a 2 m e
y = 0 m a 5 m; descreva qualitativamente o campo de
escoamento.
      j0,8y-1,5i0,8x0,5 vu,v  
Cinemática dos fluidos
 Descrições lagrangiana e euleriana
 Exemplo 4.1: estagnação de Ponto
00,8x0,5u  00,8y1,5v  m 1,875y m 0,625x 
Cinemática dos fluidos
 Campo de aceleração
 Sistema fechado x Sistema aberto (volume de controle)
 As equações das leis fundamentais devem ser reescritas para aplicação 
em diferentes formas de descrever o sistema.
 Descrição lagrangiana x Descrição euleriana
 Equações do movimento do escoamento de fluidos (ex. 2ª lei de 
Newton)
 Partícula material
 Vetor posição material       tz,ty,tx partículapartículapartícula
alagrangian Descrição euleriana Descrição
smatemática esManipulaçõ
  
Cinemática dos fluidos
 Campo de aceleração
 2ª lei de Newton
partículapartículapartícula amF
 
dt
vd
a partículapartícula

        tz,ty,txvv partículapartículapartículapartícula  
dt
vd
a partículapartícula

 
dt
dz
z
v
dt
dy
y
v
dt
dx
x
v
dt
dt
t
va partícula
partícula
partícula
partícula
partícula
partícula
partícula 








dt
vd
 
dt
t,z,y,xvd partículapartículapartícula


Cinemática dos fluidos
 Campo de aceleração
 2ª lei de Newton
1;
dt
dt 
 
z
vw
y
vv
x
vu
t
vtz,y,x,a partícula 








 
dt
vdtz,y,x,a partícula
 
v;
dt
dypartícula  w
dt
dzpartícula u;
dt
dxpartícula 
Cinemática dos fluidos
 Campo de aceleração
 2ª lei de Newton
   vv
t
v
dt
vdtz,y,x,a 
 

 









z
,
y
,
x

z
uw
y
uv
x
uu
t
ua x 







z
vw
y
vv
x
vu
t
va y 







z
ww
y
wv
x
wu
t
wa z 







z
k
y
j
x
i







Cinemática dos fluidos
 Campo de aceleração
 Exemplo 4.2: Nadeen está lavando seu carro com um bocal
semelhante àquele da figura. O bocal tem 3,90 in (0,325 ft) de
comprimento, com um diâmetro de entrada de 0,420 in
(0,0350 ft) e um diâmetro de saída de 0,182 in. A vazão de
volume através da mangueira de jardim (e através do bocal) é V
= 0,841 gal/min (0,00187 ft3/s) e o escoamento é estacionário.
Estime o módulo da aceleração de uma partícula de fluido 
que se movimenta no eixo central do bocal.
Cinemática dos fluidos
 Campo de aceleração
 Exemplo 4.2:
entrada de Velocidade
A
Vuentrada


A Método
Δt
Δua x 
B Método
z
uw
y
uv
x
uu
t
ua x 







Δx
uu
2
uua entradasaídaentradasaídax

2
entradaDπ
V4



2
3
2 fts
ft
0,0350π
0,001874


s
ft95,1
med
entradasaída
u
Δx
uu 
 entradasaída
entradasaída
uu
Δx2
uu



Δx2
uu 2entrada
2
saída


Δx
Δuumed
Δx2
uu 2entrada
2
saída


Cinemática dos fluidos
 Campo de aceleração
 Exemplo 4.2:
axial Aceleração
Δx2
uua
2
entrada
2
saída
x 

fts
ft
0,3252
1,9510,4
2
222

 2s
ft160
Cinemática dos fluidos
 Derivada material
 Derivada material
 Aceleração material
 Derivada material da pressão
 


v
tdt
d
Dt
D
   vv
t
v
dt
vd
Dt
vDtz,y,x,a 
 


 Pv
t
P
dt
dP
Dt
DP 



Cinemática dos fluidos
 Derivada material
 Exemplo 4.3: Considere o campo de velocidade estacionário,
incompressível e bidimensional do exemplo 4.1. (a) Calcule a
aceleração material no ponto (x = 2 m, y = 3 m). (b)
Represente os vetores aceleração material para o mesmo
conjunto de valores x e y do exemplo 4.1.
z
uw
y
uv
x
uu
t
ua x 







z
vw
y
vv
x
vu
t
va y 







      000,8y1,50,80,8x0,50a x 
  2x s
m0,64x0,4a 
      00,80,8y1,500,8x0,50a y 
  2y s
m0,64y1,2a 
Cinemática dos fluidos
 Derivada material
 Exemplo 4.3  2x s
m0,64x0,4a    2y s
m0,64y1,2a 
2x s
m68,1a  2y s
m720,0a  m 3ym, 2x
Ponto

Cinemática dos fluidos
 Padrões de escoamento e visualização de escoamentos
 Estudo quantitativo da dinâmica dos fluidos
 Matemática avançada
 Exame visual das características do 
campo de escoamento
 Visualização do escoamento
 Experimentos físicos
 Soluções numéricas
A mente humana foi feita para
processar rapidamente uma
quantidade incrível de informações
visuais.
Cinemática dos fluidos
 Linhas de corrente e tubos de corrente
 Uma linha de corrente é uma curva tangente em todos os
pontos ao vetor velocidade local instantânea.
 São úteis como indicadores da direção instantânea do movimento do
fluido em todo o campo do escoamento.
 Essas linhas não podem ser observadas experimentalmente, exceto
nos campos de escoamento estacionário, nos quais elas coincidem
com as linhas de trajetória e de emissão.
Cinemática dos fluidos
 Linhas de corrente e tubos de corrente
 Matematicamente, pode-se escrever uma expressão simples
para uma linha de corrente com base em sua definição.
 Considere um comprimento de arco infinitesimal ao longo de uma
linha de corrente
kdzjdyidxrd
 




local cidadevetor velo
 ao paraleloser deve
rd
kwjviuv
 
Cinemática dos fluidos
 Linhas de corrente e tubos de corrente
 vrd 
kˆwjˆviˆuv kˆdzjˆdyiˆdxrd  
paralelos Vetores
 wu v
dzdy dx 
kˆ jˆ iˆ
 vrd   vrd
 kˆ
 u v
dydx 
jˆ
 u w
dzdx 
iˆ
 wv
dzdy 

     kˆudyvdxjˆudzwdxiˆvdzwdy 
0vrd  
Cinemática dos fluidos
 Linhas de corrente e tubos de corrente
     kˆudyvdxjˆudzwdxiˆvdzwdy vrd 
0vdzwdy  0udzwdx  0udyvdx 
vdzwdy 
w
dz
v
dy 
udzwdx 
w
dz
u
dx 
udyvdx 
v
dy
u
dx 
Cinemática dos fluidos
 Linhas de corrente e tubos de corrente
 Matematicamente, pode-se escrever uma expressão simples
para uma linha de corrente com base em sua definição.
 Equação de uma linha de corrente
 Linha de corrente no plano xy
w
dz
v
dy
u
dx
v
rd 

u
v
dx
dy
corrente de linha uma de longo ao





v
dy
u
dx 
Cinemática dos fluidos
 Linhas de corrente e tubos de corrente
 Exemplo 4.4: Para o campo de velocidade bidimensional,
incompressível e estacionário do exemplo 4.1 trace várias
linhas de corrente na metade direita do escoamento (x > 0) e
as compare aos vetores velocidade da figura abaixo.
Cinemática dos fluidos
 Linhas de corrente e tubos de corrente
 Exemplo 4.4:
u
v
dx
dy 
0,8x0,5
0,8y1,5


0,8x0,5
0,8y1,5
dx
dy


0,8x0,5
dx
0,8y1,5
dy



  0,8x0,5
dx
0,8y1,5
dy
  1,8750,8x0,50,8
Cy 


Cinemática dos fluidos
 Linhas de corrente e tubos de corrente
 Um tubo de corrente consiste em 
um conjunto de linhas de corrente.
 Como as linhas de corrente são paralelas 
em todos os pontos à velocidade local, o 
fluido não pode cruzar uma linha de corrente.
 O fluido dentro de um tubo de corrente deve permanecer lá e não 
pode cruzar a fronteira do tubo de corrente.
Cinemática dos fluidos
 Linhas de corrente e tubos de corrente
 Um tubo de corrente consiste em 
um conjunto de linhas de corrente.
 As linhas e tubos de corrente são 
quantidades instantâneas.
 Em um escoamento não estacionário, o padrão das linhas de corrente 
pode variar significativamente com o tempo.
 A qualquer instante, a vazão de massa através de qualquer corte 
seccional de um determinado tubo de corrente deve permanecer a 
mesma.
Cinemática dos fluidos
 Linhas de corrente e tubos de corrente
 Em uma parte convergente de um campo de escoamento
incompressível, o diâmetro do tubo de corrente deve diminuir
à medida que a velocidade aumenta, de modo a conservar a
massa.
 Da mesma forma, o diâmetro do tubo de corrente aumenta
em pontos divergentes de um escoamento incompressível.
Cinemática dos fluidos
 Linhas de trajetória
 Uma linha de trajetória é a trajetória 
real percorrida por uma partícula 
individual de fluido em um determinado 
período de tempo.
Cinemática dos fluidos
 Linhas de emissão
 Uma linha de emissão é o conjunto das posições das partículas
de fluido que passaram sequencialmente através de um
determinado ponto do escoamento.
Cinemática dos fluidos
 Linhas de tempo
 Uma linha de tempo é um conjunto de partículas de fluido
adjacentes que foram marcadas no mesmo instante (anterior)
do tempo.
Cinemática dos fluidos
 Representação gráfica dos dados de escoamento de
fluidos
 Forma de se obter resultados
 Analítica
 Experimental
 Computacional
 Representação gráfica
Cinemática dos fluidos
 Gráficos de perfil
 Um gráfico de perfil indica como o valor de uma propriedade
escalar varia ao longo de uma direção escolhida no campo de
escoamento.
Cinemática dos fluidos
 Gráficos vetoriais
 Um gráfico vetorial é uma matriz de setas que indicam o
módulo e direção de uma propriedade vetorial em um
determinado instante de tempo.
Cinemática dos fluidos
 Gráfico de contorno
 Um gráfico de contorno mostra as curvas dos valores
constantes de uma propriedade escalar (ou o módulo de uma
propriedade vetorial) em determinado instante.
Cinemática dos fluidos
 O teorema de transporte de Reynolds
 Sistema fechado (sistema)
 Quantidade de matéria de identidade fixa.
 Tamanho e forma podem mudar durante um 
processo, mas nenhuma massa cruza suas 
fronteiras.
 Volume de controle (sistema aberto)
 Região no espaço selecionada para estudo.
 Permite que a massa escoe para dentro ou para fora de suas fronteiras 
(superfície de controle), também pode se movimentar e deformar.
Cinemática dos fluidos
 O teorema de transporte de Reynolds
 Princípios da mecânica dos fluidos
 Aproveitados da mecânica dos sólidos
 Leis da física  tratam de taxas de variação no tempo de propriedades 
extensivas
 Leis da física  expressas para sistemas
 Mecânica dos fluidos
 É mais conveniente trabalhar com volumes de controle.
 Necessidade de relacionar as variações em um volume de controle com 
as variações em um sistema.
Cinemática dos fluidos
 O teorema de transporte de Reynolds
 Relação entre as taxas de variação no tempo de uma
propriedade extensiva para um sistema e para um volume de
controle
 Expressa pelo teorema de transporte de Reynolds (TTR)
 Osbourne Reynolds (1842 – 1912)
Cinemática dos fluidos
 O teorema de transporte de Reynolds
extensiva epropriedadB 
intensiva epropriedad
m
Bb 
tVC,tsist, BB 
ttII,ttI,ttVC,ttsist, BBBB  
tsist,ttsist, BB 
ttII,ttI,tVC,ttVC,tsist,ttsist, BBBBBB  
tVC,ttII,ttI,ttVC, BBBB  
Cinemática dos fluidos
 O teorema de transporte de Reynolds
t
B
t
B
t
BB
t
BB ttII,ttI,tVC,ttVC,tsist,ttsist,








 
Δtpor equação a Dividindo
0Δt :Limite 
Δt
B
lim
Δt
B
lim
Δt
BB
lim
Δt
BB
lim ΔttII,
0Δt
ΔttI,
0Δt
tVC,ΔttVC,
0Δt
tsist,Δttsist,
0Δt












saídaentrada
VCsist BB
dt
dB
dt
dB  
Cinemática dos fluidos
 O teorema de transporte de Reynolds
entradaI
ΔttI,
0Δt
BB
Δt
B
lim  

saídaII
ΔttII,
0Δt
BB
Δt
B
lim  

111ΔttI,1ΔttI,1ΔttI, ΔtAρvbρVbmbB  
111
111
0Δtentrada
Aρvb
Δt
ΔtAρvblimB 


222ΔttII,2ΔttII,2ΔttII, ΔtAρvbρVbmbB  
222
222
0Δtsaída
Aρvb
Δt
ΔtAρvblimB 

Cinemática dos fluidos
 O teorema de transporte de Reynolds
saídaentrada
VCsist BB
dt
dB
dt
dB  
22221111
VCsist AvρbAvρb
dt
dB
dt
dB 
















controle. de superfície a atravessa
que massa pela controle de volumedo fora B de
 totalfluxo o mais controle de volumeno B de
 tempono variaçãode taxaà igual é sistema no
B epropriedad da tempono variaçãode A taxa
Cinemática dos fluidos
 O teorema de transporte de Reynolds
saídaentrada
VCsist BB
dt
dB
dt
dB  
entradasaídatotal BBB     SC dA nvρb

exterior unitária normaln 
malinfinitesi superfície uma de áreadA 
dA de através b epropriedad da Vazão
dA nvρb  
Cinemática dos fluidos
 O teorema de transporte de Reynolds
nv   cosθ n v  cosθ v
Cinemática dos fluidos
 O teorema de transporte de Reynolds
 VCVC dV ρbB
saídaentrada
VCsist BB
dt
dB
dt
dB  
 VCVC dV ρbdt
d
dt
dB








.diminuição uma indica negativo valor um enquanto
B, conteúdo de aumento um indica 
dt
dB para positivo valor Um VC
Cinemática dos fluidos
 O teorema de transporte de Reynolds
  SCVCsist dA nvρbdV ρbdt
d
dt
dB 
saídaentrada
VCsist BB
dt
dB
dt
dB  
 VCVC dV ρbdt
d
dt
dB
  SCtotal dA nvρbB





fixo controle de volumeum para controle
 de volumepara sistema de çãoTransforma
 fixo VC TTR,
Cinemática dos fluidos
 O teorema de transporte de Reynolds
 Volume de controle fixo e não deformável
 Equação válida para o caso mais geral de um volume de controle
móvel e/ou que deforma.
 Desde que a velocidade vetorial ( ) seja uma velocidade absoluta (como
visto a partir de um sistema de referência fixo)
   

SCVC
sist dA nvρbdV ρb
tdt
dB   fixo VC o,alternativ TTR
v
Cinemática dos fluidos
 O teorema de transporte de Reynolds
 Volume de controle fixo e não deformável
 A equação também é válida para 
volumes de controle móveis e/ou 
deformantes.
 Desde que a velocidade absoluta do fluido 
( ) do último termo seja substituída pela 
velocidade relativa ( )
 Velocidade relativa
 fixo VC TTR,  SCVCsist dA nvρbdV ρbdt
d
dt
dB 
v
rv

SCr vvv
 
Cinemática dos fluidos
 O teorema de transporte de Reynolds
 Forma mais geral do teorema de transporte de Reynolds
 Escoamento em regime permanente
  SC rVCsist dA nvρbdV ρbdt
d
dt
dB   fixo não VC TTR,
 

SCVC
sist dA nvρbdV ρb
tdt
dB   fixo não VC o,alternativ TTR
  SC rsist dA nvρbdt
dB 
Cinemática dos fluidos
 O teorema de transporte de Reynolds
 Aplicações práticas do TTR
 O fluido cruza a fronteira do volume de 
controle em um número finito de entradas 
e saídas bem definidas.
 É conveniente cortar a superfície de controle diretamente através de 
cada entrada e saída e substituir a integral de superfície pelas 
expressões algébricas aproximadas em cada entrada e saída com base 
nos valores médios das propriedades de fluido que cruzam a 
fronteira.
Cinemática dos fluidos
 O teorema de transporte de Reynolds
 Aplicações práticas do TTR
  SC rVCsist dA nvρbdV ρbdt
d
dt
dB 
medr,rmedmed vv bb ρρ 
 A r dA nvρb

 Amed dA bA
1b
  A rmed dA nvρb

rmedmb 
Cinemática dos fluidos
 O teorema de transporte de Reynolds
 Aplicações práticas do TTR
  SC rVCsist dA nvρbdV ρbdt
d
dt
dB 
 
e entrada cada para
medr
s saída cada para
medrVC
sist bmbmdV ρb
dt
d
dt
dB

 
e
entrada cada para
medr,medmed
s
saída cada para
medr,medmedVC
sist AvbρAvbρdV ρb
dt
d
dt
dB
    
Cinemática dos fluidos
 Relação entre a derivada material e o TTR